浙教版九上全册期末压轴11大题型汇总（期末复习专项训练）数学浙教版九年级上册

专题01 期末压轴题汇总（63题11大压轴题型） 题型1 求参数的取值范围 题型7 最值问题 题型2 对序号进行判断对错 题型8 二次函数综合题 题型3 与面积有关的计算问题 题型9 实际问题 题型4 概率计算问题 题型10 圆的综合题 题型5 求角度或角度之间的关系 题型11 相似三角形与圆的综合 题型6 求线段的长或比值 题型一 求参数的取值范围（共7小题） 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为(   ) A． B．或 C．或 D．或 3．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 5．（22-23九年级上·浙江温州·期末）二次函数图象与一次函数只有一交点，则的值为（    ）． A． B．或或 C． D．或 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 题型二 对序号进行判断对错（共3小题） 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），小明得出下列结论：①；②若和都在抛物线上，则；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．①②③ 题型三 与面积有关的计算（共7小题） 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 12．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图是学校劳动社团的同学，利用数学知识绘制的社团会徽的草图，设计过程如下：作等腰内接于圆，过点作交于点，交圆于点，过点作于点，于点，连结，测得，则四边形的面积为 ． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ． 14．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（    ） A．3 B． C．4 D．5 16．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（    ） A． B． C．4 D．5 17．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：如图，弦，相交于内一点，. (1)求证：. (2)连结，求证：线段平分. (3)若，，，求阴影部分面积. ∵ ∴ ∴ 题型四 概率计算问题（共5小题） 18．（22-23九年级上·浙江金华·期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 19．（25-26九年级上·北京·期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ． 22．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，现有5张卡片，正面分别印有冬奥会体育项目简笔画，它们除图案不同外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的概率是 ． 题型五 求角度或角度之间的关系（共3小题） 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，连接，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型六 求线段的长或比值（共5小题） 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 28．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 题型七 最值问题（共6小题） 31．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点分别是上的点，，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 32．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，以弦为直角边作等腰直角，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ． 33．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，内接于，已知是直径，，，点在直径上方的半圆上运动，连结交于点，则的最大值为 ．    34．（23-24九年级上·浙江·期末）已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ． 39．（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ． 36．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为 ． 题型八 二次函数综合问题（共9小题） 37．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； (2)当时，． ①若，求的最小值； ②若，求的最大值． 38．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 39．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）设二次函数（，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)当时，y有最小值为，求a的值； (3)若，求证：． 40．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． (1)若，求二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，求的值； (3)已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 40．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． (1)若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； (2)已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； (3)若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 41．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即．请根据以上信息，完成下列问题： (1)已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②求该函数的的值． (2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 42．（22-23九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点，且对任意实数x，都有．二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图像上的动点．在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有满足条件的点N的坐标． 43．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数，（p为实数） (1)若函数与x轴交于不同的两点，，，求实数p的取值范围． (2)若，，是方程的两根，当函数的图像分别与直线相交于A，B两点，与直线相交于C，D两点，当时，求p的值． (3)若关于x方程有4个不相等的实数根，求p的取值范围． 44．（24-25九年级上·浙江台州·期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点． (1)试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由； (2)若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值； (3)若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 45．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 题型九 实际问题（共8小题） 46．（23-24九年级上·浙江温州·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 47．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 48．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 49．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 50．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．    (1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； (2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 51．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，k的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 52．（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 53．（23-24九年级上·浙江台州·期末）某游乐场将修建一款大型过山车．下图为这款过山车的一部分轨道设计图，为笔直轨道，为第一段抛物线轨道，为第二段抛物线轨道（接口处轨道忽略不计为均为抛物线顶点），在同一直线上且平行于地面，为米，若以点为原点，地面水平线为轴，点竖直方向为轴，以米为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点为，点为． (1)设第一段抛物线轨道函数解析式为，请求出该函数解析式； (2)设计规定点离地距离需在到米之间（含米和米），请求出点横坐标的范围； (3)在（）（）的基础上，取最高点，已知第二段抛物线轨道函数为，为保证安全，抛物线轨道最低点不低于米，请确认第二段抛物线轨道是否符合要求，并说明理由． 题题型十 圆的综合问题（共7小题） 54．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． (1)当点E是的中点时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)求证：． 55．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，点A，B在半径为2的上，，，垂足为．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN． (1)________； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当时，求的长度； (4)如图4，当时，请直接写出的长度． 56．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的直径，的平分线交于点C，于点E，于点H与交于点G，与交于M点，且. (1)求证： (2)求证： (3)若半径为4，求的长. 57．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”． (1)如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①是弧的“幸运角”吗？请说明理由； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数； (2)如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 58．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接． (1)如图1，当点在同一条直线上时，求证：． (2)如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时． ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点，连接．求证：． 59．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，当时，，求r的值； (4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示） 60．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，点在上，，垂足为点，连接，．    (1)如图1，若，则______； (2)如图2，作，垂足为点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长，交于点． ①求证：； ②若，，求半径的长． 型十一 圆与相似三角形的综合问题（共3小题） 61．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 62．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，已知是⊙O的直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F． (1)求证：； (2)①连结，若，求的值； ②连结，若，，，求⊙O的半径r． 63．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记． 【认识图形】求证：． 【探索关系】求证：． 【问题解决】若点与点关于对称 ①当时，求k的值． ②求的最大值． 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 3．如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为 ． 4．如图1，四边形内接于，为直径，，，交于点E，，过点O作，垂足为G交于点H． (1)求______；的半径为______． (2)当时． ①求的值． ②如图2，延长交CB的延长线于点Q，求的值． 5．如图1，是的直径，弦于点E，连接，过点D作，交于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，交射线于点G，射线交线段于点． ①若，，求的长； ②如图3，当F是的中点时，求的值． 6．水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 … 飞行高度 0 6 8 6 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 7．课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算． （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 8．（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末压轴题汇总（63题11大压轴题型） 题型1 求参数的取值范围 题型7 最值问题 题型2 对序号进行判断对错 题型8 二次函数综合题 题型3 与面积有关的计算问题 题型9 实际问题 题型4 概率计算问题 题型10 圆的综合题 题型5 求角度或角度之间的关系 题型11 相似三角形与圆的综合 题型6 求线段的长或比值 题型一 求参数的取值范围（共7小题） 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为(   ) A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“优和点” 坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意分类讨论，再求的范围即可． 【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得： ； 整理得：， 令， 二次函数的“优和点”有且仅有一个， 与x轴只有一个公共点， 第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上， ，且，解得：，且， ； 第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上， 对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴， 且， 解得， 综上，的取值范围为或． 故选：C 3．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得点，抛物线的对称轴，画出函数图象，结合图象的单调性和，分两种情况：①当时，②当时，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折， ，直线为，抛物线的对称轴为直线，轴右侧的部分的抛物线为， ， 点在点左侧， 如图，当时，函数单调递增， ， ①当时， ， ， 解得， 又 ， ； ②当时，， ， 解得， 又 ， ， 综上，的取值范围为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，通过函数解析式求出抛物线顶点坐标，可得抛物线运动轨迹，然后通过数形结合求解，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数顶点运动轨迹的方法，通过数形结合方法求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线顶点所在图象解析式为， 当抛物线经过点时，如图， ∴，整理得 解得：； 当抛物线经过点时， ∴， 解得：或， ∴当或时，与线段只有一个公共点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当直线的解析式与抛物线只有一个交点时， 即， 整理得：， 即有，解得：， 综上可知：的取值范围是或或， 故选：． 5．（22-23九年级上·浙江温州·期末）二次函数图象与一次函数只有一交点，则的值为（    ）． A． B．或或 C． D．或 【答案】D 【分析】由可得线段端点坐标为，，然后通过数形结合求解． 【详解】解：把代入得， 把代入得， ∴抛物线， 如图， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， 当时，抛物线经过满足题意， ∴， 解得或（舍）， ∴． 如图， 令，整理得， ∴， 解得， ∴或． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是通过数形结合方法，通过分类讨论，根据抛物线与线段只有1个交点和抛物线与直线相切两种情况求解． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可； （2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可． 【详解】解：（1）由好点”定义可得：， ∴， 整理得：， ∴或5， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线上的点都是好点， 当时，．当时，， 如图，直线解析式为，， 抛物线与直线的交点就是好点， 当抛物线过点A时，， 解得：， 当抛物线与有且只有一个交点时， 有， 整理得：， ∴， 解得：， ∴c的取值范围为： ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象经过和两点，从而，且，进而求出，后可以判断得解； （2）依据题意，当时，函数为，从而可得对称轴是直线，则顶点为，，结合顶点坐标始终在直线的下方，可得，进而求出的范围； （3）依据题意，当，时，函数为，从而，结合，故，进而或，最后计算可以判断得解． 【详解】（1）解：函数的图象经过和两点， ，且． ，． 二次函数的表达式为． 故答案为：． （2）解：由题意，当时，函数为． 对称轴是直线． 顶点为，． 又顶点坐标始终在直线的下方， ． ． 或． （3）解：由题意，当，时，函数为． ． 又， ． ． 或． 或． 题型二 对序号进行判断对错（共3小题） 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． ①根据的解集，找到函数图象与轴的交点，将两个交点代入函数表达式，求得的值；②判断函数图象与轴的交点个数应判断的正负性，根据，计算，因为，所以图象与轴始终有两个交点；③将代入函数表达式，整理表达式可得，当时，并不能确定函数的正负性，所以并不符合题意；④将已知点代入函数表达式，求得函数表达式，将代入，可以发现此时，所以并不符合题意． 【详解】解：①若的解集是，则抛物线的开口应向下，且与轴的交点为， ∴函数可写作：， ∴即， ∴解得：；故①符合题意； ②若，则， ， ∴二次函数的图象与轴始终有2个交点，故②符合题意； ③若，则函数表达式为：， 整理可得：， 当时，不能确定正负号，故③不符合题意； ④将代入函数表达式，即 ，解得：， 即函数表达式为：， 将代入，解得：，故④不符合题意； 综上所述：符合题意的是：①②； 故选：B． 9．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），小明得出下列结论：①；②若和都在抛物线上，则；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断②，将方程转化为 无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（）， ∴对称轴为直线，， 又对称轴为， 故①不正确， ②对称轴为直线，， ， 和都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大， 故②正确， 对称轴为直线，， ， ， ， 由抛物线过点，则， ， ， 故③正确， 抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（）， 设抛物线的解析式为， 若方程没有实数根， 即 无实根， ， 即．故④正确， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】由勾股定理得出，，即可判断①；连接、，则，，证明，由相似三角形的性质即可判断②；取格点、，连接、、，则，，证明，得出，求出，结合，得出，即可判断③；由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，推出，即可判断④． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接、，则，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 取格点、，连接、、，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 取格点、，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型三 与面积有关的计算（共7小题） 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将转化为，再过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点P坐标表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知，， 如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M， ∵轴， ∴， ∴． 令，则有，解得， ∴， ∴． 将代入，得：， ∴点C的坐标为． 令直线的函数解析式为， 则， 解得， ∴直线的函数解析式为． ∵， 令点P坐标为， 则， ∴ ∴， 则， ∴， 则当时，有最大值为：， 即的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与x轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图是学校劳动社团的同学，利用数学知识绘制的社团会徽的草图，设计过程如下：作等腰内接于圆，过点作交于点，交圆于点，过点作于点，于点，连结，测得，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、圆的对称性、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质和三角形面积公式等知识，先利用直径所对的角是直角，得到四边形的面积为，利用勾股定理及相似三角形的判定与性质求出，利用三角形面积公式代值求解即可得到答案，熟练掌握圆的性质及定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是圆的直径， ， 由题意，及圆的对称性可知四边形的面积为， 连接，如图所示： 设圆的半径为， 是圆的直径，，， ， 在中，由勾股定理可得，解得， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ，即，则，解得， 在中，由勾股定理可得， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ． 【答案】 8 【分析】连接交于点，过点作，由两次勾股定理得，解得，设，则，则，由得到解得：，则半径；由，得到，则，那么，而，则，则，由菱形的对称性可知：，则，即可求解． 【详解】解：连接交于点，过点作， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 设，则， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴半径； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由菱形的对称性可知：， ∴， ∴， 故答案为：8，． 【点睛】本题考查了圆的概念，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）将代入即可； （2）由题意可得B的坐标是，设直线的解析式为，利用待定系数法求得，由题意表示出点P的坐标是，点E的坐标是，进而得关于的函数关系式； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴的一个交点是 ∴ ∴ （2）如图 ∵当时， ∴点B的坐标是 设直线的解析式为 ∵过点， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵当时， ∴点E的坐标是 ∵当时， ∴点P的坐标是 ∴ ； （3）①当时，直线交轴于，如图， ∵，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，即：， ∴， 设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线解析式为， 联立：，解得：或， ∵ ∴； ②当时，直线交轴于，如图， 同理可得为等腰直角三角形，即：， ∴， 设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线解析式为， 联立：，解得：或， ∵ ∴； ③当时，此时点在上方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即：， ∴， 解得：（负值舍去），（经检验是方程的解）， 则： ， ∴； 当时，此时点在下方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， 同理可证， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即：， ∴， 解得：（正值舍去），（经检验是方程的解）， 则： ， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，等腰三角形的直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，讨论直角的位置，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意可得：，，当点在上运动时，由图可得，当点与点重合时，，求出，即，当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，求出抛物线解析式为，从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，则从图象上看关于对称，关于对称，，，结合，求出的值即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 当点在上运动时，， 由图可得，当点与点重合时，， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为， 则抛物线的表达式为， 将代入得：， ， 抛物线的表达式为：， 从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1， 若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看关于对称，关于对称， ，， ， 由①③③解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 16．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】将代入，求得，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，则，矩形的面积为，根据二次函数的图象与性质求最值即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴矩形的面积为， ∵，， ∴当时，矩形的面积最大，最大为， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． 17．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：如图，弦，相交于内一点，. (1)求证：. (2)连结，求证：线段平分. (3)若，，，求阴影部分面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】先证明，再利用等弧对等弦即可； 先证明，再利用全等的性质即可； 先求出扇形的圆心角和半径，三角形的底和高，最后，用扇形面积减去三角形面积即可. 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∴ （2）证明：如图，连接,, ∵ ∴ ∴ 又∵, ∴(SSS) ∴ ∴线段平分 （3）解：如图，连接,,过点O作于点E ∵, ∴ ∵ ∴，, ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆相关性质和全等三角形的判定与性质，理解记忆相关判定和性质是解题的关键. 题型四 概率计算问题（共5小题） 18．（22-23九年级上·浙江金华·期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 【答案】D 【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到“主持人”的可能性． 【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况： 小王抽到“主持人”可能性为， 小王抽到空白纸条的可能性为：，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条， 抽取“主持人”可能性为：， 抽取空白纸条可能性为：（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”）， 故小李抽到“主持人”的可能性为：， 小马抽到“主持人”的可能性为：， 故选：D． 【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键． 19．（25-26九年级上·北京·期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 21．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域有种可能； 故一粒米落在阴影区域的概率为：； 故答案为： 22．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，现有5张卡片，正面分别印有冬奥会体育项目简笔画，它们除图案不同外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的概率是 ． 【答案】 【分析】画出树状图，得到所有等可能的结果数及两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的结果数，由概率公式即可求得． 【详解】解：画树状图为：（用1、2、3、4、5分别表示高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶） 共有20种等可能的结果，其中这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的结果数为2， 所以这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的概率＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率，依题意画出树状图或列表，得到所有等可能的结果数及两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的结果数是解题的关键． 题型五 求角度或角度之间的关系（共3小题） 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理和圆内接四边形的性质推出．由垂径定理推出，得到，由圆内接四边形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，求出，得到，由三角形的外角性质推出． 【详解】解：∵直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，连接，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形，等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，平行线的性质，得到，圆内接四边形的性质，得到，等量代换即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选B． 题型六 求线段的长或比值（共5小题） 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，证明，得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ，， ． ． ． 为等边三角形， ． 由圆周角定理得：，， ． 四边形为的内接四边形，     ． ． 又，， ． ． ． 故选：A． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：C． 28．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得，，继而得到，，得，证明，得，然后在中，由得，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 29．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接，．首先证明，设，，利用相似三角形的性质求出可得结论．解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 正十边形内接于， ，， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （负根已经舍去）， ，， ． 故选：D． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H， 在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型七 最值问题（共6小题） 31．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点分别是上的点，，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点 ，则，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值为， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，以弦为直角边作等腰直角，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，二次函数的性质，设交于点，根据三角形的面积公式可得，根据的最大值为，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， 设， ∵是等腰直角三角形，垂直平分，则， ∴ ∴当且为直径时，面积的最大值为 故答案为：． 33．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，内接于，已知是直径，，，点在直径上方的半圆上运动，连结交于点，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】分别过点C，D作于点F，于点G，先证明，得到，再根据圆周角定理的推论，直角三角形的性质及勾股定理，求出的长，因此当取最大值时，的值最大，当点D位于的中点时，取最大值，求出的长，即得答案． 【详解】分别过点C，D作于点F，于点G， 则 是直径， 所以当取最大值时，的值最大， 当点D位于的中点时，取最大值为1， 所以的值最大值为．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 34．（23-24九年级上·浙江·期末）已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ． 【答案】 【分析】设点坐标，点坐标，由求出的值，将、代入直线解析式，当时，即可求解，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得出点运动轨迹，即可求出点到点的最大距离，本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用相似求坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握字型相似，隐圆模型． 【详解】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则，，，， ，， ， ， ，即：， ， 设直线解析式，将、坐标代入， ，解得：， 则直线解析式：， 当时，，将代入，得：， 与轴的交点为， 设与轴的交点为点，中点为，点为点， ，，为中点， 在中，， 在中，， 点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆， 的最大值为：， 故答案为：，． 39．（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ． 【答案】 / 【分析】根据题意可知当点E与点D重合时，点F在AC上，且可求出的长，从而可求出CF的长，即在中，利用勾股定理求出BF的长即可；连接AF、BE，由题意即可求出．再根据，，可得出，即证明，得出．从而可求出AF的长，即说明点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．则可知当点F在BA的延长线上时BF最大，最大值为．在中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案． 【详解】根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图， ∵， ∴． ∴在中，； 如图，连接AF、BE ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即AF的长为定值． ∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动． ∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为． 在中，， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．在解决第二个空时，证明出点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动是关键． 36．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值． 【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ，即抛物线开口向上， 当时，的最小值为， 长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型八 二次函数综合问题（共9小题） 37．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； (2)当时，． ①若，求的最小值； ②若，求的最大值． 【答案】(1)①；② (2)①的最小值为；②的最大值为1 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入二次函数解析式，即可判断得解； ②依据题意，结合①中的解析式，然后再结合二次函数的图象与性质进行求解即可； （2）①根据，以及开口方向向下进而可以判断得解； ②根据得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∴． ①∵， ∴函数图象的顶点坐标为； ②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 又∵， ∴当时，，当时，， ∴此时y的取值范围是：； （2）解：由得， 抛物线与x轴的交点坐标为和． ∴对称轴是直线． ∴当时，； 当时，；当时，， ①当时，抛物线开口向下． 又当时，则， ∴此时二次函数在顶点处取得最大值为． ∴，则． 当时，则， ∴， ∴． ∴若，a的最小值为； ②当时，抛物线开口向上， ∴． ∵当时，， ∴． ∴． ∴若，a的最大值为1． 38．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)①；② (2)5 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【详解】（1）解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 39．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）设二次函数（，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)当时，y有最小值为，求a的值； (3)若，求证：． 【答案】(1)； (2)a的值为或； (3)见解析． 【分析】（）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （）利用二次函数的解析式求出，结合二次函数的对称轴进而得到，利用一次函数的性质即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ∴ ∴二次函数的表达式为：. （2）解：由题意得到：二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数， ∵当时，y有最小值为， ①当时，当时，函数值取最小， ∴ ∴， ②当时，当或时，函数值取最小， ∴ ∴， 综上所述，a的值为或， （3）证明：由（2）知：二次函数的对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴. 40．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． (1)若，求二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，求的值； (3)已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，得出对称轴为直线是解题的关键． （1）先确定二次函数图象与轴的交点坐标为，然后利用抛物线的对称性确定对称轴，进一步求得a的值，从而求得函数的解析式; （2）由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线，则,故，由于，所以在中，当时的函数值最小，即，解得 （3）分两种情况，根据二次函数的对称性和增减性得出故的不等式或不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， ∵的图象经过点 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ ∵ ∴， ∴二次函数的解析式为， （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵，当时，的最小值为， ∴当时， ， 解得：， （3）∵抛物线对称轴为直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∵， ∴， 当时，二次函数图象开口向上， 若对于，总有， ∴， 解得：， ∴的取值范围为， 当时，二次函数图象开口向下， 若对于，总有， ∴或， 解得：或， ∴的取值范围为， 综上所述，a的取值范围为或． 40．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． (1)若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； (2)已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； (3)若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴交点坐标，二次函数的几何变换，以及解绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）把代入，解出，，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点为再代入，即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，进而可得出a的值，再根据中点坐标公式即可求出点P的坐标． （3）根据题意可知，，分别求出当时和时，的值， 然后解绝对值方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入， 解得：，， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为 把代入， 得：， 解得：． （2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称， ∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同， ∴， ∵，抛物线顶点坐标为， 的顶点坐标为：， ∴点P的坐标为，即． （3）解：在的范围内，始终存在， 即， ∴， ∴， 当时，， 当时， 此时， 解得∶ ． 41．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即．请根据以上信息，完成下列问题： (1)已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②求该函数的的值． (2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或3． 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①把点代入，解得，即可作答． ②先得出二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，当时，，即可作答． （2）先得出，再进行分类讨论：当时和当时，这两个情况，然后结合新定义以及一次函数、二次函数的图象性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意， 把点代入， 得， 解得， ∴． ②∵， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向上， 在上随的增大而减小， 当时，， 当时，， ． （2）解：依题意，把代入， 得， ∴， 当时，， 此时中的随的增大而减小， ∵函数，函数的图象的相等， 把代入， ∴， 把代入， ∴， 把代入 ∴ 即 ， 当时，同理得， 把代入， ∴， ， 的最大值也为， 当时代入，， 解得（此时最大值在对称轴上取得，不符合舍去），， 把点代入， ， 解得， 综上所述或3． 42．（22-23九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点，且对任意实数x，都有．二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图像上的动点．在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】N点坐标为或或或． 【分析】令，解之可得交点为，则二次函数图象必过，又过，则把两点坐标代入解析式可得，又，整理可得，所以且，则可得，从而求得二次函数解析式；由题意可得A点坐标为，C坐标为，设点M坐标为，，根据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：①AC为对角线则有，②AM为对角线则有，③AN为对角线则有． 【详解】解：令，解得：， 当时，， ∴必过， 又∵过， ， 解得：， ∴， 又∵， ∴， 整理得：， ∴且， ∴， ∴， ∴，，， ∴该二次函数解析式为， 令中，得，则A点坐标为， 令，得，则点C坐标为， 设点M坐标为，， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当为对角线时，， 即， 解得：（舍去），， ∴，即； ②当为对角线时，， 即， 解得：（舍去），， ∴，即； ③当为对角线时，， 即， 解得：，， ∴或， ∴，； 综上所述，N点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式，对于平行四边形的存在性要注意分类讨论求解． 43．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数，（p为实数） (1)若函数与x轴交于不同的两点，，，求实数p的取值范围． (2)若，，是方程的两根，当函数的图像分别与直线相交于A，B两点，与直线相交于C，D两点，当时，求p的值． (3)若关于x方程有4个不相等的实数根，求p的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据函数图象与x轴交于不同的两点可知的两个不相同的根，利用判别式求出p的取值范围，再根据可知两根之和小于0求解即可； （2）先求出，的值，再根据题意分别可得到、，最后根据求解即可； （3）令，可得到关于t的一元二次方程，根据原方程有4个不相等的实数根可知有两个不相同的实数根，最后根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：与x轴交于不同的两点，， ，是方程的两个不相同的根， ， 或， ， ， ， ； （2）， ， 解得，， ，，是方程的两根， ，， 当函数的图像分别与直线相交于A，B两点时， 即， 解得，， ， 当函数的图像分别与直线相交于C，D两点时， 即， 解得，， ， ， ， ， 解得； （3）令， 则原方程可化为， （当t取某个常数时）最多只有两个不相等的实数根， 要保证有4个不相等的实数根，t必须要有两个不同的数， 即必须要有两个不相等的实数根， ， 或． 44．（24-25九年级上·浙江台州·期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点． (1)试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由； (2)若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值； (3)若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 【答案】(1)不是拋物线的纵邻点，理由见解析 (2)最大值为4 (3)h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或 【分析】（1）根据题意，结合纵邻点的定义，求出抛物线在时的函数值，然后计算与点纵坐标差的绝对值，判断即可求解； （2）根据纵邻点的定义，将抛物线向下平移一个单位，得到函数，继而求出时对应的x得值，即为对应的e和f的值，代入即可求得的最大值； （3）根据纵邻点的定义，将抛物线向下平移一个单位，得到函数，当点A与点B关于直线对称时，h取得最小值，即可求得对应n的值；将抛物线向上平移一个单位，当点A与点B位于抛物线的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值，继而求得对应n的值. 【详解】（1）由题意，把代入得， ， 不是拋物线的纵邻点； （2）如图，将代入得，，       当，时，最大，最大值为4；        （3）对于抛物线，其对称轴为， 如图，将抛物线向下平移一个单位，得到抛物线，将抛物线向上平移一个单位，得到抛物线， 若线段上的所有点都是拋物线的纵邻点， 则当点A与点B均在抛物线上，且关于直线对称时，h取得最小值， 此时可有， 将代入，可得， 的最小值为； 如图，当点A与点B位于抛物线的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值， 把代入，把代入， 即当时，h最大， 此时可有，解得， 则，为h的最大值， 当时，由对称性可知，n的另外一个值为， 综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或． 【点睛】本题主要考查新定义纵邻点概念的理解，结合二次函数抛物线的性质，是解题的关键． 45．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是． 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． （1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可； ②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是． 【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 抛物线与抛物线与轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ； ∴的值为； ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段长的取值范围是． 题型九 实际问题（共8小题） 46．（23-24九年级上·浙江温州·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 【答案】；；16米． 【详解】解：如图所示， ∵抛物线经过点和， ∴由题意可知，抛物线的对称轴为直线， 设， 将代入，得， ， ； （2）由题意可知，线段被平均分成11条等长的线段，每段长米， 可设， 当时，， 当时，， ， （3）设与轴交于点M，作轴于N， 可得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16米． 47．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 【答案】 1.35 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——投球问题．熟练掌握适当建立坐标系，待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为：，设I为拦网正上方抛物线上的点，求出，代入解析式求得 ，得到抛物线表达式为：，解方程，得，即得点Q到拦网的距离；若落点Q在距离为处，设x轴交于点J，根据， ，由勾股定理即得． 【详解】①如图，以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系， 则抛物线的表达式为：， 设I为拦网正上方抛物线上的点， 由题意知，，O点到的距离为， 则，， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为：， 当时，， 解得（舍去），， ∴点Q到拦网的距离为：； ②若落点Q在距离为处， 设x轴交于点J， 则， ∵， ∴， ∴在中，． 故答案为：1.35，． 48．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 49．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 50．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．    (1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； (2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，． ∴，，，， 故抛物线的对称轴为， 则， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，两立柱间的距离为， 则，， 把代入解析式， 得， 故． 故立柱的长度为米． 51．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，k的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得：，； （2）解：由①知：，， ∴， ∴最大值， 当时，， 解得：，， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为， ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二级则， 解得：， ∴， ∴这两个位置之间的距离为． 52．（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 【答案】任务：；任务：所用时间是；任务：篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 【分析】任务：由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，再利用待定系数法求解析式即可； 任务：当时和时，求出的值即可； 任务：根据规律求出第次反弹到最高点的时间和第次反弹到最高点的时间即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次根式的运算，找规律，掌握函数的性质及应用是解题的关键． 【详解】解：任务：设下落高度为，反弹高度为， 由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系， 设， 当，；，时， ， 得， ∴函数解析式为； 任务：当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴所用时间是； 任务：由， 则反弹次， 最开始从最高点到落地的时间， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间， ∴篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 ． 53．（23-24九年级上·浙江台州·期末）某游乐场将修建一款大型过山车．下图为这款过山车的一部分轨道设计图，为笔直轨道，为第一段抛物线轨道，为第二段抛物线轨道（接口处轨道忽略不计为均为抛物线顶点），在同一直线上且平行于地面，为米，若以点为原点，地面水平线为轴，点竖直方向为轴，以米为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点为，点为． (1)设第一段抛物线轨道函数解析式为，请求出该函数解析式； (2)设计规定点离地距离需在到米之间（含米和米），请求出点横坐标的范围； (3)在（）（）的基础上，取最高点，已知第二段抛物线轨道函数为，为保证安全，抛物线轨道最低点不低于米，请确认第二段抛物线轨道是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)第二段抛物线轨道不符合要求，理由见解析． 【分析】（）由为抛物线顶点，点为，可得，把代入计算即可求解； （）分别求出和时点对应的横坐标即可求解； （）利用待定系数法求出第二段抛物线轨道函数解析式，求出顶点坐标即可判断； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为抛物线顶点，点为， ∴，， ∴第一段抛物线轨道函数解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴第一段抛物线轨道函数解析式为； （2）解：由（）得， 当时，， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴； 当时，， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴； ∴点横坐标的范围为； （3）解：第二段抛物线轨道不符合要求，理由： ∵， ∴第二段抛物线轨道函数为， ∵取最高点， ∴， ∵在同一直线上且平行于地面，为米， ∴， 把，代入得， ， ， ∴第二段抛物线轨道函数为， ∴第二段抛物线轨道的顶点的坐标为， ∵， ∴第二段抛物线轨道不符合要求． 题题型十 圆的综合问题（共7小题） 54．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． (1)当点E是的中点时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)求证：． 【答案】(1)的度数为； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）推出是线段的垂直平分线，得到，证明是等边三角形，据此即可求解； （2）设，，，设的半径为，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到则结论可得． 【详解】（1）解：连接，， ∵，点E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴设，，，设的半径为， ∴， 在中，，即， 解得， 在中，， ∴； （3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵为直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 55．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，点A，B在半径为2的上，，，垂足为．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN． (1)________； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当时，求的长度； (4)如图4，当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）证明得到，然后利用勾股定理求得，进而可求解； （3）连接，，延长交于H，根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分，设，在中，利用勾股定理求得，进而由求解； （4）在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，先根据已知求得，分别证明、是等腰直角三角形，得到，，，，利用勾股定理分别求解得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在图1中，∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴在中，， 故答案为：1； （2）解：在图2，中，由（1）得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：在图3中，连接，，延长交于H， ∵，， ∴垂直平分，即，， 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，（负值舍去）， ∴； （4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，（负值舍去）， ∴，则； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，（负值舍去）， ∴，则， 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造等腰直角三角形求解是解答的关键． 56．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的直径，的平分线交于点C，于点E，于点H与交于点G，与交于M点，且. (1)求证： (2)求证： (3)若半径为4，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图：连接，先说明，得到，再说明,进而说明，然后根据角的运算和等量代换即可证明结论； （2）先说明是等边三角形可得，进而说明，最后根据直角三角形中所对的边是斜边的一半即可证明结论； （3）如图：连接，由（2）可得，根据垂径定理可得，再根据直角三角形中所对的边是斜边的一半可得，同理得到；再运用勾股定理求得，最后根据垂径定理可得即可. 【详解】（1）解：如图：连接 ∵ ∴， ∵的平分线交于点C， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：∵、 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴. （3）解：如图：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由垂径定理可得：. 57．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”． (1)如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①是弧的“幸运角”吗？请说明理由； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数； (2)如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 【答案】(1)①是弧的“幸运角”，理由见解析；②用含n的式子表示弧的“幸运角”度数为n； (2)或 【分析】（1）①根据是⊙O的直径，弦可得，从而得到， 结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案；②根据圆周角定理可得，，结合可得，结合内外交关系即可得到答案； （2）连接，，由（1）可得，，即可得到，，设，则有，根据“幸运角”为结合勾股定理即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵是⊙O的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是弧的“幸运角”； ②∵弧的度数为n， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的“幸运角”度数为n； （2）解：连接，， ∵弧的“幸运角”为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， 解得：，， ∴或； 58．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接． (1)如图1，当点在同一条直线上时，求证：． (2)如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时． ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据垂径定理得出，进而根据分别为的中点，即可得出结论； （2）①根据，由分别为的中点，得出，由，进而得出，即可得证； ②延长交于点，连接，通过平行线的性质得出，进而得出，根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． （2）①∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ②延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 59．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，当时，，求r的值； (4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) (4) 【分析】（（1）延长交于F，连接，由圆周角定理可得，再由等角的余角相等可得结论； （2）作，可得，再由证明即可得到结论； （3）作于点G，于点H，可证明，得到，由勾股定理得，，延长交于，连接，可得，再由勾股定理可得结论； （4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，由证明得，从而，再根据证明得，最后由勾股定理可得结论． 【详解】（1）延长交于F，连接， ∴ ∵为直径，， ∴， ∴； （2）作于N， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）作于点G，于点H， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴可得， 又∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， 解得， ∴， 延长交于，连接， ∵， ∴， 在中，． ∴； （4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，如图， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 为的直径， ， ， ， ．　 60．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，点在上，，垂足为点，连接，．    (1)如图1，若，则______； (2)如图2，作，垂足为点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长，交于点． ①求证：； ②若，，求半径的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理，，再由直角三角形两锐角互余，即得答案； （2）根据“角角边”，证明，即得答案； （3）①连结，先证明，进一步证明，得到，然后根据垂径定理，证明，即得证明结果； ②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得，进一步得到，然后根据相似三角形的性质得，设，再根据勾股定理列方程并求解，即得答案． 【详解】（1）， ， ， ； 故答案为：． （2），， ， ，， ， ． （3）①连结，    由（2）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ， ， 由①得， ， 设，则，， ， ， 解得， ， 即半径的长为． 型十一 圆与相似三角形的综合问题（共3小题） 61．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论． 【详解】（1）连接，，如图， ，， ， 的半径为， ， 在中， ． （2）在上截取，连接，如图， 和所对的弧都是， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 即． （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 对于的任意长度，都有的值是一个定值， 的值与无关， ， （不合题意，舍去）或， 对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为． 【点睛】本题主要考查圆的有关性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形、相似三角形来求解线段长度、角度以及参数值． 62．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，已知是⊙O的直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F． (1)求证：； (2)①连结，若，求的值； ②连结，若，，，求⊙O的半径r． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图，连接，利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理的推论得到，再利用圆内接四边形的性质得到，从而得到结论； （2）①如图，连接，易得，根据，推出，证明经过点O， 即重合，为圆的直径，证明，即可得出结果 ；②连接，表示出，证明，推出，，，，再证明，得到，，进而得到，解方程结合题意取值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径，弦， ， ， ， 点、、、在上， ， ， ， ， ； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经过点O， ∴重合，即为圆的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵的半径r，， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意：， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 63．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记． 【认识图形】求证：． 【探索关系】求证：． 【问题解决】若点与点关于对称 ①当时，求k的值． ②求的最大值． 【答案】【认识图形】见解析；【探索关系】见解析；【问题解决】①；② 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题； [认识图形]根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等即可得证； [探索关系]根据同弧所对的圆周角相等可得，结合，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； [问题解决]①连结，设，．证明．根据相似三角形的性质，得出，进而求得的值； ②设个单位，个单位，由①同理可得：即．进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：[认识图形] ， ． 在内，， ．             [探索关系]在内，，且， ． ∴，即．         [问题解决]①连结，设，． 点，关于对称， ，． ， ． ，即． ． ，， ． 即． ． ．             ②设个单位，个单位 由①同理可得：即． ， ． ．         1．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题及二次函数与一元二次方程的关系．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可． 【详解】解：由图象得：，，， ∴， ∴， 故①正确； ， ， ， ，故②错误， ， 当时，函数的值最小， 对于任意，始终有，故③正确， ，对称轴为直线， 函数的图象与轴交点坐标为， 将方程变形为，如图所示， 可得且，故④正确， 故选：． 2．如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等角对等边，由对称的性质可得，，由平行四边形的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，证明，得出，设，则，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 3．如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心，长度为半径的圆上， ， 当三点共线时，取最大值，如图， 此时， 故答案为：． 4．如图1，四边形内接于，为直径，，，交于点E，，过点O作，垂足为G交于点H． (1)求______；的半径为______． (2)当时． ①求的值． ②如图2，延长交CB的延长线于点Q，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②BQ的值为1 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、三角形全等与相似的判定及性质、三角形重心的性质、勾股定理以及三角形面积的计算，解题的关键是熟练运用圆的相关性质找到等角、等线段关系，结合全等和相似三角形的判定与性质进行边角推导，同时利用重心性质和面积比例关系解决问题． （1）由和，利用直角三角形两锐角互余得；根据为直径得，结合圆周角定理，判定为等腰直角三角形，由求出，进而得半径为． （2）①连接，由垂直平分且，确定是的重心，得到线段比例关系；通过证明推出角的关系，再证明，结合面积比例关系推导出与的比值． ②由重心的性质得到；作，结合前面的结论证明四边形为平行四边形，推出，最后根据平行线分线段成比例求出的长度． 【详解】（1）解：， ， 又， ； 为直径， ，，， ∴， ， 的半径为． 故答案为：；． （2）①解：连接， ， 且经过圆心O， ∴，又， ∴点O为的重心， ∴， ∴， ∴，又， ，， ∴，则， 又，则， ∴， ∴，则， ∴． ∴， ∴． ②解：点O为的重心， ∴， 作，垂足为M，连接， ∵，， ∴， ∴， 由⑵①知，， ∴， 由得，， ∴， ∴，得， 结合可知，四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 5．如图1，是的直径，弦于点E，连接，过点D作，交于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，交射线于点G，射线交线段于点． ①若，，求的长； ②如图3，当F是的中点时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，② 【分析】（1）连接，，由圆的内接四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，因此，故，再由垂径定理得到，即可解答； （2）①连接，证明四边形是平行四边形得到，，设，推出，，根据，求出，因此，得到为等腰直角三角形，即可求出，，过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形，从而，； ②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M，设，，易得，，分别在和中表示出，从而建立方程求出x，再在中，利用勾股求出、，最后利用相似转化求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵，是直径， ， ∴． （2）解：①连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， 设，则， ∵， ， ∴ ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中，， ， 解得， ∴， 为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ， 过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形， ， ； ②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M， 设，则， 为中点， 设， 则， ∵， ，， ， ，， ，， ∵在中，， 在中，， ， 解得（负值舍去）， ∴， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， ∴， ∵， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 … 飞行高度 0 6 8 6 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质是解题的关键． 任务1，先分析出顶点坐标，再利用待定系数法求解； 任务2，令，求出t的值，再根据，即可求解； 任务3，设长度为c米，且，得到水火箭的二次函数解析式为，再分别求出函数经过点A、B时，c的取值，即可求解． 【详解】解： 任务1：二次函数经过点， 函数顶点坐标为， 设函数解析式为， 二次函数经过点， ，解得， 关于的函数表达式为； 任务2：令，得 ， 解得（不合题意，舍去）， ； 任务3：设长度为c米，且， 水火箭的二次函数解析式为， 当函数经过点A时，， 点A坐标为， ，解得， 当函数经过点B时，，， 点B坐标为， ，解得， ， ． 答：发射台高度的取值范围为． 7．课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算． （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm． 【分析】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值. 【详解】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm） ∵PN∥BC, ∴，△APN∽△ABC ∴ ∴ ∴解得 ∴2y= ∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm (2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．. 由（1）知 ∴ ∴ 则S ∵ ∴ S有最大值 ∴当x=40时，S最大=2400（mm2） 此时，y==60 ． ∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm． 8．（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 【答案】初步应用：；问题解决：；问题拓展： 【分析】初步应用：由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可． 问题解决：利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可． 问题拓展：由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理关系求解取值范围即可． 【详解】解： 初步应用：以为圆心，为半径作， ， 点、、在上， ，， ， ， ， ， ； 问题解决：连接、、， 点关于直线的对称点是， ， ，， ，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，， ， ∵， 的最小值为； 问题拓展： 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， ∵将沿所在直线翻折得到， 以为圆心，为半径作辅助圆，如下图： ∵， ∴点，D在上， ∴当点、M、C在一条直线上时，线段取得最小值， 过点M作，交的延长线于点E， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴线段的最小值． 过点A作，交的延长线于点F，如下图： 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， m的取值范围为． 故答案为∶ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $