九年级数学上学期期末模拟卷02（沪科版，考试范围：九年级上册+圆）

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 题号 1 6 7 8 9 10 答案 D C B D D C D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.号12.4cm 13.8cm 14. 錦 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】1)解：原式-号×+V反x号-+1： 2解：原武=5×9-4x(号)+反×号-号-3+1=青 16.【详解】(1)将C(2,4)代入y1=x+b得，4=2+b .b=2 “该直线解析式为y=x+2; 将C(2,4)代入y2袁得，4- k=8 “双曲线的解析式为y,=景： 由图象可得，当x≤2时，直线在双曲线下面或重合， yy2时x的取值范围x≤2： (2)∵DEK轴 设点E的坐标为(m品)，则点D的坐标为（品-2，品）， :点D为射线BC上的一个动点， .m≥0 由题意得：专品m-品+2=， 整理得：3m2+16m-64=0或13m2+16m-64=0 解得：m=-8(舍去)或m=号或m=-8+84或m=-8-8网 13 13 (舍去)， 品-骨=3或品4+1 点E的坐标为（号3）或(-+eV4+1)】 17.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 1/7 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠C :∠EDB=∠A, ∴∠EDB=∠C, :∠DBF=∠CBD ∴.△BDFA△BCD 咒-器， 即BD2=BCBF, .BDAD-BF; (2)解：：△BDFM△BCD, :器-器，即 .BF=5, :四边形ABCD是平行四边形， .DCIIAE, ∴.△DFC△EFB, 最=器，即-罷 又：AB=CD=4, .BE=5 18.【详解】(1)解：如下图所示， 连接FO、DB并延长，交于点P, 点P即为位似中心， 点P的坐标是(-5，-1)： y 6 - 65432 23.4756 B 4 D 6 (2)解：如下图所示，延长A0到A1,使0A0A=2:1, 延长B0到B1,使0B10B=2:1, 连接点0、A1、B1得到△OA1B1, △0AB1即为所求； 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6 3 2 65432 2341 P 2 r- (3)解：如下图所示，点0的坐标是(0,0)，点F的坐标是(5,1)， :位似中心点P的坐标是(-5，-1)， 位似比是周-号-， :点M(a,b)为AB边上一点， 设点M1的坐标是(y), 则有周号， 解得：x=2a十5，y=2b+1, :点M1的坐标是(2a+5,2b+1). 61 5 3 6 6 故答案为：(2a+5,2b+1) 19.【详解】解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， :顶点坐标为(80,60)， 设抛物线的函数解析式为：y=a(x-80)2+60, :图象过原点(0,0)， a(0-80)2+60=0, 3 解得a=-320, y=-3品0(x-80)2+60: 3/7 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)依题意，抛物线的形状不变，且点P的坐标为(0,75)， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线y=一0(x-80)2+60向上平移75个单位长度得到的， :新的抛物线的解析式为：y=-3(x-80)2+60+75=-30(x-80)2+135, 当y=0时，-30(x-80)2+135=0, 解得：1=200,82=-40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm: 20.【详解】(1)解：如图，连接0D ○ G B :CDLAB,AB是⊙0的直径， .AD=AC :∠DGF=115°， ∠AGD=65° ·∠A0D=2∠AGD=130°，∠D0B=2∠DCB, :∠A0D+∠D0B=180, ÷130°+2∠DCB=180°. :∠BCD=25. (2)如图，连接0C :AB=4,0B=0C=2 "∠B=60°， :△OBC是等边三角形， ÷∠B0C=60°， CD⊥AB, ÷∠0CE=90°-∠0BC=30, 0E=30C=1, EC=/0C2-0E2=3, :CDLAB,AB是⊙0的直径， *CD=2EC-2V3. 21.【详解】解：(1)证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E则∠AEB=∠AEC=90°， 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 a E :sinB=号，sinC-告， AE=csinB,AE-bsinC, .bsinC=csinB, b “品=c, (2)根据(1)的计算得到，品=品c, 解得，c=2, 故答案为：2； (3)'∠A≈43°，∠B≈53°， :∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-53°=84°， 由题意，得器-最， 又：BC≈340m, :AB=BC=-348X992=495(m), sinA 0.68 答：A,B两岛间的距离为495m. 22.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∠BAC=∠BCA=45°，AB=BC,∠ABC=90°， 根据旋转可得BE=BF,∠EBF=90°， ∴∠ABC=∠EBF=90, ·∠ABE=∠CBF=90°-∠CBE, 又BE=BF， ·△ABE≌△CBF(SAS), ∴∠BCF=∠BAE=45°， ∠ACF=90, ..ACLCF (2)①证明：：四边形ABCD是正方形， :∠BAC=∠DAC=45°， :BE=BF∠EBF=90°， 5/7 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠BFE=∠BEF=∠BCE=45°， :∠AEB=180°-∠BEF-∠AEG=135°-∠AEG, ∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=135°-∠AEG, ·∠AEB=∠AGE, ·△ABE△AEG, 指=怨 ..AE2-AB-AG, AE=GD, GD2-AB-AG. ②解：设AE=GD=X,AD=AB=m, 由①得GD2=ABAG .x2=m(m-x),x2=m2-mx, (器)2=1-斋， 解得：益-号或器一5斗 2 （舍去)， 即器-5号。 由0符铝-器-号 23.【详解】(1)解：：二次函数的图象经过点(0,2)， .c=2, :对称轴为直线x=1, 9=1, ∴.b=-2, ·二次函数的表达式为y=x22x+2: (2)解：当b2-c=0时，b2=c :函数的表达式为=x24bxb2,对称轴为直线x=-号， 根据题意可知，需要分三种情况： ①当-号b-2时，即b≥等，在b-2≤xb内，y随着x的增大而增大， 当x=b-2时，二次函数的最小值为13， (b-2)2b(b-2)+b2=13, 整理得：b2-2b-3=0, 解得：b=3或b=-1(舍去)， ②当b-2<-号<b时，即0<b<号，在b-2≤xb内， 当x=-号时，二次函数最小值为13， 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-)26(-)+b2=13, 整理得：3b2=52, 解得：b=士2 ,(不合题意，舍去)， ③当-号≥b时，即b≤0，在b-2≤xb内，y随着x的增大而减小， =b时，二次函数的最小值为13， ∴b2+bb+b2-13 整理得：3b2=13, 解得：b厚或=甲 (舍去)， 综上所述：b=3或厚， (3)解：由(1)得：y=x22x+2=(x-1)2+1, 当0≤x1≤1时，则k1=1时，y的最小值为1， :y2-x24x+m=-(x-)2+m+片， :当0≤2≤1时，则x2=时，y2的最大值为m+, :0≤x1≤1,0≤X2≤1时，始终满足p≥q, :12m+诗， 解得：m≤ 7/7 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴对称）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为， 故选：D． 3．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 通过直接计算函数值即可比较大小． 【详解】点在上，点在上， ，， ， ． 故选：． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数， 位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵ 点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴ 点B的对应点的坐标为或 ， 即或． 故选：C． 5．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为，利用相似三角形的周长比等于对应边之比的性质，列方程求解即可． 【详解】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 6．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理． 根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵与所对的弧为同一弧， ∴， 故选：D． 8．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心的定义以及三角形的外接圆与外心的关系．解题的关键是根据外心是三角形三边的垂直平分线的交点、以及三角形的内心是三个内角角平分线的交点． 根据外心、内心、外切三角形、内接三角形的定义及等边三角形的内心、外心重合的性质，判断各说法的正误． 【详解】解：①一个三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个，故正确； ②一个圆的外切三角形有无数个，故错误； ③一个圆的内接三角形有无数个，故错误； ④等边三角形的外心与内心重合，故正确． ∴ 正确的是①④． 故答案为：D． 9．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质． 根据矩形的性质得到，，，证明，得到，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，其中．给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程的另一个根是，⑤b的取值范围是．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12．一个圆内接正多边形的内角为，且周长是，则这个正多边形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和公式以及圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据正多边形内角和公式求出边数，再结合周长求出边长． 设正多边形的边数为，根据内角和公式求出，再根据正多边形的每条边都相等，即可得解． 【详解】圆内接正多边形的内角为， ， 解得：， 这个正多边形是正六边形， 正六边形的周长为， 正六边形的边长为． 故答案是：． 13．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形的内切圆，内心、切线长定理，掌握相关知识是解题的关键．设与、分别相切于点、，则，因为与相切于点，所以，，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、分别相切于点、，则， 与相切于点， ，， ， ， ， 剪下的的周长为， 故选：A． 14．如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，连接，交于点F，交于点G． （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了已知正切求边长，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，设，，在中由勾股定理求得，由正弦的定义求得，由勾股定理求得由平行线分线段成比例得，得，，再证明，得，，从而求得的值． 【详解】解：∵ ∴设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴设， 在中 ∵ ∴ 解之得 ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， 连接，， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分 ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：，． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解； （2）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点、，交双曲线于点． (1)直接写出该直线和双曲线的解析式，以及时的取值范围； (2)点为射线上的一个动点，过点作轴，交该双曲线于点，连接，．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线和双曲线的解析式，然后根据图象求解即可； （2）设点E的坐标为，则点D的坐标为，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）将代入得， ∴ ∴该直线解析式为； 将代入得， ∴ ∴双曲线的解析式为； 由图象可得，当时，直线在双曲线下面或重合， ∴时的取值范围； （2）∵轴 设点E的坐标为，则点D的坐标为， ∵点为射线上的一个动点， ∴ 由题意得：， 整理得：或 解得：（舍去）或或或（舍去）， ∴或 ∴点的坐标为或． 17．（本题8分）如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是牢记相似三角形的判定与性质． （1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出，进而即可得解； （2）由，利用相似三角形的性质可求出的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 18．（本题8分）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 19．（本题10分）问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1），；（2）起跳点与落地点的水平距离的长为 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，求二次函数的解析式，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60，再设抛物线的函数解析式为：，把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，且结合从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，得出第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，再列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ， 解得， ； （2）依题意，抛物线的形状不变，且点的坐标为， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 20．（本题10分）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)25°(2)2 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． （2）如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 21．（本题12分）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 证明：过点作于点． ， ， ． （1）如图2，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 【初步应用】 （2）在中，a，b，c分别是的对边．已知，则_____________． 【综合应用】 晋阳湖是山西省太原市重要的生态湿地和城市景观水源地，也是华北地区最大的人工湖，兼具生态调节、休闲观光等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅晋阳湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中A，B两岛间的实际距离．由于晋阳湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计． 【方案设计】 工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图3，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得． （3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算A，B两岛间的距离． （参考数据：） 【答案】（1）见解析 （2）2 （3）A，B两岛间的距离为 【分析】u本题主要考查三角函数的计算与运用，理解材料提示的计算方法，掌握锐角三角函数值的计算是关键． （1）根据材料提示方法，过点作于点，则，由正弦值的计算即可求解； （2）根据材料题意，运用（1）中的结论，代入计算即可求解； （3）根据三角形内角和定理得到，结合（1）中的结论列式得，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图，过点作于点，则， ， ， ， ； （2）根据（1）的计算得到，， ∴， 解得，， 故答案为：2； （3）， ， 由题意，得， 又， ， 答：A，B两岛间的距离为． 22．（本题12分）如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至，连接． (1)求证：． (2)如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若， ①求证： ②求出的值． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据旋转，推出进而得到，求出，即可得出结论； （2）①证明，得到，等量代换，即可得出结论； ②设，根据，得到，进而得到，求出，结合①，得到，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， 根据旋转可得， ∴， ， 又， ， ， ， ． （2）①证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：设， 由①得． ，即， ， 解得：或（舍去）， 即． 由①得． 23．（本题14分）已知关于的二次函数，（实数，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值13，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若当，时，始终满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由二次函数的图象经过点，得到，由对称轴为直线，得到，即可得出答案； （2）分三种情况：①当时，即，②当时，即，③当时，即，分别求解即可； （3）分别求出的最小值，的最大值，由题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴函数的表达式为，对称轴为直线， 根据题意可知，需要分三种情况： ①当时，即，在内，随着的增大而增大， 当时，二次函数的最小值为13， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ②当时，即，在内， 当时，二次函数最小值为13， ∴， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ③当时，即，在内，随着的增大而减小， ∴时，二次函数的最小值为13， ∴ 整理得：， 解得：或（舍去）， 综上所述：或； （3）解：由（1）得：， 当时，则时，的最小值为， ∵， ∴当时，则时，的最大值为， ∵，时，始终满足， ∴， 解得：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪科版九年级上册全部、沪科版九年级下册第24章圆 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（    ） A．B．C． D． 3．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 6．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 9．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，其中．给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程的另一个根是，⑤b的取值范围是．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若，则的值为 ． 12．一个圆内接正多边形的内角为，且周长是，则这个正多边形的边长是 ． 13．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为 ． 14．如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，连接，交于点F，交于点G． （1） ． （2） ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题8分）计算：(1)； (2)． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点、，交双曲线于点． (1)直接写出该直线和双曲线的解析式，以及时的取值范围； (2)点为射线上的一个动点，过点作轴，交该双曲线于点，连接，．若的面积为，求点的坐标． 17．（本题8分）如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 18．（本题8分）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 19．（本题10分）问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 20．（本题10分）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 21．（本题12分）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 证明：过点作于点． ， ， ． （1）如图2，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 【初步应用】 （2）在中，a，b，c分别是的对边．已知，则_____________． 【综合应用】 晋阳湖是山西省太原市重要的生态湿地和城市景观水源地，也是华北地区最大的人工湖，兼具生态调节、休闲观光等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅晋阳湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中A，B两岛间的实际距离．由于晋阳湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计． 【方案设计】 工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图3，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得． （3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算A，B两岛间的距离． （参考数据：） 22．（本题12分）如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至，连接． (1)求证：． (2)如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若， ①求证： ②求出的值． 23．（本题14分）已知关于的二次函数，（实数，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值13，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若当，时，始终满足，直接写出的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪科版九年级上册全部、沪科版九年级下册第24章圆 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（    ） A．B．C． D． 3．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 6．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 9．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，其中．给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程的另一个根是，⑤b的取值范围是．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若，则的值为 ． 12．一个圆内接正多边形的内角为，且周长是，则这个正多边形的边长是 ． 13．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为 ． 14．如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，连接，交于点F，交于点G． （1） ． （2） ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题8分）计算：(1)；(2)． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点、，交双曲线于点． (1)直接写出该直线和双曲线的解析式，以及时的取值范围； (2)点为射线上的一个动点，过点作轴，交该双曲线于点，连接，．若的面积为，求点的坐标． 17．（本题8分）如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 18．（本题8分）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 19．（本题10分）问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 20．（本题10分）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 21．（本题12分）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 证明：过点作于点． ， ， ． （1）如图2，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 【初步应用】 （2）在中，a，b，c分别是的对边．已知，则_____________． 【综合应用】 晋阳湖是山西省太原市重要的生态湿地和城市景观水源地，也是华北地区最大的人工湖，兼具生态调节、休闲观光等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅晋阳湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中A，B两岛间的实际距离．由于晋阳湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计． 【方案设计】 工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图3，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得． （3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算A，B两岛间的距离．（参考数据：） 22．（本题12分）如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至，连接． (1)求证：． (2)如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若， ①求证： ②求出的值． 23．（本题14分）已知关于的二次函数，（实数，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值13，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若当，时，始终满足，直接写出的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $