专题08 期末真题通关之解答必考题（期末复习专项训练，19大题型60题）七年级数学上学期新教材苏科版

专题08 期末真题通关之解答必考题（60题） 选择必考题 题型1 有理数的混合运算 题型14 新定义方程 题型2 化简求值 题型15 三角板旋转球t 题型3 解一元一次方程 题型16 欧拉公式 题型4 平行线与相交线的网格作图 题型17 图形的折叠 题型5 平行的性质与判定 题型18 平行线之间的动点求t 题型6 一元一次方程的应用（一）——工程、行程、日历问题 题型19 旋转角中的新定义 题型7 线段的计算 题型8 相交线的计算 题型9 线段、射线、直线画图 题型10 一元一次方程的应用（二）——销售、收费、方案问题 题型11 规律问题 题型12 尺规作图 题型13 做差法比较大小 题型一 有理数的混合运算 1．（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先利用乘法分配律进行计算，再进行加减运算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算律、有理数的运算顺序等知识点是解决本题的关键． （1）先计算乘方，再计算除法，最后算加减即可； （2）先算乘方，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 化简求值 4．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 5．（25-26七年级上·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 6．（25-26七年级上·青海西宁·期中）已知． (1)化简； (2)当，时，求的值； 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查整式加减混合运算和代数式求值，涉及去括号法则、合并同类项，掌握整式混合运算法则以及代数式求值的题型方法是解决问题的关键． （1）根据题意，先去括号，再合并同类项，运用整式加减运算法则求解即可； （2）整体代入（1）中所求结果，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：当，时， ． 题型三 解一元一次方程 7．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项合并得：， 解得； （2）解：去分母得：， 去括号得，， 移项合并得：， 解得． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，灵活运用解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1； （2）先去分母，再去括号，移项，最后合并同类项． 【详解】解：（1）去括号，得 ，移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项得， 合并同类项，得． 9．（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 题型四 平行线与相交线的网格作图 10．（24-25七年级下·江西吉安·月考）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点C画直线的平行线；过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（仅利用所给方格纸和直尺作图）． (2)线段的大小关系为： ______．理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)＜，垂线段最短 【分析】本题考查作图-平行线，垂线，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． (1)根据垂线的定义，平行线的判定，画出图形即可； (2)利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵， ∴（垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂线段及平行线的作法是解答此题的关键． （1）过点P作，交于点C即可； （2）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （3）依据平行线的判定，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求； （2）∵， ∴线段的长度是点O到的距离． 故答案为：； （3）如图，． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)直线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据推尺子的方法，作图即可； （2）根据垂直定义作图即可； （3）根据点到直线的距离是垂线段的长度可求． 【详解】（1）解：直线即为所求： （2）解：直线即为所求： （3）解：根据点到直线的距离是垂线段的长度， ∴线段的长度是点H到直线的距离， 故答案为：直线． 题型五 平行的性质与判定 13．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是找出角度之间的数量关系，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质求解，即可得到答案； （2）由角平分线的定义，得到，根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ，， ， ， ， 平分， ． 14．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，． (1)请说明的理由． (2)若平分，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质得到，可知，即可证明； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ； （2）解：，， ， 平分， ． 15．（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若于点H，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． （1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 题型六 一元一次方程的应用（一）——工程、行程、日历问题 16．（24-25六年级上·上海·月考）为了更好的完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施工．已知甲队单独施工9天可以完成，乙队单独施工6天可以完成．如果甲、乙两队先合作施工几天后，余下的工作由乙队单独完成，已知在整个施工过程中乙队一共工作了4天．请问甲、乙两队合作施工了几天？ 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设甲、乙两队合作施工了x天，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作施工了x天， ∴， 解得，， ∴甲、乙两队合作施工了3天． 17．（2025七年级上·河北石家庄·专题练习）以下是两张不同类型火车的车票（“”表示动车，“”表示高铁）： 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向_____，出发时刻_____（填“相同”或“不同”）； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ (3)在（2）的条件下，直接写出高铁出发_____小时后，动车与高铁相距． 【答案】(1)相同，不同 (2)高铁的平均速度是，动车的平均速度是 (3)1.5 【分析】本题考查的是一元一次方程在行程问题中的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键； （1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同，但出发时间分别是与，所以出发时刻不同； （2）设该动车的平均速度为，高铁的平均速度为，而两车同时到达终点，于是可列方程，解方程即可求出高铁和动车的平均速度； （3）设在高铁出发小时后，动车在高铁前面处，于是可列方程解方程，即可求出高铁和动车的平均速度； 【详解】（1）解：车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同； 两车出发时间分别是与，所以出发时刻不同； 故答案为：相同，不同． （2）解：设该动车的平均速度为，高铁的平均速度为， 则：， 解之得：， ， 答：该高铁的平均速度是，动车的平均速度是． （3）解：设在高铁出发小时后，动车在高铁前面处， 依题意得：， 解得， 答：高铁出发1.5小时后，动车在高铁前面处． 18．（24-25七年级上·山西长治·期中）综合与实践 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“”字框框中了5个数． （1）这5个数中，最小数与最大数的差是__________． （2）任意移动“”字框到其他位置，设“”字框中最中间的数为，用含的代数式表示“”字框中的其他数字并计算这5个数的和． 实践探究： （3）小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出一个即可） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①（答案不唯一，或或或）；②这5个数是15，17，22，23，24 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减运算，正确列出代数式是关键； （1）最小数减最大数即可； （2）根据上下相邻两个数相差7，左右相邻两个数相差1，即可表示其它4个数，并求出这5个数的和； （3）①根据上下相邻两个数相差7，左右相邻两个数相差1，即可表示出这5个数，进而求出其和； ②根据①中所求和得到简易方程，即可求解． 【详解】解：（1）最小数是11，最大数是27， ； 故答案为：； （2）中间的数为x，则x上面的数为，x下面的数为，左边的数为，右边的数为， 这5个数的和为：； （3）①由题意得：， 这5个数的和为：； ②由①得：， 解得：， 此时， 即这5个数是15，17，22，23，24． 题型七 线段的计算 19．（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）如图，线段．点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，满足，求的长． 【答案】(1)的长为18 (2)的长为10或14 【分析】本题主要考查线段的和差运算，理解题意是解题的关键． （1）根据线段的中点先算出的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出的长，分类讨论，当点E在之间时；当点E在之间时；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为18； （2）解：∵， ∴， 当点E在之间时，； 当点E在之间时，； 综上所述，的长为10或14． 20．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． (1)求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，得到，解答即可； （2）根据题意，得，根据F为的中点，得到，故． 本题考查了线段的和差，线段的中点，一元一次方程的应用，熟练掌握中点，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故的长为． （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴． 21．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图，已知线段，点M，C为线段上两点，点M为的中点，，． (1)求的长； (2)若点D为直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段和差计算等知识，正确理解题意，弄清线段之间的关系是解题关键． （1）先根据中点得出，进一步得出，继而由可得答案； （2）分点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况，再进一步即可解答． 【详解】（1）解：∵，点M为的中点， ∴． ∵， ∴，， ∴． （2）解：当点D在线段上时，如图． ∵，， ∴． 又∵， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图． ∵，， ∴． 又∵， ∴； 综上所述，的长为或． 题型八 相交线的计算 22．（2025七年级上·全国·专题练习）点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ，， ， 平分， ， ． 23．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以； （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 24．（2025七年级上·重庆·专题练习）已知直线，，交于点，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用两角之差算出，然后利用互补计算出即可； （2）先算出，再算出即可论证结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的和差倍分、角平分线、垂直的定义、邻补角的定义，关键是角的和差倍分． 题型九 线段、射线、直线画图 25．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）根据下列语句，画出图形，并解决下列问题， (1)如图，已知四点A，B，C，D． ①画直线； ②连接，，相交于点O； ③画射线，，交于点P． (2)在（1）中形成的线段中，以A为端点的线段有______条． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了简单作图、直线、射线、线段的定义等知识点，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的性质画图即可； （2）根据线段的定义确定相关线段，进而确定以A为端点的线段的条数． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：以A为端点的线段有，共5条． 故答案为5． 26．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，平面上有三个点，，． (1)根据下列语句画图：作出射线，，直线； (2)在射线上取一点（不与点重合），使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，回答下列问题： ①数一数，此时图中共有________条线段，________条射线． ②若，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①,；②3 【分析】本题考查了画直线、射线、作线段； （1）按照题意作图即可； （2）按照题意作图即可； （3）①根据线段与射线的定义，数出线段和射线即可； ②根据即可求解． 【详解】（1）如图，射线，直线； （2）如图， （3）①线段有共条； 射线有为端点的两条，为射线端点的有3条，为端点两条，为射线端点的有一条，共条 ∴图中共有条线段，条射线 故答案为：，． ②∵， ∴． 故答案为：． 27．（19-20七年级上·广东佛山·期末）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)分别连接； (4)我们容易判断出线段与的数量关系是_________，理由是_________________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了基本作图，两点之间线段最短，掌握射线、直线、线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间线段最短即可求解； 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：线段与的数量关系是，理由是两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 题型十 一元一次方程的应用（二）——销售、收费、方案问题 28．（25-26七年级上·山东青岛·月考）一家超市销售甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价为70元，利润率为，乙种商品每件的进价为80元，售价为128元． (1)甲种商品每件的售价为______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该超市同时购进甲、乙两种商品共50件，且恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件． (3)在国庆假期期间，该超市对乙种商品按下表优惠条件进行相应的促销活动： 打折前一次性购物总额 优惠措施 不超过480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予六折优惠 超过680元 按购物总额给予七五折优惠 已知小聪一次性购买乙种商品实际付款576元，求小聪在该超市购买乙种商品多少件． 【答案】(1)98， (2)购进甲种商品20件，乙种商品30件 (3)5件或6件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据利润率（售价进价）进价列式求解即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据总进价为3800元建立方程求解即可； （3）设小聪在该超市购买乙种商品打折前一次性购物总额为m元，分两种情况：购买总金额超过480元且不超过680元和购买总金额超过680元，根据所给的优惠标准建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元，， ∴甲种商品每件的售价为98元，乙种商品每件的利润率为； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得， ∴， 答：购进甲种商品20件，乙种商品30件； （3）解：设小聪在该超市购买乙种商品打折前一次性购物总额为m元， 当购买总金额超过480元且不超过680元时，则， 解得， ∴，即此时购买乙种商品5件； 当购买总金额超过680元时，则， 解得， ∴，即此时购买乙种商品6件； 综上所述，购买乙种商品5件或6件， 答：小聪在该超市购买乙种商品5件或6件． 29．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2760度及以下部分 0.57 0.29 第二档 年用电2761～4800度部分 0.62 0.36 第三档 年用电4801度及以上部分 0.86 0.58 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算， 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1～6 7 8 用电量（度） 3400 600 900 【问题解决】 (1)若该用户在7月份所用的高峰电量为500度，求该用户7月份应缴电费． (2)已知该用户在8月份第二档所用低谷电是第三档所用低谷电的5倍，缴纳电费471.4元，求该用户8月份所用的第三档低谷电的度数． 【答案】(1)346元 (2)70度 【分析】 本题考查了分段计费问题，结合居民生活用电的分时电价与累进档位进行电费计算。解题的关键是准确判断用户每月用电量所属档位，并依据不同档位的电价分别计算高峰与低谷电费；易错点在于档位临界值的把握以及各档位电量的分配计算，需注意累计用电量对档位的影响． （1）根据1~6月累计用电量和7月用电量，确定7月用电量所属档位；再根据高峰电量为500度，计算低谷电量，再按照分时电价计算即可； （2）先根据1~7月累计用电量和8月用电量，计算该用户8月份的用电量所属档位，根据计算得在第二档的有800度，在第三档的有100度，设该用户8月份第三档所用低谷电的度数为度，则第三档高峰电的度数为度；第二档所用低谷电的度数为度，第二档高峰电的度数为度，再按照分时电价列出方程即可． 【详解】（1）解：∵（度），， ∴该用户7月份的用电量在第二档， 根据题意得： （元）； 答：该用户7月份应缴电费346元． （2）解：∵（度），（度），， ∴该用户8月份的用电量在第二档的有800度，在第三档的有100度； 设该用户8月份第三档所用低谷电的度数为度，则第三档高峰电的度数为度； 第二档所用低谷电的度数为度，第二档高峰电的度数为度； 根据题意得：， ， ， 解得；                                              答：该用户8月份所用第三档低谷电的度数为70度． 30．（2025七年级上·全国·专题练习）某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、B两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳：B网店：跳绳和足球都按定价的付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款_________元，若在B网店购买，需付款_________元（用含x的整式表示）； (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)试求当x取何值时，在两家网店的购买费用相同？ (4)若，综合两家网店优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】(1)； (2)当时，在A网店购买较合算 (3)当x为280时，在两家网店的购买费用相同 (4)最省钱的方案为：在A网店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在B网店购买140条跳绳，需付款13380元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据两个网店的优惠方案列出代数式即可； （2）代入两个代数式，求出代数式的值，再比较大小即可； （3）根据在两家网店的购买费用相同列出方程，解方程即可； （4）根据两家网店的优惠方案，在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买140条跳绳，最省钱，求出费用即可． 【详解】（1）解：在A网店购买付款钱数：（元）； 在网店购买付款钱数：（元）； 故答案为：；． （2）解：当时，在A网店购买的付款钱数： （元）， 在网店购买付款钱数： （元）， ， ∴当时，在A网店购买较合算； （3）解：由题意得，， 解得，， 答：当为280时，在两家网店的购买费用相同． （4）解：当时，可以在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买条跳绳， 所以 （元）． ， ∴最省钱的方案为：在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买140条跳绳，需付款13380元． 题型十一 规律问题 31．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，改变棋子的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，棋子分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第n层有______个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的总个数为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的总个数为，前4层棋子的总个数为，… 根据上述规律，前n层棋子的总个数用含n的代数式可以表示为______； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：当时，，当时，， ∴ ． 32．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）如图是用棋子摆成的形状像“上”字的图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题. (1)摆成图2需要 枚棋子，摆成图3需要 枚棋子，摆成图n需要 枚棋子； (2)摆成第50个图形需要多少枚棋子? (3)七（1）班有66名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这“66”枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字?若能，请问能站成图几?并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，, (2)第个图形中棋子数为： (3)能，站成图，最下面一横人数为人，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律性问题和解一元一次方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解． （1）图、图，图3的棋子数根据题目所给图形进行求解即可；根据图需要枚棋子，图需要枚棋子，图需要枚棋子，图需要枚棋子，可以推出图需要枚棋子； （2）根据图需要枚棋子，即可得出第个图形的棋子数； （3）令，解得；再根据图下面的一“横”需要枚棋子，图下面的一“横”需要枚棋子，图下面的一“横”需要枚棋子，图下面的一“横”需要枚棋子，可以推出图下面的一“横”需要枚棋子，由此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：图需要枚棋子，图需要枚棋子， 图需要枚棋子，图需要枚棋子，图需要枚棋子，图需要枚棋子，可以推出图需要枚棋子， 故答案为：，，； （2）解：第个图形中棋子数为： （3）解：能，理由如下：，解得：， 根据图下面的一“横”需要枚棋子，图下面的一“横”需要枚棋子，图下面的一“横”需要枚棋子，图下面的一“横”需要枚棋子，可以推出图下面的一“横”需要枚棋子， ， 最下面一横人数为人． 33．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【分析】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律． （1）根据图形进行解答即可； （2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可； （3）①将代入代数式进行求解即可； ②将代入求出结果即可． 【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 题型十二 尺规作图 34．（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）如图点为直线上一点，射线与点在直线的同一侧，且点在内部． (1)请按要求进行尺规作图：作射线，并在内部作，使得（不写作法和结论，只保留作图痕迹）． (2)小风发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：（已知）， ． ① ． ② ，（已知） ．（角平分线的定义） 又（邻补角的定义）， ③ ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②平分；③；④90 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角．熟练掌握基本作图，角平分线定义，是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）①根据角平分线定义知，②已知中的为的角平分线，③是求度数，④． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； （2）解：∵（已知）， ∴， ∴， ∵平分， ∴，（角平分线的定义） 又∵，（邻补角的定义） ∴． 故答案为：①；②平分；③；④90． 35．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，点E是线段上一点．在射线上截取，在射线上截取． (1)用尺规作图法作出符合题意的图形（保留作图痕迹，不需要写作法）； (2)连接，在四边形内找一点O，使它到四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，理由是两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了尺规作图、两点之间线段最短等知识点，掌握尺规作图的方法是解题的关键． （1）根据题意利用尺规画出符合题意的图形即可； （2）根据两点之间线段最短，即可在四边形内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小． 【详解】（1）解：如图，线段，线段即为所求； （2）解：如图，连接交于点O， ∴，最短， ∵两点之间线段最短， ∴点O到A、B、C、D四个顶点的距离之和最小． 36．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，在中，，平分交于点D， (1)请利用尺规作图，在线段的左侧作，延长交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，求的度数． 解：∵ ∴____________① ___________② ∵平分 ∴___________③ ∴___________④ 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图，掌握角平分线的定义是解决本题的关键． （1）以点B为圆心，以任意长为半径交和于点G和点F，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点I，以点I为圆心，以长为半径画弧交上一个弧于点H，连接射线交的延长线于点E，此时点E即为所求； （2）根据题意求出的度数，则，再根据角平分线的定义可求出的度数，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求， （2）解：∵， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴ ， 故答案为：①；②；③；④． 题型十三 做差法比较大小 37．（25-26七年级上·甘肃定西·月考）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，判断差的符号解答即可； （2）计算，判断差的符号解答即可． 本题考查了整式的大小比较，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：， 因为，所以． （2）解： ， 因为，所以， 所以． 38．（25-26七年级上·北京·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个代数式，的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；，则． 请你用“作差法”解决以下问题： (1)用作差法比较和的大小； (2)某工厂制作两种规格的同一产品，需要用到、两种不同型号的钢板，已知一块型钢板的面积大于，且一块型钢板的面积比一块型钢板大．现有两种用料方案： 方案一：用3块型钢板和6块型钢板； 方案二：用2块型钢板和8块型钢板． 如果设每块型钢板的面积是，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由； (3)已知有理数，，，则与的大小关系是______． 【答案】(1) (2)从省料角度应选方案一，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，整式的加减计算，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）分别表示出两种方案需要的材料，再利用作差法求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可证明，则． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：从省料角度应选方案一，理由如下： 由题意得，方案一需要材料， 方案二需要材料， ， ∵一块型钢板的面积大于，即， ∴， ∴， ∴从省料角度应选方案一； （3）解：设a、b为两个有理数，点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，点O在数轴上表示原点， ∴，； 当点A和点B在原点同侧（包含原点时），则， ∴此时； 当点A和点B在原点的两侧时，，， ∵， ∴； 综上所述，， ∴． 39．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）小明在探究有理数大小比较的方法时，观察到两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，让我们来和小明一起完成他的探究． (1)观察并补全下表： 已知 计算 比较大小 a b 与0 a与b 5 3 2 2     0 (2)发现规律： 若，则a b；若，则a b；若，则； (3)应用扩展： 在整式中，整式A和整式B也是满足上述规律的，请利用上面发现的规律解决问题． ①比较大小： ； ②整式，整式，试讨论比较整式与整式的大小． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；②当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了有理数的减法运算，有理数的大小比较，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算即可补全表格； （2）根据规律填空即可； （3）①先计算与的差，再结合（2）中的规律即可得出结论；②先计算，再根据计算结果分类讨论即可． 【详解】（1）解：， 补全下表如下： 已知 计算 比较大小 a b 与0 a与b 5 3 2 2 5 0 （2）解：若，则；若，则；若，则； 故答案为：；； （3）解：①， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ② ， 当时，即，，则； 当时，即，，则； 当时，即，，则； ∴综上所述，当时，；当时，；当时，． 题型十四 新定义方程 40．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，而，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义问题． （1）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于m的方程，解之即可求得m； （2）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于a，b的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值； （3）先求出两个方程的解，由“差解方程”的意义分别得到关于m，n的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值． 【详解】（1）解：解关于的一元一次方程，得， 由于是“差解方程”， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：解关于的一元一次方程，得：， 由于关于的一元一次方程即是“差解方程”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：18； （3）解：解，得， 由题意得：， 解得：； 解，得， 由题意得：， 解得：， ∴ ． 41．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为6，则称这两个方程为“和和方程对”；如果两个一元一次方程的解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“美美方程对”；如果两个一元一次方程的解既满足和为6，又满足解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“和和美美方程对”． (1)请判断下列说法是否正确；（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①关于的一元一次方程与为“和和美美方程对”（   ） ②关于的一元一次方程与为“美美方程对”，则（   ） ③关于的一元一次方程与为“和和方程对”，则（   ） (2)关于的一元一次方程与为“和和美美方程对”（其中为整数），求，的值； (3)无论取何值时，关于的一元一次方程与恒为“和和方程对”，求关于的方程的解． 【答案】(1)①×；②√；③√； (2)， (3) 【分析】题目主要考查解一元一次方程及对新定义的理解，熟练掌握解方程的方法是解题关键． （1）先分别求解一元一次方程，然后根据题意分别分析判断即可； （2）解两个方程得出；，然后根据题意得出且均为整数且符号相同，进行分析求解即可； （3）先分别求解一元一次方程，然后根据题意得出，整理得出，，代入解方程即可． 【详解】（1）解：①解得：， 解得：， ∵与符号不同， ∴关于的一元一次方程与不是“和和美美方程对”，故①错误； ②解得：， 解得：， ∵关于的一元一次方程与为“美美方程对”， ∴与均为整数且符号相同， ∴，故②正确； ③解得：， 解得：， ∵关于的一元一次方程与为“和和方程对”， ∴， ∴， ， ∴，故③正确； 故答案为：①×；②√；③√； （2）解：，， 解得：；， ∵关于的一元一次方程与为“和和美美方程对”， ∴且均为整数且符号相同， ∴为的约数， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）或或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 此时两个方程的解分别为，，不符合题意，舍去； ∴，； （3）， 解得：； ， 解得：； ∵关于的一元一次方程与恒为“和和方程对”， ∴， 整理得：， ∵对于任意成立， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 代入方程得：， 解得：． 题型十五 三角板旋转球t 42．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 43．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 题型十六 欧拉公式 44．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 __________ 长方体 8 6 12 正八面体 __________ 8 12 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是__________； (2)如图，正十二面体，它的棱数比顶点数大__________； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面八边形的个数． 【答案】(1)填表见解析， (2)10 (3)4 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，一元一次方程的实际应用，根据给出的多面体，找到顶点数、面数、棱数之间的关系，是解题的关键： （1）观察图形，填写表格，根据表格数据，确定关系式即可； （2）根据（1）关系式，结合正十二面体有12个面，进行求解即可； （3）设该多面体外表面八边形的个数为，则该多面体外表面三角形的个数为，根据顶点数，面数，棱数之间的关系式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 ∵；；； 故顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是； （2）解：∵正十二面体有12个面，即， ∴， ∴，即， ∴正十二面体的棱数比顶点数大10； （3）解：∵多面体共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴多面体共有（条）棱，即：， ∴， ∴， 设该多面体外表面八边形的个数为，则该多面体外表面三角形的个数为，由题意，，解得； 故该多面体外表面八边形的个数为4． 45．（25-26七年级上·广东清远·月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)表格见解析 (2) (3)12 (4)8 【分析】本题考查了多面体顶点、面数、棱数之间的关系，解决本题的关键是有表格得到这三者之间的关系． （1）根据四面体，长方体，正八面体，正十二面体的顶点数，面数以及棱数计算填表即可； （2）观察表格中顶点数，面数以及棱数的数字即可得解； （3）根据顶点数比面数大4，可列，再由有18条棱，可列，根据求解即可； （4）先求解出该玻璃饰品的棱数，再根据可求解该玻璃饰品的面数，由此可求． 【详解】（1）解：表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）解：根据表格，可以发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）解：∵顶点数比面数大4， ∴，即， ∵有18条棱， ∴， ∵； ∴，解得， ∴这多面体的顶点数是12； 故答案为：12； （4）解：∵该玻璃饰品有12个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴共有条棱， 设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴． 题型十七 图形的折叠 46．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 【答案】（1）①③；（2）①40；②294；（3）见解析，图3的体积为，图4的体积为： 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①③， 故答案为：①③； （2）①图2中的正方体的底面是边长为的正方形， 因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图3中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒． 图3的体积为： ， 图4的体积为：． 47．（25-26七年级上·福建厦门·月考）综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒 【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板，，． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)求图4中棱的长； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20，40 (2)5 (3)第三小组的说法不正确，见解析 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元一次方程的实际应用等知识． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设，则，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系， 列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）分别计算出两个小组制作的长方体收纳盒的体积，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：20；40； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， 即，． （3）解：第一小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 第二小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 所以第一小组制作的长方体收纳盒与第二小组制作的长方体收纳盒体积相同， 第三小组的说法不正确． 题型十八 平行线之间的动点求t 48．（2025七年级上·全国·专题练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是　　　　　；如图④，　　　　　，则与的位置关系为　　　　　 (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒， /秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示　　　　　； ②当时，两条射线所夹的锐角为　　　　　． (3)在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，灯Q转动　　　　　秒，两灯的光束互相平行． 【答案】(1)垂直，，平行 (2)①；② (3)10或 【分析】（1）根据折叠的性质，补角特点，以及平行线的判定定理分析求解，即可解题； （2）①根据题意列出代数式即可； ②记两条射线相交于点，作，证明，分别算出，，再结合平行线性质推出，进而求出，即可解题； （3）根据题意得到灯P射线到达时，所用时间为秒，再结合灯Q射线运动状态分情况，当，且时，当，且时，当，且时，分别表示出，，最后结合平行线性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：结合折叠的性质，以及图③可知，， ， 图②的折痕与直线的位置关系是垂直； 由折叠的性质，同理可得， ； 内错角相等，两直线平行， 则与的位置关系为平行； 故答案为：垂直，，平行； （2）解：①由题意知，； 故答案为：． ②如图，记两条射线相交于点，作， ， ， 当，，， ， ， ， 即当时，两条射线所夹的锐角为； 故答案为：． （3）解：，， 记灯P射线为交于点，灯Q射线， 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得(不合题意，舍去)； 综上所述，在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行． 故答案为：10或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，补角特点，平行线性质和判定，列代数式，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 49．（24-25七年级下·贵州·月考）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，的值为或；②的值为或或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、三角板中角度的计算、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出的度数，再由角平分线的定义可得，再由两直线平行，同旁内角互补求出，最后再由，计算即可得解； （2）①分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解；②分情况讨论，分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，当在上方时， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴， 解得：； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴此时旋转了， ∴， 解得：； 综上所述，在旋转过程中，若边，的值为或； ②如图，延长与交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点作， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 如图，延长与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，的值为或或． 题型十九 旋转角中的新定义 50．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）【定义阅读】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“伴随线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的“伴随线”；同理，由于，称射线是射线的“伴随线”． 【理解运用】 （1）如图2，，若射线是射线的“伴随线”，则 ． （2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）：如图2，在上方作（），使射线是射线的“伴随线”； 【深度探究】 （3）如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为t秒）． ①当t的值为 时，的度数是； ②求当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的“伴随线？” 【答案】（1） （2）见解析 （3）①或 ②的值为或或或 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）根据作一个角等于已知角的方法解题即可； （3）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】解：（1）如图： ∵射线是射线的伴随线， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图，当为射线的“伴随线”时，， 即要作，步骤如下： 以为圆心，长为半径画弧交、于、； 以为圆心，长为半径画弧交于； 连接，则； 同理可作出，即， 则所在的射线即为所求； （3）①当和还未相遇时，的度数是，则有： ， 解得：； 当和相遇后，的度数是，则有： ， 解得：； 故答案为：或； ②如图4，射线是射线的伴随线， ∴， ∴， 解得：； 如图5，射线是射线的伴随线， ∴， ∴ 解得：； 如图6，射线是射线的伴随线， ∴， ， 解得：； 如图7，射线是射线的伴随线， ∴， ∴， 解得：． 答：的值为或或或时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 51．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)40 (2)①135；②不变，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； 【详解】（1），为的二倍分线，且， ，， ， ， 故答案为：40； （2）①，分别为和的三倍分线（，）， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：135； ②不变， ，分别为和的三倍分线，，， ，， ． 52．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，先去分母，再去括号，然后合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 53．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 54．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 55．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 56．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 57．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 58．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 59．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； (2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 【答案】(1)90，60 (2)①；②或125 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）直接根据表中数据解答即可； （2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； ②先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟， G1002次列车从A站到C站共需分钟， ∴， ∴， 故答案为：； ②（千米/分钟），， （千米/分钟）． ， A与B站之间的路程为360． ， 当时，G1002次列车经过B站． 由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车． ⅰ．当时，， ，，（分钟）； ⅱ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅳ．当时，， ，，（分钟）． 综上所述，当或125时，． 60．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推， [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块 【分析】（1）由图观察即可； （2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可； （3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量． 【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 故答案为：2 ； （2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4； 所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块； 故答案为：； （3）令    则 当时， 此时，剩下一块等腰直角三角形地砖 需要正方形地砖1008块． 【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期末真题通关之解答必考题（60题） 选择必考题 题型1 有理数的混合运算 题型14 新定义方程 题型2 化简求值 题型15 三角板旋转球t 题型3 解一元一次方程 题型16 欧拉公式 题型4 平行线与相交线的网格作图 题型17 图形的折叠 题型5 平行的性质与判定 题型18 平行线之间的动点求t 题型6 一元一次方程的应用（一）——工程、行程、日历问题 题型19 旋转角中的新定义 题型7 线段的计算 题型8 相交线的计算 题型9 线段、射线、直线画图 题型10 一元一次方程的应用（二）——销售、收费、方案问题 题型11 规律问题 题型12 尺规作图 题型13 做差法比较大小 题型一 有理数的混合运算 1．（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）计算： (1) (2) 题型二 化简求值 4．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）先化简，再求值：，其中，． 5．（25-26七年级上·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中，． 6．（25-26七年级上·青海西宁·期中）已知． (1)化简； (2)当，时，求的值； 题型三 解一元一次方程 7．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解下列方程： (1)； (2)． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）解方程： (1)； (2) 题型四 平行线与相交线的网格作图 10．（24-25七年级下·江西吉安·月考）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点C画直线的平行线；过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（仅利用所给方格纸和直尺作图）． (2)线段的大小关系为： ______．理由：______． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 题型五 平行的性质与判定 13．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 14．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，． (1)请说明的理由． (2)若平分，时，求的度数． 15．（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若于点H，，求的度数． 题型六 一元一次方程的应用（一）——工程、行程、日历问题 16．（24-25六年级上·上海·月考）为了更好的完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施工．已知甲队单独施工9天可以完成，乙队单独施工6天可以完成．如果甲、乙两队先合作施工几天后，余下的工作由乙队单独完成，已知在整个施工过程中乙队一共工作了4天．请问甲、乙两队合作施工了几天？ 17．（2025七年级上·河北石家庄·专题练习）以下是两张不同类型火车的车票（“”表示动车，“”表示高铁）： 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向_____，出发时刻_____（填“相同”或“不同”）； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ (3)在（2）的条件下，直接写出高铁出发_____小时后，动车与高铁相距． 18．（24-25七年级上·山西长治·期中）综合与实践 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“”字框框中了5个数． （1）这5个数中，最小数与最大数的差是__________． （2）任意移动“”字框到其他位置，设“”字框中最中间的数为，用含的代数式表示“”字框中的其他数字并计算这5个数的和． 实践探究： （3）小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出一个即可） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 题型七 线段的计算 19．（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）如图，线段．点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，满足，求的长． 20．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． (1)求的长； (2)若F为的中点，求长． 21．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图，已知线段，点M，C为线段上两点，点M为的中点，，． (1)求的长； (2)若点D为直线上一点，且，求的长． 题型八 相交线的计算 22．（2025七年级上·全国·专题练习）点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数． 23．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 24．（2025七年级上·重庆·专题练习）已知直线，，交于点，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，证明：． 题型九 线段、射线、直线画图 25．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）根据下列语句，画出图形，并解决下列问题， (1)如图，已知四点A，B，C，D． ①画直线； ②连接，，相交于点O； ③画射线，，交于点P． (2)在（1）中形成的线段中，以A为端点的线段有______条． 26．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，平面上有三个点，，． (1)根据下列语句画图：作出射线，，直线； (2)在射线上取一点（不与点重合），使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，回答下列问题： ①数一数，此时图中共有________条线段，________条射线． ②若，则________． 27．（19-20七年级上·广东佛山·期末）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)分别连接； (4)我们容易判断出线段与的数量关系是_________，理由是_________________． 题型十 一元一次方程的应用（二）——销售、收费、方案问题 28．（25-26七年级上·山东青岛·月考）一家超市销售甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价为70元，利润率为，乙种商品每件的进价为80元，售价为128元． (1)甲种商品每件的售价为______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该超市同时购进甲、乙两种商品共50件，且恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件． (3)在国庆假期期间，该超市对乙种商品按下表优惠条件进行相应的促销活动： 打折前一次性购物总额 优惠措施 不超过480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予六折优惠 超过680元 按购物总额给予七五折优惠 已知小聪一次性购买乙种商品实际付款576元，求小聪在该超市购买乙种商品多少件． 29．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2760度及以下部分 0.57 0.29 第二档 年用电2761～4800度部分 0.62 0.36 第三档 年用电4801度及以上部分 0.86 0.58 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算， 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1～6 7 8 用电量（度） 3400 600 900 【问题解决】 (1)若该用户在7月份所用的高峰电量为500度，求该用户7月份应缴电费． (2)已知该用户在8月份第二档所用低谷电是第三档所用低谷电的5倍，缴纳电费471.4元，求该用户8月份所用的第三档低谷电的度数． 30．（2025七年级上·全国·专题练习）某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、B两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳：B网店：跳绳和足球都按定价的付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款_________元，若在B网店购买，需付款_________元（用含x的整式表示）； (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)试求当x取何值时，在两家网店的购买费用相同？ (4)若，综合两家网店优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 题型十一 规律问题 31．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，改变棋子的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，棋子分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第n层有______个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的总个数为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的总个数为，前4层棋子的总个数为，… 根据上述规律，前n层棋子的总个数用含n的代数式可以表示为______； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 32．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）如图是用棋子摆成的形状像“上”字的图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题. (1)摆成图2需要 枚棋子，摆成图3需要 枚棋子，摆成图n需要 枚棋子； (2)摆成第50个图形需要多少枚棋子? (3)七（1）班有66名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这“66”枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字?若能，请问能站成图几?并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 33．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 题型十二 尺规作图 34．（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）如图点为直线上一点，射线与点在直线的同一侧，且点在内部． (1)请按要求进行尺规作图：作射线，并在内部作，使得（不写作法和结论，只保留作图痕迹）． (2)小风发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：（已知）， ． ① ． ② ，（已知） ．（角平分线的定义） 又（邻补角的定义）， ③ ④ ． 35．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，点E是线段上一点．在射线上截取，在射线上截取． (1)用尺规作图法作出符合题意的图形（保留作图痕迹，不需要写作法）； (2)连接，在四边形内找一点O，使它到四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 36．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，在中，，平分交于点D， (1)请利用尺规作图，在线段的左侧作，延长交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，求的度数． 解：∵ ∴____________① ___________② ∵平分 ∴___________③ ∴___________④ 题型十三 做差法比较大小 37．（25-26七年级上·甘肃定西·月考）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 38．（25-26七年级上·北京·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个代数式，的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；，则． 请你用“作差法”解决以下问题： (1)用作差法比较和的大小； (2)某工厂制作两种规格的同一产品，需要用到、两种不同型号的钢板，已知一块型钢板的面积大于，且一块型钢板的面积比一块型钢板大．现有两种用料方案： 方案一：用3块型钢板和6块型钢板； 方案二：用2块型钢板和8块型钢板． 如果设每块型钢板的面积是，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由； (3)已知有理数，，，则与的大小关系是______． 39．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）小明在探究有理数大小比较的方法时，观察到两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，让我们来和小明一起完成他的探究． (1)观察并补全下表： 已知 计算 比较大小 a b 与0 a与b 5 3 2 2     0 (2)发现规律： 若，则a b；若，则a b；若，则； (3)应用扩展： 在整式中，整式A和整式B也是满足上述规律的，请利用上面发现的规律解决问题． ①比较大小： ； ②整式，整式，试讨论比较整式与整式的大小． 题型十四 新定义方程 40．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，而，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 41．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为6，则称这两个方程为“和和方程对”；如果两个一元一次方程的解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“美美方程对”；如果两个一元一次方程的解既满足和为6，又满足解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“和和美美方程对”． (1)请判断下列说法是否正确；（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①关于的一元一次方程与为“和和美美方程对”（   ） ②关于的一元一次方程与为“美美方程对”，则（   ） ③关于的一元一次方程与为“和和方程对”，则（   ） (2)关于的一元一次方程与为“和和美美方程对”（其中为整数），求，的值； (3)无论取何值时，关于的一元一次方程与恒为“和和方程对”，求关于的方程的解． 题型十五 三角板旋转球t 42．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 43．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 题型十六 欧拉公式 44．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 __________ 长方体 8 6 12 正八面体 __________ 8 12 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是__________； (2)如图，正十二面体，它的棱数比顶点数大__________； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面八边形的个数． 45．（25-26七年级上·广东清远·月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． 题型十七 图形的折叠 46．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 47．（25-26七年级上·福建厦门·月考）综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒 【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板，，． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)求图4中棱的长； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 题型十八 平行线之间的动点求t 48．（2025七年级上·全国·专题练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是　　　　　；如图④，　　　　　，则与的位置关系为　　　　　 (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒， /秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示　　　　　； ②当时，两条射线所夹的锐角为　　　　　． (3)在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，灯Q转动　　　　　秒，两灯的光束互相平行． 49．（24-25七年级下·贵州·月考）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 题型十九 旋转角中的新定义 50．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）【定义阅读】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“伴随线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的“伴随线”；同理，由于，称射线是射线的“伴随线”． 【理解运用】 （1）如图2，，若射线是射线的“伴随线”，则 ． （2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）：如图2，在上方作（），使射线是射线的“伴随线”； 【深度探究】 （3）如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为t秒）． ①当t的值为 时，的度数是； ②求当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的“伴随线？” 51．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 52．解方程：． 53．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 54．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 55．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 56．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 57．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 58．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 59．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； (2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 60．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推， [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $