专题2.6 幂函数与指、对数函数（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题2.5 幂函数与指、对数函数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 指数的运算】 1 【题型2 对数的运算】 2 【题型3 幂函数的图象与性质】 2 【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】 3 【题型5 指数、对数函数的图象问题】 3 【题型6 指数、对数函数的单调性问题】 4 【题型7 指对幂数比较大小】 5 【题型8 解不等式问题】 5 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 指数的运算】 1．（25-26高一上·江苏淮安·月考）若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 2．（25-26高一上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 3．（2025·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 【题型2 对数的运算】 5．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 6．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【题型3 幂函数的图象与性质】 9．（2025·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 10．（2025·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·上海·专题练习）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】 13．（24-25高一上·河南·月考）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【题型5 指数、对数函数的图象问题】 17．（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   18．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   19．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 20．（2025·甘肃·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型6 指数、对数函数的单调性问题】 21．（2025·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型7 指对幂数比较大小】 25．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 解不等式问题】 29．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 32．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 33．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 34．（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·北京·月考）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，若，时，求函数的最值； (3)当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，请直接写出的取值范围. 36．（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 2．（2025·陕西西安·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．且. 3．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川内江·一模）某工厂生产的废气要经过多次过滤，若每次过滤能消除废气中的污染物，要使废气中的污染物不超过原来的，则至少需要过滤的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·四川自贡·一模）已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 7．（2025·四川成都·一模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 二、填空题 9．（2025·上海静安·一模）已知函数，则 ． 10．（2025·上海闵行·一模）已知，，化简： . 11．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 12．（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则 ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·山东聊城·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·浙江宁波·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 5．（2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 幂函数与指、对数函数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 指数的运算】 1 【题型2 对数的运算】 2 【题型3 幂函数的图象与性质】 4 【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】 6 【题型5 指数、对数函数的图象问题】 7 【题型6 指数、对数函数的单调性问题】 9 【题型7 指对幂数比较大小】 11 【题型8 解不等式问题】 13 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 15 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 指数的运算】 1．（25-26高一上·江苏淮安·月考）若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据指数运算求得正确答案. 【解答过程】. 故选：B. 2．（25-26高一上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【解题思路】选项根据指数运算的公式即可判断；选项根据平方根的定义即可判断；选项根据指数，利用完全平方公式即可计算出结果；选项根据平方开根号必须加绝对值，再利用正负取绝对值即可判断. 【解答过程】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误； 对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确； 对于：因为，所以，故错误. 故选：C. 3．（2025·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【解题思路】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【解答过程】 故答案为：. 4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 【答案】 【解题思路】由指数的运算性质即可得解. 【解答过程】由题意，所以. 故答案为：. 【题型2 对数的运算】 5．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 6．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，代入数据即可求解. 【解答过程】当， 则 . 故选：B. 7．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解. 【解答过程】由，可得. 故选：B. 8．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【解题思路】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【解答过程】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：， . 于是， 所以. 故选：C. 【题型3 幂函数的图象与性质】 9．（2025·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【解答过程】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 10．（2025·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的性质一一判断即可. 【解答过程】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D. 11．（2025高一·上海·专题练习）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【解答过程】由为幂函数可知： 或3， 又，故在单调递减，故， 所以， 则或或， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 12．（25-26高一上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义和奇偶性确定函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求得实数的取值范围. 【解答过程】因是幂函数，则，解得或， 当时，，其定义域为，且为奇函数，故舍去； 当时，是上的偶函数，符合题意. 则，其图象对称轴为直线， 由该函数在区间上单调递减，可得，解得. 故选：C. 【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】 13．（24-25高一上·河南·月考）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【解答过程】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C. 14．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D. 15．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【解答过程】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 16．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【解题思路】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【解答过程】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 【题型5 指数、对数函数的图象问题】 17．（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择. 【解答过程】首先： ， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD. 又，故排除B. 故选：A. 18．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【解答过程】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A. 19．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用函数对称性判断C，D，再根据时，排除A. 【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数， 中，，，不相等，所以C选项错误； 中，，，不相等，所以D选项错误； 对于，当时，，与图象不符，故排除A. 故选：B. 20．（2025·甘肃·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【解答过程】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 【题型6 指数、对数函数的单调性问题】 21．（2025·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 22．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【解答过程】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 23．（2025·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【解答过程】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. 故选：A. 24．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分和两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于的不等式即可求解. 【解答过程】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得 ， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 【题型7 指对幂数比较大小】 25．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数函数和指数函数单调性确定各数与特殊值0，1的关系，分析即得解 【解答过程】由，，， 所以. 故选：B. 26．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【解答过程】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 27．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【解答过程】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D. 28．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将指数式化为对数式，然后判断的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可. 【解答过程】，， ，，， ，所以， 对于A，在单调递增， ，故A错误； 对于B， 在上单调递减， ，故B错误； 对于C， 在单调递减， ，故C错误； 对于D，在单调递增， , 又在单调递减， , ，故D正确. 故选：D. 【题型8 解不等式问题】 29．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【解答过程】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 30．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【解答过程】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故选：B. 31．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，且在R上为减函数，将不等式化简为，再由的单调性可得，解不等式即可得出答案. 【解答过程】, 设，的定义域为R， ，所以为奇函数， 则， 又因为在R上均为减函数， 所以在R上为减函数， 由可得， 即，所以， 解得：或. 故选：D. 32．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【解答过程】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C. 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 33．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的运算性质，可得，进而根据奇偶性的定义可判断为偶函数，根据对勾函数的单调性以及复合函数单调性原则可得的单调性，即可求解. 【解答过程】，由于， 故为偶函数， 当时，则在单调递增，因此在单调递增， 因此在单调递减， 由可得，解得， 故选：A. 34．（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分段函数的单调性可得出，再由函数的单调性可得出，结合参变量分离法可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为函数与均是增函数， 所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得， 由得，即恒成立， 所以，当时，函数取得最大值，所以，，即， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 35．（25-26高一上·北京·月考）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，若，时，求函数的最值； (3)当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，请直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的单调性解不等式即可； （2）利用对数运算化简函数的解析式，再由对勾函数的单调性和复合函数的单调性判断方法求函数的值域，进而得最小值； （3）利用对数运算将问题转化为方程有唯一解，化简成一元二次方程，根据一元二次方程的根使得对数有意义列不等式，求解即可. 【解答过程】（1）依题意，由，，得， 则，即 解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意知， 令，，得， 设函数，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 因此， 所以， 则， 所以函数的最小值为，最大值为； （3）由， 得①， 化简得②， 当且时，方程②的解为，， 若是方程①的解，则，解得； 若是方程①的解，则，解得； 由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以. 因此，的取值范围为. 36．（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得，然后解指数函数不等式即可求解定义域； （2）利用偶函数的概念列式求得，然后利用基本不等式求解的最小值； （3）由题意，由（2）可知，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得的值域，进而按照和分类讨论，利用对数函数单调性求得的最大值，列不等式即可求解. 【解答过程】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对 恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【解答过程】设，则即， 故选：B． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．且. 【答案】D 【解题思路】根据真数大于零，分母不为零求解. 【解答过程】由题意得，且，则且， 则函数的定义域为且. 故选：D. 3．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求得交点的横坐标，比较大小可求. 【解答过程】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 4．（2025·四川内江·一模）某工厂生产的废气要经过多次过滤，若每次过滤能消除废气中的污染物，要使废气中的污染物不超过原来的，则至少需要过滤的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】由题意得到污染物含量与过滤次数的关系式，根据问题列出不等式，结合指数函数单调性求解即可. 【解答过程】设初始污染物含量为，过滤次后的污染物含量为，则， 要使废气中的污染物不超过原来的，即， 即，即， 由于随的增大而增大，且， 则至少需要过滤的次数是5次. 故选：D. 5．（2025·四川自贡·一模）已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解. 【解答过程】由，得，由，得， 则，即，又，因此，即，解得， 所以. 故选：A. 6．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【解题思路】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解. 【解答过程】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 7．（2025·四川成都·一模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，，转化不等式为，进而分、两种情况讨论求解即可. 【解答过程】令，， 由，则， 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则不等式无解； 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则， 即，则. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 8．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【解题思路】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【解答过程】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 二、填空题 9．（2025·上海静安·一模）已知函数，则 ． 【答案】 【解题思路】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可. 【解答过程】因为，则， 且， 所以 故答案为：. 10．（2025·上海闵行·一模）已知，，化简： . 【答案】 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可. 【解答过程】， . 故答案为：. 11．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解题思路】根据幂函数的性质确定出值作答. 【解答过程】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 12．（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则 ． 【答案】 【解题思路】由题意可得，计算可求得的值. 【解答过程】依题意，， 即0.2， 即，，则． 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·山东聊城·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，所以，分别作出指数函数、对数函数和幂函数的图象，结合图象，即可求解. 【解答过程】因为，可得，所以， 作出函数，，，以及的大致图象， 如图所示，当取不同值时，可能得到：， 可得均不可能成立， 只有可能成立. 故选：B. 2．（2025·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】因为，故的定义域为. 选项A：， ， ，所以不是偶函数，故A错误； 选项B：，， ，所以不是偶函数，故B错误； 选项C：， ， ，所以为偶函数，故C正确； 选项D：， ， ，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 3．（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数在上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数在上的单调性排除D 【解答过程】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。 故选：C. 4．（2025·浙江宁波·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合题意与对数的运算性质求解海拔高度，再判断范围即可. 【解答过程】设城区的压强为，四明山的压强为， 由题意得，， 两式作除法可得，解得， 对于目标点，可得，由已知得， 两式作除法可得，解得， 则 ，在内，故C正确. 故选：C. 5．（2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【解答过程】令，得，， 在同一直角坐标系内作出函数，的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 观察图象得当时，， 当时，， 当时，， 所以ABC是可能的，D不可能. 故选：D. 6．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断，得到关于对称，再利用函数和的单调性得到的单调性，然后结合对称性解抽象函数不等式即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 所以，所以的图象关于对称， 又因为在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，结合对称性可得， 两边平方后化简可得，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 7．（2025·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】令，利用换元法将函数转化为，再利用分离参数法求出的取值范围. 【解答过程】因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 当时，，令，则 所以当时，可转化为， 因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 又，当且仅当，即时，取得最小值， 所以. 故答案为：. 8．（2025·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】首先根据对称性，周期性画出函数在区间的图象，再在同一坐标系下作出函数的图象，由函数的零点个数，转化为两个函数图象的交点个数，列式求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图象关于轴对称， 且， 即的周期为4. 作出函数在上的图象， 根据的对称性及周期性， 可得出在上的图象， 若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点， 则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根， 则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点； 所以，解得. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $