第6章平面图形的认识（专题4：余角与补角）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年苏科版数学七年级上册 第6章平面图形的认识 （专题4：余角与补角） 【典型例题】 【例1】已知，则∠A的补角等于（    ） A． B． C． D． 【例2】若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（　　） A． ∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3 【例3】已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为 ． 【例4】若一个角是，则它的余角的度数是 【例5】如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 【例6】如图，直线、相交于点，平分，，垂足为． (1)写出的所有余角______； (2)若，求的度数； 【举一反三】 【变式1】若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式2】已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．140° 【变式3】一个角的余角比它的补角的还少2°，则这个角的度数是_______． 【变式4】已知与互余，与互补，若，则 ． 【变式5】如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【变式6】如图，直线AB与CD相交于点O，OEAB，OFCD． (1)图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）． (2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对： ① ；② ；③ ． (3)①如果∠AOD＝140°．那么根据 ，可得∠BOC＝ 度． ②如果，求∠EOF的度数． 【巩固练习】 1.已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 2.∠A的补角是168°，∠B的余角是68°，则∠A与∠B的大小关系是（　　） A．∠A=∠B B．∠A＜∠B C．∠A＞∠B D．不能确定 3.如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 4.将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（    ） A． B． C． D． 5.一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是 　　 6.一个角的余角比这个角的补角的一半小25°，则这个角的度数为　　度． 7.如果与互补，与互补，且，，那么 °． 8.如图，O，D，E三点在同一直线上，∠AOB=90°． （1）图中∠AOD的补角是_____，∠AOC的余角是_____； （2）如果OB平分∠COE，∠AOC=35°，请计算出∠BOD的度数． 9.如图，A，O，B在同一条直线上．射线OD平分∠BOC，设∠AOD＝α（135°＜α＜180°）． （1）当α＝150°时．求∠AOC的度数； （2）若在∠AOD的内部画射线OE，使∠BOE＝90°，求证：∠DOE与∠DOC互余； （3）若∠DOE与∠DOC互余，求∠BOE（可用含α的代数式表示）． 10.如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 11.如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求、的度数； (2)如果，则________（用含的代数式表示）； (3)图中与互余的角有：___________． 12.综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 答案解析 【典型例题】 【例1】已知，则∠A的补角等于（    ） B． B． C． D． 【答案】C 【例2】若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（　　） B． ∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3 【答案】A 【例3】已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为 ． 【答案】 【例4】若一个角是，则它的余角的度数是 【答案】 【例5】如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】（1）解：当时， α的余角的度数为：； （2）如图所示： ∵， ∴， ∵射线平分， ∴ 【例6】如图，直线、相交于点，平分，，垂足为． (1)写出的所有余角______； (2)若，求的度数； 【答案】(1)解：∵平分， ∴∠BOE=∠DOE， ∵， ∴∠DOF=90º， ∴∠DOE+∠EOF=90º， ∴∠BOE+∠EOF=90º， ∴∠EOF的余角为、， 故答案为：、 (2)解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 【举一反三】 【变式1】若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【变式2】已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．140° 【答案】D 【变式3】一个角的余角比它的补角的还少2°，则这个角的度数是_______． 【答案】70° 【变式4】已知与互余，与互补，若，则 ． 【答案】 【变式5】如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 【变式6】如图，直线AB与CD相交于点O，OEAB，OFCD． (1)图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）． (2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对： ① ；② ；③ ． (3)①如果∠AOD＝140°．那么根据 ，可得∠BOC＝ 度． ②如果，求∠EOF的度数． 【答案】（1）根据图形可得：∠AOC、∠EOF、∠BOD都是∠AOF的余角； （2）∠AOC＝∠EOF＝∠BOD，∠COE＝∠BOF，∠AOD＝∠COB，∠AOF＝∠DOE（只须写出不重复的三对即可）． （3）①对顶角相等，∠BOC=∠AOD=140°． ②∠EOF=x°，则∠AOD=5x°， 由∠EOF+∠DOE=90°，∠DOE+∠BOD=90°， ∴∠BOD=∠EOF=x°，又∠AOD+∠BOD=180°， 所以x+5x=180， 解得x=30， 即∠EOF=30° 【巩固练习】 1.已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.∠A的补角是168°，∠B的余角是68°，则∠A与∠B的大小关系是（　　） A．∠A=∠B B．∠A＜∠B C．∠A＞∠B D．不能确定 【答案】B 3.如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 4.将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是 　　 【答案】35° 6.一个角的余角比这个角的补角的一半小25°，则这个角的度数为　　度． 【答案】50 7.如果与互补，与互补，且，，那么 °． 【答案】 8.如图，O，D，E三点在同一直线上，∠AOB=90°． （1）图中∠AOD的补角是_____，∠AOC的余角是_____； （2）如果OB平分∠COE，∠AOC=35°，请计算出∠BOD的度数． 【答案】（1）图中∠AOD的补角是∠AOE，∠AOC的余角是∠BOC， 故答案为 ∠AOE， ∠BOC； （2）∵∠AOC=35°，∠AOB=90°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35°=55°， ∵OB平分∠COE， ∴∠BOE=∠BOC=55°， ∴∠BOD=180°-∠BOE=180°﹣55°=125°． 9.如图，A，O，B在同一条直线上．射线OD平分∠BOC，设∠AOD＝α（135°＜α＜180°）． （1）当α＝150°时．求∠AOC的度数； （2）若在∠AOD的内部画射线OE，使∠BOE＝90°，求证：∠DOE与∠DOC互余； （3）若∠DOE与∠DOC互余，求∠BOE（可用含α的代数式表示）． 【答案】（1）解：∵∠AOD＝α＝150°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝30°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠DOC＝∠BOD＝30°， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠DOC＝150°﹣30°＝120°； （2）证明：∵在∠AOD的内部画射线OE，∠BOE＝90°， ∴∠BOD+∠DOE＝90°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠DOC＝∠BOD， ∴∠BOD+∠DOE＝90°， ∴∠DOE与∠DOC互余； （3）解：当射线OE在∠AOD内部时， ∵OD平分∠BOC， ∴∠DOC＝∠BOD， ∵∠DOE+∠DOC＝90° ∴∠DOE+∠BOD＝90°， ∴∠BOE＝90°； 当射线OE在∠AOD外部时， ∵∠AOD＝α， ∴∠BOD＝180°﹣α， ∵射线OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOD＝2（180°﹣α）， ∵∠DOE+∠DOC＝90°， ∴∠EOC＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣270°． ∴∠BOE＝90°或2α﹣270°． 10.如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：∵， ∴， 即， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据（1）可知：， ∵平分， ∴； （3）解：，理由如下： 当在内部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可知：． 11.如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求、的度数； (2)如果，则________（用含的代数式表示）； (3)图中与互余的角有：___________． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵， 又∵平分， ∴ （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， 故和互余， ∵， ∴， ∵， ∴， 故和互余． 故答案为：，． 12.综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 【答案】解：（1）由旋转的性质得：， ， ， ， 平分， ，， 的余角有2个（本身除外），分别是和， 故答案为：；2；和； （2）①，， ， ， 的补角是， ， ， 的补角是， ， 的补角是， 综上所述，的补角分别是、、， 故答案为：、、． ②∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $