专题07 数列中的奇偶项问题（压轴题3大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

专题07 数列中的奇偶项问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、等差数列中的奇偶项性质 1 类型二、等比数列中的奇偶项性质 2 类型三、求和问题中奇偶项的问题 2 压轴专练 4 类型一、等差数列中的奇偶项性质 等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 2．（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 3．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 5．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 类型二、等比数列中的奇偶项性质 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 4．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 5．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 类型三、求和问题中奇偶项的问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 3、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 1．记分别为数列的前项和，其中，. (1)求的通项公式； (2)求. 2．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 4．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列中， (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 5．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 3．（23-24高二上·江苏连云港·期末）（多选题）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 5．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 6．（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 7．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则 . 8．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 9．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 10．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 11．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 12．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足求数列的前项和． 13．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 14．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列中的奇偶项问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、等差数列中的奇偶项性质 1 类型二、等比数列中的奇偶项性质 3 类型三、求和问题中奇偶项的问题 6 压轴专练 11 类型一、等差数列中的奇偶项性质 等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 2．（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 3．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 【答案】10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 5．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 类型二、等比数列中的奇偶项性质 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 4．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 5．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 类型三、求和问题中奇偶项的问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 3、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 1．记分别为数列的前项和，其中，. (1)求的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2)1222 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析求解，注意分和两种情况； （2）根据（1）中结果可得数列的通项公式，再利用分组求和法以及等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . （2）由（1）可得， 所以 . 2．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由递推关系两式相除得到，则奇数项和偶数项分别成等差数列，分为奇数和为偶数得到通项公式. 【详解】因为，所以，两式相除可得． 由得， 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以 4．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列中， (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推关系，令、和即可求出答案； （2）由递推公式求出，再利用等比数列定义判断作答. （3）利用（2）的结论求出的通项公式，再结合递推关系得到的表达式，最后借助分组求和法求和作答. 【详解】（1）由， 令，则；令，则， 令，则， 所以，，. （2）依题意，设， 则 ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）知，， 因此， 当时，，又， 则， ， 因此 . 5．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差和等比数列基本量的计算即可求解， （2）对分奇偶，结合分组求和，利用等差数列以及等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以， 从而， 所以，所以. （2），故， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上可得 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【分析】设等差数列的奇数项的和为P，偶数项之和为Q，由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的值，从而可得出结果. 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·江苏连云港·期末）（多选题）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 【答案】ABD 【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前n项和公式判断各项正误. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即； ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即； 所以，A对， ，B对； ，C错； 为奇数时， ，D对. 故选：ABD 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 5．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 6．（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 7．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则 . 【答案】16 【分析】根据递推关系式求得数列{}的奇数项是首项为1，公差为﹣3的等差数列，偶数项是首项为﹣4，公差为﹣3的等差数列，进而求出其2n项的和，即可求解结论． 【详解】数列满足， ，且， ， 数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公差为的等差数列， (负值舍去)， ，此时n无正整数解， 若，则， 故答案为：16. 8．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【答案】2191 【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 【详解】数列是以公差的等差数列; . ,数列是以公比的等比数列; . . 故答案为：2191. 9．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可. （2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； （2）由题意， 10．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果； （2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 11．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. 【详解】（1）等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， （2）记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上，. 12．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足求数列的前项和． 【答案】 【分析】数列的奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，因此可以把所有奇数项放在一起求和，把所有偶数项放在一起求和，最后再把两部分相加． 【详解】若为奇数， 则 ； 若为偶数， 则． 所以 13．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可得出结论； （2）求出数列的通项公式，对分偶数和奇数两种情况讨论，结合分组求和法可求得的表达式； 【详解】（1）因为数列满足，且，则， 所以， 故，且， 因此数列是等比数列. （2）当为偶数时，设，则， 由（1）可知，则， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，设，则，， 此时 ， 当为奇数时，设，则， 此时 ， 综上所述，. 14．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得，即， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $