3.3 垂径定理 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

垂径定理 一、单选题 1．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 5．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 6．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 9．如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（   ） A．8米 B．米 C．7米 D．6米 10．如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 12．如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 13．如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 14．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 15．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 16．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 三、解答题 17．如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 18．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 19．如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 20．如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D C C C D B C 1．B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 根据垂径定理可得，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．C 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的利用垂径定理；先根据垂径定理得到的长，根据勾股定理和线段的和差得到的长度，进而即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵为的直径， ， ∴， ∵弦于E， ∴， 在中，， ∴ 即 ∴， ∴， ∴的面积为； 故选：D． 4．D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用． 连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【详解】解：连接， 设的半径是寸， ∵弦，垂足为点， 寸， 寸， 寸， ， ， ， ∴直径的长度为寸． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，学会利用垂径定理和勾股定理求线段的长度是解题的关键． 先利用垂径定理得到的长，再设圆的半径为x米，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程，解方程求出x的值即可解答． 【详解】解：由题意得，且过圆心O， ∴米， 设圆的半径为x米，则米， 在中，， ∴ 解得， ∴圆的半径为米． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过作于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， ， 的半径为，圆心到的距离为， ，， ， ． 故选C． 11．5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 12． 【分析】连接，根据已知易得：，再根据垂径定理可得：，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 13．10 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，直径弦，垂足为， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， 故答案为：10． 14．1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 15． 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 16．15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 17．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 18．(1)见解析 (2)的直径是 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 19．(1)圆弧所在圆的半径的长为； (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． （1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【详解】（1）解：连接，设圆弧所在圆的半径为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 解得； 答：圆弧所在圆的半径的长为； （2）解：连接，   ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ． ， 不需要采取紧急措施． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 垂径定理 一、单选题 1．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 5．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 6．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 9．如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（   ） A．8米 B．米 C．7米 D．6米 10．如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 12．如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 13．如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 14．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 15．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 16．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 三、解答题 17．如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 18．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 19．如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 20．如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $