5.7 三角函数的应用（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

5.7 三角函数的应用 知识点1 三角函数在物理中的应用 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）（多选）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 4．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 0 4 2 0 －2 0 知识点2 三角函数在生活中的应用 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 4．（24-25高一下·广东广州·期末）（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（    ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 知识点3 三角函数在圆周中的应用 1．（24-25高一下·四川成都·期中）某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（    ） A． B． C．8.5m D． 2．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（    ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 3．（24-25高一下·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·月考）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转.若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为，. (1)求的函数解析式. (2)求的单调递增区间. (3)求的值. 知识点4 三角函数模型的拟合问题 1．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 2．（24-25高一下·山东淄博·月考）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 1．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）（多选）三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线（零线）电压为，三根相线（火线）电压分别为，，，其中（单位：），（单位：）．三根相线间的电压叫线电压，记，，，线电压的最大值分别为，，，有效值分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．三根相线电压的频率均为50（单位：） B． C．当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值 D．线电压的有效值（单位：） 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    3．（24-25高一下·福建泉州·月考） 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） (2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） (3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5700 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 11.5667 1．（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四边形是一块矩形铁皮，.该铁皮内有一半径为2的扇形（在上，在上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工人计划在上找一点（包含），作，得到可以使用的矩形铁皮. (1)试比较当点分别与点重合时，矩形铁皮的面积的大小； (2)以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.定义：若，，则.求的取值范围. 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7 三角函数的应用 知识点1 三角函数在物理中的应用 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【解析】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，.故选：D. 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【解析】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（）， 且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）（多选）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【解析】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离. 在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确. 故选：ACD. 4．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2；(2)图象见解析；(3)5 【解析】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 知识点2 三角函数在生活中的应用 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】4；6 【解析】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 【答案】 【解析】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数的图象过点，可得， 即，可得，即，即， 因为，所以为的倍数，所以或， 当时，可得， 则， 此时是函数的一个周期，不符合图象； 当时，可得， 则 此时是函数的一个周期，符合函数的图象，所以. 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 【答案】ABD 【解析】， 由，得， 令，则， 所以，或，， 解得，或，， 结合， 取时，； 时，或. 所以或或.故选：ABD 4．（24-25高一下·广东广州·期末）（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（    ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 【答案】AD 【解析】由图象，智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确； 由图像，体力曲线的最小正周期为天，， 所以在出生起180天内，体力共有8次达高峰值，故B错误； 由图像，情绪曲线的最小正周期为天，所以第天情绪值为，第91天情绪值为20， 而，所以第天情绪值大于，故C错误； 由图像，智力曲线的最小正周期为天， 而，所以第天，智力曲线处于上升期， ，所以第天，情绪曲线处于上升期，故D正确.故选：AD 知识点3 三角函数在圆周中的应用 1．（24-25高一下·四川成都·期中）某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（    ） A． B． C．8.5m D． 【答案】A 【解析】根据表格数据可知最大高度为9m，最小高度为3m， 不妨取，因此可得，解得； 数据完成一个周期用时为12秒，因此周期，可得； 因此函数模型为， 代入，可得.故选：A 2．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（    ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解析】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，， 令，得，解得， 则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确.故选：D 3．（24-25高一下·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期. 由角速度与周期的关系，将代入可得：. 设. 因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m， 所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为； 当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m. 当在最高点时，，此时取得最大值，即； 当在最低点时，，此时取得最小值，即. 联立方程组，将两式相加消去可得：，解得. 把代入，可得，解得. 所以此时函数为. 因为的初始位置在最低点，当时，， 将，代入中，得到.即. 因为，且，所以，，取，则. 将代入中，可得. 则. 该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是.故选：D. 4．（24-25高一下·四川成都·月考）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转.若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为，. (1)求的函数解析式. (2)求的单调递增区间. (3)求的值. 【答案】(1)；(2)递增区间为；(3). 【解析】（1）由题设，且，， 所以，可得，取，故； （2）由（1），要使单调递增，只需单调递减， 令，可得， 即的递增区间为； （3）由题意，的最小正周期，又，，，， 所以 . 知识点4 三角函数模型的拟合问题 1．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【解析】由数据知，所以，A错误； ，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或， 故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误.故选：C. 2．（24-25高一下·山东淄博·月考）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【答案】(1)选择较合适，()；(2)应安排在11时到19时训练较恰当 【解析】（1）把表格中的数据在坐标系内描出，如下， 由所描点知：应选择， 令，，， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为， 则，，， 于是，代入点，得， 即，则，又，因此， 所以该模型的解析式为：. （2）令，得，则， 解得，而， 当时，，则；当时，，则； 当时，，则，因此或或， 依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当. 3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1) (2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【解析】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】(1)；(2)①16个小时；②23时 【解析】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 1．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）（多选）三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线（零线）电压为，三根相线（火线）电压分别为，，，其中（单位：），（单位：）．三根相线间的电压叫线电压，记，，，线电压的最大值分别为，，，有效值分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．三根相线电压的频率均为50（单位：） B． C．当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值 D．线电压的有效值（单位：） 【答案】ABD 【解析】选项A： 频率 与角频率 的关系是 . 给定 ，所以， 所有相线电压的角频率相同，只是相位不同，所以频率都是50 Hz，故A正确； 选项B：计算三个电压的和 计算括号内的部分. 设 ，则 ， ∴，故B正确； 选项C： ， 所以 ， 同理计算，， 假设 达到最大值，即 ， 设 ，则当 时，（最大值），， 此时，均不是取得最小值，故C错误； 选项D：由上可知，线电压的最大值分别为，，，都等于， 有效值，，都等于，故D正确.故选：ABD. 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    【答案】 【解析】由题意，延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F， 则，其中， 又由，， 可得， 于是，其中. 故答案为：    3．（24-25高一下·福建泉州·月考） 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） (2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） (3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 【答案】(1)答案见解析；(2)365.2434；(3)123天；(4)答案见解析 【解析】（1）由，，得， 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5700 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 11.5667 （2）在中，，且过点， ，， 又，即， 则，解得， 一个周期即一个回归年，故一个回归年对应的天数约为365.2434， （3）由（2）知的周期，则为图象的对称轴， A观测站正午太阳高度角为61.5649度时，即， 则与图象的一个交点为， 与的交点离点最近的点与点关于直线对称， 于是，即， 而，所以两次出现间隔天数至少为123天. （4）由于一个回归年的实际天数为365.2422，不为整数， 若每年设为365天，则每百年会少24天，若每年设为366天，则每百年会多76天， 设置闰年可以让年平均天数尽可能接近回归年的天数，减少年平均天数的误差， 现行格里高利历下的年平均天数为， 与一个回归年实际天数的误差为天. 1．（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 【答案】 （或2） （答案不唯一）． 【解析】因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长， 且和在相同时间内运动的弧长相等， 所以和在运动的角速度之比等于运动半径之比的倒数，即， 所以周期之比为二者的旋转方向相反． 设，由可知． 又因为的值域为，所以齿轮A的半径为1，的取值范围为． 所以，解得． 当时，，得， 所以．． 故答案为：（或2）；（答案不唯一）． 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四边形是一块矩形铁皮，.该铁皮内有一半径为2的扇形（在上，在上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工人计划在上找一点（包含），作，得到可以使用的矩形铁皮. (1)试比较当点分别与点重合时，矩形铁皮的面积的大小； (2)以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.定义：若，，则.求的取值范围. 【答案】(1)当点与点重合时，矩形的面积大；(2). 【解析】（1）当点与点重合时，可得， 此时矩形的面积为； 当点与点重合时，可得， 此时矩形的面积为. 显然，所以当点与点重合时，矩形的面积大. （2）设， 因为，可得， 则， 可得， 所以， 因为，可得，则， 则，即的取值范围. 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】(1)，；(2)，；(3)11 【解析】（1）由题意得，，， 故，故， 当时，， 故，； （2）由（1）可得，， ，， （3）令，则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，所以，而，不合要求，舍去； 当时，，解得，满足要求， 此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $