3.2 圆的对称性 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆的对称性 一、单选题 1．如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 3．已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 4．如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 7．若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 10．如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 12．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 13．如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 14．如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 15．如图，是的直径，，，则的度数是 °．    16．如图，是半的直径，点C是弧的中点，点E是弧的中点，连接交于点F，则 ． 三、解答题 17．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 18．如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 19．如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 20．如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A A C B D D 1．D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 3．C 【分析】本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答． 【详解】解：取中点为E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由可得，即得，再根据邻补角的性质即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 5．A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 6．A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴O到的距离相等， 由题意，不一定成立， 结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意； 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 8．B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作交延长线于点，连接、，由垂直平分半径，得到，，在中利用余弦的定义推出，则有，根据点C是弧的中点，得出，解求出、的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作交延长线于点，连接、， 垂直平分半径， ，， ， 在中，， ， 点C是弧的中点， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ． 故选：D． 10．D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∴可设，则， ， ， ， ， 故选：D． 11．/度 【分析】本题考查了圆和扇形的面积计算. 设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 13．/80度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 16． 【分析】连接交于点H，根据点E是弧的中点，可得，从而证得，，进而得到，，设，则，，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点H， ∵点E是弧的中点， ∴， ∵是半的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，正确利用弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 19． 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的对称性 一、单选题 1．如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 3．已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 4．如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 7．若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 10．如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 12．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 13．如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 14．如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 15．如图，是的直径，，，则的度数是 °．    16．如图，是半的直径，点C是弧的中点，点E是弧的中点，连接交于点F，则 ． 三、解答题 17．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 18．如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 19．如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 20．如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $