6.2 子空间的不完全覆盖性理论-高等代数考研解析

6线性空间T 6.2子空间的不完全覆盖性理论 在线性空间中，由于真子空间的维数小于原线性空间的维数，所以无论多少 真子空间，其并构成的集合仅仅只是原线性空间的一个子集，从而无法覆盖原线性 空间。 例1设V,V,都是线性空间V的非平凡子空间，则存在a∈V,使aEV,aV,。 证明：由于Y,V,是V的非平凡子空间，故存在a廷V,若aEV,,则命题得证。 设a∈V,,则一定存在BV,若BEV,则命题也得证。设B∈V,于是有 aEV,a∈V,及B∈Y,BV,因而必有a+BEV,a+BEV,。 事实上，若a+B∈乃，又B∈Y,则由Y是子空间，知必有a∈，这与假设 矛盾，即证得a+BEV；同理可证a+BEV, 例2设乃，V,,V为线性空间V的真子空间，则必存在a∈V,使 得aEV(i=1,2,s) 证明：用数学归纳法。当=s=1时，由V为V的真子空间，知结论成立。 假设命题对s-1成立，即存在a∈V而aVi=1,,心-1)，则 当aV时，命题成立。 当a∈V时，存在BEV。,若BE,乃2，，V1,命题成立； 若B∈V,则ay,a∈'，B∈V,BEV,从而a+BEY,+B生'。 对于a+B做同样的讨论： 若+B,,V1,则命题成立； 若a+B∈V,则a+(a+)E,V,'o 再对2a+B做同样的讨论： 若2a+BE,…,',则命题成立； 1551 高等代数考研解析 若2a+B∈Y,,则a+(2a+B)=3a+BEV,V,V,Vo 如此进行下去，经过有限步后可得(-1)a+BE,'2,,V-,严（m≤s),所 以当n=s时，命题成立。 例3证明在有限维线性空间V的真子空间V,V,…,V外，存在V的一组基。 证明：设dimV=n,若6EV(i=1,2,,r),令L(e)=W,同理存在e2V, 62所，6≠0,62≠0，且6,6，线性无关（若线性相关，则6，∈W矛盾)。 令L(,52)=W2,则存在6，EV,6,EW,且6,62,6线性无关。继续进行 下去，必可找到线性无关的6,62，，6，从而6,62，，6是V的一组基，且不在 ,V,…,V中。 将以上命题推广（北京大学）：设V为数域P上的n维线性空间，V,V,,V为 的真子空间，则 (1)存在a∈V,使得aVU-UV; (2)存在一组基，使得： {e,e2,,en}∩(yU.UV)=☑ 6.3子空间补的不唯一性 在线性空间中，对于一个子空间而言，其补子空间是不唯一的。 例1设V,V,为n维线性空间V的两个维子空间(0<<n),则存在子空间 W使得V=V⊕W=V,⊕W。 证明：对n-m用数学归纳法。 当n-m=1时，n=m+1,Y,V,为V的真子空间，存在e∈V,eEV,令 W=L(),则V=L(G,,6-1,e),其中=L(e,,ea-),从而V=Y田W;同理可 156