专题06 反比例函数（知识必备+5大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学反比例函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，以“定义-图象性质-k的几何意义-综合应用”为主线构建知识框架，清晰呈现各知识点内在联系及高频易错点分布。 讲义亮点在于分题型设计典例与变式训练，涵盖定义辨析、k值几何意义应用等，结合一次函数综合题渗透数形结合思想，实际应用题（如工程进度、压强问题）培养模型意识与应用意识。分层练习（基础-重难-综合）满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题06 反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与参数求解 掌握反比例函数的定义，能准确判断给定函数是否为反比例函数，熟练掌握其三种表达形式，并能根据定义求解参数值。 高频考点，命题常通过已知函数为反比例函数求参数。 反比例函数图象与性质的应用 理解反比例函数图象的特征，能规范完成“列表—描点—连线”的作图步骤；熟练掌握反比例函数的性质，能根据比例系数k的符号判断图象所在象限，准确运用“同一象限内”的增减性比较函数值大小。 高频易错点，命题核心是k的符号与图象象限、增减性的关联。常考题型为已知图象所在象限求k的范围、比较图象上多点的函数值大小。 反比例函数k的几何意义 深刻理解比例系数k的几何意义，能快速运用“双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积直角三角形面积的结论求解k值及相关图形面积问题 重点，命题形式灵活。基础题直接求面积或k值，中档题结合“多点在双曲线上”“平行线与坐标轴围成图形”，压轴题融入几何图形的全等、相似，需通过作垂线将面积转化为|k|的关系。 反比例函数与一次函数的综合 能解决反比例函数与一次函数的综合问题（求交点、判不等式解集、求图形面积）；通过图象绘制与性质探究，体会“数形结合”思想，提升从图象中提取数学信息、将代数问题转化为几何问题的能力。 核心考查联立方程组求交点、结合图象解不等式、求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。命题常给出交点坐标或图象特征，需先求两个函数的解析式，再解决后续问题，重点考查数形结合思想。 反比例函数的实际应用 在实际问题建模过程中，学会分析变量间的反比例关系，掌握“实际问题—数学模型—求解验证”的解题流程，提升数学抽象与应用能力。 命题贴近生活与物理场景，常见背景有工程进度与时间、“、压强与受力面积、近视眼镜度数与焦距、反比例函数与节能减排、景区承载量等。 知识点01 反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 知识点03 反比例函数的图象与性质 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 知识点04 反比例系数k的几何意义 反比例函数图象中有关图形的面积 S阴影＝|k| S四边形ABOC＝|k|　 S四边形ABCD＝S四边形PQMB 　S阴影＝S△AOB－S△AOD＝|k1|－|k2| S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC＝|k|＋|k|＝|k| S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝CD·|yB－yA| S△ABC＝S△BCO＋S△COA＝CO·|xB－xA| 知识点05 反比例函数与一次函数综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 知识点06 反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 2.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 3.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 题型一 反比例函数的定义 【典例1-1】（24-25九年级上·重庆江北·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）下列函数中表示是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知是反比例函数，求的值． 题型二 反比例函数的图象与性质应用 【典例2-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）反比例函数的图像不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【典例2-3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-4】（23-24九年级上·河南濮阳·期末）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·云南红河·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【变式2-5】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 题型三 反比例函数k的几何意义 【典例3-1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，点是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【典例3-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，已知点B，C关于原点对称，的面积为6，则比例系数k为（   ） A． B． C．9 D．12 【变式3-2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·云南丽江·期末）如图，已知函数，在第一象限的图象．过函数的图象上的任意一点A作x轴的平行线交函数的图象于点B，交y轴于点C．若的面积，则k的值为 题型四 反比例函数与一次函数综合 【典例4-1】（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，点是反比例函数的图象上一点，连接并延长交反比例函数图象于点B，M为y轴正半轴上一点，连接并延长交反比例函数图象于点N，连接，已知的面积为． (1)连接，则的面积为 ； (2)点N的坐标为 ． 【典例4-3】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3． (1)求反比例函数的解析式； (2)请连接、．并求出的面积． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 题型五 反比例函数的实际应用 【典例5-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【典例5-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【典例5-4】（23-24九年级上·广西梧州·期末）跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【变式5-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）挪威生理学家古德贝1896年发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如下表的关系： … 1 2 3 5 … … 14 7 2.8 … 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径． 【变式5-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【变式5-3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【变式5-4】（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 【变式5-5】（24-25九年级上·山西太原·期末）【问题情境】 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表． 小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 【建立模型】 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点在反比例函数的图像上，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 二、填空题 5．（25-26九年级上·全国·期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ． 6．（24-25九年级上·江西新余·期末）当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 (1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米? 8．（24-25九年级上·湖北随州·期末）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． (1)求点和点的坐标； (2)过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是 ． 4．（25-26九年级上·山东·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点D，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点B作轴于点C，若点P在反比例函数的图象上，且的面积为，求点P的坐标． 6．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为 ． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若 ； （2）若的面积为6，则 ． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)若，点A的坐标为． ①直接填空：m的值为 ，k的值为 ； ②若点P是x轴上一点，的面积为6，求点P的坐标； (2)过点作y轴的平行线l与函数的图象交于点D，与反比例函数的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线交于点P（点P、D不重合），问：当k为何值时，的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 6．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知：双曲线． (1)若直线与双曲线交于点，求和的值； (2)在（1）的条件下，直线分别交轴、轴于点、，若的顶点在双曲线上，点在平面内，且的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标； (3)若点，点在双曲线的第二象限，连接并延长交双曲线于点，连接交双曲线于点（点在点的左侧），连接交轴于点，若点的横坐标为，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与参数求解 掌握反比例函数的定义，能准确判断给定函数是否为反比例函数，熟练掌握其三种表达形式，并能根据定义求解参数值。 高频考点，命题常通过已知函数为反比例函数求参数。 反比例函数图象与性质的应用 理解反比例函数图象的特征，能规范完成“列表—描点—连线”的作图步骤；熟练掌握反比例函数的性质，能根据比例系数k的符号判断图象所在象限，准确运用“同一象限内”的增减性比较函数值大小。 高频易错点，命题核心是k的符号与图象象限、增减性的关联。常考题型为已知图象所在象限求k的范围、比较图象上多点的函数值大小。 反比例函数k的几何意义 深刻理解比例系数k的几何意义，能快速运用“双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积直角三角形面积的结论求解k值及相关图形面积问题 重点，命题形式灵活。基础题直接求面积或k值，中档题结合“多点在双曲线上”“平行线与坐标轴围成图形”，压轴题融入几何图形的全等、相似，需通过作垂线将面积转化为|k|的关系。 反比例函数与一次函数的综合 能解决反比例函数与一次函数的综合问题（求交点、判不等式解集、求图形面积）；通过图象绘制与性质探究，体会“数形结合”思想，提升从图象中提取数学信息、将代数问题转化为几何问题的能力。 核心考查联立方程组求交点、结合图象解不等式、求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。命题常给出交点坐标或图象特征，需先求两个函数的解析式，再解决后续问题，重点考查数形结合思想。 反比例函数的实际应用 在实际问题建模过程中，学会分析变量间的反比例关系，掌握“实际问题—数学模型—求解验证”的解题流程，提升数学抽象与应用能力。 命题贴近生活与物理场景，常见背景有工程进度与时间、“、压强与受力面积、近视眼镜度数与焦距、反比例函数与节能减排、景区承载量等。 知识点01 反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 知识点03 反比例函数的图象与性质 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 知识点04 反比例系数k的几何意义 反比例函数图象中有关图形的面积 S阴影＝|k| S四边形ABOC＝|k|　 S四边形ABCD＝S四边形PQMB 　S阴影＝S△AOB－S△AOD＝|k1|－|k2| S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC＝|k|＋|k|＝|k| S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝CD·|yB－yA| S△ABC＝S△BCO＋S△COA＝CO·|xB－xA| 知识点05 反比例函数与一次函数综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 知识点06 反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 2.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 3.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 题型一 反比例函数的定义 【典例1-1】（24-25九年级上·重庆江北·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．，y是关于x的一次函数，故该选项不符合题意； ．，y是关于x的二次函数，故该选项不符合题意； ． ，y是关于x的反比例函数，故该选项符合题意； ．，y不是关于的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【典例1-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）下列函数中表示是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，是的正比例函数，不符合题意； B．，是的反比例函数，不符合题意； C．，是的反比例函数，符合题意； D．，是的反比例函数，不符合题意； 故选：C 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知是反比例函数，求的值． 【详解】解：由题意得：且； 解得，又； ． 题型二 反比例函数的图象与性质应用 【典例2-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 【典例2-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）反比例函数的图像不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【答案】A 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴反比例函数的图像不经过第二、四象限， 故选：A． 【典例2-3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴； 故选：C． 【典例2-4】（23-24九年级上·河南濮阳·期末）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：为反比例函数的图象上两点，且当时，有， 原函数图像在第三象限内随的增大而增大， 反比例函数中，， ， 故选：D． 【变式2-3】（24-25九年级上·云南红河·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限。 ∵点，的横坐标为负， ∴点A，B在第二象限，则． ∵点的横坐标为正， ∴点C在第四象限，则。 ∴； 故选：D 【变式2-4】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-5】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 题型三 反比例函数k的几何意义 【典例3-1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，点是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点是反比例函数的图像上的一点， 设， 的面积为， ， 即， 故选：D． 【典例3-2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 【典例3-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 【变式3-1】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，已知点B，C关于原点对称，的面积为6，则比例系数k为（   ） A． B． C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：∵点B，C关于原点对称，的面积为6， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 【变式3-3】（24-25九年级上·云南丽江·期末）如图，已知函数，在第一象限的图象．过函数的图象上的任意一点A作x轴的平行线交函数的图象于点B，交y轴于点C．若的面积，则k的值为 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：熟练掌握反比例函数的意义是解题的关键． 根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：由题意知：轴， ，， ， ， ∴， ∵在第一象限的图象， ∴， ． 故答案为：6． 题型四 反比例函数与一次函数综合 【典例4-1】（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数的图象与轴的交点在正半轴，经过一、二、三象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 当时，函数的图象与轴的交点在正半轴，经过一、二、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 四个选项中只有B选项符合题意． 故选：B． 【典例4-2】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，点是反比例函数的图象上一点，连接并延长交反比例函数图象于点B，M为y轴正半轴上一点，连接并延长交反比例函数图象于点N，连接，已知的面积为． (1)连接，则的面积为 ； (2)点N的坐标为 ． 【详解】（1）解：由反比例函数图象的对称性可知点A与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 设点，， ∴， ∴； 设直线的表达式为， 将，代入， ， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入中，得， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点N的坐标为， 故答案为：． 【典例4-3】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ，解得：， ，， ，在一次函数的图象上， ，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）把代入得． ， 设，则， ， 化简得：， 解得：，． ∴点的坐标为：或． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； B. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，故正确； C. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； D. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； 故选B． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3． (1)求反比例函数的解析式； (2)请连接、．并求出的面积． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图， 设一次函数图象与y轴交于D， ∴， 由，得，即， ∴， ∴B的横坐标， ∴． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点， ， 解得， 即一次函数解析式为， ； （2）解：记一次函数交轴于点， 当时，，解得， ，即， 点，点， 的面积； （3）解：点，点， 则一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围为或． 题型五 反比例函数的实际应用 【典例5-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象可得，配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：C． 【典例5-2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 【典例5-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 【典例5-4】（23-24九年级上·广西梧州·期末）跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中，得：， 解得：， ∴， 答：密度关于体积的函数解析式为． （2）解：当时，， 答：当时，该气体的密度为． 【变式5-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）挪威生理学家古德贝1896年发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如下表的关系： … 1 2 3 5 … … 14 7 2.8 … 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径． 【详解】解：设与的函数关系式为，把代入得， ∴函数关系式为， 当时，， ∴蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为． 【变式5-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时，， ∴恒定温度为：； （2）解：由（1）可知： 设关闭阶段的函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 当时，， ， 在20时～24时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 【变式5-3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 【变式5-4】（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为， 当时，，即， 当时，，，即， 故答案为：3，4； （2）根据题意： … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小； （3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过， ，解得：， 可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：， 可变电阻R随人的质量m增大而减小， 当时，， ； 当时，， ， ， m不能超过； 当时，，解得：， ，解得：， 电子体重秤可称的最大质量为101千克． 【变式5-5】（24-25九年级上·山西太原·期末）【问题情境】 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表． 小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 【建立模型】 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【详解】解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点在反比例函数的图像上，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把点代入得：， 解得：． 故选：B． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵点为反比例函数图象上一点， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】C 【详解】解：A、， 反比例函数图象分布在第二、四象限， 故该选项不符合题意； B、， 反比例函数图象不经过点， 故该选项不符合题意； C、设， ， 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1， 故该选项符合题意； D、当时，， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 二、填空题 5．（25-26九年级上·全国·期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江西新余·期末）当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是 ． 【答案】10 【详解】解：根据题意，设反比例函数， ∵点在反比例函数图象， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， 故答案为：10 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 (1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米? 【详解】（1）解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系， 设与的函数关系式为， 将，代入， 得， ∴与的函数表达式为． （2）解：当时，（平方米）， 答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米． 8．（24-25九年级上·湖北随州·期末）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． (1)求点和点的坐标； (2)过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 【详解】（1）解：令，则． 解得：． 点的坐标为； 联立 得， 解得或（舍去，）， 经检验是此方程的解． ． 点的坐标为． （2）解：点为线段的中点， ，． 线段的中点的坐标为； 轴，轴， ，． 点在上， ，解得．即点的坐标为． 设，， ，，， ， ， 则点的坐标为， ，，， ， ， 则点的坐标为， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 【答案】C 【详解】解：设使用蓄电池时，电流与电阻的解析式为， 根据图象可得：， ∴电流与电阻的解析式为， ∴、该蓄电池的电压为，原说法正确，不符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 、当电阻越大时，蓄电池的电流越小，原说法错误，符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∴， ∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵直线和双曲线在坐标平面内交于点和点， ∴，，，即， 将代入得：， 即， 解得：， ∵， ∴或． 当时，，即，，重合，不合题意； 当时，，即，，不重合，符合题意； ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接和， ∵轴， ∴和的边上的高相等， ∴， 由反比例函数的几何意义可得，，， ∴，解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点D，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点B作轴于点C，若点P在反比例函数的图象上，且的面积为，求点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴， 将代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得， ∴， ∵轴于点C， ∴, 设点，根据题意得， ， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴点P的坐标为或． 6．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 【详解】（1）解：设该函数表达式为． 将点代入表达式中可得， ， ∴该函数表达式为． （2）解：将代入表达式中可得， ∴气体体积为时，气压是 ． （3）解：由题意可知， 解得， ∴为了安全考虑，气体的体积应不小于． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：是中点，轴，点纵坐标为， 点纵坐标为， 把代入直线得，， ， 点的横坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ，，，， ， 将点纵坐标代入方程得， 点的横坐标为， ， ， ， 解得：， 点坐标，点坐标，， 当时，， ， 点坐标， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，得，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是反比例函数上的点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中根据勾股定理得，， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若 ； （2）若的面积为6，则 ． 【答案】 6 8 【详解】解：（1）由题可知，，则， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴； （2）设，则， 连接， 根据矩形的性质可知三点共线， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6；8． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度． 【详解】（1）解：将代入，得 ， ， ∴一次函数的解析式为 把点代入一次函数得 ， ∴， ， ； （2）联立，得 ， 即， 解得， 当时，， ∴一次函数与反比例函数的交点为， ∴当或时，，即 ∴当或时，． （3）设点M坐标为，则点N坐标为， ①当点B在直线的左侧时，如图 过点B作于点H， ，， ， 由（1）可知， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时， M坐标为，则点N坐标为， ∴． ②当点B在直线的右侧时，如图 由图，可知，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为12． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)若，点A的坐标为． ①直接填空：m的值为 ，k的值为 ； ②若点P是x轴上一点，的面积为6，求点P的坐标； (2)过点作y轴的平行线l与函数的图象交于点D，与反比例函数的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线交于点P（点P、D不重合），问：当k为何值时，的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 【详解】（1）解：①∵， ∴直线为， 将点A代入直线中，得，解得：， ∴k的值为2； 将点A代入反比例函数中，得，解得：， ∴m的值为6； 故答案为：6，2； ②令，则，即， 令，则，即， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∴或； （2）解：过点作y轴的平行线l与反比例函数的图象交于点D，与反比例函数的图象相交于点E， ∴，， ∴， ∵过点D作x轴的平行线与直线交于点P， ∴， ①如图，当点A在点D的右侧时， ∴， ∴， 要使的值为定值，则或， 解得：或， ∵，，， ∴此情况不满足题意； ②如图，当点A在点D左侧时， ∴， ∴， 要使的值为定值，则或， 解得：或（舍去）， ∴时，的值为定值1， ∵此时点P在直线的左侧， ∴， ∵，，， ∴． 6．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知：双曲线． (1)若直线与双曲线交于点，求和的值； (2)在（1）的条件下，直线分别交轴、轴于点、，若的顶点在双曲线上，点在平面内，且的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标； (3)若点，点在双曲线的第二象限，连接并延长交双曲线于点，连接交双曲线于点（点在点的左侧），连接交轴于点，若点的横坐标为，求的长． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ∴交点为， 将代入得，； （2）解：由（1）得双曲线的解析式为， 对于直线， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个， ∴双曲线上只有三个不同的点到的距离相等， ∴平移直线与双曲线只有一个交点时， 设平移后直线的解析式为， 联立得， 整理得， ， 解得（舍去）， ∴， ∴，， 此时点的坐标为； ∴平移后直线的解析式为，令，则， ∴直线是由直线向上平移个单位， 则直线向下平移个单位， 其解析式为， 联立得， 整理得， ， ∴， 则或， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为，即的长为2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $