3.4 圆周角和圆心角的关系 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆周角和圆心角的关系 一、单选题 1．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．如图，是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．6 6．如图，是的直径，点，在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是的内接四边形，，则（  ） A． B． C． D． 10．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 12．如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 13．如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 14．如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为 ． 15．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      16．如图，四边形的顶点在同一个圆上，且．若为的中点，，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 17．如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 18．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 19．已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 20．如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆周角和圆心角的关系 一、单选题 1．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．如图，是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．6 6．如图，是的直径，点，在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是的内接四边形，，则（  ） A． B． C． D． 10．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 12．如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 13．如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 14．如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为 ． 15．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      16．如图，四边形的顶点在同一个圆上，且．若为的中点，，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 17．如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 18．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 19．已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 20．如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B C B A A D D 1．D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 3．B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 由圆周角定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴根据圆周角定理得，． 则的度数为， 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）及勾股定理是解题的关键． 连接、，利用圆周角定理得出圆心角，再结合等腰直角三角形的性质计算弦的长． 【详解】解：连接、． ∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得 ， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：，， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直角所对的圆周角是直角得到的度数，则可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理；根据已知得出，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 10．D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 11．94 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，首先根据题意可知，由“两直线平行，同位角相等”可得，再根据圆周角定理可得，进而求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，的度数为，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 故答案为：94． 12．25 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵点 C 为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：25． 13．/125度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补． 根据题意得出，进而得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 14．160 【分析】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构造内接四边形是解题的关键． 连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵为， ∴， ∵点B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：160． 15．1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 16． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．根据圆内接四边形对角互补可得，由此求出，则为圆的直径，则，利用弧与弦之间的关系得到，据此根据列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴为圆的直径， ∴， 在中，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理的推论得出，根据平行线的性质推得，然后根据垂径定理即可证明； （2）根据勾股定理得出，根据垂径定理得出，结合勾股定理即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，点是上的点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点为弧的中点． （2）解：∵，，， 故在中，， ∵， ∴， ∵， 故在中，， ∴． 19．(1)25° (2)2 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． （2）如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 20．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证； （）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证； 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴都在的垂直平分线上， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $