15.3.1　等腰三角形 课件 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质与判定，通过知识关联回顾定义及各部分名称，结合剪纸对折操作引导学生观察重合线段和角，搭建从具体操作到抽象性质的学习支架，衔接性质探究与判定推理的学习脉络。 其亮点在于以动手操作培养几何直观（数学眼光），通过作中线、角平分线等多种证法发展推理能力（数学思维），例题变式训练规范几何语言表达（数学语言）。学生在探究中主动建构知识，教师可依托结构化内容提升教学效率。

第十五章 轴对称 15.3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 在一个三角形中，如果有两条边 ，那么这个三角形叫做等腰三角形. 腰 腰 相等 C B A 顶角 底边 底角 底角 【探究1】等腰三角形的性质1 【操作尝试】 探究与应用 1.如图所示，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来。 2.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角。 B A C D A B C D 【探究1】等腰三角形的性质1 【尝试交流】 探究与应用 （1）再画顶角为直角和钝角的等腰三角形； （2）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C。 （3）剪下来后对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD。 观察后你发现了什么现象？ 【探究1】等腰三角形的性质1 【尝试交流】 探究与应用 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC= 90° 由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 【探究1】等腰三角形的性质1 【尝试交流】 探究与应用 猜想: 等腰三角形的两个底角相等. 如何证明这个结论呢？ 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. A B C 【探究1】等腰三角形的性质1 【证明验证】 探究与应用 A B C D 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 【探究1】等腰三角形的性质1 探究与应用 A B C D 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 【探究1】等腰三角形的性质1 探究与应用 A B C D 证明： 作BC的高AD， 则∠BDA=∠CDA= 90°. AB=AC ( 已知 ), AD=AD (公共边), ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法三：作底边的高线 在Rt△BAD和Rt△CAD中 【探究1】等腰三角形的性质1 【概括新知】 探究与应用 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角) 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, ∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°， ∴∠A=36°， ∠ABC=∠C=72° 【理解应用】 【变式 】 如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°， 求∠B和∠C的度数. [答案:∠77°，∠C=38.5°] 探究与应用 例2　求证 : 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 分析: 1.根据题意画出图形; 2.根据图形写出已知、求证. 探究与应用 【理解应用】 例2　求证 : 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 探究与应用 【理解应用】 已知 : 如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，且BD= AC. 求证 : △ABC是直角三角形. 证明:∵D是边AC的中点， ∴AD=CD= AC. ∵BD= AC, ∴BD=AD=CD. ∴∠DBC=∠DCB，∠DAB=∠DBA. ∵∠DBC+∠DCB+∠DAB+∠DBA=180, ∴∠DBA+∠DBC=90°，即∠ABC=90°. ∴△ABC是直角三角形. 【探究2】 等腰三角形的性质2 【尝试交流】 探究与应用 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B C D 【探究1】等腰三角形的性质2 【概括新知】 探究与应用 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. A C B D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 几何语言：如图，在△ABC中, 在等腰三角形中 由任意两个条件 可以推出第三个 条件 探究与应用 【理解应用】 例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 图② 图① 探究与应用 【理解应用】 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. 图① G ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； 探究与应用 【理解应用】 证明：(2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 【小结】 课堂小结与检测 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 【检测】 课堂小结与检测 (1).等腰三角形的顶角一定是锐角. (2).等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. (3).钝角三角形不可能是等腰三角形. (4).等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. (5).等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. (6).等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （√） （√） 一、判断正误 【 检测】 课堂小结与检测 (1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ _ _. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 二、填空 【 检测】 课堂小结与检测 (4)如图，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是　　 ;  35° 【 检测】 课堂小结与检测 (5)在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交的锐角为50°，则此三角形底角的大小为　　 .  70°或20° 15.3.1　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1、等腰三角形的性质定理是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角） 2、这个定理的逆命题是什么？ 如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。 3、猜想这个逆命题正确吗？ 【回顾思考】 【探究1】等腰三角形的判定 【情境问题】 探究与应用 思考： 在△ABC 中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC 之间有什么关系吗？ 【探究1】等腰三角形的判定 【操作尝试】 探究与应用 5.7cm 5.7cm 测量后发现AB=AC 分析：怎么样解决这个问题呢？可以用直尺测量 【探究1】等腰三角形的判定 【证明推理】 探究与应用 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,求证：AB=AC 在△ABD与△ACD， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC是等腰三角形. 【探究1】等腰三角形的判定 探究与应用 证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E. 　　 在△ABE 和△ACE 中， ∠B =∠C， ∠AEB = ∠AEC = 90°， AE = AE， ∴ △ABE≌△ACE ． ∴ AB = AC ． 你还有其他的方法来证明吗？ A B C E 【探究1】等腰三角形的判定 【概括新知】 探究与应用 ∴ AC=AB. ( ) 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， ( ) 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC中， 应用格式： B C A ( ( 这又是一个判定两条线段相等的根据之一. 【理解应用】 【练一练】 如图，若∠1=∠2=36°，∠3=∠4=72°，则图中有　 个等腰三角形.  6　 探究与应用 【理解应用】 探究与应用 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 A B C D E 1 2 已知： 如图，AD是△ ABC的外角∠CAE是平分线， AD//BC 求证：AB=AC 分析： 从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C， 从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC 可以找出∠B，∠C与∠1、∠2的关系。 【理解应用】 探究与应用 A B C D E 1 2 证明: ∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线(已知), ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵AD//BC(已知), ∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等). ∴∠B=∠C(等量代换). ∴AB=AC(等角对等边), 即△ABC是等腰三角形. 【理解应用】 【变式1】 如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，MN经过点O，且MN//BC，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长为　 　 .  30 探究与应用 【探究2】尺规作图——作等腰三角形 探究与应用 例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. a h 作法：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求. A B C M N D 例3　如图，在△ABC中,点E在边AB上，点D在边BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由. 探究与应用 【拓展提升】 分析 : 证明△AFC是等腰三角形，需证AF=CF. 提示 证明线段相等的方法 (1)两条线段在两个三角形中，证明这两个三角形全等; (2)两条线段在一个三角形中，运用等腰三角形的“等角对等边”. 【小结】 课堂小结与检测 等腰三角形的判定 等角对等边 注意是指同一个三角形中 尺规作图 作等腰三角形 【检测】 课堂小结与检测 1.如图，下列条件中不能证明△ABC是等腰三角形的是( ) A.∠B=∠C　　　　 　　 B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD C.AD⊥BC，BD=CD D.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD D 【 检测】 课堂小结与检测 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 A 【检测】 课堂小结与检测 3.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ） A．钝角三角形 　 B．直角三角形 　 C．等腰三角形 　 D．等边三角形 C 【检测】 课堂小结与检测 4.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°- 40°= 40°， ∴ ∠C = ∠A， ∴ BA=BC（等角对等边）. ∵AB=20×（12-10）=40(海里), ∴BC=40海里. 答：B处距离灯塔C40海里. 80° 40° N B A C 北 【检测】 课堂小结与检测 5．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，BD＝CD. 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵BD＝CD(已知)， ∴∠DBC＝∠DCB(等边对等角)． 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB(等式的性质)， 即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC(等角对等边)． ∴△ABC是等腰三角形． $