重难点突破01 三角恒等变换应用题型与技巧突破（寒假预习讲义，17大题型）高一数学沪教版

重难点突破01 三角恒等变换应用题型与技巧突破 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：两角和与差公式（C(α±β)、S(α±β)、T(α±β)） 公式名称 规范公式（Word格式） 适用条件 核心变形 两角和差余弦 α,β为任意角 无分配律，逆用： 两角和差正弦 α,β为任意角 逆用： 两角和差正切 知识点2：二倍角公式 公式名称 规范公式（Word格式） 变形（降幂/升幂） 适用场景 二倍角正弦 化简、求值，“1”的代换 二倍角余弦 降幂：； 化简、求最值、周期 二倍角正切 角度倍分转化，条件同正切和差公式 知识点3：辅助角公式 ，其中，，，φ象限由(a,b)确定. 常用结论： 知识点4：半角公式（教材不要求记忆，可推导） ，，，符号由象限决定. 知识点5：和差化积公式 一、核心和差化积公式 1.正弦和差化积： 2.正弦差化积： 3.余弦和差化积： 4.余弦差化积： 二、公式说明 适用条件：、为任意角，无特殊定义域限制. 核心特征：左边为两个同名三角函数的和或差，右边为两个三角函数的积，其中角为（和角的一半）与（差角的一半）. 符号规律：余弦差化积公式右边有负号，其余三个公式右边均为正号，可结合“余差为负”记忆. 三、记忆技巧 口诀：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”. “正加正，正在前”：，右边先写，再写； “正减正，余在前”：，右边先写，再写； “余加余，余并肩”：，右边两个都是函数； “余减余，负正弦”：，右边是负的两个函数的积. 四、常用补充（积化和差公式，对应逆用） 和差化积与积化和差为互逆变换，补充积化和差公式便于双向应用： 1. 2. 3. 4. 常考结论（高频考点+速解结论） 1.基础结论 1.常见特殊角组合：，，. 2.齐次式求值：已知，则，，. 3.三角恒等式：；. 2.进阶结论 1.辅助角公式最值：的最大值为，最小值为. 2.角度和为特殊角：若，则；若，则，. 3.降幂扩角：，，常用于三角函数的周期、最值求解. 3.解题策略 1.化简原则：“异名化同名、异角化同角、高次降幂、无理化有理”，优先逆用公式. 2.求值步骤：先定角范围→选公式→验符号→算结果，复杂角拆分为特殊角组合. 3.证明思路：从复杂端向简单端转化，用“1”的代换、公式逆用搭建桥梁. 【题型1 同角公式的平方关系】 例1．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）（1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值； （2）已知，且，求及. 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用韦达定理可得，结合同角三角关系即可求解； （2）根据,之间的关系结合诱导公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，解得：或， 且， 又因为，即， 整理得，解得或(舍去)， 所以. （2）因为，且， 即，可得， 由，可知，， 又因为，且， 可得， 所以 . 故，. 【题型2 同角公式中的弦化切】 例1．（25-26高一上·上海普陀·月考）（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解 （2）利用同角三角函数的关系解方程组可得和 , 然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点的坐标. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，，由，解得，所以点的坐标为. 例2．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的值为2. 故答案为：2. 变式1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知，则 【答案】/0.3 【分析】根据同角三角函数的关系弦化切即可求解. 【详解】已知，则. 故答案为： 变式2．（25-26高三上·上海·月考）若，那么= ． 【答案】 【分析】先利用平方关系化简，再进行弦化切. 【详解】根据题意，， . 故答案为： 【题型3 诱导公式与同角公式的化简求值】 例1．（25-26高一上·上海青浦·月考）化简：. 【答案】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】原式. 例2．（2025高三·上海·专题练习）已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出，最后应用半角公式结合诱导公式计算求值即可. 【详解】 ， ，结合为第三象限角，可得， ， 则. 故选：D. 变式1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系求出，再由商数关系求解； （2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解. 【详解】（1）因为， 所以， 故. （2）由（1），， . 变式2．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 【题型4 余弦的两角和差公式的化简求值】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 变式1．已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由、范围得范围，结合缩小范围，再用平方关系求，同理可求； （2）考虑到，用两角和的余弦公式求得，用二倍角变形公式求，再结合范围即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以，又因， ，故， 因为，又因， 则，则. （2）因为； 所以 ， 因为， 则得， 因，故. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求． 【答案】 【分析】可将两式平方，整体构造出求解． 【详解】由已知可得 ， ， 两式相加，， 移项可得：， 即， 所以． 【题型5 余弦的两角和差公式的角的拼凑】 例1．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系、三角和差的余弦公式、二倍角公式化简计算即可，注意在用同角的三角函数关系求值时正负值的取舍. 【详解】，， ，， . 故选：B. 例2．已知，且，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和凑角法得到，进而得到，利用正切二倍角公式进行求解. 【详解】，故， ，则， 故 ， 所以，， 故. 故答案为： 变式1．已知，则 . 【答案】 【分析】先利用已知的的值，结合的范围求出的值，再将变形为，最后利用两角和的余弦公式求出. 【详解】因为，则， 因为，所以，可得： . 将变形为， 可得：， 把，，代入上式， 可得：. 因此， . 故答案为： 变式2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，所以， 所以 ． 故选：C． 【题型6 正弦的两角和差公式的化简求值】 例1．（25-26高二上·上海·月考）已知，则 . 【答案】0 【分析】根据正弦函数的性质可知正弦函数的值域，结合已知条件得出的值，进而得出的值，最后根据两角和的正弦公式计算求解． 【详解】， 又 ， 或， ， ． 故答案为：0． 例2．（25-26高三上·上海·月考）已知锐角满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，所以， 因为均为锐角，所以，， 所以 . 当且仅当，即，即， 也就是时等号成立. 故答案为：. 变式1．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由正弦的和差角公式展开化简可得到的值，再把按倍角公式展开化成关于的式子，代入即得答案. 【详解】由正弦的和差角公式得： ， ， 代入方程：， 得， 得， 解得：， 利用倍角公式得： ， 代入得： . 故答案为： 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解. 【详解】因为, 所以， 所以， 故答案为： 【题型7 正弦的两角和差公式的角的拼凑】 例1．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 变式1．已知，，，则 . 【答案】1 【分析】应用两角差正弦公式结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以， 因为，又因为，所以， 则. 故答案为：1. 变式2．已知， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，利用同角三角函数基本关系式即可求解； （2）利用两角差的正弦公式即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 又因为， 所以； （2） 【题型8 正切的两角和差公式的化简求值】 例1．（24-25高二下·上海·期末）若，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角差的正切公式求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系求，，再结合两角差余弦公式求， （2）结合（1）根据商的关系求，，再利用二倍角公式求，再结合两角差正切公式求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， （2）由（1），，，， 所以，， 所以， 所以. 所以. 变式1．）已知，，且，， （1） ；（2） . 【答案】 【分析】根据条件可得、，利用差角正切公式求得，即有，再应用和角正切公式求得，结合求角. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 所以，解得， 所以，故， 因为，所以，故， 因为， 所以. 故答案为：，. 变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 【题型9 正切的两角和差公式的角的拼凑】 例1．已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求，再由两角和与差的余弦公式结合弦化切即可求解. 【详解】由题意有：，又，即， 所以，解得， 所以， 故选：D. 例2．已知，则 ． 【答案】/0.6 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】已知，解得． 故答案为： 变式1．已知，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】由，，利用两角和的正切公式求出，利用诱导公式求出. 【详解】，， ， ，故选项B正确. 故选：B. 变式2．已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简，结合同角三角函数的关系及差角的正切公式求解. 【详解】由，得，则， 由，，得，而， 则，，， 所以. 故选：B 【题型10 二倍角公式的化简求值】 例1．（2026高三·上海·专题练习）已知，则＝ 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的化简计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 例2．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】应用诱导公式结合同角三角函数关系，得出，最后结合两角和正切及二倍角正切公式计算求解. 【详解】因为，， 所以，所以 则． 故答案为：. 变式1．（25-26高三上·上海杨浦·月考）已知，且是第四象限的角，则的值为 . 【答案】 【分析】由利用同角三角函数平方关系得，进而得，最后利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为，且是第四象限的角， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 变式2．（2025高三·上海·专题练习）已知，则 . 【答案】 【分析】先利用二倍角公式、和差化积公式求出，结合条件求出，再利用商数关系即可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式，得， 因为，所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 【题型11 辅助角公式的化简求值】 例1．化简求值： (1) (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和将整理得到，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式得解. （2）利用和将整理即可得解. 【详解】（1） ； （2） 例2．）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角公式和二倍角公式化简等号左边，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】， ， 则，，所以， 所以. 故答案为： 变式1．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的辅助角公式可得出的值，利用二倍角公式可得出的值，利用诱导公式可得出的值． 【详解】由于， 得， 所以， 故． 故答案为：． 变式2．已知，且，则 . 【答案】 【分析】先将利用辅助角公式得到，再利用同角关系式求出，再根据角的范围进行取舍. 【详解】，，， ，， ，，， 故答案为：. 【题型12 半角公式】 例1．（24-25高一下·上海金山·月考）已知，且为第三象限角，则 . 【答案】 【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出，最后应用半角公式结合诱导公式计算求值. 【详解】. 结合为第三象限角，， 则. 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 ， ， . 【答案】 【分析】先由角的范围得出，进一步结合公式，即可依次求解. 【详解】因为，所以，， 所以，同理， 所以，从而. 故答案为：. 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【详解】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 【题型13 和差化积公式的应用】 例1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，再根据，，计算即可求解. 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故选：C. 例2．（24-25高二上·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】先由积化和差公式对已知式化简，再利用三角降幂公式化简代入计算即得. 【详解】由， 可得 ， 则. 故答案为：. 变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，求的值． 【答案】． 【分析】利用和差化积、两角和的正切展开式计算可得答案. 【详解】∵，∴①， ，∴②， ，①②可得， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简求值： . 【答案】 【分析】根据余弦的两角和差公式，结合诱导公式即可化简求值 【详解】 【题型14 给角求值】 例1．化简并求值. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）32. 【分析】（1）将切化为弦，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式可求三角函数式的值. （2）将切化为弦，利用辅助角公式化简，最后利用二倍角的正弦公式和余弦公式可求三角函数式的值. （3）先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和差的正弦公式可求三角函数式的值. （4）通分后利用平方差公式、两角和差的正弦公式化简，最后利用二倍角的正弦公式和诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . （4）原式 . 例2．化简，求值 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）；（5）2. 【分析】（1）由诱导公式结合二倍角的正弦公式求值即可； （2）由诱导公式结合二倍角的正弦公式求值即可； （3）通分，逆用两角差的正弦公式以及倍角公式求值即可； （4）由商数关系结合二倍角公式去掉根号，再由辅助角公式求值即可； （5）由商数关系结合二倍角公式去掉根号，再由辅助角公式化简分子分母，最后由诱导公式求值即可； 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 【点睛】方法点睛：给角求值型问题，指的是给出了角的大小，化简求三角式的值.解答这种问题，一般是“三看三变”,“三看”指的是看角、看名、看式,“三变”指的是变角、变名、变式. 变式1．化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【分析】（1）由题意结合两角差的正弦公式化简即可得解； （2）由题意结合同角三角函数商数关系可得原式，再利用两角和的正弦公式即可得解； （3）由题意结合两角差的正弦公式可得原式，再利用两角和的正弦公式即可得解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，关键是对原式进行合理变形，属于中档题. 变式2．=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【分析】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可. 【详解】由 故选：B 【题型15 给值求值】 例1．（24-25高一下·上海·月考）已知，，且，，求：的值. 【答案】 【分析】 求出和的范围，再根据和的值，可以求出和，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】 ，， ，， ，, 又，，且， . 例2．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知，，则的值为 ． 【答案】/0.96 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合角的范围确定的值，利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】由， 得，则，即， 由于，故，结合， 可知， 故， 故答案为： 变式1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ，解得， 所以. 故选：A 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，那么的值为 . 【答案】 【分析】由两角差的正切公式可得. 【详解】， . 故答案为：. 【题型16 给值求角】 例1．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，其中及均为锐角，求的值． 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式即可求解． 【详解】由两角和的正切公式知， 又，， ， ． 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、，且，，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角余弦公式、同角公式变形并消元求出，再利用和角的正弦求解即得. 【详解】由，得，即， 由，得， 两式平方相加得，即， 则，又，于是， 因此 ，由，得， 所以. 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若、均为钝角，且，求. 【答案】 【分析】由给定等式可得，再利用和角的正切公式求解即得. 【详解】由、均为钝角，且， 得，即， 由，，得， 若，即，则， 即有，此时，而，矛盾， 因此，， 所以. 【题型17 三角形中的恒等变换】 例1．（24-25高一下·上海·月考）在中，若，则角的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知均为锐角，则分类讨论，若均为钝角，不妨设，则与矛盾，若均为锐角，则利用以及基本不等式可得. 【详解】，则均为锐角， 若，不妨设，则，则， 即，从而，与矛盾， 所以，由得， 所以， 又因为， 则， 所以，，，所以. 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海普陀·月考）（1）求证： （2）在中，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式化简即可得证； （2）根据内角和定理得，代入两角和的正切公式，化简即可得证. 【详解】解：（1）证明：因为， 所以 . （2）在中，因为， 所以，即. 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，求证： （1）；     （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）从等式左边开始，切化弦，利用正弦定理和余弦定理角化边，化简整理即得等式右边； （2）从等式左边开始，利用正弦定理边化角，利用降幂公式转化，并利用拆角方法，利用两角和差的余弦公式化简整理即可得到等式右边. 【详解】（1） . （2）由正弦定理，得，，. ∴ . 原命题得证. 【点睛】一般的可以证明：，有的叫做正弦函数的平方差公式，是很有意思的一个公式. 变式2．（2024高三·上海·专题练习）在中，，下列各式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据两角和的余切公式化简求解即可. 【详解】因为在中，，故，又，所以， 即，整理可得. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、两角和的余切公式化简.需要根据选项判断公式的选择与计算，属于中档题. 一、基础铺垫（恒等变换的前提） 1.核心基础：同角三角函数基本关系 平方关系：（核心用途：已知一个三角函数值求另一个，开方需定符号） 商数关系：（，核心用途：切化弦、弦化切，统一三角函数名） 2.重要工具：诱导公式 核心法则：奇变偶不变，符号看象限（“奇/偶”指的奇数/偶数倍；“符号”将视为锐角判断原函数值符号） 核心用途：将任意角三角函数转化为锐角三角函数，简化计算 高频公式：、、、 二、核心公式（恒等变换的核心工具） 1.两角和与差公式（基础变换公式） 余弦：（任意角适用，无分配律） 正弦：（任意角适用，逆用是化简高频考点） 正切：（适用条件：，变形：） 2.二倍角公式（角的倍分变换核心） 正弦：（变形：，用于降幂、化简） 余弦：（核心变形：降幂公式、，是求周期、最值的关键） 正切：（适用条件同两角和差正切公式） 3.辅助角公式（函数统一变换工具） 核心形式：（其中，象限由确定） 核心用途：将含、的一次式化为单一三角函数，便于求最值、周期、单调区间 高频特例：、 4.拓展公式（选学，辅助化简） 半角公式：、（符号由象限决定，可由二倍角公式推导） 和差化积/积化和差：如，可由两角和差公式推导，用于复杂式子化简 三、关键技能（恒等变换的核心能力） 1.公式应用技能 正用：直接代入公式计算（如给角求值） 逆用：观察式子结构匹配公式逆用（如逆用） 变形用：利用公式变形解决问题（如降幂公式、正切和差变形） 2.角的变换技能（核心难点与高频考点） 核心思路：将未知角拆分为已知角的和、差、倍、半（即“角的拼凑”） 高频拆分方式：、、、 关键步骤：先确定拆分后角的范围，再判断三角函数符号 3.三角函数名与次数变换技能 异名化同名：利用诱导公式、辅助角公式统一三角函数名（如与化为单一或） 高次降幂：利用二倍角降幂公式将二次式化为一次式（如、降幂） 弦切互化：利用商数关系将正切化为弦，或齐次式弦化切（如已知求齐次式值） 四、应用目标（考点导向） 1.核心题型应用 给角求值：非特殊角拆分为特殊角，用公式计算 给值求值：已知一个三角函数值，求另一个（需定角范围定符号） 给值求角：先求目标角的三角函数值，再结合范围确定角 式子化简：将复杂三角式化为最简形式（同名、同角、一次） 恒等式证明：化繁为简、左右归一，利用公式与角变换搭建等式 2.综合性质应用 结合三角函数性质：通过恒等变换将函数化为形式，求周期、最值、单调区间、对称中心 与其他知识结合：与三角函数图像、解三角形、向量等综合考查 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·月考）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 二、填空题 2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则 . 【答案】 【分析】结合角的范围根据同角关系求，，再根据两角差的正弦公式求. 【详解】由已知，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】由题意可得. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知、满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合正、余弦函数的有界性可得，即可得结果. 【详解】因为，则， 整理可得， 因为，可得， 即，可得， 所以. 故答案为：. 6．（2024高一上·全国·专题练习）已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】∵β为锐角，且，∴，， 故， ∴，， 又， ∴. 故答案为： . 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件确定的范围，进而求出的值，再将变形为，最后利用两角差的余弦公式求出的值． 【详解】已知，则，即． 因为，所以． 根据三角函数平方关系，可得： 因为，根据两角差的余弦公式可得： 将，，代入上式可得： 故答案为：． 8．（24-25高一下·上海长宁·月考）若，，，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，，，， ，， ， . 故答案为：. 9．已知，，则 ． 【答案】 【分析】由，结合同角关系式及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】，所以， 又因为， 所以， 所以. 故答案为：. 10．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】将平方可求出，借助完全平方公式求出，即可求值. 【详解】由得， 解得， 所以． 又因为，且， 所以， 所以， 则． 故答案为： 三、解答题 11．（23-24高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简； （2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】（1） ． （2） ， ， 则． 12．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． （2）因为， 所以 . 13．（24-25高一下·上海长宁·期中）（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）将表示成，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证； （2）将代入公式的表达式，再根据诱导公式，即可得到的表达式. 【详解】（1） ； （2）将代入公式， 可得，   因为，， 所以. 14．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）由（1），求得，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则. （2）解：由（1）知， 则. 15．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数平方关系求，由，利用两角差的正弦公式即可求解； （2）由（1）得，进而求，利用二倍角公式求，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1）由有，又，所以， 所以 ； （2）由（1）有，，所以， 所以， 所以， 所以. 16．（25-26高二上·上海·开学考试）设都是第二象限的角，已知． (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的余弦公式求解. （2）利用同角公式求出，再利用差角的正切公式求解. 【详解】（1）由，得. （2）由都是第二象限的角，且，得， ，则， 所以. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用商数关系，得到，再由条件，即可求出结果；（2）根据条件及平方关系，得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，又，所以. （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 18．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知函数． (1)若，求； (2)若、为锐角，且，，求及的值； (3)已知，，，求，的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由已知代入，利用诱导公式、同角间的关系及二倍角公式化简可得； （2）由平方关系及商数关系即可求得；由结合平方关系求得，进而求得，同理求得，再由正切差角公式求出即可； （3）由结合平方关系及余弦和角公式化简得，进而得到及，即可求出及的值． 【详解】（1）因为，， 所以，则， 则，即， 又，则， 所以. （2）， ， ，为锐角，即， ，． ，， ，又， ， ，， ． （3），， ， 则 ， 所以， 即， 且， 又，，当时，，； 当时，与相矛盾，不符合题意． 所以． 19．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系，以及两角差的余弦公式，求出结果即可. （2）根据同角三角函数关系，以及两角差的正弦公式，求出结果即可. 【详解】（1）因为，，所以. 可得. （2）因为，，所以， 可得. 20．（25-26高二上·上海·月考）已知是的三个内角，. (1)若是正三角形，求的值； (2)若中有一内角为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件将代入解析式计算即得； （2）先利用三角恒等变换将函数的解析式化成，结合条件利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）若是正三角形，则， . （2）因， 则 ， ∴若任意交换中两个角的位置，则的值不会发生变化， 因中有一内角为， 不妨设，则，角 都是锐角， 因， 则得， 当且仅当时取等号， 不妨设，则得，解得， 即的最大值为， 而. 故当除内角为的那个角之外的另两个角都等于时， 取得最小值为. 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破01 三角恒等变换应用题型与技巧突破 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：两角和与差公式（C(α±β)、S(α±β)、T(α±β)） 公式名称 规范公式（Word格式） 适用条件 核心变形 两角和差余弦 α,β为任意角 无分配律，逆用： 两角和差正弦 α,β为任意角 逆用： 两角和差正切 知识点2：二倍角公式 公式名称 规范公式（Word格式） 变形（降幂/升幂） 适用场景 二倍角正弦 化简、求值，“1”的代换 二倍角余弦 降幂：； 化简、求最值、周期 二倍角正切 角度倍分转化，条件同正切和差公式 知识点3：辅助角公式 ，其中，，，φ象限由(a,b)确定. 常用结论： 知识点4：半角公式（教材不要求记忆，可推导） ，，，符号由象限决定. 知识点5：和差化积公式 一、核心和差化积公式 1.正弦和差化积： 2.正弦差化积： 3.余弦和差化积： 4.余弦差化积： 二、公式说明 适用条件：、为任意角，无特殊定义域限制. 核心特征：左边为两个同名三角函数的和或差，右边为两个三角函数的积，其中角为（和角的一半）与（差角的一半）. 符号规律：余弦差化积公式右边有负号，其余三个公式右边均为正号，可结合“余差为负”记忆. 三、记忆技巧 口诀：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”. “正加正，正在前”：，右边先写，再写； “正减正，余在前”：，右边先写，再写； “余加余，余并肩”：，右边两个都是函数； “余减余，负正弦”：，右边是负的两个函数的积. 四、常用补充（积化和差公式，对应逆用） 和差化积与积化和差为互逆变换，补充积化和差公式便于双向应用： 1. 2. 3. 4. 常考结论（高频考点+速解结论） 1.基础结论 1.常见特殊角组合：，，. 2.齐次式求值：已知，则，，. 3.三角恒等式：；. 2.进阶结论 1.辅助角公式最值：的最大值为，最小值为. 2.角度和为特殊角：若，则；若，则，. 3.降幂扩角：，，常用于三角函数的周期、最值求解. 3.解题策略 1.化简原则：“异名化同名、异角化同角、高次降幂、无理化有理”，优先逆用公式. 2.求值步骤：先定角范围→选公式→验符号→算结果，复杂角拆分为特殊角组合. 3.证明思路：从复杂端向简单端转化，用“1”的代换、公式逆用搭建桥梁. 【题型1 同角公式的平方关系】 例1．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 变式2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）（1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值； （2）已知，且，求及. 【题型2 同角公式中的弦化切】 例1．（25-26高一上·上海普陀·月考）（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 例2．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 变式1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知，则 变式2．（25-26高三上·上海·月考）若，那么= ． 【题型3 诱导公式与同角公式的化简求值】 例1．（25-26高一上·上海青浦·月考）化简：. 例2．（2025高三·上海·专题练习）已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 变式2．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【题型4 余弦的两角和差公式的化简求值】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求． 【题型5 余弦的两角和差公式的角的拼凑】 例1．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，且，则 . 变式1．已知，则 . 变式2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 正弦的两角和差公式的化简求值】 例1．（25-26高二上·上海·月考）已知，则 . 例2．（25-26高三上·上海·月考）已知锐角满足，则的最小值为 . 变式1．已知，则的值为 ． 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 【题型7 正弦的两角和差公式的角的拼凑】 例1．已知，则（　　） A． B． C． D． 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式1．已知，，，则 . 变式2．已知， (1)求的值； (2)求的值. 【题型8 正切的两角和差公式的化简求值】 例1．（24-25高二下·上海·期末）若，，则 . 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 变式1．）已知，，且，， （1） ；（2） . 变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 【题型9 正切的两角和差公式的角的拼凑】 例1．已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则 ． 变式1．已知，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 变式2．已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 【题型10 二倍角公式的化简求值】 例1．（2026高三·上海·专题练习）已知，则＝ 例2．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知，，则 ． 变式1．（25-26高三上·上海杨浦·月考）已知，且是第四象限的角，则的值为 . 变式2．（2025高三·上海·专题练习）已知，则 . 【题型11 辅助角公式的化简求值】 例1．化简求值： (1) (2)化简 例2．）若，，则的值为 ． 变式1．已知，则 ． 变式2．已知，且，则 . 【题型12 半角公式】 例1．（24-25高一下·上海金山·月考）已知，且为第三象限角，则 . 例2．（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 ， ， . 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型13 和差化积公式的应用】 例1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·上海·月考）已知，则 . 变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，求的值． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简求值： . 【题型14 给角求值】 例1．化简并求值. （1）； （2）； （3）； （4）. 例2．化简，求值 （1） （2） （3） （4） （5） 变式1．化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 变式2．=（    ） A．16 B．32 C． D． 【题型15 给值求值】 例1．（24-25高一下·上海·月考）已知，，且，，求：的值. 例2．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知，，则的值为 ． 变式1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，那么的值为 . 【题型16 给值求角】 例1．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，其中及均为锐角，求的值． 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、，且，，求. 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若、均为钝角，且，求. 【题型17 三角形中的恒等变换】 例1．（24-25高一下·上海·月考）在中，若，则角的取值范围是 . 例2．（24-25高一下·上海普陀·月考）（1）求证： （2）在中，求证： 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，求证： （1）；     （2）. 变式2．（2024高三·上海·专题练习）在中，，下列各式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 一、基础铺垫（恒等变换的前提） 1.核心基础：同角三角函数基本关系 平方关系：（核心用途：已知一个三角函数值求另一个，开方需定符号） 商数关系：（，核心用途：切化弦、弦化切，统一三角函数名） 2.重要工具：诱导公式 核心法则：奇变偶不变，符号看象限（“奇/偶”指的奇数/偶数倍；“符号”将视为锐角判断原函数值符号） 核心用途：将任意角三角函数转化为锐角三角函数，简化计算 高频公式：、、、 二、核心公式（恒等变换的核心工具） 1.两角和与差公式（基础变换公式） 余弦：（任意角适用，无分配律） 正弦：（任意角适用，逆用是化简高频考点） 正切：（适用条件：，变形：） 2.二倍角公式（角的倍分变换核心） 正弦：（变形：，用于降幂、化简） 余弦：（核心变形：降幂公式、，是求周期、最值的关键） 正切：（适用条件同两角和差正切公式） 3.辅助角公式（函数统一变换工具） 核心形式：（其中，象限由确定） 核心用途：将含、的一次式化为单一三角函数，便于求最值、周期、单调区间 高频特例：、 4.拓展公式（选学，辅助化简） 半角公式：、（符号由象限决定，可由二倍角公式推导） 和差化积/积化和差：如，可由两角和差公式推导，用于复杂式子化简 三、关键技能（恒等变换的核心能力） 1.公式应用技能 正用：直接代入公式计算（如给角求值） 逆用：观察式子结构匹配公式逆用（如逆用） 变形用：利用公式变形解决问题（如降幂公式、正切和差变形） 2.角的变换技能（核心难点与高频考点） 核心思路：将未知角拆分为已知角的和、差、倍、半（即“角的拼凑”） 高频拆分方式：、、、 关键步骤：先确定拆分后角的范围，再判断三角函数符号 3.三角函数名与次数变换技能 异名化同名：利用诱导公式、辅助角公式统一三角函数名（如与化为单一或） 高次降幂：利用二倍角降幂公式将二次式化为一次式（如、降幂） 弦切互化：利用商数关系将正切化为弦，或齐次式弦化切（如已知求齐次式值） 四、应用目标（考点导向） 1.核心题型应用 给角求值：非特殊角拆分为特殊角，用公式计算 给值求值：已知一个三角函数值，求另一个（需定角范围定符号） 给值求角：先求目标角的三角函数值，再结合范围确定角 式子化简：将复杂三角式化为最简形式（同名、同角、一次） 恒等式证明：化繁为简、左右归一，利用公式与角变换搭建等式 2.综合性质应用 结合三角函数性质：通过恒等变换将函数化为形式，求周期、最值、单调区间、对称中心 与其他知识结合：与三角函数图像、解三角形、向量等综合考查 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·月考）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则 . 3．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 . 5．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知、满足，则 ． 6．（2024高一上·全国·专题练习）已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若 ． 8．（24-25高一下·上海长宁·月考）若，，，，则的值等于 ． 9．已知，，则 ． 10．已知，则 ． 三、解答题 11．（23-24高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 12．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 13．（24-25高一下·上海长宁·期中）（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 14．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 15．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值. 16．（25-26高二上·上海·开学考试）设都是第二象限的角，已知． (1)求的值 (2)求的值． 17．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 18．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知函数． (1)若，求； (2)若、为锐角，且，，求及的值； (3)已知，，，求，的值． 19．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 20．（25-26高二上·上海·月考）已知是的三个内角，. (1)若是正三角形，求的值； (2)若中有一内角为，求的最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $