专题02 一元二次函数、方程和不等式（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版

该高中数学期末复习讲义以“一元二次函数、方程和不等式”为核心，通过表格系统梳理5大核心考点的复习目标与考情规律，结合概念辨析、公式法则及易错点提示构建知识体系，用对比表格呈现等式与不等式性质差异、一元二次方程-函数-不等式关系，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，通过“题型+答题模板+易错提醒”模式，如基本不等式求最值的配凑法、常数代换法模型总结，培养数学思维与模型意识。分层设置基础通关、重难突破、综合拓展练习，适配不同学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习提升。

专题02 一元二次函数、方程和不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：等式性质与不等式性质 梳理等式的性质，理解不等式的概念；掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小；体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用． 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合不等式性质考查，多为基础题. 2：基本不等式 探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法；会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。. 题型：选择/填空或解答题第二问； 难度：基础为主（40%），含参数中档（60%）； 特点：高频，多与函数结合. 3：一元二次不等式的解法 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，应用极广. 4：一元二次不等式恒成立、存在性问题 利用一元二次不等式解决恒成立、存在性问题的方法 题型：选择/填空或解答题最后一问； 难度：中档题； 特点：高频，结合函数考查. 5：一元二次不等式与基本不等式的应用 了解一元二次不等式的实际意义； 会用基本不等式解决一些简单的实际问题 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（40%）、含参数中档（60%）； 特点：必考能力题，也为综合题铺垫. 知识点01 直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 2.核心公式与法则 （1）等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. （2）不等式的性质 ①如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. ②如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. ③如果a>b，那么a＋c>b＋c. ④如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. ⑤如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. ⑥如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 示例：（多选）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 易错点：忽略(1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. （2）基本不等式的概念 如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 注：（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）对公式及的理解： ①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； ②取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 示例：下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 易错点：不注意基本不等式成立的条件必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． （3）一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 注：（1）使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. （2）一元二次方程与相应的一元二次函数及一元二次不等式三者之间有什么关系? 以a>0为例 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 由此可见： 一元二次不等式与二次函数之间的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 示例：不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 易错点：解不含参数的一元二次不等式一定要化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正，利用判别式及图像来求解，最后结果应写成解集形式． 题型一 不等式性质及其应用 答｜题｜模｜板 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 易错提醒 忽略不等式性质成立的条件； 【典例1】（多选）设，则下列选项中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】已知实数，满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型二 基本不等式与最值 答｜题｜模｜板 常见的求最值模型： (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 利用基本不等式求最值的几种方法： (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： ①根据已知条件或其变形确定定值(常数)； ②把确定的定值(常数)变形为1； ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 易错提醒 利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【典例1】（多选）下列说法中正确的为（     ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 【典例2】（多选）若a， b均为正数，且满足，则（     ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【变式1】（多选）已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则的最小值 . 【变式3】设正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型三 基本不等式中的恒成立问题 答｜题｜模｜板 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过基本不等式求最大（小）值分析函数的最值或取值范围从而解决恒成立和有解问题 易错提醒 利用基本不等式研究最值从而解决恒成立和有解问题，应注意基本不等式成立的条件。 【典例1】已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（     ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【变式1】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【变式3】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 题型四 二次不等式及其参数问题 答｜题｜模｜板 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 易错提醒 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0系数a系数正负不确定应讨论. 【典例1】（多选）关于的不等式（）的解集可以是（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3】解下列关于的不等式； 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题 答｜题｜模｜板 一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 易错提醒 当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. 【典例1】已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【典例2】任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 【变式3】已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D．1 二、多选题 3．已知，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．设关于的方程的解为，则 三、填空题 6．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 7．已知实数，则的最小值是 . 8．已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为 ． 四、解答题 9．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 10．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知，则的最小值为（     ） A． B．0 C．1 D． 3．已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 5．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（     ） A．4 B． C．2 D．1 6．已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 二、多选题 7．（多选）关于的不等式（）的解集可以是（     ） A． B． C． D． 8．（多选） 已知，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 三、填空题 9．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为___________- 10．已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 四、解答题 11．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 12．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（     ） A. B. C. D. 2．不等式的解集为，则函数的图象大致为（     ） A．     B．   C．   D．   3．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（     ） A． B．2 C． D．1 4．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 5．若，对恒成立，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6． 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题 7．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 8．若，，且，则的最小值是 . 四、解答题 9．已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 10．新能源汽车是低碳生活必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：等式性质与不等式性质 梳理等式的性质，理解不等式的概念；掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小；体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用． 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合不等式性质考查，多为基础题. 2：基本不等式 探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法；会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。. 题型：选择/填空或解答题第二问； 难度：基础为主（40%），含参数中档（60%）； 特点：高频，多与函数结合. 3：一元二次不等式的解法 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，应用极广. 4：一元二次不等式恒成立、存在性问题 利用一元二次不等式解决恒成立、存在性问题的方法 题型：选择/填空或解答题最后一问； 难度：中档题； 特点：高频，结合函数考查. 5：一元二次不等式与基本不等式的应用 了解一元二次不等式的实际意义； 会用基本不等式解决一些简单的实际问题 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（40%）、含参数中档（60%）； 特点：必考能力题，也为综合题铺垫. 知识点01 直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 2.核心公式与法则 （1）等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. （2）不等式的性质 ①如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. ②如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. ③如果a>b，那么a＋c>b＋c. ④如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. ⑤如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. ⑥如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 示例：（多选）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解. 【解析】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确； 对于B选项，例如：，，但是，所以B错误； 对于C选项，当时，，所以C错误； 对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确. 故选：AD． 易错点：忽略(1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. （2）基本不等式的概念 如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 注：（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）对公式及的理解： ①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； ②取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 示例：下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 【答案】C 【分析】根据基本不等式成立的条件可判断ABCD的正误. 【解析】对于A，若，则恒成立，错； 对于B，若，则恒成立，若，则，错； 对于D，∵，如时，，∴D错误； 对于C，因为， 而，，故成立. 故选：C． 易错点：不注意基本不等式成立的条件必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． （3）一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 注：（1）使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. （2）一元二次方程与相应的一元二次函数及一元二次不等式三者之间有什么关系? 以a>0为例 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 由此可见： 一元二次不等式与二次函数之间的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 示例：不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 【解析】 解得：. 故选：C. 易错点：解不含参数的一元二次不等式一定要化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正，利用判别式及图像来求解，最后结果应写成解集形式． 题型一 不等式性质及其应用 答｜题｜模｜板 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 易错提醒 忽略不等式性质成立的条件； 【典例1】（多选）设，则下列选项中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 【典例2】已知实数，满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【解析】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式1】若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【解析】由得，且，即， 可得，故A正确，D错误； 当时，；当时，，故BC错误． 故选:A． 【变式2】已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可。 【解析】对于A：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项A错误； 对于B：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项B错误； 对于C：， 因为，所以，，， 所以一定成立，即选项C正确； 对于D：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项D错误. 故选：C. 【变式3】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解析】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 题型二 基本不等式与最值 答｜题｜模｜板 常见的求最值模型： (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 利用基本不等式求最值的几种方法： (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： ①根据已知条件或其变形确定定值(常数)； ②把确定的定值(常数)变形为1； ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 易错提醒 利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【典例1】（多选）下列说法中正确的为（     ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C，D选项分析判断即可得答案． 【解析】对于A选项，中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，，则，且， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 【典例2】（多选）若a， b均为正数，且满足，则（     ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【解析】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 【变式1】（多选）已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可依次求解 【解析】对于:已知，,所以, 当且仅当时, ,故有可能; 对于:已知，,所以, 不成立,故没有可能; 对于:已知，，且，所以 当且仅当时取等号 所以,即得,所以不成立,故没有可能; 对于:因为,所以, 所以,不成立,故没有可能; 故选: . 【变式2】已知，，则的最小值 . 【答案】20 【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【解析】令，则， 去分母化简得：，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：20 【变式3】设正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【解析】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 题型三 基本不等式中的恒成立问题 答｜题｜模｜板 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过基本不等式求最大（小）值分析函数的最值或取值范围从而解决恒成立和有解问题 易错提醒 利用基本不等式研究最值从而解决恒成立和有解问题，应注意基本不等式成立的条件。 【典例1】已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值，然后解不等式即得. 【解析】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即，然后解不等式即得． 故选：C 【典例2】已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（     ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【答案】A 【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 【变式1】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 【变式2】设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【解析】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A. 【变式3】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【解析】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 题型四 二次不等式及其参数问题 答｜题｜模｜板 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 易错提醒 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0系数a系数正负不确定应讨论. 【典例1】（多选）关于的不等式（）的解集可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【解析】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 【典例2】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，；(2)答案见详解 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【解析】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【解析】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 【变式2】若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【解析】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式3】解下列关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题 答｜题｜模｜板 一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 易错提醒 当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. 【典例1】已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【解析】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【典例2】任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【解析】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 【变式1】对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照，，分类讨论不等式恒成立时的取值范围即可. 【解析】由题得恒成立， 当时，二次函数开口向上， 显然不能恒成立； 当时，得，故不能恒成立； 当时，要使， 则或（舍）. 综上所述，. 故选：B. 【变式2】若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题变为恒成立，再利用基本不等式求解即可； 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立，即恒成立， 令， 因为，，当且仅当即时取等号， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 【答案】 【分析】（由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【解析】由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举出反例可得A、B错误；借助作差法计算可判定C、D. 【解析】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 2．已知，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形利用基本不等式求得正确答案. 【解析】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 二、多选题 3．已知，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特值法判断C，利用不等式性质判断ABD. 【解析】对A：因为，所以，所以，故A错误； 对B：， 因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确； 对C：取，，，不成立，故C错误； 对D：，因为，所以， 故原不等式成立，故D正确. 故选：BD. 4．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB 5．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．设关于的方程的解为，则 【答案】ABD 【分析】结合题意可得和为方程的两根，且，，根据韦达定理可得，，从而判断AB选项；通过化简，进而可判断C选项；令，结合题意可得方程在上的两个解为和，进而得到，可得，利用作差法即可判断D选项. 【解析】因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根，且，， 所以，即，， 又，所以， 所以，，故AB正确； 而 ，故C错误； 因为关于的方程的解为， 令，即， 所以关于的方程在上有两个解， 结合题意，可得方程在上的两个解为和， 所以， 所以， 又，且， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 6．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式，解不等式即可求实数k的取值范围． 【解析】关于x的方程有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数， ∵一根大于2，一根小于2，∴， ∴，解得. 则k的取值范围是. 故答案为： 7．已知实数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可. 【解析】由题意可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值是. 故答案为： 8．已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【解析】因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． 故答案为： 四、解答题 9．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解； (2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围. 【解析】（1）对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 10．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)最多150人；(2)存在， 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； （2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由 可得：，则， ， 又，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切恒成立， 的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A 2．已知，则的最小值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【解析】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 3．已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式且两不等式解集的交集中有且仅有一个整数，讨论参数求其范围. 【解析】对于或， 而解集与或的交集中有且仅有一个整数， 当时，解集为，此时满足要求； 当时，解集为，此时不可能满足题设； 当时，解集为，此时满足要求； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 4．已知，，，则的最小值为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【解析】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 5．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（     ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 6．已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题设应用基本不等式即可求解. 【解析】由题意，时，，时，， 所以，，故， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故选：D． 二、多选题 7．（多选）关于的不等式（）的解集可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【解析】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 8．（多选） 已知，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件. 【解析】因为，， 所以，仅当时，即等号成立， 令，则，故， 所以，即，仅当时右侧等号成立， 所以的最大值为，A错误； 由，则， 所以， 仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16，D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为___________- 【答案】 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【解析】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故答案为： 10．已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【解析】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 四、解答题 11．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【解析】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 12．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，；(2)；(3) 【解析】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】命题"，使得"是假命题， 等价于命题"，使得"是真命题. 当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值集合是. 故选：C 2．不等式的解集为，则函数的图象大致为（     ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解析】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 3．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案. 【解析】由题意不等式对任意正数恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 故，即实数x的最大值为， 故选：C 4．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【解析】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A. 5．若，对恒成立，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 因为在上恒成立， 所以和是的两根，且， 则，解得，， 所以，. 故选：B. 二、多选题 6． 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【解析】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 8．若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【解析】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 四、解答题 9．已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)存在，且实数的取值范围是 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】（1）当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3）解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 10．新能源汽车是低碳生活必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 【答案】（1） （2）年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元. 【分析】（1）根据题目给定的函数解析式，利用给定公式，可得答案； （2）根据二次函数以及基本不等式，可得分段函数最值可得答案. 【解析】（1）每辆车售价9万元，年产量（百辆）时销售收入为900x万元， 总成本为， （2）由（1）当时，， 所以时，（万元） 当时， 当且仅当即时取等号 即（百辆）时， 因为万元， 所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $