专题08 杨辉三角、裴波那契数列、数列不等式、数学归纳法、结构不良问题（压轴题5大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

专题08 杨辉三角、裴波那契数列、数列不等式、数学归纳法、结构不良问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、杨辉三角中的数列 1 类型二、裴波那契数列 4 类型三、数列不等式 6 类型四、数学归纳法 8 类型五、数列中的结构不良问题 10 压轴专练 12 类型一、集合与元素的关系杨辉三角中的数列 1、第二层是自然数列 2、第三层是三角数列 这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形． 3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列 1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西桂林·期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 4．（23-24高二下·广东佛山·月考）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层开始，第层从左到右的数字之和记为，如，，…，则的前9项和 . 5．（24-25高二上·上海·课后作业）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为 ． 6．（23-24高二下·福建·期中）我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如若，则 . 类型二、裴波那契数列 1、斐波那契数列概念 把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。 2、斐波那契数列的递推公式 3、斐波那契数列的通项公式 4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 1．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建·期中）（多选题）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 6．（25-26高二上·上海·月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则 （用含的式子表示）. 类型三、数列不等式 一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 3．（25-26高二上·广西贺州·月考）已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 4．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式． (2)求证： 5．已知数列满足，，，成等差数列. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：. 6．已知首项为1的数列的前项和为，且． (1)求及数列的通项公式； (2)数列中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如果不存在，请说明理由. (3)若数列满足，求证：． 类型四、数学归纳法 1、数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 2、运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 1．（24-25高二下·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 2．已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 3．已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 4．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 类型五、数列中的结构不良问题 1．（24-25高二下·北京·月考）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；② ：③ （）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2．（23-24高二下·四川成都·月考）在①，②其前项和为，③其前项和为，三个条件中任选一个，补充到横线处，并解答.已知数列为等差数列， (1)求数列的通项公式. (2)若，证明数列的前项和满足. 3．（24-25高二下·北京石景山·期中）已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”） (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列的前项和为，__________.请在①；②成等比数列，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求的取值范围. 5．（23-24高二下·广东江门·期末）已知数列满足，，数列是正项等比数列，且，． (1)求，的通项公式； (2)从下面①②两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和． ①；②． 6．（23-24高二下·四川南充·月考）设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件： ①，；    ②； ③． 请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和 ． 7．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)若__________，求数列的前项和． 从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上而的横线上并解答问题，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．199 2．（2024高二·全国·专题练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（   ） A．1348 B．675 C．1349 D．1350 3．（24-25高二上·吉林·期末）（多选题）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为．记一个新的数列，其中的值为除以4得到的余数，则 ． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)数列的首项，其前n项和为，且 ，若数列满足，求的前n项和． 在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题． ①（，）； ②（）． 6．已知数列的首项. (1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①；②是等差数列；③； (2)利用（1）中的条件，设，，求数列的前项和. 7．已知正项数列满足. (1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式； 条件①：当时，； 条件②：数列与均为等差数列； (2)在（1）的基础上，设为数列的前n项和，证明：. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 8．已知数列的前项和为，且______请在是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求的通项公式 (2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和，证明： 9．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）设为数列的前n项和，且. (1)求； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 10．（23-24高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 11．（24-25高二下·北京房山·月考）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 12．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 13．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 14．记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 15．已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 16．（24-25高二下·广东深圳·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… (1)设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式； (2)记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和． （i）求； （ii）若成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 杨辉三角、裴波那契数列、数列不等式、数学归纳法、结构不良问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、杨辉三角中的数列 1 类型二、裴波那契数列 7 类型三、数列不等式 11 类型四、数学归纳法 17 类型五、数列中的结构不良问题 22 压轴专练 31 类型一、集合与元素的关系杨辉三角中的数列 1、第二层是自然数列 2、第三层是三角数列 这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形． 3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列 1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，再借助累加法结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】由图可知的递推公式为， 所以， 因为，所以， 故. 故选：B. 2．（24-25高二下·广西桂林·期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的前项，归纳出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和，即可求解. 【详解】根据题意可知，，，，， 以此类推，， 所以其前项和， 所以. 故选：A. 3．（多选题）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【分析】将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定数阵第行有个数，从左向右分别为.对于A，确定分别在该数阵第行的第2个和第4个即可判断；对于B，确定位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第项为第行第1个即可；对于D，根据杨辉三角得到，利用裂项相消求和法求和即可. 【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 4．（23-24高二下·广东佛山·月考）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层开始，第层从左到右的数字之和记为，如，，…，则的前9项和 . 【答案】1022 【分析】由题意，总结得出的表达式，证明其为等比数列，利用等比数列求和公式计算即得. 【详解】由题意得，因，可得数列是等比数列， 则. 故答案为：1022. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为 ． 【答案】83 【分析】根据题意利用累加法结合等差数列运算求解. 【详解】设二阶等差数列为，令， 则， 由题意可得：数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：83. 6．（23-24高二下·福建·期中）我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如若，则 . 【答案】 【分析】可以发现为斐波那契数列，再由，推导规律得出结果. 【详解】为斐波那契数列：，从中发现：，，， 以此类推， 则. 故答案为：. 类型二、裴波那契数列 1、斐波那契数列概念 把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。 2、斐波那契数列的递推公式 3、斐波那契数列的通项公式 4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 1．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，，，……，，相加得到答案. 【详解】由题意得， 故，，，……，， 上面的式子相加得， 又，故. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由斐波那契数列的性质逐项推导可得. 【详解】由题意可得， 所以， . 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 4．（24-25高二上·福建·期中）（多选题）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推式判断A、B、D；根据B的结论，结合累加法判断C； 【详解】由题设，，，A错； 由，则，故，B对； 由，结合B的结论有，，，， 所以，C对； ，D对； 故选：BCD 5．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据斐波那契数列递推公式的性质化简计算判断各个选项. 【详解】“斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 所以，A选项错误； 依题意，所以， 故对恒成立，B选项正确； ，，，…，， 所以，C选项正确； ，，，…， ， 所以，D选项正确． 故选：BCD. 6．（25-26高二上·上海·月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则 （用含的式子表示）. 【答案】 【分析】根据数列每一项都等于它前两项的和规律，写出前2024项，各式左、右两边分别相加，即可得到之间的关系，即可得出. 【详解】由已知得，，…，， 以上各式左、右两边分别相加，化简得， 即， 又，， 所以. 故答案为：m+1 类型三、数列不等式 一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【详解】（1）由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； （2）对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 3．（25-26高二上·广西贺州·月考）已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用递推式逐项求解即可； （2）结合题意，将递推式变形为，然后利用等差数列的定义及通项公式求解即可； （3）先利用等差数列求和公式求得，然后参变分离得，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，（且）， 所以，又，所以，，又，所以，，又，所以； （2）因为，所以（且）， 即， 又因为，所以， 所以是以1为首项、1为公差的等差数列， 所以； （3）由（2）得. 所以即为， 又因为，所以该不等式等价于， 又因为（当且仅当时，）. 所以 4．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式． (2)求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项公式求出首项和公差即可得解； （2）根据，利用裂项相消法求和，即可得证. 【详解】（1）等差数列中，设公差为， ， ， 所以，故； （2）， 当时，成立； 当时，， 所以成立. 5．已知数列满足，，，成等差数列. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由，，成等差数列可得：，利用两边同时除以，即可构造为，所以第一问就可以得证并计算通项； （2）关键是对通项进行放缩成等比数列公式求和并证明，所以想到和，最后就能证明不等式成立. 【详解】（1）由，，成等差数列可得：， 因为，可得，所以两边同时除以得：， 上式可化为： 所以数列表示是以为首项，3为公比的等比数列 所以，即 （2）因为 所以 又因为 所以， （当n＝1时等号成立）， 综上可知：. 6．已知首项为1的数列的前项和为，且． (1)求及数列的通项公式； (2)数列中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如果不存在，请说明理由. (3)若数列满足，求证：． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，两边同时除以，得，再利用等差数列的定义证明为等差数列，从而得到，最后利用数列通项与前项和的关系求解数列的通项公式； （2）首先假设存在成等差数列，推出矛盾，证明假设不成立，即可判断； （3）根据，得到，即可证明. 【详解】（1）由， 两边同时除以，得， 又，故是以为首项，为公差的等差数列． 所以，， 则． 当时，， 则， 当时，符合上式， 故． （2）假设存在成等差数列， 则， 即，化简得2=4，矛盾， 所以，数列中不存在连续的三项成一个等差数列. （3）因为，故， 则 而， 故． 类型四、数学归纳法 1、数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 2、运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 1．（24-25高二下·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式求，，进而猜想通项公式； （2）根据（1）中结果，利用数学归纳法分析证明. 【详解】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 2．已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用求前4项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可． 【详解】当时，，解得； ，解得，同理得，，， 猜想，以下用数学归纳法加以证明． （i）当时，，等式成立； （ii）假设当时，成立， 当时，， 即， 去分母并整理得，解得． 故（负值舍去），则时等式成立． 由（i）（ii）知对任意，成立． 3．已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项； （2）用数学归纳法证明. 【详解】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 4．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）先利用等差数列通项公式求出，再利用的关系求解即可； （2）①根据的关系结合题设可得，即可求证； ②先根据裂项相消法求出，结合①可求得，进而根据数学归纳法及分析法求证即可. 【详解】（1）由题意，，则， 当时，， 显然满足上式，则. （2）由， 当时，，即； 当时，， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）知，， 则， 即， 由①知，，则， 下面利用数学归纳法证明：. 当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则时，需证明，即证， 由，只需证明， 即证，即证， 即证， 由于，则， 所以. 综上所述，，所以. 类型五、数列中的结构不良问题 1．（24-25高二下·北京·月考）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；② ：③ （）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)选①或③，, (2) 【分析】（1）若选①，利用退位相减法可求，若选③，则可直接求出，又利用基本量法可求； （2）利用分组求和法可求. 【详解】（1）因为，，故公比即，故. 若选①，因为，故对也成立， 故，此时数列唯一确定，符合； 若选② ，则，而，此时数列不能唯一确定，舍； 若选③ ，则，故为等差数列且公差为2， 故，此时数列唯一确定，符合； 故选条件①或③，此时，数列唯一确定. （2）, 故. 2．（23-24高二下·四川成都·月考）在①，②其前项和为，③其前项和为，三个条件中任选一个，补充到横线处，并解答.已知数列为等差数列， (1)求数列的通项公式. (2)若，证明数列的前项和满足. 【答案】(1)无论选条件①，②，③，都有 (2)证明过程见解析 【分析】（1）若选条件①，有，，由此可得，进一步求出公差即可；若选条件②，由等差数列求和公式即等差数列基本量的计算列方程组求得首项、公差即可；若选条件③，分是否等于1进行讨论，结合的关系进行求解即可； （2）由裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）已知数列为等差数列， 若选①，，注意到，解得， 从而， 所以， 若选②其前项和为， 则，解得， 所以， 若选③其前项和为，， 首先， 其次时，， 当时，也满足， 故， 综上无论选条件①，②，③，都有. （2）由题意， 所以. 3．（24-25高二下·北京石景山·期中）已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”） (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)选①②，答案均为 (2) 【分析】（1）若选①，由前n项和与关系可得数列的通项公式；若选②，由前项之积与关系可得数列的通项公式； （2）与（1）结合，利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）若选①，； 当时，， 则是以为首项，公比为2的等比数列，则； 若选②，，当时，， 又满足，则时，； （2）由（1）可得. 则， . 则. 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列的前项和为，__________.请在①；②成等比数列，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求的取值范围. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）选条件①可得，利用累乘法求通项公式，选条件②利用等差数列的定义及通项公式求解； （2）根据裂项相消法求和，再由单调性求范围即可. 【详解】（1）选条件①： 由，得. 当时，， 由得， 当时，满足上式. 故. 选条件②： 由，得，即， 所以是公差的等差数列. 由题知，即，解得， 所以. （2）记. . 因为，所以，即. 因为在上单调递增，所以. 综上，的取值范围是. 5．（23-24高二下·广东江门·期末）已知数列满足，，数列是正项等比数列，且，． (1)求，的通项公式； (2)从下面①②两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和． ①；②． 【答案】(1)， (2)若选①；若选② 【分析】（1）依题意可得是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，）根据等比数列的性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的公比，进而可求得数列的通项公式； （2）若选①则利用裂项相消法求得；若选②则，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 由等比数列的性质可得， 由题意可得，解得，所以等比数列的公比为， 所以. （2）若选①， ， 所以. 若选②，， 所以， 则， 两式相减得 ， 因此； 6．（23-24高二下·四川南充·月考）设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件： ①，；    ②； ③． 请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和 ． 【答案】(1)所选条件见解析， (2) 【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解； （2）用错位相减求和. 【详解】（1）选①：由得： ， 所以， 又因为，因此数列为等比数列， 设数列的公比为，则，由， 解得或（舍去）， 所以；                                                选②：因为， 当时，，又， 所以，即，所以， 所以当时，， 两式相减得， 即， 所以数列是，公比为2的等比数列， 所以； 选③：因为， 当时，， 所以，即， 当时，， 两式相减，得， 即， 当时，满足上式． 所以； （2） 设数列的前项和， 故， 两式相减得：， 化简得，． 故数列的前项和. 7．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)若__________，求数列的前项和． 从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上而的横线上并解答问题，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）根据，作差得到，再由及等比数列的定义证明即可； （2）若选①，利用错位相减法计算可得；若选②：利用裂项相消法计算可得；若选③：，利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又，当时，解得， 当时， 所以， 即，即，即，又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. （2）若选①，， 所以， ， 所以 ， 所以； 若选②：， 当为偶数时， 当为奇数时， 所以； 若选③： ， 所以. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．199 【答案】C 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算即可得. 【详解】设该数列为，则； 由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 即，所以，，，，， 将所有上式累加可得，所以， 所以； 即该数列的第15项为. 故选：C 2．（2024高二·全国·专题练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（   ） A．1348 B．675 C．1349 D．1350 【答案】D 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，再利用数学归纳法证明猜想，从而可求得答案. 【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 显然， 猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立， 则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数， 为奇数，为偶数， 故符合猜想， 因此，， 所以数列的前2024项的和为. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 3．（24-25高二上·吉林·期末）（多选题）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对选项A，可以由递推式列出前6项，然后验证即可；对于选项B、C、D，可以灵活运用递推式验证判断． 【详解】对于A，由，，， 可得，，，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，…，故C正确； 对于D，…，D错误． 故选： 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为．记一个新的数列，其中的值为除以4得到的余数，则 ． 【答案】2698 【分析】根据题意，得到数列中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，即可求解. 【详解】由题意，斐波那契数列:每项被4除所得的余数构成数列， 可得数列的各项分别为， 即数列中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列， 所以数列在一个周期内的和为， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到斐波那契数列每项被4除所得余数的规律，从而得解. 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)数列的首项，其前n项和为，且 ，若数列满足，求的前n项和． 在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题． ①（，）； ②（）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据等比数列通项公式及等差中项可得结果； （2）若选①，根据等差数列定义求出的通项公式，再由错位相减法求和可得结果；若选②，根据与的关系求通项，再由等比数列求和公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，可得，， 设递增的等比数列数列的公比为q，得， 解得或（舍），则； 所以数列的通项公式为. （2）选①（），可得为首项为1，公差为2的等差数列， 则， ， 则， ， 两式相减可得 ，化简可得， 所以的前n项和. 选②， 当时，，又， 两式相减可得，则， 可得为首项为1，公比为的等比数列，则； 所以，可得． 所以的前n项和. 6．已知数列的首项. (1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①；②是等差数列；③； (2)利用（1）中的条件，设，，求数列的前项和. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）选①②作条件，③作为结论：由已知求得公差，进而得到通项公式，即可证得结论； 选①③作条件，②作为结论，由已知可求得，即可证得是等差数列； 选②③作条件，①作为结论，由已知可求得，代入求得，即可证得； （2）利用错位相减法可求和. 【详解】（1）选①②作条件，③作为结论； 设等差数列的公差为，所以，所以 又，所以，所以 所以. 选①③作条件，②作为结论； 因为， 两式相减可得，即 因为，所以是等差数列. 选②③作条件，①作为结论； 设等差数列的公差为，，所以， 所以，即 解得，所以 （2）由（1）知， 两式相减得： 所以 7．已知正项数列满足. (1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式； 条件①：当时，； 条件②：数列与均为等差数列； (2)在（1）的基础上，设为数列的前n项和，证明：. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）选①：借助累加法计算即可得；选②：借助等差数列的定义计算即可得； （2）结合放缩法与裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）若选条件①： 当时， ， 又， 因此数列的通项公式为； 若选条件②： 由数列为等差数列，由，可设， 则，因此， 又数列为等差数列，因此，从而， 又，所以，因此数列的通项公式为； （2）由（1）知，，因此， 则，， 当时，， 因此， 从而当时，， 综上，. 8．已知数列的前项和为，且______请在是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求的通项公式 (2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选，根据数列递推式，结合的关系可得，采用累加法即可求得答案；选，由题意可得，结合的关系可得，采用构造等比数列的方法即可求得答案；选，根据数列是公比为的等比数列，可得，利用累加法即可求得答案； （2）由题意可求得的通项公式，利用错位相减法求得的表达式，即可证明结论. 【详解】（1）若选：当时，，所以， 故，因为 所以， 则时， 累加得，故， 当时，满足上式，故. 若选，数列是公差为的等差数列，首项为， 故，则， 两式相减得，则， 则，即， 当时，满足上式，故. 若选，数列是公比为的等比数列，首项为， 故，则时， 累加得，故， 当时，满足上式，故. （2）证明：由于，所以 所以， 故， ，得 ， 即. 9．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）设为数列的前n项和，且. (1)求； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）给n赋值可求得及；利用与的关系将n换为n+1，作差可得，由等差中项的定义证得等差数列，即可利用等差数列的定义求解.. （2）将分离，构造新数列，利用的正负找到最大项，可得所求结果. 【详解】（1），，得 . ，则， 两式相减得， 即 ① ② ②①得， 即，故数列为等差数列. 因此公差为，则 （2）由（I）可得 ， 由得对任意正整数恒成立，， 令， ， 当时，，当时，， ， . 10．（23-24高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意计算出，将条件中的变为，然后化简可得是等比数列，计算可得； （2）由（1）可得，采用放缩法可得，根据数列求和公式计算即可得证. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∵数列的前项积为，满足， ∴时，，化为，变形为， 时，， 数列是首项为4，公比为2的等比数列， ∴， 时，亦满足上式，即； （2）先证明左边：即证明，， 又由，解得， 又， 所以， 再证明右边：， ∴． 11．（24-25高二下·北京房山·月考）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由递推公式计算，，，即可推测通项公式； （2）利用数学归纳法可完成证明. 【详解】（1）由题，； ；. 则推测； （2）证明：. 当时，结论显然成立； 假设成立，则， 则. 即成立时，也成立，又时，结论成立， 则结论对所有正整数均成立，则. 12．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明见解析 【分析】（1）由条件得到，即可逐个计算； （2）；由数学归纳法求证步骤求证即可； 【详解】（1）由已知条件得， 所以 ，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 下面用数学归纳法证明： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 13．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立，进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 所以对任意的正整数恒成立， 即， 设在为增函数， 所以. 故实数的取值范围为 14．记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用关系求得，注意的情况，即可证结论； （2）由题意，放缩得，再由裂项相消法即可得证. 【详解】（1）由题设且， 则，所以， 当时，，即， 综上，数列是公差为2的等差数列 （2）由题意及（1）得， 所以， 当时， 则， 又， 所以得证. 15．已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用数列前项和与的关系，再结合首项的值确定通项即可； （2）法一：直接放缩法，利用即可证出； 法二：由可得，即可证明不等式. 【详解】（1）因为为正项数列，①， 当时，得； 当时，②， ①－②得，，得． 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以． （2）解法1：因为， 所以当时， ， 当时也符合，所以原不等式成立． 解法2：因为，所以， 所以， 所以当时， ， 当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立． 16．（24-25高二下·广东深圳·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… (1)设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式； (2)记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和． （i）求； （ii）若成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（i）； （ii） 【分析】（1）利用观察归纳法找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可； （2）（i）利用二项式系数的性质得，再利用错位相减法求即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最大值即可．. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以数列的一个递推关系为， 所以当时，利用累加法可得 ， 将代入得，符合， 所以数列的通项公式为. （2）（i）利用二项式系数的性质得， 所以， 所以， ， 得， 所以， 所以， （ii）成立，等价于成立， 等价于成立，令， 所以，即，解得， 所以的最大值为， 所以，即的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $