学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（江苏常州专用，苏科版九上+九下6～7章：一元二次方程+圆+概率统计+图形的相似+锐角三角函数）
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内容正文：
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此卷只装订不密封
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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏科版九上全册、九下图形的相似和锐角三角函数。
第一部分（选择题 共16分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．sin45°的倒数等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
3．某校连续三年开展植树活动．第一年植树500棵，第三年植树720棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．500×（1+x）＝720
B．500（1+x）2＝720
C．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
D．500（1+x）（1+2x）＝720
4．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0，（b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝5，x2＝13 D．x1＝2，x2＝6
5．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（ ）
A．2.5m B．3m C．4.5m D．5m
6．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
8．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
9．如果3x＝2y，那么 ．
10．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝8，则c的值为 ．
11．安全教育是素质教育的重要内容之一，为增强学生的安全意识，提升学生自我保护能力，某校对学生开展了“中小学生安全知识100条”的讲座和实践活 动，为检验效果，对学生进行了安全知识测试，并随机抽取了8位学生的成绩如下（单位：分）：98，85，90，88，92，95，82，90，则这一组数据的众数是 ．
12．如图是某地铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝1：2.4（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．
13．已知关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的中点，CD、BE相交于点O，若S△ADE＝6，则S△EOC＝ ．
16．在△ABC中，BC＝4，，tan∠ACB＝3，P为AB边上一动点，PD⊥BC交于点D，PE⊥AC交于点E，连接DE，求DE的最小值 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：cos45°•tan45°tan30°﹣2cos60°•sin45°；
（2）解下列方程：x2﹣4x+3＝0．
18．（6分）某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
19．（6分）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查，如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）在扇形统计图中，最喜欢的劳动课程为“木工”的圆心角度数是 °；
（2）求本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比？
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
20．（8分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为（1，3）、（4，1）、（5，3）．
（1）请以原点O为位似中心，在第一象限内作出△ABC的位似图形△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1相似比为1：2；
（2）在网格中找出点D，使其满足以下两个条件，①∠ABD＝90°，②．
21．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
22．（8分）某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡CD，坡角∠DCE＝42°，斜坡高DE＝1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一个平台．小华想利用所学知识测量古塔的高度AB，她在平台的点G处水平放置一平面镜，并沿着DG方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离MN＝1.5米，GN＝2米，BC＝16米，DG＝8米，已知AB⊥BC，MN⊥DQ，请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度AB．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长．
24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD为BC边的高，AE为⊙O的直径交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）当直径AE平分∠BAD时，求证：BE＝BF；
（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BE＝5，求DF的长．
25．（10分）已知△ABC是等腰三角形，AC＝BC，点D是边CB上一点，以AD为腰向右侧作等腰三角形ADE，且DA＝DE，∠ADE＝∠C＝α（90°≤α＜180°），过点B作AC的平行线分别交DE，AE于点F，G，连接BE．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝90°时，求证：∠ABE＝90°；
【迁移应用】
（2）如图2，当α＝120°时，若AC＝8，CD＝3，求△EFG的面积；
【拓展延伸】
（3）当α＝120°时，连接DG，若AC＝12，当△DEG为等腰三角形时，求CD的长．
试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页）
试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页）
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2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷
数学·全解全析
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏科版九上全册、九下图形的相似和锐角三角函数。
第一部分（选择题 共16分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．sin45°的倒数等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
【解答】解：sin45°，
则sin45°的倒数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及倒数，正确记忆相关数据是解题关键．
2．半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【分析】利用弧长公式求解．
【解答】解：半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为：2π．
故选：A．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l．
3．某校连续三年开展植树活动．第一年植树500棵，第三年植树720棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．500×（1+x）＝720
B．500（1+x）2＝720
C．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
D．500（1+x）（1+2x）＝720
【分析】利用该校第三年植树的棵数＝该校第一年植树的棵数×（1+该校这两年植树棵数的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：500（1+x）2＝720．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0，（b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝5，x2＝13 D．x1＝2，x2＝6
【分析】把后面一个方程中的2x﹣1看作整体，相当于前面一个方程中x的求解．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是 x1＝3，x2＝7，
∴方程a（2x+m﹣1）2+b＝0变形为a[（2x﹣1）+m]2+b＝0，
即此方程中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，
解得x1＝2，x2＝4．
故选：A．
【点评】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键．
5．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（ ）
A．2.5m B．3m C．4.5m D．5m
【分析】证明△ABD∽△AEF，得，求出EF的长即可．
【解答】解：由题意可知，AE＝9m＝900cm，
∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEF，
∴，
即，
解得：EF＝300cm＝3m，
即树高EF是3m，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品，
∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒，
∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，
∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100，
∴选定的可以是：甲，戊；或丙，丁，
∵选项中只有：丙，丁，
故选：C．
【点评】本题考查中位数，理解题意，掌握确定中位数的方法是解题的关键．
7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
【分析】根据正五边形、正方形的性质以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OG，OF，OD，OE，DF，连接AC，则AC是正五边形CEFGH，正方形ABCD的对称轴，
∴∠AOD90°，∠FOG＝∠EOF72°，
∵AC是正五边形CEFGH的对称轴，
∴∠AOG＝∠AOF∠FOG＝36°，
∴∠DOF＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DOE＝72°﹣54°＝18°，
∴∠AMF＝∠MFD+∠MDF
∠DOE∠AOF
18°36°
＝9°+18°
＝27°．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正五边形、正方形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，根据正方形的性质证明Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），然后根据直角三角形性质可得，当Q、D、P共线时，DP有最小值，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，
∴，
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝3﹣1＝2，
∴QB＝QE＝1，
∵QD﹣QP≤DP，
∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，
∵，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，
∴，
∴，
∴PD的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到Rt△BAF≌Rt△EMG．
第二部分（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
9．如果3x＝2y，那么 ．
【分析】根据比例性质即可求解．
【解答】解：由题意可得：设x＝2k，y＝3k（k≠0），根据比例性质可得：
，
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是正确理解比例的性质．
10．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝8，则c的值为 1 ．
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得8＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝8，
∴8＝﹣c+9，解得c＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
11．安全教育是素质教育的重要内容之一，为增强学生的安全意识，提升学生自我保护能力，某校对学生开展了“中小学生安全知识100条”的讲座和实践活 动，为检验效果，对学生进行了安全知识测试，并随机抽取了8位学生的成绩如下（单位：分）：98，85，90，88，92，95，82，90，则这一组数据的众数是 90 ．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据，可以找出题目中数据的众数．
【解答】解：∵一组数据为98，85，90，88，92，95，82，90，
∴这组数据的众数为90，
故答案为：90．
【点评】本题考查众数，熟练掌握定义是解题的关键．
12．如图是某地铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝1：2.4（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．
【分析】由坡度的定义，可设BC＝5a米，则AC＝12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵AB的坡度i＝1：2.4＝5：12，
∴，
∵AB＝0.5×40＝20（米），
∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
得（12a）2+（5a）2＝202，
解得a（负值舍去），
∴BC＝5a（米），
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
13．已知关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ﹣1 ．
【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22+4×1×k＝4+4k＝0，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了根的判别式，根据已知得出b2﹣4ac＝0得出是解题关键．
14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 ．
【分析】根据几何概率的求解公式即可求解．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，
∴击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知几何概率的公式．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的中点，CD、BE相交于点O，若S△ADE＝6，则S△EOC＝ 4 ．
【分析】根据三角形中位线定理得出DE是△ABC的中位线，进而利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC，
∴∠EDC＝∠OCB，∠DEO＝∠OBC，
∴△DEO∽△BCO，
∴，
∴，
∵DE是△ABC的中位线，S△ADE＝6，
∴S△ABC＝24，
∵E是AC边上的中点，
∴S△EBC＝12，
∵，
∴S△EOC＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是根据三角形中位线定理得出DE是△ABC的中位线解答．
16．在△ABC中，BC＝4，，tan∠ACB＝3，P为AB边上一动点，PD⊥BC交于点D，PE⊥AC交于点E，连接DE，求DE的最小值 ．
【分析】连接CP，作△PCD的外接圆⊙O，根据PD⊥BC，PE⊥AC得点E在△PCD的外接圆⊙O上，因此当⊙O的直径为最小时，DE为最小，根据“垂线段最短”得当CP⊥AB时，CP为最小，此时DE为最小，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥PE，交EP的延长线于点H，解Rt△ACF得CF＝1，AF＝3，进而得BF＝AF＝3，则△ABF是等腰直角三角形，解Rt△ABF得AB，证明△BPC是等腰直角三角形并解此三角形得PD＝BD＝CD＝2，BP＝CP，进而得PA，由三角形面积公式得PE，设PH＝a，则EH，根据圆周角定理得∠PED＝∠PCB＝45°，则△HDE是等腰直角三角形，继而得DH＝EH，在Rt△HPD中，由勾股定理求出a，则DH＝EH，然后由勾股定理求出DE的长即可得出答案．
【解答】解：连接CP，作△PCD的外接圆⊙O，如图1所示：
∵PD⊥BC交于点D，
∴∠PDC＝90°，
∴PC为△PCD外接圆⊙的直径，圆心O为PC的中点，
∵PE⊥AC交于点E，
∴∠PEC＝90°，
∴点E在△PCD的外接圆⊙O上，
∴当⊙O的直径CP为最小时，DE为最小，
根据“垂线段最短”得：当CP⊥AB时，CP为最小，此时DE为最小，
过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥PE，交EP的延长线于点H，如图2所示：
在Rt△ACF中，tan∠ACB＝3，AC，
∴tan∠ACB3，
∴AF＝3CF，
由勾股定理得：AF2+CF2＝AC2，
∴，
解得：CF＝1，
∴AF＝3，
∵BC＝4，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
∴BF＝AF＝3，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴sin∠B，
∴AB，
∵PC⊥AB，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴BP＝CP，PD＝BD＝CDBC＝2，∠B＝∠PCB＝45°，sinB，
∴BP＝CP＝BC•sinB＝4×sin45°，
∴PA＝AB﹣BP，
∵CP⊥AB，PE⊥AC，
由三角形面积公式得：S△PACAC•PEPA•CP，
∴PE，
设PH＝a，其中a＞0，则EH＝PH+PE，
∵DH⊥PE，
∴△HDE和△HPD都是直角三角形，
根据圆周角定理得：∠PED＝∠PCB＝45°，
∴△HDE是等腰直角三角形，
∴DH＝EH，
在Rt△HPD中，由勾股定理得：PH2+DH2＝PD2，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴DH＝EH，
由勾股定理得：DEDH，
∴DE的最小值是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解垂线段最短，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆，圆周角定理，灵活利用锐角三角函数的定义，三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：cos45°•tan45°tan30°﹣2cos60°•sin45°；
（2）解下列方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）
＝1；
（2）x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
【点评】本题主要考查实数的运算及一元二次方程的求解，解题的关键是熟知实数的性质及方程的求解方法．
18．（6分）某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【分析】（1）根据题意直接列表即可．
（2）由表格可得所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果．
（2）由表格可知，小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，
∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（6分）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查，如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）在扇形统计图中，最喜欢的劳动课程为“木工”的圆心角度数是 57.6 °；
（2）求本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比？
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
【分析】（1）根据劳动课程为“木工”的百分比得出结论即可；
（2）根据统计图中的数据计算即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）（1﹣10%﹣7%﹣27%﹣40%）×360°＝57.6°，
故答案为：57.6；
（2），
∴符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；
（3）答案不唯一，合理即可，如：
建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．
【点评】本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
20．（8分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为（1，3）、（4，1）、（5，3）．
（1）请以原点O为位似中心，在第一象限内作出△ABC的位似图形△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1相似比为1：2；
（2）在网格中找出点D，使其满足以下两个条件，①∠ABD＝90°，②．
【分析】（1）延长OA至格点A1，使OA＝AA1，延长OB至格点B1，使OB＝BB1，延长OC至格点C1，使OC＝CC1，然后连接A1B1，C1B1，A1C1即可；
（2）取格点D，连接AD、BD即可．证得∠ABD＝90°，利用勾股定理求得AD、AB、BD，利用锐角三角形函数解答即可得解．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
∴，
∵∠AOB＝∠A1OB1，
∴A1OB1，
∴，
同理，，
∴，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∴△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，取格点D，连接AD、BD即可；
由网格可知：，，，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，
∴，
∴点D即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
21．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设这个降价率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设这个降价率为x，
依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：这个降价率为10%．
（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克，
依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000，
整理，得：y2﹣15y+50＝0，
解得：y1＝10，y2＝5．
∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5．
答：每千克应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（8分）某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡CD，坡角∠DCE＝42°，斜坡高DE＝1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一个平台．小华想利用所学知识测量古塔的高度AB，她在平台的点G处水平放置一平面镜，并沿着DG方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离MN＝1.5米，GN＝2米，BC＝16米，DG＝8米，已知AB⊥BC，MN⊥DQ，请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度AB．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】由正切定义求出CE，延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），证明△AHG∽△MNG，求出AH的长，则可求出答案．
【解答】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE，
∴0.9，
∴CE＝2，
延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），
∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，
∴△AHG∽△MNG，
∴，
即，
∴AH＝19.5（米），
∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．
答：古塔的高度AB为21.3米．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣坡度坡角问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长．
【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得OE⊥EF，根据切线的判定定理可得结论；
（2）如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△EBF∽△AEF，列比例式，根据勾股定理列方程，依据BC∥EF，列比例式可得结论．
【解答】解：（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：
连接OE，OC，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OE2+EF2＝OF2，
∵OE＝OB，
∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，
即：OE2+152＝（OE+9）2，
解得：OE＝8，
∴⊙O的半径为8；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴，
∴AEBE，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+（BE）2＝162，
解得：BE，
∴AE，
∵BC∥EF，
∴，即，
∴AD．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明△EBF∽△AEF，确定AE和BE的关系是解（2）题的关键．
24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD为BC边的高，AE为⊙O的直径交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）当直径AE平分∠BAD时，求证：BE＝BF；
（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BE＝5，求DF的长．
【分析】（1）利用直角三角形的性质，圆周角定理和同角的余角相等的性质得到∠ABE＝∠ADC，利用圆周角定理得到∠E＝∠C，再利用相似三角形的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用角平分线的定义，同角的余角相等的性质得到∠AFD＝∠E，利用对顶角相等的性质和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论；
（3）利用直角三角形的边角关系定理求得tan∠BAE，则tan∠BAE＝tan∠DAE，利用直角三角形的边角关系定理求得，设DF＝x，则AD＝2x，利用勾股定理列出方程求得x值，则结论可求．
【解答】（1）证明：∵AD为BC边的高，
∴∠ADC＝90°，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC；
（2）证明：∵直径AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠AFD+∠DAE＝90°，
∴∠AFD＝∠E．
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BFE＝∠E，
∴BE＝BF；
（3）解：∵∠ABE＝90°，AB＝10，BE＝5，
∴tan∠BAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴tan∠BAE＝tan∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴tan∠DAE，
设DF＝x，则AD＝2x，
由（2）知：BE＝BF＝5，
∴BD＝BF+DF＝x+5，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（2x）2+（x+5）2＝102，
∴x＝﹣5（不合题意，舍去）或x＝3，
∴DF＝3．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
25．（10分）已知△ABC是等腰三角形，AC＝BC，点D是边CB上一点，以AD为腰向右侧作等腰三角形ADE，且DA＝DE，∠ADE＝∠C＝α（90°≤α＜180°），过点B作AC的平行线分别交DE，AE于点F，G，连接BE．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝90°时，求证：∠ABE＝90°；
【迁移应用】
（2）如图2，当α＝120°时，若AC＝8，CD＝3，求△EFG的面积；
【拓展延伸】
（3）当α＝120°时，连接DG，若AC＝12，当△DEG为等腰三角形时，求CD的长．
【分析】（1）证在CA上截取CP＝CD，连接PD，则△CDP是等腰直角三角形，进而得∠CPD＝45°，∠PAD＝∠BDE，∠APD＝135°，AP＝DB，由此可依据“SAS”判定△PAD和△BDE全等，则∠APD＝∠DBE＝135°，再证明ABC＝45°，然后根据∠ABE＝∠DBE﹣ABC即可得出结论；
（2）在CA上截取CH＝CD，连接DH，过点C作CQ⊥DH于点Q，过点E作EK∥BC∠BG于点K，过点A作AM∥BC∠BG的延长线于点M，则四边形ACBM是菱形，进而AM＝BM＝ACBC＝AC＝8，BD＝5，再求出DHCD，同①证明△HAD和BDE全等得∠AHD＝∠DBE＝150°，DH＝BECD，由此得∠KEB＝30°，则BK＝3，EK＝6，证明△EKF和△DBF全等得KF，再证明△AMG和△EKG相似得KG，继而得FG＝KF+KG，然后根据三角形的面积公式即可求出△EFG的面积；
（3）过点作AM∥BC交BG于点M，过点E作EK∥BC交BG于点K，过点C作CL⊥AB于点L，过点DI⊥AB于点I，设CD＝x，DI＝m，由（2）得四边形ACBM是菱形，BECD，∠KEB＝30°，∠GBE＝90°，进而得AM＝BM＝BC＝AC＝12，BK＝x，EK＝2x，再分别求出AB，AE＝2AI，同（2）证明△AMG和△EKG相似得EG，再证明∠DGE＞∠DEA，则当△DEG为等腰三角形时，有以下两种情况：①当DG＝EG时，则∠GDE＝∠GED＝30°，由此可证明△DEG和△ABC相似得DEEG，则，由此解出x可得CD的长；②当EG＝DE时，则，由此解出x可得CD的长，综上所述即可得出答案．出x即可得到CD的长．
【解答】（1）证明：在CA上截取CP＝CD，连接PD，如图1所示：
∵∠ADE＝∠C＝α＝90°时，
∴△CDP是等腰直角三角形，∠PAD+∠ADC＝90°，∠BDE+∠ADC＝90°，
∴∠CPD＝45°，∠PAD＝∠BDE，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD＝135°，
∵AC＝BC，
∴AC﹣CP＝BC﹣CD，
∴AP＝DB，
∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∠ADE＝90°，
∴AD＝DE，
在△PAD和△BDE中，
，
∴△PAD≌△BDE（SAS），
∴∠APD＝∠DBE＝135°，
∵△ABC是等腰三角形，AC＝BC，∠C＝α＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠DBE﹣ABC＝135°﹣45°＝90°；
（2）在CA上截取CH＝CD，连接DH，过点C作CQ⊥DH于点Q，过点E作EK∥BC∠BG于点K，过点A作AM∥BC∠BG的延长线于点M，如图2所示：
∵BG∥AC，AC＝BC，
∴四边形ACBM是菱形，
∴AM＝BM＝ACBC＝AC＝8，
∵CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝5，
∵∠ACB＝α＝120°，CH＝CD，CQ⊥DH
∴∠CHD＝∠CDH＝30°，DH＝2DQ，
∴∠AHD＝180°﹣∠CHD＝150°
在Rt△DCQ中，cos∠CHD，
∴DQ＝CD•cos∠CHD＝CD•cos30°CD，
∴DH＝2DQCD，
同①证明：△HAD≌BDE，
∴∠AHD＝∠DBE＝150°，DH＝BECD，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠DBE＝30°，
∵EK∥BC，
∴∠KED＝∠BDE，
∴∠KEB＝∠KED+∠BED＝∠BDE+∠BED＝30°，
∵BG∥AC，
∴∠GBD＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠GBE＝∠DBE﹣∠GBD＝150°﹣60°＝90°，
∴BECD，
在Rt△BEK中，tan∠KEB，
∴BK＝BE•tan∠KEB•tan30°＝3，
∴EK＝2BK＝6，
∵EK∥BC，
∴△EKF∽△DBF，
∴，
设KF＝6a，BF＝5a，
∴BK＝KF+BF＝11a＝3，
∴a，
∴KF＝6a，
∵AM∥BC，EK∥BC，
∴AM∥EK，
∴△AMG∽△EKG，
∴，
设MG＝4b，KG＝3b，
∴MK＝MG+KG＝7b＝5，
∴b，
∴KG＝3b，
∴FG＝KF+KG，
∴S△EFGFG•BE；
（3）过点作AM∥BC交BG于点M，过点E作EK∥BC交BG于点K，如图3所示：
设CD＝x，DI＝m，
由（2）得：四边形ACBM是菱形，BECD，∠KEB＝30°，∠GBE＝90°，
∴AM＝BM＝BC＝AC＝12，BK＝BE•tan∠KEB•tan30°＝x，
∴EK＝2BK＝2x，
在△ABC中，∠ACB＝α＝120°，AC＝BC＝12，CL⊥AB，
∴AB＝2AL，∠CAB＝∠CBA＝30°，
在Rt△ACL中，CLAC＝6，
由勾股定理得：AL，
∴AB，
∵△ADE是等腰三角形，且∠ADE＝120°，AD＝DE，DI⊥AB，
∴AE＝2AI，∠DEA＝∠DAE＝30°，
在Rt△ADI中，AD＝DE＝2DI＝2m，
由勾股定理得：AI，
∴AE＝2AI，
同（2）证明：△AMG∽△EKG，
∴，
设AM＝6n，EG＝nx，
∴AE＝AG+EG＝nx+6n＝（x+6）n，
∴n，
∴EG＝nx，
∵BG∥AC，
∴∠ABG＝∠CAB＝30°，
∴∠BGE＞∠ABG＝30°，
∴∠DGE＞30°，
∴∠DGE＞∠DEA，
∴当△DEG为等腰三角形时，有以下两种情况：
①当DG＝EG时，则∠GDE＝∠GED＝30°，
∴∠GDE＝∠GED＝∠CAB＝∠CBA＝30°，
∴△DEG∽△ABC，
∴，
∴，
∴DEEG，
∴，
解得：x＝3，
∴CD＝x＝3；
②当EG＝DE时，则，
解得：x，
∴CD＝x．
综上所述：当△DEG为等腰三角形时，CD的长3或．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解决问题的难点．
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2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷
数学·参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
A
B
C
B
A
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
9．
10．1
11．90
12．
13．﹣1
14．
15．4
16．
三、解答题（本大题共9小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）
解：（1）
＝1；···············································································3分
（2）x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．······································································6分
18．（6分）
解：（1）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果．··················································3分
（2）由表格可知，小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，
∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为．······················6分
19．（6分）
解：（1）（1﹣10%﹣7%﹣27%﹣40%）×360°＝57.6°，
故答案为：57.6；······································································2分
（2），
∴符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；····································4分
（3）答案不唯一，合理即可，如：
建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．
····················································································6分
20．（8分）
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
∴，
∵∠AOB＝∠A1OB1，
∴A1OB1，
∴，
同理，，
∴，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∴△A1B1C1即为所求；··································································4分
（2）如图2，取格点D，连接AD、BD即可；
由网格可知：，，，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，
∴，
∴点D即为所求．······································································8分
21．（8分）
解：（1）设这个降价率为x，
依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：这个降价率为10%．································································3分
（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克，
依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000，
整理，得：y2﹣15y+50＝0，
解得：y1＝10，y2＝5．··································································6分
∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5．
答：每千克应涨价5元．································································8分
22．（8分）
解：在Rt△CDE中，tan∠DCE，
∴0.9，
∴CE＝2，
延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），
∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，
∴△AHG∽△MNG，
∴，
即，
∴AH＝19.5（米），
∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．
答：古塔的高度AB为21.3米．························································8分
23．（8分）
解：（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：
连接OE，OC，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；································································4分
（2）在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OE2+EF2＝OF2，
∵OE＝OB，
∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，
即：OE2+152＝（OE+9）2，
解得：OE＝8，
∴⊙O的半径为8；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴，
∴AEBE，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+（BE）2＝162，
解得：BE，
∴AE，
∵BC∥EF，
∴，即，
∴AD．········································································8分
24．（8分）
（1）证明：∵AD为BC边的高，
∴∠ADC＝90°，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC；····································································2分
（2）证明：∵直径AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠AFD+∠DAE＝90°，
∴∠AFD＝∠E．
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BFE＝∠E，
∴BE＝BF；··········································································5分
（3）解：∵∠ABE＝90°，AB＝10，BE＝5，
∴tan∠BAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴tan∠BAE＝tan∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴tan∠DAE，
设DF＝x，则AD＝2x，
由（2）知：BE＝BF＝5，
∴BD＝BF+DF＝x+5，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（2x）2+（x+5）2＝102，
∴x＝﹣5（不合题意，舍去）或x＝3，
∴DF＝3．············································································8分
25．（10分）
（1）证明：在CA上截取CP＝CD，连接PD，如图1所示：
∵∠ADE＝∠C＝α＝90°时，
∴△CDP是等腰直角三角形，∠PAD+∠ADC＝90°，∠BDE+∠ADC＝90°，
∴∠CPD＝45°，∠PAD＝∠BDE，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD＝135°，
∵AC＝BC，
∴AC﹣CP＝BC﹣CD，
∴AP＝DB，
∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∠ADE＝90°，
∴AD＝DE，
在△PAD和△BDE中，
，
∴△PAD≌△BDE（SAS），
∴∠APD＝∠DBE＝135°，
∵△ABC是等腰三角形，AC＝BC，∠C＝α＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠DBE﹣ABC＝135°﹣45°＝90°；············································3分
（2）在CA上截取CH＝CD，连接DH，过点C作CQ⊥DH于点Q，过点E作EK∥BC∠BG于点K，过点A作AM∥BC∠BG的延长线于点M，如图2所示：
∵BG∥AC，AC＝BC，
∴四边形ACBM是菱形，
∴AM＝BM＝ACBC＝AC＝8，
∵CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝5，
∵∠ACB＝α＝120°，CH＝CD，CQ⊥DH
∴∠CHD＝∠CDH＝30°，DH＝2DQ，
∴∠AHD＝180°﹣∠CHD＝150°
在Rt△DCQ中，cos∠CHD，
∴DQ＝CD•cos∠CHD＝CD•cos30°CD，
∴DH＝2DQCD，
同①证明：△HAD≌BDE，
∴∠AHD＝∠DBE＝150°，DH＝BECD，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠DBE＝30°，
∵EK∥BC，
∴∠KED＝∠BDE，
∴∠KEB＝∠KED+∠BED＝∠BDE+∠BED＝30°，
∵BG∥AC，
∴∠GBD＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠GBE＝∠DBE﹣∠GBD＝150°﹣60°＝90°，
∴BECD，
在Rt△BEK中，tan∠KEB，
∴BK＝BE•tan∠KEB•tan30°＝3，
∴EK＝2BK＝6，
∵EK∥BC，
∴△EKF∽△DBF，
∴，
设KF＝6a，BF＝5a，
∴BK＝KF+BF＝11a＝3，
∴a，
∴KF＝6a，
∵AM∥BC，EK∥BC，
∴AM∥EK，
∴△AMG∽△EKG，
∴，
设MG＝4b，KG＝3b，
∴MK＝MG+KG＝7b＝5，
∴b，
∴KG＝3b，
∴FG＝KF+KG，
∴S△EFGFG•BE；··············································6分
（3）过点作AM∥BC交BG于点M，过点E作EK∥BC交BG于点K，如图3所示：
设CD＝x，DI＝m，
由（2）得：四边形ACBM是菱形，BECD，∠KEB＝30°，∠GBE＝90°，
∴AM＝BM＝BC＝AC＝12，BK＝BE•tan∠KEB•tan30°＝x，
∴EK＝2BK＝2x，
在△ABC中，∠ACB＝α＝120°，AC＝BC＝12，CL⊥AB，
∴AB＝2AL，∠CAB＝∠CBA＝30°，
在Rt△ACL中，CLAC＝6，
由勾股定理得：AL，
∴AB，
∵△ADE是等腰三角形，且∠ADE＝120°，AD＝DE，DI⊥AB，
∴AE＝2AI，∠DEA＝∠DAE＝30°，
在Rt△ADI中，AD＝DE＝2DI＝2m，
由勾股定理得：AI，
∴AE＝2AI，
同（2）证明：△AMG∽△EKG，
∴，
设AM＝6n，EG＝nx，
∴AE＝AG+EG＝nx+6n＝（x+6）n，
∴n，
∴EG＝nx，
∵BG∥AC，
∴∠ABG＝∠CAB＝30°，
∴∠BGE＞∠ABG＝30°，
∴∠DGE＞30°，
∴∠DGE＞∠DEA，
∴当△DEG为等腰三角形时，有以下两种情况：
①当DG＝EG时，则∠GDE＝∠GED＝30°，
∴∠GDE＝∠GED＝∠CAB＝∠CBA＝30°，
∴△DEG∽△ABC，
∴，
∴，
∴DEEG，
∴，
解得：x＝3，
∴CD＝x＝3；········································································8分
②当EG＝DE时，则，
解得：x，
∴CD＝x．
综上所述：当△DEG为等腰三角形时，CD的长3或．·····························10分
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2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
答题卡
贴条形码区
考生禁填： 缺考标记
违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔填涂
选择题填涂样例：
正确填涂
错误填涂 [×] [√] [／]
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
注意事项
姓 名：__________________________
准考证号：
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题2分，共16分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷二、填空题（每小题2分，共16分）
9． _________________ 10．___________________
11． ________________ 12．___________________
13． ________________ 14．___________________
15． ________________ 16．___________________
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
三、（本大题共9个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）
18. （6分）
19. （6分）
（1） ；
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （8分）
21. （8分）
22. （8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
23.（8分）
24.（8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
25.（10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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答题卡
姓
名：
准考证号：
贴条形码区
注意事项
-。--------------。----一----------。------
1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填：
缺考标记
▣
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2.选择题必须用2B铅笔填涂：；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔
以上标志由监考人员用2B铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。
3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂■
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
错误填涂1×1111/]
第I卷（请用2B铅笔填涂）
一、选择题（每小题2分，共16分）
1AIIBICIIDI
2.1AJIBIICI[DI
3.AI[BI[CIID]
4.1A]IBIICIIDI
5.1A]IBIICIIDI
6.[AIIBIICIIDI
7IAIIBIICIIDI
8.1AIIBIICIIDI
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题2分，共16分）
9
10
11.
12
13
14
5
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
三、（本大题共9个小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(6分)
18.(6分)
19.(6分)
(1)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20.(8分)
y
7
6
5
-2-112345678910,11x
21.(8分)
22.(8分)
M
D
B
C
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
23.(8分)
E
C
D
0
B
24.(8分)
01
B
E
D
c
E
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
25.(10分)
A
G
G
D
B
图1
图2
备用图
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏科版九上全册、九下图形的相似和锐角三角函数。
第一部分（选择题 共16分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．sin45°的倒数等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
3．某校连续三年开展植树活动．第一年植树500棵，第三年植树720棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．500×（1+x）＝720
B．500（1+x）2＝720
C．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
D．500（1+x）（1+2x）＝720
4．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0，（b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝5，x2＝13 D．x1＝2，x2＝6
5．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（ ）
A．2.5m B．3m C．4.5m D．5m
6．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
8．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
9．如果3x＝2y，那么 ．
10．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝8，则c的值为 ．
11．安全教育是素质教育的重要内容之一，为增强学生的安全意识，提升学生自我保护能力，某校对学生开展了“中小学生安全知识100条”的讲座和实践活 动，为检验效果，对学生进行了安全知识测试，并随机抽取了8位学生的成绩如下（单位：分）：98，85，90，88，92，95，82，90，则这一组数据的众数是 ．
12．如图是某地铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝1：2.4（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．
13．已知关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的中点，CD、BE相交于点O，若S△ADE＝6，则S△EOC＝ ．
16．在△ABC中，BC＝4，，tan∠ACB＝3，P为AB边上一动点，PD⊥BC交于点D，PE⊥AC交于点E，连接DE，求DE的最小值 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：cos45°•tan45°tan30°﹣2cos60°•sin45°；
（2）解下列方程：x2﹣4x+3＝0．
18．（6分）某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
19．（6分）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查，如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）在扇形统计图中，最喜欢的劳动课程为“木工”的圆心角度数是 °；
（2）求本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比？
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
20．（8分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为（1，3）、（4，1）、（5，3）．
（1）请以原点O为位似中心，在第一象限内作出△ABC的位似图形△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1相似比为1：2；
（2）在网格中找出点D，使其满足以下两个条件，①∠ABD＝90°，②．
21．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
22．（8分）某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡CD，坡角∠DCE＝42°，斜坡高DE＝1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一个平台．小华想利用所学知识测量古塔的高度AB，她在平台的点G处水平放置一平面镜，并沿着DG方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离MN＝1.5米，GN＝2米，BC＝16米，DG＝8米，已知AB⊥BC，MN⊥DQ，请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度AB．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长．
24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD为BC边的高，AE为⊙O的直径交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）当直径AE平分∠BAD时，求证：BE＝BF；
（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BE＝5，求DF的长．
25．（10分）已知△ABC是等腰三角形，AC＝BC，点D是边CB上一点，以AD为腰向右侧作等腰三角形ADE，且DA＝DE，∠ADE＝∠C＝α（90°≤α＜180°），过点B作AC的平行线分别交DE，AE于点F，G，连接BE．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝90°时，求证：∠ABE＝90°；
【迁移应用】
（2）如图2，当α＝120°时，若AC＝8，CD＝3，求△EFG的面积；
【拓展延伸】
（3）当α＝120°时，连接DG，若AC＝12，当△DEG为等腰三角形时，求CD的长．
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