25.利用单调性比较具体函数值大小（同单调区间内比较）【基础】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 25.利用单调性比较具体函数值大小（同单调区间内比较）【基础】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的单调性定义（单调递增） ￮定义表述：设函数的定义域为，区间，若对任意的，当时，都有，则称函数在区间上单调递增，为函数的单调递增区间。 ￮数学符号/表达式： ￮关键特征：自变量增大时，函数值随之增大，函数图像呈上升趋势。 ￮跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的单调性判断。 2. 【概念2】函数的单调性定义（单调递减） ￮定义表述：设函数的定义域为，区间，若对任意的，当时，都有，则称函数在区间上单调递减，为函数的单调递减区间。 ￮数学符号/表达式： ￮关键特征：自变量增大时，函数值随之减小，函数图像呈下降趋势。 ￮跨章节关联：是比较同单调区间内函数值大小的核心依据，可结合各类基本初等函数的性质使用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 单调性的区间限定 利用单调性比较函数值大小的前提是：两个自变量必须在同一个单调区间内 忽略单调区间的限制，直接比较任意两个自变量对应的函数值大小 已知在递减，递增，误由得出 函数值大小与自变量的关系 单调递增函数中，自变量大的对应函数值大；单调递减函数中，自变量大的对应函数值小 混淆单调性与函数值大小的对应关系，将递减函数按递增函数的规则比较 已知在上递减，误由得出 三、题型分类与例题精析 题型1： 利用基本初等函数的单调性比较函数值大小 题型特征：已知函数为一次、指数、对数等基本初等函数，且待比较的自变量在同一个单调区间内，直接利用函数单调性即可比较大小。 解题步骤： 1. 判断函数单调性：确定函数的单调区间及在区间内的增减性； 2. 验证自变量范围：确认待比较的自变量属于同一个单调区间； 3. 比较函数值大小：根据单调性的性质，由自变量的大小关系推出函数值的大小关系。 例题1 已知函数，比较与的大小。 举一反三1-1 已知函数，比较与的大小。 举一反三1-2 已知函数，比较与的大小。 举一反三1-3 已知函数，比较与的大小。 题型2： 利用复合函数的单调性比较函数值大小 题型特征：已知函数为单层复合函数，需先根据“同增异减”判断其单调区间，再验证自变量是否在同一单调区间内，进而比较函数值大小。 解题步骤： 1. 分析复合函数结构：拆分内层、外层函数，确定复合函数的定义域； 2. 判断复合函数单调性：根据“同增异减”法则，确定复合函数的单调区间及增减性； 3. 验证自变量与比较大小：确认自变量在同一单调区间内，结合单调性得出函数值大小关系。 例题2 已知函数，比较与的大小。 举一反三2-1 已知函数，比较与的大小。 举一反三2-2 已知函数，比较与的大小。 举一反三2-3 已知函数，，比较与的大小。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. C. D. 3. 填空题 已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是__________。 4. 解答题 (1) 已知函数，，比较与的大小。 (2) 已知函数，比较与的大小。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数在定义域上单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 2. 多选题 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 在单调递增 B. C. D. 不在定义域内 3. 填空题 已知函数，比较与的大小，结果为__________（填“>”“<”或“=”）。 4. 解答题 (1) 已知函数，，比较与的大小。 (2) 已知函数，，比较与的大小。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 25.利用单调性比较具体函数值大小（同单调区间内比较）【基础】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的单调性定义（单调递增） ￮定义表述：设函数的定义域为，区间，若对任意的，当时，都有，则称函数在区间上单调递增，为函数的单调递增区间。 ￮数学符号/表达式： ￮关键特征：自变量增大时，函数值随之增大，函数图像呈上升趋势。 ￮跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的单调性判断。 2. 【概念2】函数的单调性定义（单调递减） ￮定义表述：设函数的定义域为，区间，若对任意的，当时，都有，则称函数在区间上单调递减，为函数的单调递减区间。 ￮数学符号/表达式： ￮关键特征：自变量增大时，函数值随之减小，函数图像呈下降趋势。 ￮跨章节关联：是比较同单调区间内函数值大小的核心依据，可结合各类基本初等函数的性质使用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 单调性的区间限定 利用单调性比较函数值大小的前提是：两个自变量必须在同一个单调区间内 忽略单调区间的限制，直接比较任意两个自变量对应的函数值大小 已知在递减，递增，误由得出 函数值大小与自变量的关系 单调递增函数中，自变量大的对应函数值大；单调递减函数中，自变量大的对应函数值小 混淆单调性与函数值大小的对应关系，将递减函数按递增函数的规则比较 已知在上递减，误由得出 三、题型分类与例题精析 题型1： 利用基本初等函数的单调性比较函数值大小 题型特征：已知函数为一次、指数、对数等基本初等函数，且待比较的自变量在同一个单调区间内，直接利用函数单调性即可比较大小。 解题步骤： 1. 判断函数单调性：确定函数的单调区间及在区间内的增减性； 2. 验证自变量范围：确认待比较的自变量属于同一个单调区间； 3. 比较函数值大小：根据单调性的性质，由自变量的大小关系推出函数值的大小关系。 例题1 已知函数，比较与的大小。 解析： 第一步：判断函数单调性 函数是底数的指数函数，在定义域上单调递增。 第二步：验证自变量范围 自变量和都属于，在同一个单调区间内。 第三步：比较函数值大小 因为，且在上单调递增，所以。 答案： 举一反三1-1 已知函数，比较与的大小。 解析： 第一步：函数是底数的对数函数，定义域为，且在定义域上单调递减； 第二步：自变量，在同一单调区间内； 第三步：因为，且单调递减，所以。 答案： 举一反三1-2 已知函数，比较与的大小。 解析： 第一步：函数是一次函数，斜率，在上单调递增； 第二步：自变量，在同一单调区间内； 第三步：因为，且单调递增，所以。 答案： 举一反三1-3 已知函数，比较与的大小。 解析： 第一步：函数是幂函数，在定义域上单调递增； 第二步：自变量，在同一单调区间内； 第三步：因为，且单调递增，所以。 答案： 题型2： 利用复合函数的单调性比较函数值大小 题型特征：已知函数为单层复合函数，需先根据“同增异减”判断其单调区间，再验证自变量是否在同一单调区间内，进而比较函数值大小。 解题步骤： 1. 分析复合函数结构：拆分内层、外层函数，确定复合函数的定义域； 2. 判断复合函数单调性：根据“同增异减”法则，确定复合函数的单调区间及增减性； 3. 验证自变量与比较大小：确认自变量在同一单调区间内，结合单调性得出函数值大小关系。 例题2 已知函数，比较与的大小。 解析： 第一步：分析复合函数结构 令（内层函数），（外层函数），复合函数定义域为。 第二步：判断复合函数单调性 内层函数在上单调递增；外层函数在上单调递减； 根据“同增异减”，复合函数在上单调递减。 第三步：验证自变量与比较大小 自变量，在同一单调区间内； 因为，且单调递减，所以。 答案： 举一反三2-1 已知函数，比较与的大小。 解析： 第一步：令，，定义域由得，即； 第二步：内层在递增，外层在递增，复合函数在单调递增； 第三步：，且，故。 答案： 举一反三2-2 已知函数，比较与的大小。 解析： 第一步：令，，定义域由得，即； 第二步：内层在递减，外层在递增，复合函数在单调递减； 第三步：，且，故。 答案： 举一反三2-3 已知函数，，比较与的大小。 解析： 第一步：令，，定义域为； 第二步：内层在递增，外层在递增，复合函数在单调递增； 第三步：，且，故。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：在单调递增，且，故，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. C. D. 解析：是递减函数，A正确；，B正确；，C正确；，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是__________。 解析：由递增，得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，，比较与的大小。 解析： ① 在上单调递减； ② ，且； ③ 根据递减函数性质，得。 答案： (2) 已知函数，比较与的大小。 解析： ① 定义域由得，令递增，递减，故在递减； ② ，且； ③ 得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数在定义域上单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 解析：定义域为，递增，则且，即，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 在单调递增 B. C. D. 不在定义域内 解析：令在递增，在递增，递增，A正确；，B正确；，C正确；，不在定义域内，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数，比较与的大小，结果为__________（填“>”“<”或“=”）。 解析：令递增，递增，在递增，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，，比较与的大小。 解析： ① 令在递增，在递减，故在递减； ② ，且； ③ 得。 答案： (2) 已知函数，，比较与的大小。 解析： ① 令在递增，在递增，故在递增； ② ，且； ③ 得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $