高二数学上学期期末模拟卷01（湘教版）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2．已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. C. 1或2 D. 1或 3．的展开式中常数项是（ ） A. －225 B. －252 C. 252 D. 225 4．已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5．已知圆：与圆：有两条公切线，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 7．点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 8．已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线直线则（ ） A. 在y轴上的截距为 B. 恒过点 C. 当时 D. 当时， 10． 已知的展开式的二项式系数的和为512， 且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 18 11．已知抛物线E：上一点到其焦点的距离为2，过点作一条直线l与抛物线交于A，B两点，过原点O作，垂足为H，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 抛物线E上的点到M距离的最小值为4 D. 存在一个定点Q，使得线段长度为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在无穷等差数列中，若，且，则___________． 13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种． 14．已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 设等差数列的前项和为，已知，，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和． 16．（15分） 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 17． （15分） 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，双曲线E的渐近线方程为 （1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程; （2）过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线E的右支交于两点，若，求直线l的方程． 18．（17分） 在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. （1）若数列的前4项分别为，求数列的前4项； （2）若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 19．（17分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线与 有且只有一个公共点，过点且斜率为的直线交于另一点为中点，延长 交于点，以为圆心，为半径的圆交直线于两点． （1）求C的标准方程； （2）若，求的值及的方程； （3）当最大时，求的坐标． 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 1.【答案】A 【解析】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 2．已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. C. 1或2 D. 1或 2.【答案】D 【解析】在等比数列中，由，，得，则， 所以或. 故选：D 3．的展开式中常数项是（ ） A. －225 B. －252 C. 252 D. 225 3.【答案】B 【解析】二项式的展开式通项为：， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：B 4．已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4.【答案】D 【解析】设双曲线方程为:，则渐近线方程为， 依题意可知  求得，       故选：D. 5．已知圆：与圆：有两条公切线，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5.【答案】C 【解析】由于圆：与圆：有两条公切线， 故两圆相交，则， 解得，即实数a的取值范围为， 故选：C 6．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 6.【答案】C 【解析】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故选：C. 7．点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7.【答案】B 【解析】令且，则，联立抛物线准线，可得， 令，故，故， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：B 8．已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 8.【答案】B 【解析】因为， 当为偶数时，， 且时，； 当为奇数时，， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线直线则（ ） A. 在y轴上的截距为 B. 恒过点 C. 当时 D. 当时， 9．【答案】AC 【解析】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确； 对于B即令 可得即直线恒过点故B错误； 对于C，当时，即故故C正确； 对于D，当时，令此时直线 与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选：AC. 10． 已知的展开式的二项式系数的和为512， 且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 18 10.【答案】BCD 【解析】根据题意可知，故， 故， 对于A，令，则，令，则，故，故A错误， 对于B，， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确， 对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确， 对于D，对求导可得 ，令可得，故D正确， 故选：BCD 11．已知抛物线E：上一点到其焦点的距离为2，过点作一条直线l与抛物线交于A，B两点，过原点O作，垂足为H，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 抛物线E上的点到M距离的最小值为4 D. 存在一个定点Q，使得线段长度为定值 11.【答案】ABD 【解析】对于A，抛物线E：上一点到其焦点的距离为2， 则，A正确； 对于B，设直线l的方程为， 联立，得，， 则， 故，则，故，B正确； 对于C，设抛物线上的点， 则， 当时，取到最小值，C错误； 对于D，由于，故H点在以OM为直径的圆上（不含原点）， 而，故存在点，使得线段长度为定值2，D正确， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在无穷等差数列中，若，且，则___________． 12.【答案】0 【解析】设等差数列的公差为， 所以， 故. 故答案为：0. 13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种． 13.【答案】84 【解析】现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类： 若A和C相同，B和D相同时，有种方法； 若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种； 若种四种花，则有种， 则不同的种植方法有种． 故答案为： 14．已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 14.【答案】 【解析】因为椭圆的右焦点， 而是的中点，则 因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个， 又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点， 而左右顶点中，右顶点更靠近点， 所以右顶点到的距离最小， 设是椭圆上的点，， ， 对于，其开口向上，对称轴为，定义域为， 要使在处取得最小值， 则在上单调递减， 所以，即，则， 又，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 设等差数列的前项和为，已知，，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和． 15.【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）等差数列中，由，得，由，得， 联立，解得，所以； （2）因为， 所以， 整理得. 16．（15分） 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 16.【答案】（1）81； （2）36； （3） 【解析】（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法； （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信， 则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法； （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中， 先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况． 17． （15分） 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，双曲线E的渐近线方程为 （1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程; （2）过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线E的右支交于两点，若，求直线l的方程． 17.【答案】（1）； （2） 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，则， 双曲线E的方程为， 又因为双曲线E的右焦点坐标为， 而抛物线的焦点为， 于是，解得， 所以抛物线C的标准方程为. （2） 设直线l的方程为，，， 因为斜率大于0的直线l与C的右支交于两点， 所以，即，则， 联立， 消去x整理得， ，且，， 则， 解得，则负值舍去， 故直线l的方程为 18．（17分） 在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. （1）若数列的前4项分别为，求数列的前4项； （2）若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 18．（17分） 【解析】（1）因为数列前4项分别为， 则， 所以的前4项分别为 （2）因为，即， 且，可知数列是以首项和公比均为的等比数列， 则，所以. ①当奇数时，； 当为偶数时，，可知数列为递增数列， 可知， 所以； ②当时，； 当时，， （i）当为奇数时， ， 令， 作差得 ， 所以； 经检验也满足上式，所以； （ii）当为偶数时，； 综上所述： 19．（17分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线与 有且只有一个公共点，过点且斜率为的直线交于另一点为中点，延长 交于点，以为圆心，为半径的圆交直线于两点． （1）求C的标准方程； （2）若，求的值及的方程； （3）当最大时，求的坐标． 19.【答案】（1） （2）， （3） 【解析】（1）由题意可知，，结合， 解得， 故椭圆方程为 （2）设D为，, 则，相减可得，故， 因此有：，即， 直线，令可得，故， 由于为中点，故， 为中点， 由于,故，因此 ， 解得， 由舍负，故，． （3）由，则，当且仅当时取到等号， 故最小，由于为锐角，故最小时，此时最大时， 故，结合可得， 由第二问可求解得：，， ，故中垂线所在直线斜率为，结合， 故中垂线：，即， 又直线， 联立与，解得， 故中点为，故点为． 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $