高二数学上学期期末模拟卷02（湘教版）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 1或3 3．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5．在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. 18 C. D. 24 6．已知，则（     ） A. B. C. D. 0 7．在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8．斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的方程为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 焦点到其渐近线的距离为 C. 若直线与没有公共点，则或 D. 若直线与仅有一个公共点，则 10．已知数列满足，，设其前项和为，则（ ） A. B. C D. 11．已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，动点形成轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线是中心对称图形 B. C. 直线斜率的取值范围为 D. 若，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为_______． 13．的展开式中的系数为_______． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则_________- 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在二项式的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中系数最大项； （2）求展开式中的有理项． 16． （15分） 设数列满足递推关系：，且. （1）设，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 17． （15分） 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． （1）求的值． （2）已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 18．（17分） 若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有 若存在，求数列通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 19．（17分） 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 1．【答案】C 【解析】抛物线方程为， 则 可得 抛物线的准线为 故选C 2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 1或3 2．【答案】B 【解析】根据，则， 即，得或，但时两直线重合， 故. 故选：B． 3．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.【答案】A 【解析】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4．【答案】B 【解析】由题可得，点，，， ∴，∵，则点为的三等分点， 故，，， 由得：，化简得． 故选：B． 5．在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. 18 C. D. 24 5．【答案】B 【解析】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：B 6．已知，则（     ） A. B. C. D. 0 6.【答案】B 【解析】令得，则， 则有， 所以，， 所以令有 ， 所以， 故选：B. 7．在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7.【答案】C 【解析】设圆的方程为， 则，解得，所以， 即圆，则圆心为，半径； 又直线，即，令，解得， 所以直线过定点，又点与圆心在直线（斜率不存在）上， 又，所以，当且仅当直线的斜率时取得， 又无最大值，且无限接近圆的直径， 所以． 故选：C． 8．斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 8．【答案】A 【解析】因为，，…，，， 以上各式相加得，， 化简得， 由，即， 所以，解得； 因为， 所以，，，， 所以 . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的方程为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 焦点到其渐近线的距离为 C. 若直线与没有公共点，则或 D. 若直线与仅有一个公共点，则 9.【答案】AC 【解析】对于A，因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，故A正确； 对于B，由双曲线的对称性，不妨取右焦点，一条渐近线，即， 则焦点到渐近线的距离，故B错误； 对于C，联立消去得，， 若直线与没有公共点，则， 解得或，故C正确； 对于D，当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，， 且，解得， 当直线与双曲线渐近线平行时，，即时，直线与双曲线有且只有一个交点， 综上可知，若直线与仅有一个公共点，则或，故D错误. 故选：AC 10．已知数列满足，，设其前项和为，则（ ） A. B. C D. 10．【答案】ABD 【解析】因为，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以，，D对. 故选：ABD. 11．已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，动点形成轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线是中心对称图形 B. C. 直线斜率的取值范围为 D. 若，则的面积为 11．【答案】ACD 【解析】设，则，化简可得， 由于，故， 对于A，满足，故曲线是中心对称图形，A正确， 对于B, ，当且仅当取到等号，由于，故B错误， 对于C,，故C正确， 对于D，由可得，故，联立与可得，故，故,故D正确， 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为_______． 12.【答案】 【解析】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率，解得， 故答案为： 13．的展开式中的系数为_______． 13.【答案】126 【解析】依题意得，展开式中含有的项为, 所以展开式中的系数为126. 故答案为：126 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则_________- 14.【答案】 【解析】直线的斜率为，由直线，设直线的方程为， 由消去并整理得，设， 则， ，取中点，连接， 直线的斜率，设直线的方程为， 由消去并整理得， 则，整理得，而， 则，解得，因此直线，四边形为平行四边形， 于是，， ，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在二项式的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中系数最大项； （2）求展开式中的有理项． 15.【答案】（1） （2） 【解析】（1）有题意有，所以， 所以， 所以系数最大项为， （2）由有，所以， 所以展开式中的有理项为， 所以有理项为：. 16． （15分） 设数列满足递推关系：，且. （1）设，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 16.【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）因为，而， 所以， 又因为所以，则， 由以上可得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以即， 则数列的前项和， 所以 17． （15分） 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． （1）求的值． （2）已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 17.【答案】（1） （2） 【解析】（1）由可得，由可得； 所以直线的方程为； 设， 联立，整理可得， 可得， 又可得，即； 所以， 解得； （2）如下图所示： 由（1）可知抛物线方程为， 由直线的斜率为可设直线的方程为，， 联立，整理可得； 所以； 由可知直线的斜率为，直线的斜率为； 又因为直线与直线斜倾斜角互补，所以， 整理可得； 即，也即，解得； 方程即为，解得； 可得，可得； 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为． 18．（17分） 若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有 若存在，求数列通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 18．（17分） 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，即， 由，得，则，即， 联立解得，所以等差数列是“T数列”. （2）（）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，而， 因此数列构成公比和首项均为的等比数列，所以 （）假设存在“T数列”满足存在正整数m，对于任意， 当时，恒有，数列的公差为， 当时，， 当时，若，则，即，而，因此， 此时，任意，当时，恒有， 即，于是对恒成立， 设，则，由，得，数列递增， 而，则当，此时均成立， 即，所以，存在m的最大值为 19．（17分） 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 19．（17分） 【解析】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2） ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②由， 所以， ， 即为定值. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $