数学一模保分卷01（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的中位数都是6分 B．两组数据的平均数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于，且，则为（    ） A． B．3 C． D．2 7．已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A．-1 B．2024 C．2025 D．2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前8项和为86 C．的前12项和为 D．的前16项和为168 11．已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则 13．有专家根据相关数据建立了关于某地区在一段时间内感染某病毒的人数（t的单位：天）的相关模型： ，其中K为最大被感染数.当时，标志着已初步遏制住了该病毒传播，则约为 .（注：为自然对数的底数，） 14．已知函数，，若恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知四棱锥，平面，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．（15分） 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 17．（15分） 某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 18．（17分） 已知函数定义域为，对于实数，定义集合，. (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合满足：，则称和互为对称集.证明：“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 19．（17分） 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】解不等式化简集合，再利用补集的定义求解. 【详解】不等式，解得， 即，而， 所以或. 故选：D 2．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 3．已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的定义，和求出，再根据向量模长的计算方法，求出答案. 【详解】由题意知，， 可得， ， 故选：C. 4．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的中位数都是6分 B．两组数据的平均数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】A 【分析】分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数、极差和方差，然后逐一判断各选项的正确性. 【详解】甲组数据的平均数分. 乙组数据的平均数分. 所以两组数据的平均数均为分，B选项正确. 将甲组数据、、、、从小到大排列为、、、、，数据个数是奇数，最中间的数是，所以甲组数据的中位数为分. 将乙组数据，，，，从小到大排列为，，，，，数据个数是奇数，最中间的数是，所以乙组数据的中位数为分.A选项错误. 甲组数据中最大值是，最小值是，则甲组数据的极差为分. 乙组数据中最大值是，最小值是，则乙组数据的极差为分. 所以两组数据的极差相等，C选项正确. 对于甲组数据，，，则. 对于乙组数据，，，则. 因为，所以甲组的方差小于乙组的方差，D选项正确. 故选：A. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦的倍角公式，化简求得，得到，结合，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：D. 6．已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于，且，则为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为，且角的平分线交边于，且， 所以， 即， 又，所以，所以、， 由余弦定理， 所以，即. 故选：A 7．已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以， 即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 所以，，故或， 即， 又，即， 即， 平方可得：，解得； 即，即， 平方得，无解， 所以球的表面积为． 故选：B． 8．已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A．-1 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】由函数与的关系及，的对称性，得到的周期性，利用周期性可求解. 【详解】是奇函数，. ,又是偶函数， ，是周期为4的周期函数，，又 因为所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 【答案】ABD 【分析】先设复数，再根据模长公式计算求解判断A，应用复数的几何意义判断B，应用复数的乘法及除法计算判断C，D. 【详解】设，则，解得或舍，故，故A正确； 在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选:ABD. 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前8项和为86 C．的前12项和为 D．的前16项和为168 【答案】AD 【分析】令即可求出判断A选项；由时得，再结合题设条件等式作差得的通项公式即可计算得前8项的和判断B选项；写出的通项公式，然后由等差数列的性质计算该数列的前12项的和，判断C选项；由的通项公式计算出的前16项和，判断D选项. 【详解】令，则，A选项正确； 由题意可知当时，， 所以，即， ∴数列的前8项和为，B选项错误； 令，则 ，C选项错误； ， ，D选项正确. 故选：AD. 11．已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，由基本不等式推出和时，条件成立，故，A错误；BCD选项，在A选项基础上结合三角恒等变换进行判断. 【详解】A选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 若，可得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 综上，，A错误； B选项，当时，，满足要求； 当时，，满足要求，B正确； C选项，，两边平方得， 即，C正确； D选项，当时，， ， 满足要求； 当时，， 此时， 故成立，综上，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则 【答案】 【分析】将双曲线的方程化为标准形式，写出的值，从而求出渐近线的方程得到斜率，再解关于的方程即可求解. 【详解】因为曲线为双曲线，所以， 将双曲线方程化为标准形式为，所以，， 所以双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线的斜率为2，所以，解得. 故答案为：. 13．有专家根据相关数据建立了关于某地区在一段时间内感染某病毒的人数（t的单位：天）的相关模型： ，其中K为最大被感染数.当时，标志着已初步遏制住了该病毒传播，则约为 .（注：为自然对数的底数，） 【答案】62 【分析】将代入方程得，指对互化结合即可计算. 【详解】∵， ∴，即， 则，∴，∴（天）. 故答案为：62 14．已知函数，，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立，讨论的范围，可得，构造函数，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】由于恒成立，则在上恒成立； 令, 当时，，所以的解为：，不满足条件； 当时，令，解得：,, 当时，若，则，不符合题意； 当时，若，则，不符合题意； 当时，在上恒成立； 所以要使在上恒成立，则，即, 所以，令，则, 当时，,在上单调递增； 当时，,在上单调递减； 所以，当时，，当时，， 所以的取值范围是： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知四棱锥，平面，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 且为等腰直角三角形，，所以， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 16．（15分） 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． 17．（15分） 某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 【答案】(1)； (2)选择方案1更合理，理由见解析. 【分析】（1）设他第一次摸出红球为事件A，他能够享受优惠为事件B，分后两次取得1个红球或两个红球两种情况可得，然后由条件概率公式可得答案； （2）分别写出两种方案下实付金额对应期望，即可得答案. 【详解】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则. 设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑， 则他第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种， 他第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种， 则，则他第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为： ； （2）若选方案1，设实付金额数为，则的可能值为. 注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为， 则，， ，. 则; 若选方案2，设实付金额数为，则的可能值为. 由（1）可得无放回摸出三球的情况有种， 则，， ， 则. 因，则他选择方案1更合理. 18．（17分） 已知函数定义域为，对于实数，定义集合，. (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合满足：，则称和互为对称集.证明：“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 【答案】(1)，或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）根据题设定义得到对于任意，都有，分析函数的单调性，结合图象求解即可； （3）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性. 【详解】（1）由在上单调递减，在上单调递增， 则时，，即， 而或. （2）因为对于任意，均有， 若，则，即若，则，所以， 由，则， 令，得，令，得或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 又， 作出函数的图象， 由于对于任意，都有，则或， 所以的取值范围为. （3）若函数是偶函数， 则对任意，， 对任意，若，即且， 则， 由，得，而，则； 若，则且， 则， 由，得，而，则， 所以对任意实数与互为对称集，充分性成立； 若对任意实数与互为对称集，则， 而，， 由，等价于， 对任意，，则，则， 对任意，，则，则， 所以，则函数是偶函数，必要性成立. 综上所述，“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 19．（17分） 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 【答案】(1)曲线，曲线； (2)（i）圆过定点；（ii） 【分析】（1）根据判断曲线焦点的位置，再根据离心率，得出的值； （2）（i）首先计算出，的坐标，根据中点坐标公式得出圆心的坐标，在利用，得到圆的半径，最后将圆心与半径代入得圆的标准方程，即可得出圆过定点；（ii）根据圆的面积公式，得出圆D的面积最小时，，得出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，可求的取值范围，根据切线性质可求，最后再构造出函数，结合函数单调性求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：； 对于曲线，，解得：； 即，所以曲线，曲线. （2）（i）由题意可知：，， 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则， 且， 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得， 令得，所以圆过定点； （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立， 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为， 设，，则，即； 则， 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，， 设，则，, 因为， 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，， 可得，所以面积的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C A D A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．62 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为平面，平面，所以，（1分） 因为，，所以，（2分） 因为，所以， 且为等腰直角三角形，，所以， 由余弦定理可得，（3分） 因为，，所以，所以，（4分） 因为，、平面，所以平面，（5分） 因为平面，所以平面平面.（6分） （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，（7分） 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，（9分） 设平面的一个法向量为，， 则，取，则，（11分） .（12分） 因此平面与平面夹角的余弦值为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）∵，（2分） ∴，（3分） ∴在处的切线方程为，即．（4分） （2）由题意，函数的定义域为． ，（5分） ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值．（7分） ②当时，， ∴在上单调递增，无极值．（8 分） ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值．（11分） ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值．（14分） 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则.（1分） 设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑， 则他第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种，（2分） 他第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种，（3分） 则，（4分） 则他第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为：；（5分） （2）若选方案1，设实付金额数为，则的可能值为 注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为， 则，， ，.（9分） 则;（10分） 若选方案2，设实付金额数为，则的可能值为. 由（1）可得无放回摸出三球的情况有种， 则，， ，（13分） 则.（14分） 因，则他选择方案1更合理.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由在上单调递减，在上单调递增，（1分） 则时，，即，（2分） 而或.（3分） （2）因为对于任意，均有， 若，则，即若，则，所以，（4分） 由，则，（5分） 令，得，令，得或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增，（6分） 又， 作出函数的图象， 由于对于任意，都有，则或， 所以的取值范围为.（8分） （3）若函数是偶函数， 则对任意，， 对任意，若，即且， 则，（9分） 由，得，而，则；（10分） 若，则且， 则，（11分） 由，得，而，则， 所以对任意实数与互为对称集，充分性成立；（12分） 若对任意实数与互为对称集，则，（13分） 而，， 由，等价于，（14分） 对任意，，则，则， 对任意，，则，则， 所以，则函数是偶函数，必要性成立.（16分） 综上所述，“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：；（1分） 对于曲线，，解得：；（2分） 即，所以曲线，曲线.（4分） （2）（i）由题意可知：，， 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即；（6分） 则，（7分） 且，（8分） 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得，（10分） 令得，所以圆过定点；（11分） （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立，（12分） 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为， 设，，则，即； 则，（13分） 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，， 设，则，,（14分） 因为， （15分） 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，，（16分） 可得，所以面积的取值范围为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的中位数都是6分 B．两组数据的平均数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于，且，则为（    ） A． B．3 C． D．2 7．已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A．-1 B．2024 C．2025 D．2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前8项和为86 C．的前12项和为 D．的前16项和为168 11．已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则 13．有专家根据相关数据建立了关于某地区在一段时间内感染某病毒的人数（t的单位：天）的相关模型： ，其中K为最大被感染数.当时，标志着已初步遏制住了该病毒传播，则约为 .（注：为自然对数的底数，） 14．已知函数，，若恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知四棱锥，平面，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．（15分） 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 17．（15分） 某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 18．（17分） 已知函数定义域为，对于实数，定义集合，. (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合满足：，则称和互为对称集.证明：“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 19．（17分） 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $