专题01 集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理集合与逻辑8大核心考点，构建“概念-公式-法则-易错点”知识链，以对比表格呈现数集符号、充分条件等关键内容，结合示例解析突出集合含参运算、充要条件判断等重难点，培养学生抽象能力与符号意识。 讲义亮点在于分层题型设计与答题模板，如“集合求参”模板指导分类讨论，“新定义问题”（如戴德金分割）培养创新意识。练习分基础、重难、综合三层，结合推理意识（充要条件集合法）和符号意识（量词命题否定），助力不同学生提升，教师可实施精准分层教学。

专题01 集合与逻辑（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：集合与元素 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合； 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合互异性考查，多为基础铺垫. 2：集合的基本关系 子集的概念，真子集的概念； 元素与集合，子集，属于与包含间的区别； 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合集合包含关系、补集命题. 3：集合的基本运算 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.交集、并集的概念，会进行交集并集的运算； 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系. 题型：选择/填空或解答题考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，集合基本运算与函数、不等式融合应用极广. 4：充分条件与必要条件 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 充分条件、必要条件的判断方法. 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合不等式、函数考查. 5：充要条件 掌握两种形式与互化； 能根据条件灵活求圆方程. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：高频基础. 6：全称量词与全称量词命题 理解全称量词、全称量词命题的定义； 会判断一个命题是否为全称量词命题，并会判断它们的真假. 题型：选择/填空； 难度：基础 特点：高频基础. 7：存在量词与存在量词命题 理解存在量词、存在量词命题的定义； 会判断一个命题是否为存在量词命题，并会判断它们的真假. 题型：选择/填空； 难度：基础； 特点：高频基础. 8：全称量词命题与存在量词命题的否定 通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 题型：选择/填空； 难度：中档（80%）、难题（20%）； 特点：侧重转化与化归思想的应用. 知识点01 集合模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 2.核心公式与法则 （1）子集个数公式 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 示例：集合，则的真子集个数为 个． 【解析】因为，所以，又因为，即整除， 所以，，， 所以，，， 故集合， 所以集合的真子集个数为个． 故答案为：. 易错点：忽略空集是任何集合的子集. （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 示例：下列关于0与说法不正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C.. 易错点：空集是不含任何元素的集合. （3）交集、并集的性质（期末高频） ． 示例：设，，若，则实数a的值______． 【解析】， 且， . 当时，则，此时成立； 当时，则， 此时， 则有或，解得或. 因此，实数的取值是或或. 故答案为：0，，. 易错点：忽视和两种情况讨论分析. （4）摩尔根律 , 示例：设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【解析】，故， 故， 故选：A. 易错点：补集定义的理解. 知识点02 逻辑模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2.核心公式与法则 （1）从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件（期末高频） 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 示例：（多选）的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【解析】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 易错点：利用集合理解充分、必要条件不到位致错. （2）称量词命题与存在量词命题的真假判断（期末高频） ①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. ②要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 示例：若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】若命题“”为真命题， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 易错点：未将命题进行转换理解导致逻辑错误. 题型一 集合中求参问题 答｜题｜模｜板 1.常见求参类型 ①利用元素与集合的关系； ②利用集合中元素的互异性； ③利用集合中元素的个数； ④利用(真)子集的个数； ⑤利用集合间的关系； 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围： 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 易错提醒 ①根利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性. 【典例1】（1）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 【典例2】设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【解析】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【变式1】已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解析】因为则 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a取值范围为. 故选：C. 【变式2】（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合的关系求解，从选项中代值检验。 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 【变式3】设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据，即可解出；（2）根据B是A的子集，即可解出. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 题型二 集合个数 答｜题｜模｜板 （1）如果集合A中含有n个元素，则有 ①A的子集的个数有个． ②A的非空子集的个数有个． ③A的真子集的个数有个 ④A的非空真子集的个数有个 （2） 对集合中元素的定义以及集合运算的定义首先弄清定义的内容，再进一步分析解决。 易错提醒 弄清①给出集合中元素的定义；②给出集合运算的定义 【典例1】定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【解析】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 【典例2】（2024·陕西宝鸡·模拟考试）若集合中只有一个元素，则实数（ ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【解答过程】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D. 【变式1】（多选）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【解析】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：AC． 【变式2】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C 【变式3】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【解析】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C. 【变式4】定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解析】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 题型三 集合交并补混合运算 答｜题｜模｜板 集合交并补混合运算的常用方法： ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 易错提醒 集合交并补混合运算常常与①与性质结合；②与空集结合。 【典例1】已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解析】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D 【典例2】（2024·广东广州·模考）若全集，集合，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可. 【解析】因为，， 所以， 所以. 故选：A. 【变式1】（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出集合中元素范围，再根据交集，并集，补集的定义逐一计算判断. 【解析】,, 则，，则AC正确， 又，， 则，则BD错误 故选：AC 【变式2】（2024·湖北荆州·模拟考试）已知集合，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据，求得的取值范围. 【解析】由题意知，又且， 故，即的取值范围为. 故选：D. 【变式3】已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，由得到，分与，求出实数a的值，得到答案, 【解析】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，只有一个根， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 实数的所有值构成的集合是. 故选：D 【变式4】已知集合． （1）若，且，求的取值范围． （2）若集合满足条件_________（三个条件中任选一个作答），求实数的取值范围. （条件①；②是的充分条件；③，使得） （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）解不等式，得到，,并求出, （2）若选①，则可知，据此列出不等式求解；；若选②，则可知，同①求解即可；若选③，则可知，同①求解即可. （3）根据，得到在中有解，令，根据对称轴，分三种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ， 设, 则, 所以，解得, 所以， . （2）选择①. 或， ， 当时满足，此时，解得， 当时，或， 不等式的解集为 因为， 所以，解得， 综上所述. 选择选②是的充分条件. 因为是的充分条件，所以，解法同①； 选择③，使得 因为，使得，所以，解法同①； （3）， 在中有解， 对称轴为， ①当，即时， ，显然不成立,不满足条件； ②当，即时， 或， ； ③当，即时，， . 综上，实数a的取值范围是. 题型四 集合新定义综合问题 答｜题｜模｜板 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 易错提醒 先弄懂新定义的特点，弄清新定义的性质 【典例1】（2024·安徽蚌埠·月考）对于数集，，定义， ，，若集合 ，则集合中所有元素之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【解析】根据新定义，数集，，定义， ，，集合 ，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 【典例2】对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 【答案】（1）不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）675 （3）证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接验证； （2）求出和，由它们的交集为空集可得； （3）求出中的可能元素，根据分析元素的性质可得． 【解析】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以， 【变式1】（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【解析】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 【变式2】（2024·全国·高一期末模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【解析】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D. 【变式3】已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设中，得到，分，，进行分类讨论， 【解析】（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 所以至少有一个大于2. （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为． 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为. 题型五 充分条件与必要条件的判别 答｜题｜模｜板 充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 易错提醒 一定要抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件，否则容易致错.. 【典例1】（2024·四川雅安·月考）已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用充分条件必要条件的定义去判断，对不充分条件或不必要条件可举例说明. 【解析】因为，所以， 所以“”可推出“”，即“”是“”的必要条件； 取，可知，而，即， 所以“”不能推出“”. 所以“”是“”的不充分条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例2】（2024·四川·月考）已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【解析】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式1】（2024·天津和平·月考）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【解析】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 【变式2】（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【答案】AC 【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可. 【解析】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题； ∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题； ∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题； ∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题． 故选：AC. 【变式3】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 【答案】②，③ 【分析】根据充分条件与必要条件的定义构建集合间的关系即可. 【解析】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解， 故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，且等号不同时成立，解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，且等号不同时成立，解得； 综上所述，实数的取值范围，符合题意. 故答案为：②，③. 题型六 利用充分条件与必要条件求参 答｜题｜模｜板 利用充分条件与必要条件求参解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.. 易错提醒 学会把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 【典例1】（2024·江西萍乡·月考）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【解析】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 【典例2】已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】令，， 因为p是q的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 【变式1】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 故答案为： 【变式2】已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 【变式3】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 题型七 根据全称量词命题的真假求参数 答｜题｜模｜板 （1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 易错提醒 学会把含含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【解析】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C. 【典例2】若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由命题“，”为真命题等价于即可. 【解析】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 【变式1】命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由命题“，”为真命题等价于在R上无解即可. 【解析】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 【变式2】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题“”是真命题等价于.又列出不等关系式即可求解. 【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 故选：B 【变式3】已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】由若命题、一真一假则真假，或假真列出不等关系式即可求解. 【解析】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 题型八 根据存在量词命题的真假求参数 答｜题｜模｜板 （1）首先根据存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 易错提醒 学会把含含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题 【典例1】已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知，命题成立，等价于即可求解． 【解析】因为为真命题， 所以，其中， 所以， 故答案为： 【典例2】若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】由题意可知，“存在，使得”是假命题等价于“任意，使得”是真命题即可求解． 【解析】若“存在，使得”是假命题， 则“任意，使得”是真命题， 所以，即. 故答案为：. 【变式1】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知，“，”是真命题等价于方程有解即可求解． 【解析】若命题“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可知，命题“存在，”为假命题等价转化任意，即可求解． 【解析】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得命题，是真命题即可求解． 【解析】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 所以， 故选：C. 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．已知，则a的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【解析】因为，所以，解得：， 故选：A． 2．集合，集合，若，则实数a取值范围为（ ） A． B． C．a>2 D． 【答案】D 【分析】根据列出不等式，即可求解. 【解析】因为，所以. 故选：D 二、多选题 3．已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系依次判断的情况是否满足题意即可. 【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确； 对于B，当时，，满足题意，B正确； 对于C，当时，，不合题意，C错误； 对于D，由ABC知：或，D错误. 故选：AB. 4．已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用集合关系，判断中必须有2，4，结合 是的真子集，即可得求解． 【解析】集合，集合， 则集合中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于，2，3，4，中的元素， 所以集合可以是,,, 故选：ABC 5．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【解析】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 三、填空题 6．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 7．已知集合，且，则实数的取值范围是____. 【答案】m≥1 【分析】由集合M为空集，列出不等式即可. 【解析】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1. 故答案为m≥1 8．设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由题可知是成立的充分条件，因此集合B是集合A的子集，由此列出不等式求解即可. 【解析】因为是成立的必要条件，所以是成立的充分条件，因此, 当时满足题意，此时，解得； 当时，有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题 9．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由，代入可求实数的取值范围； （2）由可知，讨论集合是否为空集，可求出实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 解得，所以实数的取值范围是. （2）由条件可知. 因为，所以. 当即时，，符合； 当即时，， 则有解得. 综上可知，即实数的取值范围是. 10．已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由题意可得，运算求解即可； （2）由题意可知：集合是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【解析】（1）由题可知：，解得， 所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合A的真子集， ①当时，，即，满足题意； ②当时，，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【解析】设不等式的解集为，， 因为不等式成立的充分条件是，，所以， 所以，所以. 由，所以. 由可得. 故选：D 2．已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】B 【分析】由题意得若则且，若则且，若则，若则，而元素5没有限制，进而即可求出集合A的可能结果. 【解析】由题得，， 由题意可知若则且，若则且， 若则，若则，而元素5没有限制可或. 综上，集合A可为：，，，，，，，. 所以集合A的个数共8个. 故选：B. 3．已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】先求出集合A的补集，再利用，即可得答案； 【解析】因为方程的判别式，所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 4．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】写出命题的否定，讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解. 【解析】命题"，使得"是假命题， 等价于命题"，使得"是真命题. 当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值集合是. 故选：C     5．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解； 【解析】由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故选：B． 6．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可. 【解析】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”， 当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”， 则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或， 当时，两个集合构成“蚕食”， 当时，两个集合构成“蚕食”， 综上可得的取值集合为. 故选：C 二、多选题 7．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可. 【解析】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以. 综上，m的取值范围为或， 故选：BC 8．下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A，“，使得”的否定是“，都有”；对于B，由恒成立，则命题“”；对于C，存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围. 【解析】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，由恒成立，则命题“”是真命题，故B正确； 对于C，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，命题为真命题，又函数开口向上， 则无实根，则，解得， 则实数的取值范围是，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得命题：“，，使得”是假命题，即若命题：“，，使得”是真命题等价于可求． 【解析】若命题：“，，使得”是真命题， 则它等价于， 因为，，则， 所以当命题为假命题时，. 故答案为：. 10．集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由得到，分与，求出实数a的值，得到答案, 【解析】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：．   四、解答题 11．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）命题是真命题，可转化为即可求解； （2）若是的充分不必要条件,可转化为是的真子集即可求解. 【解析】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是 12．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由可得，分与分类讨论即可求出实数的取值范围； （2）先求出，若中只有一个整数，那么这个整数只能是，即可求出实数的取值范围. 【解析】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得； 则实数的取值范围是. （2）或，若中只有一个整数， 那么这个整数只能是，则，解得， 则实数的取值范围是. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【解析】 ， ，则． 故选：B． 2． “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【解析】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 3．已知命题为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. . C D. 【答案】B 【分析】由一元二次不等式恒成立，借助判别式即可求解. 【解析】因为命题为假命题， 所以为真命题， 若，则不等式等价为，对于不恒成立， 若，则，解得：， 所以实数的取值范围为； 故选：B 4．已知集合为全集的子集，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，利用即可得到结果. 【解析】∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 5．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求． 【解析】因为命题“”为假命题， 所以“”真命题， 所以， 所以当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值， 所以， 故选：A. 二、多选题 6．下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 【答案】BD 【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断. 【解析】对A：若，则，即 若，比如：，则不成立 ∴“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对B：若，则，即二次方程有两个不等实根 若二次方程有两个不等实根，等价于 比如：满足，但不成立 ∴“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，B正确； 对C：∵且 则 ∴“”是“”的充要条件，C错误； 对D：根据题意可得：，则最小值为2022，D正确； 故选：BD. 三、填空题 7．已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意若为假命题，则或，若为假命题，则，.可求． 【解析】依题意，若为假命题，则或，所以. 若为假命题，则，所以. 所以，若p与q均为假命题，则实数a的取值范围为. 故答案为： 8．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】，进而得出求出m的取值范围即可. 【解析】， 所以， 若，则， ， 若，， 则，故的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题 9．已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）求出集合，由“”是“”的充分条件，得，求得实数的取值范围； （2）“”是“”的必要不充分条件得到集合是的真子集，求得实数的取值范围； 【解析】（1）由题可知， 又“”是“”的充分条件，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为 （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以且， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是. 10．记函数的定义域为的定义域为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） ；（2）， 【分析】(1)利用根号内大于等于0解不等式即可. (2)根据(1)中的可分当与两种情况进行分析. 【解析】（1）由题意. 即，解得：或. 所以 （2）因为,则根据子集与推出关系, 即当时,可以使得恒成立,可知 当时，恒成立，所以必有恒成立，即恒成立， 所以； 当时,恒成立，所以必有； 综上：， 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：集合与元素 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合； 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合互异性考查，多为基础铺垫. 2：集合的基本关系 子集的概念，真子集的概念； 元素与集合，子集，属于与包含间的区别； 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合集合包含关系、补集命题. 3：集合的基本运算 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.交集、并集的概念，会进行交集并集的运算； 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系. 题型：选择/填空或解答题考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，集合基本运算与函数、不等式融合应用极广. 4：充分条件与必要条件 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 充分条件、必要条件的判断方法. 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合不等式、函数考查. 5：充要条件 掌握两种形式与互化； 能根据条件灵活求圆方程. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：高频基础. 6：全称量词与全称量词命题 理解全称量词、全称量词命题的定义； 会判断一个命题是否为全称量词命题，并会判断它们的真假. 题型：选择/填空； 难度：基础 特点：高频基础. 7：存在量词与存在量词命题 理解存在量词、存在量词命题的定义； 会判断一个命题是否为存在量词命题，并会判断它们的真假. 题型：选择/填空； 难度：基础； 特点：高频基础. 8：全称量词命题与存在量词命题的否定 通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 题型：选择/填空； 难度：中档（80%）、难题（20%）； 特点：侧重转化与化归思想的应用. 知识点01 集合模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 2.核心公式与法则 （1）子集个数公式 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 示例：集合，则的真子集个数为 个． 易错点：忽略空集是任何集合的子集. （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 示例：下列关于0与说法不正确的是（ ） A． B． C． D． 易错点：空集是不含任何元素的集合. （3）交集、并集的性质（期末高频） ． 示例：设，，若，则实数a的值______． 易错点：忽视和两种情况讨论分析. （4）摩尔根律 , 示例：设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 易错点：补集定义的理解. 知识点02 逻辑模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2.核心公式与法则 （1）从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件（期末高频） 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 示例：（多选）的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 易错点：利用集合理解充分、必要条件不到位致错. （2）称量词命题与存在量词命题的真假判断（期末高频） ①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. ②要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 示例：若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 易错点：未将命题进行转换理解导致逻辑错误. 题型一 集合中求参问题 答｜题｜模｜板 1.常见求参类型 ①利用元素与集合的关系； ②利用集合中元素的互异性； ③利用集合中元素的个数； ④利用(真)子集的个数； ⑤利用集合间的关系； 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围： 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 易错提醒 ①根利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性. 【典例1】（1）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【典例2】设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式1】已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式2】（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【变式3】设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 题型二 集合个数 答｜题｜模｜板 （1）如果集合A中含有n个元素，则有 ①A的子集的个数有个． ②A的非空子集的个数有个． ③A的真子集的个数有个 ④A的非空真子集的个数有个 （2） 对集合中元素的定义以及集合运算的定义首先弄清定义的内容，再进一步分析解决。 易错提醒 弄清①给出集合中元素的定义；②给出集合运算的定义 【典例1】定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【典例2】（2024·陕西宝鸡·模拟考试）若集合中只有一个元素，则实数（ ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【变式1】（多选）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. ， B. ， C. D. 【变式2】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式3】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4】定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A．82 B．74 C．12 D．70 题型三 集合交并补混合运算 答｜题｜模｜板 集合交并补混合运算的常用方法： ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 易错提醒 集合交并补混合运算常常与①与性质结合；②与空集结合。 【典例1】已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【典例2】（2024·广东广州·模考）若全集，集合，则 （ ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖北荆州·模拟考试）已知集合，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知集合． （1）若，且，求的取值范围． （2）若集合满足条件_________（三个条件中任选一个作答），求实数的取值范围. （条件①；②是的充分条件；③，使得） （3）若，求实数的取值范围． 题型四 集合新定义综合问题 答｜题｜模｜板 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 易错提醒 先弄懂新定义的特点，弄清新定义的性质 【典例1】（2024·安徽蚌埠·月考）对于数集，，定义， ，，若集合 ，则集合中所有元素之和为（ ） A． B． C． D． 【典例2】对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 【变式1】（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 【变式2】（2024·全国·高一期末模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 题型五 充分条件与必要条件的判别 答｜题｜模｜板 充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 易错提醒 一定要抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件，否则容易致错.. 【典例1】（2024·四川雅安·月考）已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2024·四川·月考）已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1】（2024·天津和平·月考）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【变式3】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 题型六 利用充分条件与必要条件求参 答｜题｜模｜板 利用充分条件与必要条件求参解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.. 易错提醒 学会把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 【典例1】（2024·江西萍乡·月考）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【变式2】已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【变式3】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型七 根据全称量词命题的真假求参数 答｜题｜模｜板 （1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 易错提醒 学会把含含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例2】若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【变式1】命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【变式2】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 题型八 根据存在量词命题的真假求参数 答｜题｜模｜板 （1）首先根据存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 易错提醒 学会把含含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题 【典例1】已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【典例2】若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【变式1】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【变式2】若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是 【变式3】已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．已知，则a的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 2．集合，集合，若，则实数a取值范围为（ ） A． B． C．a>2 D． 二、多选题 3．已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 4．已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 6．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 7．已知集合，且，则实数的取值范围是____. 8．设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是__________ 四、解答题 9．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 10．已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2．已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 3．已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 4．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 5．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 6．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 三、填空题 9．已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 10．集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 11．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 12．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2． “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知命题为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. . C D. 4．已知集合为全集的子集，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 6．下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 三、填空题 7．已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 8．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 四、解答题 9．已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 10．记函数的定义域为的定义域为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $