第08讲 不等式（组）及其应用（复习讲义，3考点8题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦不等式（组）及其应用专题，覆盖不等式性质、解法及应用三大中考核心考点，通过考情剖析、知识导航构建知识网络，以考点解析、命题洞悉分层突破，结合真题训练与方法指导，帮助学生系统掌握不等式知识体系。 亮点在于分层练习设计与跨模块综合突破，如通过“购物方案设计”实例培养数学语言表达能力，结合含参数问题训练发展数学思维，设三级练习与限时测试，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章方程（组）与不等式（组） 第04讲不等式（组）及其应用 目录 01缩折忘瞻… 2 02知新魔建… 2 03账 04瑞 4 题型01不等式的定义及解集 命题点一不等式的定义及性质 题型02不等式的性质 题型01一元一次不等式（组）的定义 命题点二一元一次不等式（组 题型02解一元一次不等式（组） 题型03一元一次不等式组的整数解求参数 题型04一元一次不等式组的解集的情况求参数 命题点三一元一次不等式（组的应用 题型01列一元一次不等式（组） 题型02一元一次不等式（组）的应用 05难 突破一不等式含参数与方程的综合问题 突破二不等式与函数的实际应用综合问题 06● 6 基础巩固一→能力提升→全国新趋势 -01 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 理解不等式的基本性质，能运用 不等式的性质 济南卷T8 青岛卷T7 省卷T6 性质对不等式进行变形 会解一元一次不等式（组），并 一次不等式 青岛卷T14 济南卷T15 省卷T13 能在数轴上表示出解集；会求不 (组)的解法 等式（组）的整数解 能根据具体问题中的数量关系， 不等式（组） 济南卷T22 青岛卷T21 省卷T20 列出一元一次不等式（组）解决 的实际应用 实际问题 结合不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的实际应用等情境 命题预测 考查不等式相关知识，题型一般以选择题、填空题和解答题为主。在不等式的性质考 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点中，常见与等式性质对比判断、结合数轴判断不等式变形征误、根据不等式解集求 参数取值等；一元一次不等式（组）的解法考点中，考查解集的求解与数轴表示，常 结合整数解、参数范围求解综合问题；不等式（组）的实际应用考点中，多与购物方 案、生产调配、费用最值等实际场景结合， 考查从实际问题中抽象数量关系、建立不 等式模型解决问题的能力，注重分析问题和运算的准确性。 -02- 知识导航·网络构建 -11不等的定义一 用不等号（人、<，之、三、+）连接两个代数式的试子 1.不等式的基本概念 不等式两边加（或减同一个数或式子），不等号的方向不变 12不等式的墓本性质 不等式两边都乘（或除以同一个正数，不等号的方向不变 儿不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变 r21定义一 只含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式 1去分母：不等式两边同乘分母的最小公倍数(G注意符号】 一2去括号：相层乘法分配律展开 2.一元一次不等式 十2.2解法步骤 3.移项：将含未知数的项移到一边，常数项移到明—边 4.合并同类项：化简不等式两边 5.茶数化为1：两边同除以未知数如的系数（注意不等号方向） 2.3解集表示 数轴表示：用数对轴上的区问表示解集 不等式（组） 及其应用 3.1定义一 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组 ,几个不等式解售的公共部分 3.2解集 3.一元-次不等式组 同大取大；同小取小；大小小大中间找：大大小小找不到 厂1分别求解：求出每个不等式的解集 3.3解法步骤 2.找公共部分：利用数轴抚出解集的文集 3.写出解集：用适当的方式表示不等式组的解集 步骤：设未知数、列不等式（组）、解不等式（组）、 检验并作答 4.】实际标问题中的不等式 方案设计问题 一最值问题 人常见类型 人比较问题 4.不等式的应用 (范涯问题 “一次函数与不等式“：利用函数图像解不等式 4.2与函数的结台 二次必数与不等式“：利用二次必数图像解一元二次不等式 “不等式与函数定义域“：通过不等式确定函数的定义域 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -03- 考点解析·知识通关 芸质 知识·核心梳理 1.不等式的定义：一般地，用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠” 表示不等关系的式子也是不等式. 2.不等式的解集：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集. 3不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 真题·实战精练 1.(2025·山东济南·中考真题)已知a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a-1<b-1 8.9、6 2<2 C.-a>-b D.2a>a+b 2.(2025·山东青岛·模拟预测)如图，点A和点B表示的数分别为a和b,下列式子中正确的是() A B -1a0 1方→ A.a+b<0 B.b2-a2>0 C.b<a D.a2b<0 3.(2025山东烟台模拟预测)已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中-1<a<0<b<1.若c=ab, 数C在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是() A.ACB→ -101 -101 -1 5. (2024山东临沂.二模)若x>y,且(a-3x≤(a-3)y,则a的取值范围是 莫元次组 知识·核心梳理 1.一元一次不等式（组）的定义 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次 不等式组 2.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项； ⑤化系数为1. 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号 方向. 注意：符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式。 3.解一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 解集， (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组 (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解 集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集， 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分. 解集的规律：同大取大；同小取小：大小小大中间找：大大小小找不到. 真题·实战精练 1.(2025山东临沂二模)不等式1-2x≥3的解集在数轴上表示中正确的是() A. -2 -1 0 B.-2 0 C.2 -10 D.2 -1 0 2x-1≥1 2.(2025山东枣庄·模拟预测)不等式组 32-)>6的解集在数轴上表示为() A1023￥→ B.0123→ C.-1012345 D.-1012345 3.(2025山东菏泽·三模)如果关于x的方程a+1)x+1=0有负根，则a的取值范围是() A.a>-1 B.a<-1 C.a2-1 D.a21 4.(2025山东德州中考真题)若√x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 5.(2025山东临沂·二模)如图，在数轴上点M,N分别表示数3x+2,-x-6,则x的取值范围是 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M N 6.(2025山东东营中考真题)若关于的方程(：-刂+(k+x+号0无实根，则k的取能范同是 (4-x>20-0① 7.(2025山东济南中考真题)解不等式组 x-2,7-x② 并写出它的所有整数解. 2 3 3x+4≥0 8.(2025山东济南模拟预测)不等式组{1 的所有整数解的积 -x-24≤1 9.(2025山东东营·模拟预测)解不等式组： -5x+3>3(x-2) 2s15-x (1)x+1 6 +1<7- 1 21 (2) 3+ 3x-2>+x-4 334 3x-1<8 10.(2025山东淄博·二模)解不等式组{x-1一x,请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解 03 2 的和. -4-3-2-101234→ 年元次用 知识·核心梳理 (1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的 答案 (2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关 系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵. (3)列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式，求出解集。 ④写出符合题意的解。 真题·实战精练 5/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025山东青岛模拟预测)某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型 号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放 大镜需用304元. (I)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则 如何购买费用最少？最少费用多少元？ 2.(2025·山东潍坊·中考真题)某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人， 购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单 价低3万元， (1)求A型、B型两种机器人的单价： (②)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求AB两种型号的机器人各至少配备 1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案. 3.(2025山东烟台中考真题)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决 定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2 盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. ()求甲、乙两种路灯的单价： 咳社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设 一种购买方案，使所需费用最少 4.(2025山东青岛·模拟预测)某口罩公司生产了一批N95口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求 进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每 日销售量就减少1万只. (1)写出每日销售量y(万只)与销售单价x(元)之间的函数关系式. (②)写出每日销售利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式。 (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于120%，若你是销售部经理， 你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 5.(2025·山东东营.中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩 偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50 个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍， (I)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (②)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个， B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 6.(2025山东青岛二模)2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线.这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调， 更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买A、B两种机器 人进行销售，己知购买2个A种机器人和1个B种机器人共需185万元，购买1个A种机器人和2个B种机器 人共需190万元. ()求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数 量不超过B种机器人数量的3倍。据市场销售分析，当A种机器人提价15%，B种机器售价为购买价的倍 时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大， 求出最大利润及对应的购进方案。 -04- 命题洞悉·题型预测 ~题型01不等式定义及解集 点方法 舞易特 不等式定义及解集方法总结：明确不等关系，用符号连接，解集表示所有满足不等式的数。 不等式定义及解集易错总结：方向与符号混淆，解集表示不规范，端点取舍错误。 【典例】下列各式中，是不等式的是() A.x-1=7 B.y-2x>3 C.x2-2x+1 D.x+y=1 【变式】1.(2025山东淄博一模)下列实数中，满足不等式x>3的是() A.(-3) B.2 C.刀 D.27 2.下列说法中，正确的是() A.x=1是不等式x<2的一个解 B.x=2是不等式3x>5的解集 C.不等式3x>9的解集是x=4 D.x<5是不等式x-5>0的解集 ·题型02不等式的性质 皮方法，辩易情 不等式性质方法总结：同加减方向不变，同乘除非负方向不变，乘除负数方向必反。 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不等式性质易错总结：乘除负数忘变号，忽略非负限制，性质叠加出错。 【典例】(2025山东济宁.二模)若实数a,b,c(a,b,c均不为0)满足a+c=b,且bc+ac=ab,则下 列命题为假命题的是() A.若b>c>0,则a>0 B.若c=1,则a(a-1)=1 C.若bc=1,则a=1 D.若a2-c2=2,则ac=2 【变式】1.(2025山东临沂.一模)已知实数a,b,c满足a+b=2c,则下列结论不正确的是() A.a-c=c-b B.a-b=2(c-b) C.若a>b,则c>b D.若a>c,则2(b-a)>c-a 2.(2024山东临沂模拟预测)已知a<b,则下列各式中一定成立的是() A.a-bx0 B.ac2<bc2 D.1-3a>1-3b 点元细 ·题型01一元一次不等式（组）的定义 点方法，舞易精 一元一次不等式（组）定义方法总结：含一个未知数，次数为一，用不等号连接，组合即为组。 一元一次不等式（组）定义易错总结：忽略次数为一，混淆“或”“且”，组中关系判断错。 【典例】下列不等式中，属于一元一次不等式的是() A.3x+y<0 B.x+1<3 C.2x+1=4 D.4>3 【变式】1.下列各式不是一元一次不等式组的是（) 1 x-5>0 y<- [3x-5>0 a-1<0 A 3 B C x+2<0 D. y>-5 4x+2<0 b+2>0 4x+8<9 2.下列不等式组： @/>-20」 ② x+1>0④r+320or+Ix r<3②{x+2>4③y-40④{K-7 (3 ⊙x3+2>4 其中是一元一次不等式组的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02解一元一次不等式（组） 点方法 舞易绪 解一元一次不等式（组）方法总结：化为ax>b形式，系数化1注意变号，组则求交集。 解一元一次不等式（组）易错总结：去分母漏乘、移项不变号、系数化1方向错、交集并集混淆。 2(x-1)≥-4 【典例】 (2025山东济南一模)解不等式组： 3x-6 并把解集表示在数轴上. 2 -5-4-3-2-1012345→ [2x+5≥3 【变式】1. (2025山东济南一模)解不等式组： x一x+1,把解集表示在数轴上，并写出它的所有整 2 3 数解. 2.(1)解不等式： 2x-l>3x-1 3 2 2x-4<x① (2)解不等式组 x+5 并写出它的整数解。 3 +x≥3②’ ·~题型03一元一次不等式组的整数解求参数 点方法 舞易绪 不等式组整数解求参数方法总结：先解不等式组得含参解集，结合整数解条件反推参数范围。 不等式组整数解求参数易错总结：端点等号取舍错，整数解个数漏算，参数范围扩大。 [x>2a-3 【典例】 (2023山东泰安·一模)已知关于x的不等式组 2x>30r-2)+5仅有三个整数解，则a的取值范 围是 3x-1 【变式】1.(2024山东威海一模)若关于x的一元一次不等式组 <x+2 2 有且仅有3个整数解，则 5x-2≥x+a a的取值范围是 x>m-6 2.(2025山东日照.一模)线段3,3，m能构成三角形，且使关于x的不等式组 -3x+8≥3m-4有解的所有 整数m的和为 9/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~题型04一元一次不等式组的解集的情况求参数 点方法 舞易绪 不等式组解集情况求参数方法总结：根据“同大取大”等口诀，分析解集类型反推参数范围。 不等式组解集情况求参数易错总结：口诀适用条件错，端点等号忽略，参数范围不完整。 x+1≥2x 【典例】 (2025山东济宁.二模)若不等式组 无解，则a的取值范围是 x+3>a 【变式】1. (2025山东济宁.二模)若不等式组 x-a>2 1+2x<5无解，则a的取值范围是 x+a≥0 (2023山东泰安二模)若关于x的不等式组 2(x+1)≥3x+1有解，则a的取值范围为】 车元次武（组的用 ~题型01列一元一次不等式（组） 点方法 ,舞易猪 列一元一次不等式（组）方法总结：审题抓不等关系，设未知数，依题意列出不等式（组）。 列一元一次不等式（组）易错总结：关系词理解错（至少至多），不等号方向反，组内逻辑混乱。 【典例】某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得 分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对x道题，根据题意，可列不等 式为」 【变式】1.某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若 每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书.共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组 为」 2.把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学 生人数和梨的个数.设有α个学生，依题意可列不等式组为 ·题型02一元一次不等式（组）的应用 点方法，用易精 元一次不等式（组）应用方法总结：审题建模，设元列不等式（组），求解取整或范围，检验作答。 10/17 第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 不等式的定义及性质 题型01不等式的定义及解集 题型02不等式的性质 命题点二 一元一次不等式(组) 题型01 一元一次不等式(组)的定义 题型02 解一元一次不等式(组) 题型03 一元一次不等式组的整数解求参数 题型04 一元一次不等式组的解集的情况求参数 命题点三 一元一次不等式(组)的应用 题型01 列一元一次不等式(组) 题型02 一元一次不等式(组)的应用 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 不等式含参数与方程的综合问题 突破二 不等式与函数的实际应用综合问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式的性质 济南卷T8 青岛卷T7 省卷T6 理解不等式的基本性质，能运用性质对不等式进行变形 一次不等式（组）的解法 青岛卷T14 济南卷T15 省卷T13 会解一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集；会求不等式（组）的整数解 不等式（组）的实际应用 济南卷T22 青岛卷T21 省卷T20 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决实际问题 命题预测 结合不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的实际应用等情境考查不等式相关知识，题型一般以选择题、填空题和解答题为主。 在不等式的性质考点中，常见与等式性质对比判断、结合数轴判断不等式变形正误、根据不等式解集求参数取值等； 一元一次不等式（组）的解法考点中，考查解集的求解与数轴表示，常结合整数解、参数范围求解综合问题； 不等式（组）的实际应用考点中，多与购物方案、生产调配、费用最值等实际场景结合，考查从实际问题中抽象数量关系、建立不等式模型解决问题的能力，注重分析问题和运算的准确性。 考点一 不等式的定义与性质 1.不等式的定义：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 2.不等式的解集：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，根据数据比较大小，由， 得出是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴，即 ∴A符合题意；B、C、D都不符合题意； 故选：A． 5．（2024·山东临沂·二模）若，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点二 一元一次不等式(组) 1.一元一次不等式（组）的定义 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 2.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 1．（2025·山东临沂·二模）不等式的解集在数轴上表示中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式求出解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式得， 数轴上表示为： ， 故选：D． 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 则不等式组的解集为：，在数轴上表示如下： ； 故选：A． 3．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了根据一元一次方程的解求参数，解一元一次不等式，首先移项得到，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】 移项得， ∵关于的方程有负根， ∴ ∴． 故选：A． 4．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 5．（2025·山东临沂·二模）如图，在数轴上点，分别表示数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解一元一次不等式，由数轴可得，然后解一元一次不等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，解得， 故答案为：． 6．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 7．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 8．（2025·山东济南·模拟预测）不等式组的所有整数解的积 【答案】解集为，则不等式组的所有整数解的积为． 【分析】本题考查的知识点是求一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组方法． 求出一元一次不等式组的解集后即可得到不等式组的所有整数解的积． 【详解】解：， ， ， ， 的解集为， 能取到的整数值为，，，，，，，…，， 这个不等式组的所有整数解的积为． 9．（2025·山东东营·模拟预测）解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”原则． （1）分别解两个不等式，再取解的公共部分，从而可得不等式组的解； （2）分别解两个不等式，再取解的公共部分，从而可得不等式组的解． 【详解】（1）解： 解①得，， 解②得，， ∴不等式的解为：． （2） 解①得， ， 解②得，， ∴不等式的解为：． 10．（2025·山东淄博·二模）解不等式组，请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 【答案】，不等式所有整数解的和为0 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，原不等式组的解集为， 该不等式的解集在数轴上可表示为： 该不等式所有整数解的和为：． 考点三 一元一次不等式(组)的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元 (2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键． （1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元． （2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个， 根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为， 所以购买费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，最少费用2712元． ∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 3．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题关键是理解题意，弄清数量关系． （1）根据“当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只”，列出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式即可； （2）结合（1），根据“利润每只利润销售量”，即可获得答案； （3）首先根据“每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于”，列出方程组，解得的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 5．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 6．（2025·山东青岛·二模）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； (2)安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． 设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，根据购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元，可列二元一次方程组，解方程组可得两种机器人的单价； 的售价为：万元，的售价为：万元，设购买的数量为个，则的数量为个，根据总费用不超过万元，共购买个机器人，可列不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， 由题意可得：， 解得： ， 利润， 利润随着m的增大而减小， 把代入可得， 最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 命题点一 不等式的定义及性质 ►题型01 不等式定义及解集 / 不等式定义及解集方法总结：明确不等关系，用符号连接，解集表示所有满足不等式的数。 不等式定义及解集易错总结：方向与符号混淆，解集表示不规范，端点取舍错误。 【典例】下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 【变式】1．（2025·山东淄博·一模）下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． ►题型02 不等式的性质 / 不等式性质方法总结：同加减方向不变，同乘除非负方向不变，乘除负数方向必反。 不等式性质易错总结：乘除负数忘变号，忽略非负限制，性质叠加出错。 【典例】（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，不等式的性质，真、假命题．解题的关键在于对等式进行合理的等量代换．由，，可得，进而可判断A的真假；由，可得，，则，整理得，，进而可判断B的真假；由，且，，可得，整理得，，计算求解，可判断C的真假；由，整理得，，由，可得，进而可判断D的真假． 【详解】解：∵，， ∴，正确，A为真命题，故不符合要求； ∵， ∴，， ∴，整理得，，正确，B为真命题，故不符合要求； ∵，且，， ∴，整理得，，解得或，错误，C为假命题，故符合要求； ∵，且， ∴，整理得，， ∵， ∴，正确，D为真命题，故不符合要求； 故选：C． 【变式】1．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可． 【详解】解：A.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； B.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； C.由，，则可得到，结论正确，不符合题意； D.由可得，则，当时，，即，原结论错误，符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项错误； C、∵ ， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 命题点二 一元一次不等式(组) ►题型01 一元一次不等式（组）的定义 / 一元一次不等式（组）定义方法总结：含一个未知数，次数为一，用不等号连接，组合即为组。 一元一次不等式（组）定义易错总结：忽略次数为一，混淆“或”“且”，组中关系判断错。 【典例】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中含有2个未知数，故该选项不符合题意， B、符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意， C、是方程，故该选项不符合题意， D、，不含有未知数，故该选项不符合题意， 故选：B 【变式】1．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 2．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． ►题型02 解一元一次不等式（组） / 解一元一次不等式（组）方法总结：化为ax>b形式，系数化1注意变号，组则求交集。 解一元一次不等式（组）易错总结：去分母漏乘、移项不变号、系数化1方向错、交集并集混淆。 【典例】（2025·山东济南·一模）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解答． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 【变式】1．（2025·山东济南·一模）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解有： 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 如图， 整数解有：． 2．（1）解不等式：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2），不等式组的整数解为、、 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可得； （2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的整数解即可得． 【详解】解：（1）， 不等式的两边同乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边同除以，得， 所以不等式的解集为． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的整数解为、、． ►题型03 一元一次不等式组的整数解求参数 / 不等式组整数解求参数方法总结：先解不等式组得含参解集，结合整数解条件反推参数范围。 不等式组整数解求参数易错总结：端点等号取舍错，整数解个数漏算，参数范围扩大。 【典例】（2023·山东泰安·一模）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案． 【详解】解：解不等式组，得 ， ∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解，即 0 ， ，， ∴ ， 解得：． 故答案为：． 【变式】1．（2024·山东威海·一模）若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∴， 解不等式②得：， ∵不等式组有2个整数解， ∴不等式组的解集为，从而得到不等式组的整数解为4、3、2，则， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． ►题型04 一元一次不等式组的解集的情况求参数 / 不等式组解集情况求参数方法总结：根据“同大取大”等口诀，分析解集类型反推参数范围。 不等式组解集情况求参数易错总结：口诀适用条件错，端点等号忽略，参数范围不完整。 【典例】（2025·山东济宁·二模）若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，根据不等式组的解集求参数，先由得出；由得出；再结合不等式组无解，得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴由得出； 由得出； ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东济宁·二模）若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先解出两个不等式，然后根据不等式组无解即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2023·山东泰安·二模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求字母的取值范围．根据不等式组有解得到关于a的不等式是解答本题的关键．先解两个不等式，根据不等式组有解，得到，解不等式即可求得答案． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组有解， ， 解得：， 故答案为：． 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 ►题型01 列一元一次不等式（组） / 列一元一次不等式（组）方法总结：审题抓不等关系，设未知数，依题意列出不等式（组）。 列一元一次不等式（组）易错总结：关系词理解错（至少至多），不等号方向反，组内逻辑混乱。 【典例】某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 【变式】1．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 2．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． ►题型02 一元一次不等式（组）的应用 / 一元一次不等式（组）应用方法总结：审题建模，设元列不等式（组），求解取整或范围，检验作答。 一元一次不等式（组）应用易错总结：等量关系错列为等式、解集未结合实际（如取整）、作答不完整。 【典例】发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． (1)求这两种图书的单价； (2)现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元 (2)方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本B种图书 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，根据购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B种图书的单价），再将其代入中，即可求出A种图书的单价； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书，46本B种图书； 方案2：购买25本A种图书，45本B种图书． 【变式】1．（2025·广东梅州·二模）某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2750元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】(1)购买一个甲种足球50元，则购买一个乙种足球70元； (2)12个 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设购买一个甲种足球x元，则购买一个乙种足球元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍建立方程求解即可； （2）设这所学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据购买总费用不超过2750元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种足球x元，则购买一个乙种足球元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个甲种足球50元，则购买一个乙种足球70元； （2）解：设这所学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为12， 答：这所学校最多可购买12个乙种足球． 2．（2025·山东德州·一模）某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为元，店主第一批购买甲种足球个、乙种足球个一共花费元． (1)问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？ (2)若甲种足球每个获利元，乙种足球每个获利元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共个，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元 (2)当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元 【分析】（）设甲种足球的进货单价为元，则乙种足球的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为个，由题意列出不等式求出的取值范围，再根据题意求出与之间的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意求出甲、乙两种足球的进货单价是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种足球的进货单价为元，则乙种足球的进货单价为元， 由题意得，， 解得， ， 答：甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元； （2）解：设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为个， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ， 随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为元， 此时购进乙种足球个， ∴当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元． 突破一 不等式含参数与方程的综合问题 【典例】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【变式】1．（2024·山东德州·二模）若关于x的一元一次不等式组  的解集为 且关于y的分式方程   有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 . 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先解不等式组，根据不等式组的解集确定a的范围，再解分式方程求出y的值，然后根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，且， ∴且， 综上所述：且， ∴符合条件的所有整数a的值为：， ∴符合条件的所有整数a的值的和为：， 故答案为：3． 2．（23-24九年级上·重庆·期中）若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的知识，解题的关键是先求出不等式组，根据不等式无解求出的值，再根据分式方程的解为负数，求出，根据为整数，确定的值，即可． 【详解】由不等式组， 解不等式：，， 解不等式：， ∵不等式无解， ∴； ， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴， 解得：； ∴的取值范围为：， ∵为整数， ∴的值为：，， ∴整数的值之和为：． 故答案为：． 突破二 不等式与函数的实际应用综合问题 【典例】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 【变式】1．（2025·山东威海·三模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 【答案】(1)种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元 (2)购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数是解题的关键： （1）设种贝壳粘贴画的单价为元，根据种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，购买费用为元，根据种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，列出不等式求出的范围，根据总费用为两种粘贴画的费用之和，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种贝壳粘贴画的单价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，并符合题意； ∴； 答：种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，则购买幅种贝壳粘贴画，由题意，得：，解得：， 设购买费用为元，由题意，得： ， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小为， 答：购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元． 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解本题的关键．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形正确的选项即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，故A选项正确，符合题意； 当时，，故B选项错误，不符合题意； 当，时，，故C选项错误，不符合题意； 当，时，，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．（2025·山东泰安·一模）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解集在数轴上的表示方法，理解数轴上实心点表示包含端点（等号）、空心点表示不包含端点（严格不等式），并能从数轴解集反推不等式组是解题的关键． 根据数轴表示，逐选项判断即可． 【详解】 根据数轴表示，该不等式组的解集表示为， 对于A，，解得： ，不满足题意； 对于B，，解得：，满足题意； 对于C，，解得：，不满足题意； 对于D，，解得：，不满足题意； 故选：B． 二、填空题 3．（2025·山东泰安·一模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解答本题的关键．不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：，可以取任意实数， ∴原不等式组的解集为：． 故答案为：． 4．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 5．（2025·山东济南·模拟预测）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解是 0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解．先解出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴该不等式组的解集是， ∴该不等式组的整数解是 0，1． 6．（2025·山东济南·模拟预测）为培养学生的阅读能力，李老师准备购买《钢铁是怎样炼成的》和《围城》两种书，已知《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本． (1)求李老师准备购买的两种书的单价分别是多少元； (2)若李老师计划购买两种书共100本，且《钢铁是怎样炼成的》的数量不少于《围城》的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元 (2)购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 【分析】本题考查分式方程，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）设《围城》的单价为x元，根据《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本，列出分式方程，求解即可； （2）设《围城》的数量为m本，费用为y元，列出一次函数，由，得到y随x的增大而减小，由，得，且m为正整数，则当时，y取得最小值，即可解答． 【详解】（1）解：设《围城》的单价为x元，依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元． （2）解：设《围城》的数量为m本，费用为y元，依题意，得 ， 即， ∵， ∴的y随的增大而减小， 由，得，且m为正整数， ∴当时，y取得最小值， 即（本），（元）． 答：购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 一、单选题 1．（2025·山东泰安·一模）点在第三象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点所在的象限和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵在第三象限， ∴， 解得， 故选：C． 2．（2025·山东日照·一模）已知一次函数与（为常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 二、填空题 3．（2025·山东枣庄·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据既在根号下，又在分母上，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为：． 4．（2025·山东菏泽·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有 种运输方案，分别是 ． 【答案】 4 使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根不等关系，列出方程，是解题的关键．设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据要运输100辆购物车，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴，3，4，5， 因此有4种方案，即使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 故答案为：4；使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 三、解答题 5．（2025·山东济南·三模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为：1，2，3 【分析】本题考查解不等式组，求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，进而找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出正整数解即可． 【详解】 解：解不等式①，得：； 解不等式②，得： ∴原不等式组的解集为： ∴正整数解为1， 2，3． 6．（2025·辽宁铁岭·二模）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等． (1)A，B两种机器每天各处理多少吨垃圾？ (2)该垃圾处理厂现有680吨垃圾要在不超过一天时间处理完，如果购进的A型机器比B型机器多2台，那么至少购进A型机器多少台才能按时处理完这些垃圾？ 【答案】(1)A型机器每天处理100吨垃圾，B型机器每天处理60吨垃圾 (2)至少购进A型机器5台才能按时处理完这些垃圾 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设B型机器每天处理吨垃圾，则A型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出分式方程，解出的值即可解答； （2）设购进台A型机器，则购进台B型机器，根据题意列出不等式，求出的范围，即可解答． 【详解】（1）解：设B型机器每天处理吨垃圾，则A型机器每天处理吨垃圾． 根据题意，得， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 则， 答：A型机器每天处理100吨垃圾，B型机器每天处理60吨垃圾． （2）解：设购进台A型机器，则购进台B型机器， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进A型机器5台才能按时处理完这些垃圾． 7．（2025·山东济南·三模）为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同． (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共15台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元 (2)购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，根据题意找到数量关系列出方程、不等式与函数式是解题的关键． （1）设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；根据等量关系：用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同，列出分式方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，由题中不等关系可确定m的取值范围；设购买两种设备的总费用为w元，根据题意可列出函数关系式，从而求得最小花费． 【详解】（1）解：设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元； 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则； 答：航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元； （2）解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台， 由题意得：，解得：； 设购买两种设备的总费用为w元，则， 整理得：； ∵，且， ∴当时，w最小，最小值为13800元； 此时购买航拍无人机为（台）； 答：购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元． 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 3．（2025·山西·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示出不等式组的求解，先分别求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下图： 故选：A． 4．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 二、填空题 5．（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 6．（2024·江西·模拟预测）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件． 【答案】40 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件，利用获利不低于420元得出不等式，进而得出答案． 【详解】解：设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件， 根据题意可得：， 解得：， 故购进甲种“工艺品”至多40件． 故答案为：40． 7．（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏常州·期中）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为，， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数， ∴，即且a为整数， ∴或3或5， 则， 故答案为：9． 三、解答题 9．（2025·山东淄博·二模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，满足条件的整数解为，0，1，2，3 【分析】此题考查了求不等式组的解集和整数解．求出每个不等式的解集，找到解集的公共部分即可得到不等式组的解集．再写出整数解即可． 【详解】解： 解①，得， 解②，得， 所以，不等式组的解为． 满足条件的整数解为，0，1，2，3． 10．（2025·山东济南·二模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)根据学校图书馆的采购计划，拟用1500元预算购买文学名著和人物传记各40本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？ (3)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著25元，每本人物传记20元 (2)不足，还需追加资金300元 (3)人物传记至多买33本 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1）设每本文学名著元，每本人物传记元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求出文学名著和人物传记各40本费用，再比较即可； （3）设人物传记买本，则文学名著买本，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，根据题意得： ， 解得：． 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）解：文学名著和人物传记各40本费用：元， ， 总费用不在预算内， 元， 即还需追加资金300元； （3）解：设人物传记买本，则文学名著买本，根据题意得： ， 解得：， 又为正整数， 的最大值为33． 答：人物传记至多买33本 11．（2025·山东烟台·模拟预测）每年4月23日是世界读书日．为培养学生阅读习惯，烟台某中学准备采购甲、乙两种书籍送给当天参加“我爱读书”主题社团活动的学生．_____，并且花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等．请先在横线上补充条件： ①购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元 ②甲、乙两种图书各购买1本共需20元 这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题． （1）甲、乙图书的单价是多少？ （2）若学校准备购买甲、乙两种图书共80本，若甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，则该学校有哪几种购买方案？ 【答案】购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元（答案不唯一） （1）甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； （2）该学校有2种购买方案，①购买甲种图书64本，乙种图书16本；②购买甲种图书65本，乙种图书15本． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元，根据花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等，列出分式方程，解方程即可；选②同理； （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本，根据甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：①补充条件：购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元， 故答案为：购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元； 设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； ②补充条件：甲、乙两种图书各购买1本共需20元， 故答案为：甲、乙两种图书各购买1本共需20元； 设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； （即选条件①、②不影响答案） （2）解：设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，， ∴该学校有2种购买方案： ①购买甲种图书64本，乙种图书16本； ②购买甲种图书65本，乙种图书15本； 答：该学校有2种购买方案，①购买甲种图书64本，乙种图书16本；②购买甲种图书65本，乙种图书15本． 12．（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【答案】(1)50件 (2)当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 (3)或 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解； （2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可； （3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元， 由题意得：， 解得：； 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）解：当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 当时，， 即； 由于，当时，y有最大值12250； 当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 综上，当时，y有最大值12250； 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元； （3）解：当时，最大值为6000，不符合题意； 当时，由题意知； 考虑二次函数，当时，解得， 由二次函数的图象与性质，当时，； 当时，， 解得：， 由于x为正整数，且不超过60件，则； 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $