专题10 期末真题通关之中等易错题（期末复习专项训练，10大题型70题）七年级数学上学期新教材苏科版

专题10 期末真题通关之中等易错题（70题） 中等易错题（共60题） 题型1 代数式的整体代入（选、填） 题型6 程序流程图（选、填） 题型2 数轴上字母比较大小（选、填） 题型7 相交线的计算（选、填、解） 题型3 多边形的对角线问题（选、填） 题型8 折叠问题（选、填、解） 题型4 新定义运算（选、填） 题型9 线段的计算（选、填、解） 题型5 绝对值在数轴中的化简（选、填） 题型10网格作图与尺规作图（解） 题型一 代数式的整体代入（选、填） 1．若代数式的值为5，则的值为（    ） A．11 B．5 C．2 D．14 2．已知式子的值是3，则式子的值是（   ） A． B．10 C．9 D．8 3．当时，代数式的值为2025，则当时，代数式的值为（   ） A． B． C．2023 D．2025 4．若，则的值是 ． 5．如果代数式的值为2，那么代数式的值为 ． 6．当时，代数式的值为5，则当时，代数式的值是 ． 题型二 数轴上字母比较大小（选、填） 1．如图所示，表示数的点在数轴上，则将从小到大排列正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图所示，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．m，n是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把m，，n，从小到大的顺序排列是（    ） A． B． C． D． 4．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则、、、之间的大小关系是 ． 5．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．    6．两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 题型三 多边形的对角线问题（选、填） 1．过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 2．连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 3．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（    ）种． A．14 B．42 C．28 D．35 4．过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 ． 5．过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 6．连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 题型四 新定义运算（选、填） 1．定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 2．定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 3．定义，则方程的解为（   ） A． B．2 C． D．10 4．定义一种新运算：，如，则的结果是 ． 5．定义 为A的3倍减去B的2倍，即，已知，则 6．对于任意的有理数，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ． 题型五 绝对值在数轴中的化简（选、填） 1．已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 3．下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 5．已知数轴上点表示的数分别为，若，且．则式子的值为 ． 6．数、、在数轴上对应的位置如图所示，化简 ． 题型六 程序流程图（选、填） 1．如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（   ） A．10 B．8 C．6 D．19 2．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第9次输出的结果为（    ） A．27 B．1 C．3 D．9 3．我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2025次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 4．输入数据后，按照如图所示的程序计算，如果输入的数据为，求输出结果是 ． 5．如图，若输入，按图中的程序计算，则输出的结果是 6．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，若输入的数是36，则输出的结果为106；若输入的数是5，则输出的结果为 ． 题型七 相交线的计算（选、填、解） 1．如图，点O在直线上，射线平分．若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，O为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 3．如图，直线、相交于点，，，过点作，则的度数为 °． 4．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 5．点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数． 6．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型八 折叠问题（选、填、解） 1．如图，有一个长方形纸条，，，如图，将长方形沿折叠，与交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于边时，则的大小为（ ） A． B． C． D． 3．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 4．如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 5．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 6．已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 题型九 线段的计算（选、填、解） 1．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 3．如图，在线段上从左至右依次取C、D、E三点，若点E是的中点，，则的长为 ． 4．如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为 ． 5．如图，已知线段，点M，C为线段上两点，点M为的中点，，． (1)求的长； (2)若点D为直线上一点，且，求的长． 6．已知点在线段上，为的中点． (1)如图1，已知，求线段的长； (2)如图2，点在线段上，若，，已知，求线段的长． 题型十 网格作图与尺规作图（解） 1．如图，平面上有四个点，，，． (1)请用无刻度直尺和圆规完成下列作图．（不写画法，保留画图痕迹） ①直线，相交于点； ②在线段的延长线上取一点，使． (2)若为线段的三等分点，为线段的中点，且，，求的长． 2．如图点为直线上一点，射线与点在直线的同一侧，且点在内部． (1)请按要求进行尺规作图：作射线，并在内部作，使得（不写作法和结论，只保留作图痕迹）． (2)小风发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：（已知）， ． ① ． ② ，（已知） ．（角平分线的定义） 又（邻补角的定义）， ③ ④ ． 3．（1）在如图所示的方格纸上用无刻度直尺作图并标上相应的字母． ①过点P画线段的垂线，垂足为H； ②点A到线段的距离即线段________的长； ③线段、的大小关系是________（用“”连接），理由是______________________________． （2）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． ①画射线、直线、线段； ②在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 4．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2) （填“”、“”或“”），依据是 ； (3)若点是射线上一点，且，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 5．如图，已知点、、、，按要求画图： (1)连接； (2)画射线； (3)反向延长交直线于点； (4)画点，使得的值最小，这样画图的依据是_____． 6．如图，方格纸中的所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，，垂足为D． (1)画线段AB； (2)过点C画直线； (3)过点A画，垂足为A，交于点E； (4)线段______的长度可以表示点B到直线的距离． 1．当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 2．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 4．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值等于 ． 6．任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 7．如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 8．如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 9．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 10．如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期末真题通关之中等易错题（70题） 中等易错题（共60题） 题型1 代数式的整体代入（选、填） 题型6 程序流程图（选、填） 题型2 数轴上字母比较大小（选、填） 题型7 相交线的计算（选、填、解） 题型3 多边形的对角线问题（选、填） 题型8 折叠问题（选、填、解） 题型4 新定义运算（选、填） 题型9 线段的计算（选、填、解） 题型5 绝对值在数轴中的化简（选、填） 题型10网格作图与尺规作图（解） 题型一 代数式的整体代入（选、填） 1．若代数式的值为5，则的值为（    ） A．11 B．5 C．2 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体代入求值法，整体代入求值法是将已知条件适当变形，然后作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法．由已知代数式值为5，化简得到 的值，再代入目标代数式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 2．已知式子的值是3，则式子的值是（   ） A． B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，将所求式子变形为，然后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 3．当时，代数式的值为2025，则当时，代数式的值为（   ） A． B． C．2023 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值， 先求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 当时，． 故选：A． 4．若，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查代数的求值；利用已知条件整体代入即可求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2025. 5．如果代数式的值为2，那么代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可求出的值，而，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 6．当时，代数式的值为5，则当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据已知条件求出 m 与 n 的和，当时，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为5， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 题型二 数轴上字母比较大小（选、填） 1．如图所示，表示数的点在数轴上，则将从小到大排列正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题的关键；由数轴可知，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴； 故选B． 2．如图所示，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴比较数的大小，根据题意得到的正负性是解题的关键．根据数轴可知，则，再根据点到原点的距离大于到原点的距离，即可确定出，，的关系，据此即可得到答案． 【详解】解：由数轴上点的位置关系可知，， ， ． 到原点的距离大于到原点的距离， ． 故选：A． 3．m，n是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把m，，n，从小到大的顺序排列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴判断即可． 【详解】由数轴可知，， 则， 故选：C． 4．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则、、、之间的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较：先把数在数轴上表示出来，然后根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大进行大小比较 先在数轴上表示出、，然后根据数轴表示数的方法即可得到、、、之间的大小关系． 【详解】解：在数轴上表示出、， 如图， 、、、之间的大小关系是：． 故答案为：． 5．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．    【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先根据数轴，得出的情况，即可作答． 【详解】解：依题意，在数轴上的情况如下： ∴， 则从大到小的顺序为， 故答案为：． 6．两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据数轴上比较大小即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴的位置可知，， 故答案为：． 题型三 多边形的对角线问题（选、填） 1．过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【答案】C 【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键． 从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线条数． 【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成个三角形，且已知分成5个三角形， ∴，解得， ∴ 所有对角线条数为 ． 故选：C． 2．连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据多边形从一个顶点引出的对角线数量为即可求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出八条对角线， ∴， ∴． 故选：C． 3．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（    ）种． A．14 B．42 C．28 D．35 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割．根据题意列举即可． 【详解】解：如图，共有42种： 故选：B． 4．过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式列方程求解即可． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引出5条对角线，设多边形边数为n, ∴，解得：． 故答案为：8． 5．过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形对角线的性质及代数运算，关键在于正确建立方程求解的值．首先根据各边形的对角线数量建立方程，解方程得到各边数后代入计算即可． 【详解】解：过m边形的一个顶点有4条对角线，每个顶点的对角线数为（因为不能与自身及相邻两个顶点连对角线）， ，即； n边形没有对角线， ； 边形有p条对角线， ， 解得（舍去）或， ； , 故答案为：8． 6．连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】十二 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从一个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点可以引出条对角线即可求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出九条对角线， ∴，则这个多边形是十二边形， 故答案为：十二． 题型四 新定义运算（选、填） 1．定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算．根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 故选：． 2．定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算， 根据新运算的定义，直接将和代入公式 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：B． 3．定义，则方程的解为（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意整理出方程，并掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 由题意整理可得，解方程即可求解． 【详解】解： ， 则， ， 故选：D． 4．定义一种新运算：，如，则的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和代数式的求值，根据新运算的定义，将x和y的值代入公式计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为；. 5．定义 为A的3倍减去B的2倍，即，已知，则 【答案】9 【分析】关键是根据定义的新的运算方法把含有要求的字母的式子写成方程的形式，解方程即可．根据定义“”为A的3倍减去B的2倍，把改写成方程的形式，解方程即可求出x的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 6．对于任意的有理数，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：． 题型五 绝对值在数轴中的化简（选、填） 1．已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值及整式加减运算等知识，由数轴上点的位置确定式子符号是解决问题的关键． 先由两数在数轴上对应的点的位置得到，进而得到，再由绝对值的代数意义去绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， 则 ， 故选：A． 2．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 3．下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴， ∴，即， ∴不是正数；故②错误； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ④若，则；故④正确； ⑤∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故⑤错误； 综上正确的④，共1个； 故选：A． 4．已知数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的意义，绝对值的意义，整式的加减，根据数轴上点的位置，判断出绝对值内的式子的符号是解题关键． 根据数轴判断出a、b、c的符号和绝对值的大小，根据绝对值的意义去绝对值，去括号合并同类项即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 5．已知数轴上点表示的数分别为，若，且．则式子的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值、数轴、整式的加减，熟练掌握数轴和绝对值的性质是解题关键．先求出，则可得，，再求出，代入化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 6．数、、在数轴上对应的位置如图所示，化简 ． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，熟练掌握运算法则，正确化简绝对值是解题的关键． 根据数轴可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴ ， 故答案为：0． 题型六 程序流程图（选、填） 1．如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（   ） A．10 B．8 C．6 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数运算，理解程序流程图是解题的关键． 将代入流程图求解即可． 【详解】解：当输入的，， 输入，则，输出19． 故选D． 2．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第9次输出的结果为（    ） A．27 B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图与有理数的计算，解题的关键是正确利用程序框图计算． 根据程序框图依次计算即可． 【详解】解：第一次，； 第二次，； 第三次，； 第四次，； 第五次，； 第六次，； 第七次，； 第八次，； 第九次，， 故选：C． 3．我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2025次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的计算与流程图，数字规律的计算，理解流程图的含义，掌握代数式的计算是关键． 根据题意，代入计算，找出规律即可求解． 【详解】解：开始输入的x值为， 第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， …， ∴， ∴第2025次输出的结果为， 故选：A ． 4．输入数据后，按照如图所示的程序计算，如果输入的数据为，求输出结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算和减法运算，解决本题的关键是根据程序中所规定的运算进行计算，如果计算结果不符合要求，则把计算结果重新输入程序进行计算，直到计算结果符合要求为止． 【详解】解：当输入的数为时， 可得：， ，故要重新计算， 得到：， ，故要重新计算， 得到：， ，故要重新计算， 得到：， 由于， 所以输出的结果为． 故答案为：． 5．如图，若输入，按图中的程序计算，则输出的结果是 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数运算以及有理数比较大小．按照图中程序，列式并计算，然后比较输出结果与的大小，即可获得答案． 【详解】解：第一次输入， 可有， 第二次输入， 可有， ∴输出的结果是． 故答案为：． 6．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，若输入的数是36，则输出的结果为106；若输入的数是5，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用流程图进行代数式求值，解题的关键是正确理解流程图的运行程序． 先将代入求值，并判断是否大于100，若不大于100，返回继续输入计算，直至大于100，输出即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴此时输出，输出的结果为， 故答案为：． 题型七 相交线的计算（选、填、解） 1．如图，点O在直线上，射线平分．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，然后根据邻补角的定义可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选A． 2．如图，O为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算，根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， 平分， 设，，， 如图： ∵为直角，即， ∴， ∵O为直线上一点， ∴， ∴， ，， ∵ ∴，故①错误； ∵，， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， 即与互为补角，故③正确； ∵，，， ∴， 即，故④正确； 正确的有②③④； 故选：D． 3．如图，直线、相交于点，，，过点作，则的度数为 °． 【答案】150 【分析】本题考查了相交线，邻补角，对顶角，垂直的定义，理解定义是解题的关键．先求出，再求出，根据即可求解． 【详解】解：直线、相交于点， ， ， ， ， ， ， , ， ， ， 故答案为：150． 4．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 5．点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ，， ， 平分， ， ． 6．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由邻补角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由邻补角的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：，， ， 平分， ， ． 题型八 折叠问题（选、填、解） 1．如图，有一个长方形纸条，，，如图，将长方形沿折叠，与交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图中，延长到.利用翻折变换和平行线的性质再求出可得结论． 【详解】解：如图中，延长到． 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，在中，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于边时，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的翻折问题，解题的关键是读懂题意，掌握翻折的性质．设，由得，故，即得，从而，可解得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，， ， ， 解得； 故选：C 3．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，根据邻补角的性质可得，即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质和邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质和邻补角的性质是 解题的关键． 【详解】解：， ， 由∵ ． 故答案为：40． 4．如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【答案】（1）90°；（2）①；② 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）①根据、、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； 6．已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了折叠的性质、平角的定义及垂直的定义，熟记折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可得，再根据平角的定义得到得到，即可得到； （2）由折叠得到，再由平角得到求出，即可得到； （3）由折叠得到，，再由平角求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ∴， ； （2）解：由折叠得到， ， ，且， ， ； （3）解：，， ∴由折叠得到，， ， ， ． 题型九 线段的计算（选、填、解） 1．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键． 根据题意，分两种情况：①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， ，即线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， 这条绳子的原长为； ②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， 线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， ， 这条绳子的原长为； 故选C． 2．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据点与点重合和点与点重合两种情况解答即可．本题考查了线段的中点，线段的和，分类思想的应用，熟练掌握线段的中点是解题的关键． 【详解】解：∵，，M，N分别是它们的中点， ∴，， 当点与点重合时， ； 当点A与点D重合时， ， 故选：C． 3．如图，在线段上从左至右依次取C、D、E三点，若点E是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点问题，线段的和差． 根据E是的中点得到，根据得到，则，根据得到，计算即可． 【详解】解：E是的中点， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 4．如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是线段的和差，设，由点D为的中点可知，再由点C是折线的“折中点”可知，由折线的长度为9得出x的值即可． 【详解】解：设， ∵点D为的中点， ∴，， ∵点C是折线的“折中点”， ∴， ∵折线的长度为9， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：3． 5．如图，已知线段，点M，C为线段上两点，点M为的中点，，． (1)求的长； (2)若点D为直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段和差计算等知识，正确理解题意，弄清线段之间的关系是解题关键． （1）先根据中点得出，进一步得出，继而由可得答案； （2）分点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况，再进一步即可解答． 【详解】（1）解：∵，点M为的中点， ∴． ∵， ∴，， ∴． （2）解：当点D在线段上时，如图． ∵，， ∴． 又∵， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图． ∵，， ∴． 又∵， ∴； 综上所述，的长为或． 6．已知点在线段上，为的中点． (1)如图1，已知，求线段的长； (2)如图2，点在线段上，若，，已知，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的和差运算，与中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，则，因为为的中点，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）设，因为，，则，，结合为的中点，得，故，因为，所以，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵为的中点， ∴ ∴； （2）解：依题意，设， ∵，， ∴， ∵，， 则， ∵为的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型十 网格作图与尺规作图（解） 1．如图，平面上有四个点，，，． (1)请用无刻度直尺和圆规完成下列作图．（不写画法，保留画图痕迹） ①直线，相交于点； ②在线段的延长线上取一点，使． (2)若为线段的三等分点，为线段的中点，且，，求的长． 【答案】(1)①图见解析；②图见解析 (2)或 【分析】本题考查画直线，线段，尺规作图—作线段，与线段中点有关的计算： （1）①根据要求作图即可；②根据尺规作一条线段等于已知线段的方法，作图即可； （2）根据线段的中点平分线段及线段三等分点定义，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，点E即为所求点； ②如图所示，F点即为所求点； （2）解：，， 当为线段靠近点C的三等分点，为线段的中点时， ， ； 当为线段靠近点B的三等分点，为线段的中点时， ， ； 综上所述，或． 2．如图点为直线上一点，射线与点在直线的同一侧，且点在内部． (1)请按要求进行尺规作图：作射线，并在内部作，使得（不写作法和结论，只保留作图痕迹）． (2)小风发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：（已知）， ． ① ． ② ，（已知） ．（角平分线的定义） 又（邻补角的定义）， ③ ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②平分；③；④90 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角．熟练掌握基本作图，角平分线定义，是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）①根据角平分线定义知，②已知中的为的角平分线，③是求度数，④． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； （2）解：∵（已知）， ∴， ∴， ∵平分， ∴，（角平分线的定义） 又∵，（邻补角的定义） ∴． 故答案为：①；②平分；③；④90． 3．（1）在如图所示的方格纸上用无刻度直尺作图并标上相应的字母． ①过点P画线段的垂线，垂足为H； ②点A到线段的距离即线段________的长； ③线段、的大小关系是________（用“”连接），理由是______________________________． （2）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． ①画射线、直线、线段； ②在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 【答案】（1）①见详解；②；③，垂线段最短；（2）①见详解；②见详解 【分析】（1）①借助网格，根据垂线的定义画图即可． ②根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． ③根据垂线段最短可得答案． （2）①要画出射线、直线、线段，需明确射线、直线、线段的定义，射线是由一点出发向一端无限延伸，直线是向两端无限延伸，线段有两个端点． ②要作出线段，需先作出的长度，再减去的长度． 【详解】解：（1）①如图，线段即为所求． ②点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． ③线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． （2）①射线：以为端点，经过作射线． 直线：经过、两点作直线． 线段：连接、两点． ②如图所示，即为所求， 【点睛】本题主要考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，射线、直线、线段的定义以及线段的和差作图，熟练掌握这些基本概念和作图方法是解题的关键． 4．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2) （填“”、“”或“”），依据是 ； (3)若点是射线上一点，且，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 【答案】(1)作图见解析 (2)，两点之间线段最短 (3) (4)的长为或 【分析】本题考查用无刻度的直尺和圆规作线段、两点之间线段最短的应用、求线段长度等知识，熟记作相等线段的方法、数形结合表示出相等之间的和差关系是解决问题的关键． （1）以点为圆心、长为半径画弧，交线段的延长线于点，连接即可得到答案； （2）如图所示，根据两点之间线段最短即可得到答案； （3）根据题意，作出图形，由（1）知，数形结合表示出即可得到答案； （4）根据题意，分两种情况：当点在点左侧；当点在点右侧；作出图形，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所作； （2）解：根据两点之间线段最短得， 故答案为：，两点之间线段最短； （3）解：如图所示： ， 由（1）知， ， ， ； （4）解：根据题意，分两种情况： 当点在点左侧，如图所示： 由（1）知， ， ； 当点在点右侧，如图所示： 由（1）知， ， ； 综上所述，的长为或． 5．如图，已知点、、、，按要求画图： (1)连接； (2)画射线； (3)反向延长交直线于点； (4)画点，使得的值最小，这样画图的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了作直线，射线，线段，及两点之间线段最短， （1）根据线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）根据反向延长线的定义和直线的定义画图即可； （4）根据线段的性质：两点之间线段最短，连接，交于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：如图，连接，交于点P， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 画图的依据为：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 6．如图，方格纸中的所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，，垂足为D． (1)画线段AB； (2)过点C画直线； (3)过点A画，垂足为A，交于点E； (4)线段______的长度可以表示点B到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)AB 【分析】此题考查了基本作图，平行线的判定，点到直线的距离等知识，利用网格的特征是解题的关键． （1）根据线段的定义，连接即可； （2）根据平行线的判定作图即可； （3）根据网格的特征构造垂直即可； （4）根据点到直线的距离进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：直线即为所求； （3）如图所示：即为所求； （4）线段的长度可以表示点到直线的距离． 故答案为：． 1．当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 2．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可． 【详解】解：由图可知，， 故选：C． 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键． 3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，定义运算，掌握用幂的意义推导定义运算是解题的关键． 根据，得出，根据，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： A． 4．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和有理数的乘法运算法则，能根据数轴得出是解此题的关键．根据数轴得出，求出，，，，，，再根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，，，， ∴，，，， ∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误， 故选：D． 5．已知，则的值等于 ． 【答案】2023 【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可． 【详解】解：由得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键． 6．任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 7．如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 8．如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解，可得，可得，可得，再进一步结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ， ∴； 故答案为： 9．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 10．如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $