3.9 弧长及扇形的面积 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

弧长及扇形的面积 一、单选题 1．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 2．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 7．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 8．已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 10．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 二、填空题 11．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 12．如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为 ． 13．如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 14．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为 （结果保留根号） 15．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 三、解答题 17．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 18．如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 19．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 20．如图，是的直径，点C、D在上，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求劣弧的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B B B D B B 1．D 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出弧长． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 3．C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 6．B 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 7．B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键．设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是， 依题意得，， 解得，， 故选：D． 9．B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】 本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 10．B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 11．/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了扇形面积的计算；根据分针转一大格即5分钟所转的角度是，则可计算出分针从到所转的角度，即可得扇形的圆心角，从而由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：分针从到所转的角度为， 所以分针所扫过的扇形的面积是； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图相关知识，涉及圆锥底面周长公式（r为底面半径）以及圆锥侧面展开图扇形的面积公式（l为弧长，r为母线长）．解题关键是明确圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，易错点是混淆圆锥底面半径、母线长与扇形弧长、半径的对应关系． 要计算圆锥侧面展开图的面积，首先得知道侧面展开图扇形的弧长和半径．根据圆锥的性质，扇形的半径就是圆锥的母线长，这里母线长为12；扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用底面半径4，通过圆的周长公式算出底面周长为，也就是扇形弧长．最后把弧长和母线长代入扇形面积公式，就能求出侧面展开图的面积． 【详解】解：，， ． 又， ． 故答案为：． 14．6 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n． ∴， 解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6， ∴AA′＝． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点． 15． 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 16．12 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：底面圆的半径为， 底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 设母线长为 ∵侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳 ∴ 故答案为：12 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶ 18． 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 【详解】解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． （1）先求出的度数，再由得出，最后利用外角性质即可得答案； （2）过点作于点，将阴影部分的面积转化为扇形与的面积之差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2)劣弧AC的长为 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理（同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角）、等边三角形的判定与性质以及弧长公式的应用，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系、直径的特殊性质推导角度和线段长度，进而完成切线证明与弧长计算． （1）由是的直径，根据直径所对的圆周角为直角得；利用同弧所对的圆周角相等，得，进而算出；结合已知，求出，即，根据切线判定定理证明是的切线； （2）连接，由且（圆的半径相等），判定是等边三角形，得（即半径；根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得；代入弧长公式（n为圆心角度数，r为半径），计算出劣弧的长． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，                                                            又∵， ∴，                                                  ∴，                                     即：， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵，且， ∴是等边三角形，                                                ∴，                                                ∵， ∴，                                             ∴劣弧的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弧长及扇形的面积 一、单选题 1．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 2．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 7．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 8．已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 10．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 二、填空题 11．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 12．如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为 ． 13．如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 14．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为 （结果保留根号） 15．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 三、解答题 17．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 18．如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 19．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 20．如图，是的直径，点C、D在上，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求劣弧的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $