期末押题卷 高频考点题型归纳与满分必练-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上学期期末押题卷 【浙教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知的半径为4，点P到圆心O的距离为4.8，则点P与的位置关系是（   ） A．P在圆内 B．P在圆外 C．P在圆上 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d的距离与半径r的大小确定点与圆的位置关系． 点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为4.8，的半径为4， ∴点P在圆外． 故选：B． 2．下列事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个三角形，该三角形的内角和为 B．地球绕着太阳公转 C．成语“水中捞月”所描述的事件 D．一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次 【答案】D 【分析】本题主要考查的是必然事件、随机事件和不可能事件的概念，根据事件发生概率的可能性大小来确定答案． 【详解】解：A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意 B. 地球绕着太阳公转，是必然事件，故本选项不符合题意 C. 成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故本选项不符合题意； D. 一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次，是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 3．某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解． 【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是, 故选：B． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 5．抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由可知开口向下，对称轴为直线， ∴该抛物线上的点离对称轴的距离越近，其函数值越大， ∵抛物线上有三点，，，且 ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出的大小． 先根据圆周角定理得出的大小，然后利用圆内接四边形对角互补的性质，得出的大小，从而得出的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 7．下列各组条件中，不能判定三角形与三角形相似的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断． 【详解】解：A、，，能判定，本选项不符合题意； B、，，不能判定，本选项符合题意； C、，，能判定，本选项不符合题意； D、，能判定，本选项不符合题意； 故选：B． 8．如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值． 9．已知， （为任意实数），则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】比较两数大小，即用P-Q得到一个一元二次方程，通过配方法来判断结果的正负，进而得到P和Q的大小. 【详解】P-Q= 故P＞Q. 故答案为A 【点睛】本题考查了一元二次方程配方法的应用，解题关键在于通过配方得到平方的形式，特别注意在配方时，二次项系数不为1时，先把二次项的系数化为1再配方更为简便. 10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标是．下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，通过二次函数图象的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点等信息，判断相关结论的正确性，涉及抛物线的对称性，函数值的计算以及方程的求解等知识点．已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标是，利用二次函数的性质和给定的点逐项分析即可解答． 【详解】解：、因为抛物线开口向上，与轴交于负半轴， 所以，， 因为对称轴在轴左边， 所以， 所以， 所以，故选项正确； 、因为二次函数的图象与轴交于点，顶点是， 所以抛物线与轴的另一个交点为， 因为抛物线开口向上， 所以当时，，故选项正确； 、由题意可知对称轴为直线，即， 所以， 把，代入得， 所以， 解得或， 所以若，则或，故选项正确； 、把，代入得，， 所以，因为， 所以， 因为， 所以，故选项错误； 故选：． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，则 ． 【答案】/ 【分析】由得，将式子化简变形，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查比例的计算，解题的关键是掌握比例的性质． 12．北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知圆锥侧面展开图的半径为，圆心角为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据扇形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意得，图的半径为，圆心角为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查扇形的面积的计算方法，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 14．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是 【答案】或 【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为，则， 解得：． ∴方程的解为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键． 15．如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形、直角三角形． 将绕点C顺时针旋转得，根据旋转的性质可证为等边三角形、是直角三角形，即可求出的度数． 【详解】解：如图，将绕点C顺时针旋转得， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故答案为： 16．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）银川市位于中国西北部，地处黄河上游，依傍贺兰山，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A．枸杞，B．葡萄酒，C．滩羊肉，D．八宝茶这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． (1)该班的小张同学抽取的卡片上是八宝茶的概率是______． (2)用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，该班的小张同学抽取的卡片上是D．八宝茶的概率是． 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果有12种， 班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率为． 18．（10分）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式， （1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，， 如图所示，    ∴当时，． 19．（10分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出绕点O逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)求（1）中C点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)图形见解析，； (2)C点旋转到点所经过的路径长为． 【分析】本题考查作图旋转变换、勾股定理、弧长公式． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，△即为所求． 点的坐标为； （2）解：由勾股定理得，， 点旋转到点所经过的路径长为． 20．（10分）如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 21．（10分）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理的推论得出，根据平行线的性质推得，然后根据垂径定理即可证明； （2）根据勾股定理得出，根据垂径定理得出，结合勾股定理即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，点是上的点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点为弧的中点． （2）解：∵，，， 故在中，， ∵， ∴， ∵， 故在中，， ∴． 22．（10分）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)求拱桥顶面离水面的最大高度． (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 【答案】(1)该抛物线所对应的函数表达式为 (2)拱桥顶面离水面的最大高度为4米 (3)该游船能安全通过，理由见解析 【分析】(1) 设抛物线解析式为，将，代入上式，确定a、b的值即可． (2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可． (3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全． 【详解】（1）设，将，代入上式， 得， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为． （2）， 当时，． ∴拱桥顶面离水面的最大高度为4米． （3）∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过， ∴船离点A的距离为米． 把代入中， ． ∵， ∴该游船能安全通过． 【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，求函数的最值，对称性是解题的关键． 23．（12分）如图，是的直径，弦于点，点是上一点，且．连接，，交于点． （1）若，，求的半径； （2）求证：； （3）连接并延长，交的延长线于点，过点作的切线，交的延长线于点．求证：． 【答案】（1）5；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）连接AC，BC，BD，通过证明△BCE∽△CAE，可得，可求AE的长，即可求⊙O的半径； （2）通过证明△BDE≌△NDE，可得∠DBN＝∠DNB，即可证AN＝AF，可得△ANF为等腰三角形； （3）通过证明△ODE∽△ODM，可得DO2＝OE•OM，通过证明△PCO∽△CNO，可得CO2＝PO•ON，即可得结论． 【详解】解：（1）如图，连接AC，BC，BD， ∵CD⊥AB，AB是直径 ∴ ∴∠BCD＝∠BAC，且∠BEC＝∠CEA ∴△BCE∽△CAE ∴,即, ∴AE＝9 ∴AB＝AE+BE＝10 ∴⊙O的半径为5； （2）∵， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠CDF，且DE＝DE，∠BED＝∠NED＝90° ∴△BDE≌△NDE（ASA） ∴∠DBN＝∠DNB，BE＝EN ∵∠DBA＝∠DFA，∠BND＝∠FNA ∴∠FNA＝∠DFA ∴AN＝AF； （3）如图，连接NC，CO，DO， ∵MD是切线， ∴MD⊥DO， ∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE ∴△MDO∽△DEO ∴， ∴OD2＝OE•OM ∵AE＝EN，CD⊥AO ∴∠BNC＝∠CBN， ∴∠CBP＝∠CNO， ∵， ∴∠BOC＝∠BAF ∵CO//AF ∴∠PCO＝∠PFA ∵四边形BCFA是圆内接四边形 ∴∠PBC＝∠PFA ∴∠PBC＝∠PFA＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE ∴△CNO∽△PCO ∴， ∴CO2＝PO•NO， ∴ON•OP＝OE•OM． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上学期期末押题卷 【浙教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知的半径为4，点P到圆心O的距离为4.8，则点P与的位置关系是（   ） A．P在圆内 B．P在圆外 C．P在圆上 D．无法确定 2．下列事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个三角形，该三角形的内角和为 B．地球绕着太阳公转 C．成语“水中捞月”所描述的事件 D．一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次 3．某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 7．下列各组条件中，不能判定三角形与三角形相似的是（   ） A．， B．， C．， D． 8．如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 9．已知， （为任意实数），则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标是．下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则或 D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，则 ． 12．北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 13．已知圆锥侧面展开图的半径为，圆心角为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 14．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是 15．如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是 ． 16．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）银川市位于中国西北部，地处黄河上游，依傍贺兰山，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A．枸杞，B．葡萄酒，C．滩羊肉，D．八宝茶这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． (1)该班的小张同学抽取的卡片上是八宝茶的概率是______． (2)用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 18．（10分）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 19．（10分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出绕点O逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)求（1）中C点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 20．（10分）如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 22．（10分）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)求拱桥顶面离水面的最大高度． (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 23．（12分）如图，是的直径，弦于点，点是上一点，且．连接，，交于点． （1）若，，求的半径； （2）求证：； （3）连接并延长，交的延长线于点，过点作的切线，交的延长线于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $