3.1 圆 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆 一、单选题 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 3．在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 4．圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 5．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（    ） A． B． C． D．不能确定 8．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 9．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 12．在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 13．点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 14．如图，与轴交于点、，与轴交于点、，为上一动点，为弦上一点，．若点的坐标为，则的最小值为 ． 15．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 16．如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 三、解答题 17．如图，已知和直线，过圆心作，为垂足，，，为直线上三个点，且，，，若的半径为，，判断，，三点与的位置关系． 18．如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 19．“豆腐石磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．生产过程中它主要靠人力推动木柄，带动上方石磨转动（下方石磨不动），将豆粒磨碎，进行生产．它的主要工作部件可以看成一个圆和线段，俯视图如图②所示．如图③，为石磨的圆心，连接．已知与石磨的边缘交于点，木柄米，连接，、、三点共线，始终在上运动，的半径米，固定点到石磨边缘距离米． (1)在同等条件下，时，工作最省力，求此时的正切值； (2)在石磨转动过程中，求的取值范围； (3)在工作的过程中，线段能否与平行，请说明理由． 20．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆 一、单选题 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 3．在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 4．圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 5．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（    ） A． B． C． D．不能确定 8．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 9．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 12．在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 13．点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 14．如图，与轴交于点、，与轴交于点、，为上一动点，为弦上一点，．若点的坐标为，则的最小值为 ． 15．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 16．如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 三、解答题 17．如图，已知和直线，过圆心作，为垂足，，，为直线上三个点，且，，，若的半径为，，判断，，三点与的位置关系． 18．如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 19．“豆腐石磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．生产过程中它主要靠人力推动木柄，带动上方石磨转动（下方石磨不动），将豆粒磨碎，进行生产．它的主要工作部件可以看成一个圆和线段，俯视图如图②所示．如图③，为石磨的圆心，连接．已知与石磨的边缘交于点，木柄米，连接，、、三点共线，始终在上运动，的半径米，固定点到石磨边缘距离米． (1)在同等条件下，时，工作最省力，求此时的正切值； (2)在石磨转动过程中，求的取值范围； (3)在工作的过程中，线段能否与平行，请说明理由． 20．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B C A B B A C 1．B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 4．B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 5．C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 6．A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是掌握相关的圆的面积公式． 根据四边形的内角和为得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积． 【详解】解：∵四边形内角和为， ∴四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，即可求得，由此即可判断答案． 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 11． 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 12．点在上 【分析】此题主要是考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上，进行判断即可解答，能够熟记点到圆心的距离等于半径，则点在圆上是解题的关键． 【详解】解：， 如图：以点为圆心，以长为半径画圆， ， 由图可得，点与的位置关系是：点在上， 故答案为：点在上． 13．或/1或4 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，分别考虑点P在圆内和点P在圆外两种情况是解题的关键．根据点P在圆内时，圆的直径为最短距离与最长距离的和，点P在圆外时，圆的直径为最长距离与最短距离的差，由此即可得出答案． 【详解】若点P在圆内，如图①， 则，， ， 的半径为． 若点P在圆外，如图②， 则，， ， 的半径为． 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是作出辅助圆，当Q与重合时，最小．连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，得到，求出的长，推出，由勾股定理求出的长进一步求解即可． 【详解】解：如图， 连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q在上， ∴当Q与重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 15．2π 【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4， ∴， 连接，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的面积为， 故答案为：． 16．2 【分析】本题主要考查了圆周长的计算公式，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据圆周长计算公式可得，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质，得到，再根据等腰三角形的判定得到，由此可得，即得答案． 【详解】的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 17．点在内；点在上；点在外． 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有以下三种情况： 当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．据此即可求解． 【详解】解：∵，， 点在内； ∵，， 点在上； ∵，， 点在外． 18．到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【分析】先根据题意求出的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由， 知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 19．(1) (2)米米 (3)线段与不平行，见解析 【分析】（1）由，米，木柄米，结合正切的定义解答即可； （2）画出图形，结合点与圆上各点的最大距离与最短距离解答即可； （3）假设，可得，求解，此时，再进一步结合三角形的三边关系可得结论. 【详解】（1）解：在同等条件下工作最省力时 ，米 米 ． （2）解：如图，当点共线时 的最小值为：米 的最大值为：米 米米     ； （3）解：线段与不平行 理由：假设， 此时， 即， 不能构成三角形， 与不平行； 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，平行线分线段成比例，三角形的三边关系的应用，锐角三角函数的应用，结合图形解题是关键. 20．(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $