浙教版八上全册期末压轴11大题型汇总（期末压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题01 期末压轴题汇总（44题11大压轴题型） 题型1 含参数的一元一次不等式组的求解 题型7 与弦图有关的计算问题 题型2 一次函数的图象与性质 题型8 全等三角形综合问题 题型3 等腰三角形的判定与性质 题型9 求取或探究角度之间的数量关系 题型4 折叠问题 题型10 函数的图象与性质应用 题型5 三角形三边之间的关系 题型11 一次函数与几何综合问题 题型6 直角三角形的判定与计算 题型一 含参数的一元一次不等式组的求解（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知关于的不等式（k，b为常数，）的解集是，下列结论：①；②；③直线可能与轴交于点；④不等式的解集是，其中结论正确的序号有 ． 题型二 一次函数的图象与性质（共5小题） 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24八年级上·浙江·期末）一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）． A．B．C． D． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 题型三 等腰三角形的判定与性质（共4小题） 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 12．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 题型四 折叠问题（共2小题） 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（   ） A．四边形 B．四边形 C． D． 14．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 题型五 三角形三边之间的关系（共3小题） 15．（24-25八年级上·浙江·期末）7条长度均为整数厘米的线段，满足，且这7条线段中的任意3条都不能组成三角形．若，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有 个 17．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 题型六 直角三角形的判定与计算（共3小题） 18．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 19．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，分别以三边为边向外作正方形，连接，若，则正方形的面积为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 20．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） (1)在图1中，画出边上的高； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 题型七 与弦图有关的计算问题（共2小题） 21．（23-24八年级下·浙江金华·期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（    ）    A．1 B． C． D． 22．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 题型八 全等三角形综合问题（共10小题） 23．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则的长为（      ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 25．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 26．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，对角线于点A，于点D．若，，则 ． 27．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 28．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 29．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 30．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，于点于点与交于点，并连接． (1)求证：平分． (2)若，求的长． 31．（24-25八年级上·浙江·期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，． (1)如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：； (2)如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离； (3)在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点． 32．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上． (1)如图①，若 ，，求点C的坐标． (2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标． (3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 题型九 求取或探究角度之间的数量关系（共4小题） 33．（23-24八年级上·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 . 35．（24-25八年级上·浙江·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． (1)如图，若，，求的度数； (2)试探求与的数量关系； (3)如图，若平分，于点，求证：． 36．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有 ．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 题题型十 函数的图象与性质应用（共5小题） 37．（24-25八年级下·浙江金华·期末）小数同学根据学习函数的经验，类比探究了新函数，请把小数下面的探究过程补充完整． (1)在取值范围内取和的几组对应值列表如下： 其中 ______， ______． (2)根据上表的数据，在下面平面直角坐标系中画出了函数图象的一部分，请补全函数的图象． (3)观察图象，写出该函数的两条性质：①______，②______． (4)进一步探究： ①不等式的解是______． ②若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 38．（24-25八年级下·浙江台州·期末）A，B两地相距，甲车以的速度从A地去往B地，到达B地后，立即以相同速度返回A地；乙车沿同一条道路以的从B地去往A地．已知乙比甲迟1h出发，设甲车行驶时间为t h，甲、乙离A地的距离分别为，，其中关于t的函数图象如图所示． (1)在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象； (2)当时，求关于t的函数解析式； (3)当甲、乙两车相距时，t的值为 ． 39．（24-25八年级下·浙江台州·期末）小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示： (1)爸爸的速度为_______，小明的速度为______；点代表的实际意义是：______： (2)求线段的函数解析式； (3)在15分钟内，两人一共相遇_______次． 40．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 41．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表： 燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4 剩余长度h（cm）（观察值） 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为，则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 型十一 一次函数与几何综合问题（共3小题） 42．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 43．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 44．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，已知图形和直线．如果图形上存在一点，使得点到直线的距离小于或等于，则称图形与直线“关联”，叫做图形的关联点． (1)已知线段，其中点，点； ①已知直线，则该直线与轴的交点坐标为 ，点到直线的距离为 ； ②已知直线，若线段与该直线 关联，求的取值范围； (2)已知边长为的等边的顶点在轴上运动，且轴，若该等边三角形与直线 关联，求点横坐标的取值范围． 1．现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示．从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形．在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（    ） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 2．如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．②③④ 5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，其中，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为 ． 6．有一批产品需要生产装箱，台型机器一天刚好可以生产箱产品，而台型机器一天刚好生产箱产品．已知每台型机器比每台型机器一天多生产件． (1)求每台型、型机器一天可分别生产多少件产品？ (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算） (3)若每台机器运输安装费用元（运输安装一次可使用天），每台型机器一天的租赁费用是元，可供租赁的型机器有台，每台型机器一天的租赁费用是元，租赁的型机器台数不限，现要在天内（含天），则租赁的型机器 台，费用最省，最省的总费用为 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）． 7．已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使． (1)如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________； (2)如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长； (3)如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长． 8．如图， 已知直线与轴交于点， 与轴交于点， 过点作轴交直线 于点 ．点 是轴上的一个动点， 点是的中点， 在 中（三顶点顺时针排列）， ． (1)则 三点的坐标分别为：A ；B ；D ． (2)如图， 当点在线段上时， 若， 求点的坐标． (3)当点在射线上运动， 连接 ． 若 ， 求点的坐标． 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由题意知，当时，的函数值大于4， 又 ，y随x的增大而减小， 直线可能与轴交于点，故③正确； 解，得：， ， 即，故④错误； 综上可知，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 题型二 一次函数的图象与性质（共5小题） 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，从表中可以看出，自变量和函数值的关系，即可判定． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加个单位，函数值减小， ∴这个函数的图象可能是C， 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 根据直线方程及已知条件，结合一次函数的单调性及符号性质进行判断． 【详解】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应， A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意； B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意； C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意； D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级上·浙江·期末）一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数图象的综合判断，根据每个选项中图象所过象限，判断出的符号，即可得出结果． 【详解】解：A、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，符合题意； B、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； C、一次函数过一，二，三象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，故不符合题意； D、一次函数过一，三，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； 故选A． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围． 【详解】解：由一次函数的图象不经过第三象限， 则经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴有， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是一次函数的图象与性质、求两个一次函数的交点坐标和比较函数值的大小，根据图象比较函数值大小是解决此题的关键．然后根据图象对自变量x分类讨论，分别求出对应m的取值范围，即可求出m的最小值． 【详解】解：由图象可得：直线与直线的交点坐标为， ∵对任意一个x，m都取，中的较大值， 由图象可知：当时，，， ∴此时； 当时，， ∴此时； 当时，＞，， ∴此时， 综上所述：， ∴m的最小值是2． 故答案为：． 题型三 等腰三角形的判定与性质（共4小题） 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键． 连接，过点作于点H，过点作于点M，根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线，可知，再结合，可得，接下来根据三角形内角和定理得，利用等积法求得，在中，求出，设，则，，在中，，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】如图所示，连接，过点作于点H，过点作于点M， 根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵ ∴ 解得 在中， 设，则， 在中，， ∴ 解得， 即的长为， 故选：B． 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 【详解】解：∵ ，为边上的中线， ∴ ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ∴， 即或， 解得或． ∴ 的长为8或12． 故选：D． 12．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，能够分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8， 4、8、8可以构成三角形， 故周长为20； ②当4为腰时， 其它两边为4和8， ， 不能构成三角形，故舍去， 故答案为：20． 题型四 折叠问题（共2小题） 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（   ） A．四边形 B．四边形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰直角三角形的两个底角是，折叠前后的对应边相等，对应角相等．先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵三角形是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，    ∴，， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 【答案】/0.8 【分析】利用等面积法求出，再根据翻折的性质求出，判断是等腰直角三角形即可求解． 本题考查解直角三角形，图形的翻折，判断是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ， 且， ，且， ， ， 故答案为：． 题型五 三角形三边之间的关系（共3小题） 15．（24-25八年级上·浙江·期末）7条长度均为整数厘米的线段，满足，且这7条线段中的任意3条都不能组成三角形．若，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，理解不能构成三角形的条件是解题的关键． 此题只需根据所有的线段都是整数，且满足，不能构成三角形，则前两个数之和小于或等于第三个数字，找到最小情况；再依次利用“后边的一个一定大于或等于前边的两个的和”确定各个数的值，从而做出判断． 【详解】解：由于不能构成三角形，那么前两个数之和小于或等于第三个数字， 而最小的，则最小情况如下：1，2，3，5，8，13，21满足条件， ∴若，则的取值的是13或14， 对比选项可知，只有13是的可能取值， 故选： C． 16．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有 个 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式组的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 根据两边之和大于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 解不等式④得： 解不等式⑤得： 解不等式⑥得： ∴， ∴整数m有3，4共2个， 故答案为：2 17．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 题型六 直角三角形的判定与计算（共3小题） 18．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题，三角形内角和定理、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故不是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； B、∵，， ∴，则，角度不确定，则不一定是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； C、∵，令，，， ∴，故是直角三角形，说法正确，是真命题，符合题意； D、∵，令，， ∴， ∴，则故不是直角三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 19．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，分别以三边为边向外作正方形，连接，若，则正方形的面积为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．设，，根据三角形的面积公式得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积， 故选：D． 20．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） (1)在图1中，画出边上的高； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了基本作图． （1）根据三角形高的定义作图即可． （2）根据三角形中线的定义作图即可． （3）根据全等三角形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ∵,,,, ∴是直角三角形，, 即. （2）解：如图2，取的中点E，连接，则即为所求． （3）解：如图3，即为所求(答案不唯一)． ∵,,. ∴. 题型七 与弦图有关的计算问题（共2小题） 21．（23-24八年级下·浙江金华·期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识，证明垂直平分，则，再证明，得到，设的长为x，则，则,在中，，则，解方程即可得到的长. 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 设的长为x， ∴， ∴, 在中，， ∴ 解得， 即的长为， 故选：C 22．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)不是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 由赵爽弦图中四个直角三角形全等，可知，，从而可求，根据勾股定理可求； 利用勾股定理可以求出，，由可知，因为，不是直角三角形． 【详解】（1）解：四个直角三角形全等， ，， ， 在中，； （2）解：不是直角三角形， 理由如下： 如下图所示，连接、， 在中，，， ， 在中，，， ， 由可知， ， ， 不是直角三角形． 题型八 全等三角形综合问题（共10小题） 23．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，掌握割补法得出图形面积之间的关系是解题关键． 24．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进一步证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件即可得出，即，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴，， ∴， ∵，为边上的高， ∴， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的面积为 故选B． 25．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 26．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，对角线于点A，于点D．若，，则 ． 【答案】2 【分析】延长，交于点E，证明，根据等腰三角形判定得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：延长，交于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， 即． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 27．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 【答案】 10 6 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证 ，得到，所以，即可求解． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 28．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论； （2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 和的角平分线相交于点C， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 又， ∴， ∴， 是等腰直角三角形； （2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示， ， 四边形是矩形， 平分，，，， ， 矩形是正方形，且， 设， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可知，是直角三角形，且， ∵， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键． 29．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）作交于点，可得，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：在等边中，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作交于点， ∴，，， ∴为等边三角形；， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 30．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，于点于点与交于点，并连接． (1)求证：平分． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题关键. （1）证得，根据可得是等腰三角形，再由“三线合一”可得平分； （2）证得，根据即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，是等腰三角形 ∵点是两条高的交点， ∴ ∵ ∴平分； （2）解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 解得： ∴． 31．（24-25八年级上·浙江·期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，． (1)如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：； (2)如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离； (3)在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． ，， 又， ； （2）解：如图，作直线于点， ，， ，， ， 又，， ， ， 点到的距离为； （3）证明：，， ， 又，， ， ， 是的中点． 32．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上． (1)如图①，若 ，，求点C的坐标． (2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标． (3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，即的长度不发生改变，是定值，为3 【分析】（1）作轴于点D，证明，可得，，再进一步求解即可； （2）作，易证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （3）如图，作轴于点E．证明，可得，．进一步证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点D， ∵ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，． ∴ ， ∴ 点C的坐标为． （2）解：如图，作于D．    ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴B点坐标． （3）解：的长度不发生改变．如图，作轴于点E． ∵ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ 点A的坐标为， ∴ ． ∴ ，即的长度不发生改变，是定值，为3． 【点睛】此题是考查了坐标与图形、等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 题型九 求取或探究角度之间的数量关系（共4小题） 33．（23-24八年级上·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为， 或， 当， ∵， ∴这种情况不存在， 当， ∴． 故答案为：10． 34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 . 【答案】/40度 【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·浙江·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． (1)如图，若，，求的度数； (2)试探求与的数量关系； (3)如图，若平分，于点，求证：． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和，三角形的外角，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理以及三角形的外角，角的和差关系进行求解即可； （）在中，设，，则，结合，则，，又，则，最后由三角形外角性质和角度和差即可求解； （）由，则，设，则，又平分，所以，然后求出，则，最后由含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与的数量关系是：， 理由如下：在中，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 36．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有 ．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A；见解析；（2）①25；，见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②如图，即为所求． （2）① 中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 题题型十 函数的图象与性质应用（共5小题） 37．（24-25八年级下·浙江金华·期末）小数同学根据学习函数的经验，类比探究了新函数，请把小数下面的探究过程补充完整． (1)在取值范围内取和的几组对应值列表如下： 其中 ______， ______． (2)根据上表的数据，在下面平面直角坐标系中画出了函数图象的一部分，请补全函数的图象． (3)观察图象，写出该函数的两条性质：①______，②______． (4)进一步探究： ①不等式的解是______． ②若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①函数的图象关于直线对称；②当时，随的增大而减小 (4)①且；② 【分析】本题考查了函数的图象和性质、函数与不等式的关系，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论． （1）把代入解析式即可求得的值，把代入解析式即可求得的值； （2）根据表格中的数据画出函数图象即可； （3）观察函数图象，即可得到函数的两条性质； （4）①结合函数图象求解即可；②结合函数图象求解即可． 【详解】（1）把代入得，， ， 把代入得，， 解得或， ， 故答案为：，； （2）补全函数的图象如图： （3）由函数图象可知：函数的图象关于直线对称， 当时，随的增大而减小， 故答案为：函数的图象关于直线对称；当时，随的增大而减小； （4）根据图象可得：不等式的解是且； 根据图象可得，当直线过点时，直线与函数的图象有两个交点， 把点代入得， 若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是． 故答案为：且；． 38．（24-25八年级下·浙江台州·期末）A，B两地相距，甲车以的速度从A地去往B地，到达B地后，立即以相同速度返回A地；乙车沿同一条道路以的从B地去往A地．已知乙比甲迟1h出发，设甲车行驶时间为t h，甲、乙离A地的距离分别为，，其中关于t的函数图象如图所示． (1)在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象； (2)当时，求关于t的函数解析式； (3)当甲、乙两车相距时，t的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)或或3 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据时间=路程÷速度求出乙车达到B地的时间，从而画出随时间t变化的函数图象即可； （2）根据路程=速度×时间计算即可； （3）写出关于t的函数解析式，当甲、乙两车相距时，按照t的取值范围列关于t的方程并求解即可． 【详解】（1）解：乙车达到B地的时间为， 在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象如图所示： ； （2）解：当时，， ∴当时，关于t的函数解析式为； （3）解：当时，， 当时，， 当时，当甲、乙两车相距时，得， 解得（舍去）， 当时，当甲、乙两车相距时，得， 解得或， 当时，当甲、乙两车相距时，得， 解得， ∴当甲、乙两车相距时，t的值为或或3． 故答案为：或或3． 39．（24-25八年级下·浙江台州·期末）小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示： (1)爸爸的速度为_______，小明的速度为______；点代表的实际意义是：______： (2)求线段的函数解析式； (3)在15分钟内，两人一共相遇_______次． 【答案】(1)1；；经过秒，小明和爸爸第一次相遇 (2) (3)16 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象可知，由图象可知，爸爸用游了,此时小亮在爸爸后面,即小亮用游了,即可求出爸爸的速度和小亮的速度，求出B的坐标，即可知点B的意义； （2）求出点B，点C坐标，再用待定系数法可得的函数表达式； （3）由两人每经过，即可相遇一次，列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，爸爸用游了,此时小亮在爸爸后面,即小亮用游了, ∴爸爸的速度为，小亮的速度为， ， ∴点B表示：经过,小明和爸爸第一次相遇； （2）解：由（1）知点B坐标为， 点C处为小明第一次到达终点，所需时间为：, 此时两人之间距离为：, ∴点C坐标为， 设段函解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴段函解析式为； （3）解：由（1）可知，两人每经过即可相遇一次， ， 在15分钟内，两人一共相遇16次； 40．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】(1)见解析，这些点分布在同一直线上 (2)，弹簧B在弹性限度内的最大拉力是 (3)购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【详解】（1）描点并连线如图所示： 由图象可知，这些点分布在同一直线上． （2）由（1）可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于x的函数表达式为， 当时，， 弹簧B在弹性限度内的最大拉力是； （3）设购买A弹簧m根，则购买B弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随m的增大而增大， 且m为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 41．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表： 燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4 剩余长度h（cm）（观察值） 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为，则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 【答案】(1) ；8， (2) ； 【分析】（1）设，根据待定系数法解答即可； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为d，则________． （2）根据,得，，，，，根据定义计算解答即可． 设优化后解析式为，根据定义，计算，后配方，利用非负性，确定最小值解答即可． 本题考查了待定系数法，新定义，配方法，实数的非负性应用，熟练掌握等等洗发水，非负性，配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 解：当时，，此时它与时观测值的偏差值记为d， 则， 故答案为：8，． （2）解：根据,得，，，，， 故． 设优化后的解析式为，由解析式过点，得， 故新解析式为， 根据题意，得，，，，， 故 而， 故当时，取得最小值， 此时， 解得， 故优化后的解析式为． 型十一 一次函数与几何综合问题（共3小题） 42．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) ；存在， 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义． （1）作的中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”； （2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而； ②当时，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则，，过点D作于点H，由的面积可得．根据垂线段最短可得，而当有且只有一个点C落在直线上时，，得到，即可求解．当时，同理可求解． 【详解】（1）证明：作的中线，如图：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为“中根三角形”； （2）解：①过B作于K，如图：    ∵为的“中根线”，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴的面积为； ②存在，理由如下： 当时，如图：    设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴，，， 过点D作于点H， ∴， 即， ∴． ∵为的“中根线”，， ∴， ∵点C落在直线上， ∴由垂线段最短可得， ∴当有且只有一个点C落在直线上时，， ∴， ∴． 当时，如图：    同理可得． 综上所述，当时，有且只有一个点落在直线上． 43．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 44．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，已知图形和直线．如果图形上存在一点，使得点到直线的距离小于或等于，则称图形与直线“关联”，叫做图形的关联点． (1)已知线段，其中点，点； ①已知直线，则该直线与轴的交点坐标为 ，点到直线的距离为 ； ②已知直线，若线段与该直线 关联，求的取值范围； (2)已知边长为的等边的顶点在轴上运动，且轴，若该等边三角形与直线 关联，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，点到直线的距离，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题； （1）①求出，的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题． ②如图2中，当直线在点的上方，且点到直线的距离为时，，再结合①中结论，可得结论． （2）求出两种特殊位置点的坐标即可．设直线交轴于，交轴于．当等边在轴的右侧时，过点作于．求出此时点的坐标，当等边在轴的左侧时，同法可得坐标，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：①对于直线，令，得到，令，得到， 直线交轴于，交轴于， ， 如图1中，连接． ， ， ， ， ， ， 点到直线的距离为． 故答案为：，． ②如图2中，由①得，当直线在的下方时，点到直线的距离为时，， 当直线在的上方时，且点到直线的距离为时，过点作于， 直线平行于直线， ， ， ， ， 观察图象可知，满足条件的的值为； （2）设直线交轴于，交轴于． ，， ， 当等边在轴的右侧时，过点作于． 当时，， ， 当等边在轴的左侧，且点到直线的距离为时，过点作于． 同法可得， 观察图象可知，满足条件的点横坐标的取值范围为． 1．现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示．从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形．在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（    ） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 【答案】C 【分析】本题考了三元一次方程的正整数解，不等式的解法等知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大．设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为9，B的面积为12，C的面积为16，再结合总面积为，来讨论求解即可． 【详解】解：由图可知，A的面积为9，B的面积为12，C的面积为16， 设拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形中的数量分别为张，张，张， 则有方程，x、y、z均为正整数， 则未知数的取值范围为：x取0至12的正整数，y取0至9的正整数，z取0至7的正整数； 当时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：， 此时的最大值为，即，， 当时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即， 112无法被3整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片； 从题目所求可知，不必讨论当时的情况， 当除B纸张外，A、C至少都取一张， 则有，即， 即B型纸张最多用了7张， 综上：在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为； 故选：C． 2．如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点， ∴点． 故选：D． 4．如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据三角形的内角和和外角的性质即可得到． 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线交于点M，如下图所示： ，， ， 又， 故， ； 故①正确， ， 过点E作于点P，作于点Q， 平分， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， 平分， ； 故③正确， 延长二线交于点N， 平分， ， ， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 无法证明， 故④错误， 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，其中，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，勾股定理解三角形，三角形等面积法，直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出直线的表达式是，确定，得出，四边形为矩形，过点A作点A关于的对称点E，连接交于点G，过点G作轴于点H，根据勾股定理解三角形及三角形等面积法确定，得出，结合图形列出不等式求解即可． 【详解】解：点在直线上， ， ∴， ∴直线的表达式是． 当时，， ∴， ∵点的坐标分别为， ∴，轴，轴， ∴，四边形为矩形， 过点A作点A关于的对称点E，连接交于点G，过点G作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∵， 解得：， ∴点G的横坐标为， 代入直线的表达式得， ∴交点． 设点， ∴， 解得：， ∴点， 点在长方形的内部， ， 解得（不符合题意，舍去）或． 故答案为：． 6．有一批产品需要生产装箱，台型机器一天刚好可以生产箱产品，而台型机器一天刚好生产箱产品．已知每台型机器比每台型机器一天多生产件． (1)求每台型、型机器一天可分别生产多少件产品？ (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算） (3)若每台机器运输安装费用元（运输安装一次可使用天），每台型机器一天的租赁费用是元，可供租赁的型机器有台，每台型机器一天的租赁费用是元，租赁的型机器台数不限，现要在天内（含天），则租赁的型机器 台，费用最省，最省的总费用为 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）． 【答案】(1)每台型机器一天可生产件产品，每台型机器一天可生产件产品； (2)需天完成； (3)，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用． 设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品，根据每箱中产品的件数相同，可列方程：，解方程即可求出结果； 由可知一箱产品有件，可得：用台型机器和台型机器同时生产件产品需要天； 因为，可知机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少，所以尽量多租用机器，设租赁的型机器台，可得不等式，解不等式求出的取值范围，根据为整数，可知型机器租赁的数量，再根据安装费和租赁费计算出最少费用即可 ． 【详解】（1）解：设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品， 根据题意得：， 解得：， ， 每台型机器一天可生产件产品，每台B型机器一天可生产件产品； （2）解：由知，箱产品有件， ， 需天完成； （3）解：， 机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少， 型机器尽量多租用，才能使总费用更少， 设租赁的型机器台， 根据题意得：， 解得：； 为整数， 最小取， 租赁台型机器和台型机器，可以在天内完成任务， 所需要的最少费用是(元)． 故答案为：，． 7．已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使． (1)如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________； (2)如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长； (3)如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）由可证，进而得到，即得，，即得到，即可求解； （）同理（）可证，即得，，进而即可求解； （）作于点，可证，得到，，即得，再证明，得到，由可得，进而得到，再根据即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：同理（）可证， ∴，， ∵， ∴； （3）解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 8．如图， 已知直线与轴交于点， 与轴交于点， 过点作轴交直线 于点 ．点 是轴上的一个动点， 点是的中点， 在 中（三顶点顺时针排列）， ． (1)则 三点的坐标分别为：A ；B ；D ． (2)如图， 当点在线段上时， 若， 求点的坐标． (3)当点在射线上运动， 连接 ． 若 ， 求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)的坐标为或． 【分析】（1）把，，分别代入函数解析式即可求出，，的坐标； （2）过作轴的垂线，交轴于点，过作轴的垂线，交于点，构造，根据对应边相等即可求出，，从而确定的坐标； （3）根据，先确定到的距离和到的距离之比，然后作于点，于点，构造，然后分在，之间和在的延长线上两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， 解得， ， 把代入，得， 故答案为：，，； （2）过作轴的垂线，交轴于点，过作轴的垂线，交于点， 轴， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ； （3），，，， ，，， ，， 是的中点， ，， ， ∵，， 作于点，于点， 则， ， ， ， ， ①当在，之间时， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当在的延长线上时， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，全等三角形的判定与性质的应用，三角形中位线定理，是一道综合性较强的题目，关键是构造三垂图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $