专题09 数列中的新文化、新定义问题（压轴题2大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

专题09 数列中的新文化、新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、新文化问题 1 类型二、新定义问题 7 压轴专练 14 类型一、新文化问题 解决数列与数学文化相交汇问题的关键 1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 【答案】C 【分析】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可求解. 【详解】由数列前10项的规律可知： 当为偶数时，；当为奇数时， ， 所以， 故选：C 2．（25-26高二上·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案. 【详解】在数列中，，， 因此数列是以3为周期的周期数列，而，所以， 故选：D 3．（24-25高二下·天津滨海新·月考）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第16天织布量为13尺（市制长度单位），则1个月（按31天计）织布总量为（   ） A．13 B．26 C．208 D．403 【答案】D 【分析】根据已知条件判断出该织布量构成等差数列，然后利用等差数列的性质来计算31天的织布总量. 【详解】因为从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以每天的织布量构成一个等差数列. 在等差数列中，对于31项的等差数列，，所以. 已知第16天织布量尺. 根据等差数列求和公式，则天织布总量. 将代入可得：（尺） 个月（按31天计）织布总量为403尺. 故选：D. 4．（24-25高二下·广东江门·月考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分类，如图中第一行1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，下列数中既是三角形数，又是正方形数的是（    ） A．100 B．289 C．1225 D．1378 【答案】C 【分析】由题意，求出数列的通项公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，三角形数可看作，，，，， 则第个三角形数为， 正方形数可看作，，，，则第个正方形数为； 对于A，令，得，令，其解不是正整数，故A错误； 对于B，令，得，令，其解不是正整数，故B错误； 对于C，，得，令，解得，故C正确； 对于D，，其解不是正整数，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高二下·陕西·期中）杭州的三潭印月是西湖十景之一､被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前项和为，则的边长（    ） A．62 B．61 C．31 D．30 【答案】A 【分析】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】根据题意，取每边的中点构成， 则的各边均为对应的中位线，长度减半，由此， 依次类推可得， 所以是首项为，公比的等比数列， 故其前项和，解得，即的边长. 故选：A. 6．（24-25高二上·河南·月考）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【分析】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．23 B． C． D．33 【答案】B 【分析】先求出，得，则，利用基本不等式求解，要注意等号成立时条件． 【详解】由题意，可知所有正整数为3，8，13，18，… 即数列为5的非负整数倍加3， 故， 数列是以3为首项，5为公差的等差数列， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 当时， 所以当时，取得最小值且最小值为. 故选：B. 8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.已知等差数列的第5项为5，前10项和为55，等比数列的第3项为4，第6项为32.若数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列和等比数列的概念求解出，，然后利用错位相减法求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为，由第5项为5，前10项和为55， 得，解得，所以. 设等比数列的公比为，由第3项为4，第6项为32，得， 所以，所以， ， 则， 两式相减得 所以， 故， 则 因为，所以， 故选：B. 类型二、新定义问题 一、新定义问题的方法和技巧 1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 二、与数列有关的新定义问题的策略 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 1．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的“匀称值”得，两式相减即可求解. 【详解】， ， 两式相减得，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西上饶·期中）若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对奇数列的定义可得，化简可证明是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得通项公式. 【详解】因为为“对奇数列”，则，即， 且，可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由直线过定点求出的值，再根据等和数列性质求解即可. 【详解】由直线变形得： ，当时， 所以直线过定点，即， 由数列为“等和”数列且（为常数）， 所以， 所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2， 所以 ， 故选：D. 4．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据可分数列的定义即可验证结论. 【详解】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组， 能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项， 平均分为2个组后不可能构成等比数列，所以数列是不可分数列，故②错误； 对于③，由于从数列中删去两项后， ，项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列， 所以数列是可分数列，故③正确. 故选：C. 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）设， 则， 则， 因为，所以． （3）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 6．（24-25高二下·北京石景山·期末）设为无穷数列，如果对于任意，都有，则称数列具有性质P. (1)判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明） ①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…； (2)已知数列具有性质P，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式. 【答案】(1)数列具有性质；数列不具有性质 (2)或 【分析】（1）性质即，通过代入验证即可判断； （2）通过转化得到数列：，，，⋯，是等差数列且公差，数列：，，，⋯，，是等差数列且公差，进而分类讨论的正负情况进而求解的通项公式； 【详解】（1）由题意知，数列通项公式为，满足，所以数列具有性质； 数列中，代入，，所以不满足， 所以数列不具有性质. （2）由数列具有性质，得， 所以，即， 所以数列：，，，，，是等差数列． 又因为，，所以数列的公差， 同理，得数列：，，，⋯，，是等差数列，公差． ①若且，则数列的最小项是，数列的最小项是， 所以数列的最小项为1，这与矛盾； ②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾； ③若且，则为递减数列，为递增数列． 由，得3为数列中的项， 所以只能是，且； 同理，可得0为数列中的项， 所以只能，． 此时，的通项公式为． ④若，，类似③的讨论可得，． 此时，的通项公式为． 综上，的通项公式为或 7．（24-25高二上·安徽宣城·期末）设数列的前n项和为，若，则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，前4项依次为1，，x，，求x的取值范围; (2)若数列的前n项和，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 【答案】(1) (2)数列 为“紧密”数列；理由见解析 (3) . 【分析】（1）由紧密数列定义，构造不等式求解即可； （2）由，的关系求得通项，再由紧密数列定义即可说明； （3）通过和，结合紧密数列的定义讨论即可； 【详解】（1）若数列为“紧密”数列， 则，且， 解得：，即x的取值范围为 （2）数列 为“紧密”数列；理由如下： 数列 的前项和 ， 当 时， ； 当 时， ， 又 ，即 满足 ， 因此 ， 所以对任意 ， ， 所以 ， 因此数列 为“紧密”数列； （3）因为数列 是公比为 q 的等比数列，前 n 项和为 ， 当 时，有 ， ， 所以 ， ，满足题意； 当 时， ， ， 因为 为“紧密”数列， 所以 ， 即 或 ， 当 时， ， ， 所以 ，满足 为“紧密”数列； 当 时， ，不满足 为“紧密”数列； 综上，实数 q 的取值范围是 . 【点睛】难点点睛：充分理解紧密数列的概念，构造不等式. 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）12世纪以前，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累进制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数，章节的序号，正文前的页码，老式表盘等．罗马数字用大写的拉丁文字母表示数目： 如LVIII，CCCCLXIIII．依据此记数方法，MMXXXXVIIII（    ） A．2040 B．2046 C．2049 D．2059 【答案】C 【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可. 【详解】根据题意可得MMXXXXVIIII等于． 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（    ） A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱 【答案】B 【分析】设大夫所出的钱数为，公差为，依题列出方程组，求出，即得所求. 【详解】不妨设大夫所出的钱数为，公差为， 依题可得：， 即，解得， 因此，即簪袅出的钱数比大夫多8钱． 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【分析】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得. 【详解】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 4．在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（    ） A．1275 B．1596 C．1597 D．1598 【答案】A 【分析】根据条件分析得出该数列逐项之差成等差数列，利用累加法及等差数列求和公式计算即可. 【详解】设该数列为，则由题意可知：， 即从第二项开始后一项与前一项之差构成等差数列，所以， 利用累加法可得， 所以. 故选：A 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）若，则称表达式为n阶有限连分数，通常记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设有限连分数定义求对应值即可. 【详解】由题设. 故选：B 6．如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（   ）    A．2两4铢 B．2两14铢 C．3两2铢 D．3两12铢 【答案】B 【分析】根据等差数列、等比数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为， 由题意知，，，得， 则，，，铢两14铢． 故选：B 7．（24-25高二下·上海奉贤·月考）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】根据“线性数列”的定义进行判断 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故①正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故②正确； 故选：A 8．对于数列，若存在实数，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有界的概念，求出每个选项的前项和为，再判断是否存在实数，使恒成立即可. 【详解】对于A，，此时为等差数列，则，无界，故A错误； 对于B，，此时为等比数列，则，无界，故B错误； 对于C，，则， 所以恒成立，即有界，故C正确； 对于D，，则， 则， 故当时，明显无界，故D错误； 故选：C. 9．（24-25高二下·上海普陀·期末）定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 【答案】(1)说明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的性质，结合新定义的条件，即可判断； （2）首先计算，再结合二次函数的最值，即可说明； （3）首先判断数列的单调性，再求数列的最值，即可求解的取值范围. 【详解】（1）数列，当时，，所以不存在使，所以数列不是数列； （2）由，得 所以数列满足. 又，当或5时，取得最大值，即. 综上，数列是数列. （3）因为， 所以当即时，，此时数列单调递增 当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是， 所以，的取值范围是 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. (1)若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； (2)若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1，4，9，16；，； (2)（i）不是，证明见解析；（ii） 【分析】（1）由二阶等差数列的定义，计算可得数列的前4项，由数列恒等式和等差数列的求和公式，可得； （2）（i）由数列的递推式推得，由等比数列的通项公式求得，，，由二阶等差数列的定义，可得结论；（ii）由等比数列的求和公式可得，由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】（1）若，，， 则，即， 由，可得， 则，可得，，解得， 由， 可得， 上式对也成立，即有，； （2）（i）若，且满足，可得， 即，即有， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列，即有，即， 可得，，不为非零常数，故不为二阶等差数列； （ii）数列的前n项和， 不等式，即，即为对恒成立． 设，， 当时，，当时，可得，即有， 可得数列中最小项为， 则，即有，则实数的取值范围是 11．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，探究与的关系，并求数列的通项公式； (3)定义：若数列满足①是单调数列；②存在，使得，则称数列收敛．令，记的前n项和为，证明：数列收敛． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算即可. （2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项公式即可. （3）由（2）可得，利用，可得是递增数列，利用裂项相消法求得，考查数列的单调性，推得即得证. 【详解】（1）依题意，为正三角形，且，所以， 而点在曲线上，即，解得， 为正三角形，且， 点在曲线上， ，整理得，解得， 所以； （2）因为是正三角形，所以点， 于是点， 因为点在曲线上， 则， 即， 当时，， 两式相减得：． 整理得， 则， 而满足上式， 因此， 即数列是首项为，公差的等差数列， 所以， 所以数列的通项公式是. （3）， 因为，所以是递增数列， ， 所以， 因为， 所以， 则任取，均有，故数列收敛. 【点睛】关键点点睛：证明数列收敛，关键在于理解定义，从而逐一证明即可，常用作差法证明数列的单调性，利用放缩法证明有界性. 12．（24-25高二上·湖南长沙·期末）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律. (1)若，，，求，，，； (2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0.试找到数列，使得； (3)若，，证明：当时，. 【答案】(1)，，， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义代入即可求解； （2）尝试从一般到特殊，先找到时的，再推广到一般即可； （3）即为数列的前项和的前项和，从这个角度出发理解卷积的定义即可. 【详解】（1），，，. （2） 对一般的， （3）方法一：由定义知，，，…，，设为数列的前项和，因此 ， 的通项即为， 故当时，. 方法二：记的前项和为，由卷积运算的交换律为， 故①， 因此②， ②①得，故当时，. 【点睛】关键点点睛：将卷积看成数列的前项和问题，问题较容易理解. 13．（24-25高二上·浙江宁波·期末）若数列满足：（，且），则称数列为“差增数列”；若对于差增数列，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”. (1)已知数列是差增数列，若，试写出项数为5的差增数列； (2)已知等差数列是公差为d的正项数列，其前n项和为，等比数列是公比为的非常数数列，且； （ⅰ）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由； （ⅱ）若，且，，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”的差增数列？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，，， (2)（ⅰ）数列为“差增数列”，理由见解析；（ⅱ）存在，4. 【分析】（1）由“差增数列”的定义以及质数概念即可求得结果； （2）（ⅰ）由等差数列通项公式以及前n项和公式得出的表达式，再由“差增数列”的定义即可得出结论； （ⅱ）依题意可得，，根据“下限数列”和“差增数列”的定义对参数进行分类讨论，即可得出结果. 【详解】（1）根据“差增数列”的定义可得，，，，； （2）（ⅰ）因为，则首项，公差，所以，， 因为 ， 即对任意且恒成立， 故数列为“差增数列”. （ⅱ）因为，则，且， 所以，所以， 假设存在以数列为“下限数列”的差增数列， 则，而，，所以q的可能取值为2、4， ①若，则，若存在，则其下限数列为，即恒成立， 事实上，当时，，故时不符合； ②若，则，所以 ，， 而，所以对任意恒成立， 所以数列是差增数列，令， 则， 当时，，即，当时，， 所以，即，所以， 所以符合，所以数列的下限数列为； 综上所述，存在以数列为“下限数列”的差增数列，此时q的值为4. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于由“差增数列”的定义以及“下限数列”的定义，结合等差等比数列性质综合研究即可求得结果. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列中的新文化、新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、新文化问题 1 类型二、新定义问题 3 压轴专练 5 类型一、新文化问题 解决数列与数学文化相交汇问题的关键 1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 2．（25-26高二上·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高二下·天津滨海新·月考）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第16天织布量为13尺（市制长度单位），则1个月（按31天计）织布总量为（   ） A．13 B．26 C．208 D．403 4．（24-25高二下·广东江门·月考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分类，如图中第一行1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，下列数中既是三角形数，又是正方形数的是（    ） A．100 B．289 C．1225 D．1378 5．（24-25高二下·陕西·期中）杭州的三潭印月是西湖十景之一､被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前项和为，则的边长（    ） A．62 B．61 C．31 D．30 6．（24-25高二上·河南·月考）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．23 B． C． D．33 8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.已知等差数列的第5项为5，前10项和为55，等比数列的第3项为4，第6项为32.若数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 类型二、新定义问题 一、新定义问题的方法和技巧 1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 二、与数列有关的新定义问题的策略 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 1．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西上饶·期中）若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 6．（24-25高二下·北京石景山·期末）设为无穷数列，如果对于任意，都有，则称数列具有性质P. (1)判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明） ①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…； (2)已知数列具有性质P，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式. 7．（24-25高二上·安徽宣城·期末）设数列的前n项和为，若，则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，前4项依次为1，，x，，求x的取值范围; (2)若数列的前n项和，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）12世纪以前，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累进制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数，章节的序号，正文前的页码，老式表盘等．罗马数字用大写的拉丁文字母表示数目： 如LVIII，CCCCLXIIII．依据此记数方法，MMXXXXVIIII（    ） A．2040 B．2046 C．2049 D．2059 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（    ） A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 4．在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（    ） A．1275 B．1596 C．1597 D．1598 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）若，则称表达式为n阶有限连分数，通常记为，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（   ）    A．2两4铢 B．2两14铢 C．3两2铢 D．3两12铢 7．（24-25高二下·上海奉贤·月考）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 8．对于数列，若存在实数，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·上海普陀·期末）定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. (1)若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； (2)若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 11．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，探究与的关系，并求数列的通项公式； (3)定义：若数列满足①是单调数列；②存在，使得，则称数列收敛．令，记的前n项和为，证明：数列收敛． 12．（24-25高二上·湖南长沙·期末）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律. (1)若，，，求，，，； (2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0.试找到数列，使得； (3)若，，证明：当时，. 13．（24-25高二上·浙江宁波·期末）若数列满足：（，且），则称数列为“差增数列”；若对于差增数列，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”. (1)已知数列是差增数列，若，试写出项数为5的差增数列； (2)已知等差数列是公差为d的正项数列，其前n项和为，等比数列是公比为的非常数数列，且； （ⅰ）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由； （ⅱ）若，且，，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”的差增数列？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $