第07讲 一元二次方程及其应用（复习讲义，4考点9题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦一元二次方程及其应用，覆盖概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用等中考核心考点。通过考情剖析与知识导航构建系统网络，结合考点解析梳理要点、题型预测总结方法、真题训练突破难点，形成“梳理-指导-实战”的复习闭环，体现系统性与针对性。 亮点在于“命题点-题型-方法”三维突破策略，如根与系数关系专题中，通过整体代入法培养学生推理能力，应用问题结合增长率模型强化模型意识。设基础巩固到全国新趋势分层练习，配合重难突破模块，确保高效复习。助力学生提升解题能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第03讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一元二次方程的概念及解法 题型01一元二次方程的识别 题型02已知一元二次方程的根求参数 题型03解一元二次方程 命题点二 根的判别式 题型01 根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 题型02 根据一元二次方程的根的情况求参数 命题点三 根与系数的关系 题型01 根据根与系数的关系求代数式的值 题型02 利用根与系数关系的代数式值求参数 命题点四 一元二次方程的应用 题型01 列一元二次方程 题型02 一元二次方程的应用 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 判别式和根与系数综合问题 突破二 一元二次方程与函数的综合问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程的概念 山东青岛 T3 山东济南 T4 山东省卷 T2 了解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），确定方程中二次项、一次项、常数项及各项系数 一元二次方程的解法 山东济南 T17 山东青岛 T16 山东省卷 T15 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能根据方程的特征选择简便的解法，理解求根公式的推导过程 根的判别式 山东青岛 T10 山东省卷 T9 山东济南 T8 理解一元二次方程根的判别式△=b2-4ac的含义，能根据判别式判断方程根的情况（有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根），反之能根据根的情况确定参数的取值范围 根与系数的关系（韦达定理） 山东省卷 T12 山东济南 T11 山东青岛 T13 了解根与系数的关系，能运用韦达定理求一元二次方程的两根之和、两根之积，解决与根相关的代数式求值、构造新方程等问题 一元二次方程的应用 山东济南 T23 山东省卷 T22 山东青岛 T24 能从实际问题（增长率、面积、利润等）中抽象出一元二次方程模型，分析数量关系建立方程，求解并检验解的实际意义，体会数学建模思想 命题预测 结合一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理及实际应用考查，题型涵盖选择、填空、解答题（解答题占8 - 10分）。解法常考含参数方程的求解；根的判别式侧重与参数取值、函数图像结合；应用多与增长率、几何面积、经济利润问题结合，注重建模与检验解的合理性。 考点一 一元二次方程的概念及解法 1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3.一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 4.一元二次方程的解法 直接开平方：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1．（2023·山东滨州·中考真题）一元二次方程根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 2．（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 3．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 4．（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 5．（2025·山东济宁·模拟预测）解一元二次方程： 6．（2025·山东滨州·一模）解方程：． 考点二 根的判别式 判别式Δ = b2 - 4ac， 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； Δ=0时，有两个相等的实数根； Δ<0时，无实数根。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 4．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 考点三 根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 4．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 考点四 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·一模）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，去年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为万件和8万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西晋城·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，三年共植树1575棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意可列方程 ． 5．（2025·山东青岛·一模）为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为 ； 6．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 7．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 8．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 9．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 命题点一 一元二次方程的概念及解法 ►题型01 一元二次方程的识别 / 一元二次方程识别方法总结：整式方程，一个未知数，最高次数为二，二次项系数非零。 一元二次方程识别易错总结：忽视化简、忽略二次项系数为零、混淆次数与系数。 【典例】将一元二次方程化为一般形式为（   ） A．2 B．2 C．2 D．2 【变式】1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 ►题型02 已知一元二次方程的根求参数 / 已知根求参数或代数式值方法总结：利用韦达定理构建方程，或直接代入原方程，联立求解。 已知根求参数或代数式值易错总结：忽略二次项系数≠0，判别式未检验，计算失误。 【典例】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【变式】1．（2023·山东济南·一模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于 ． 2．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． ►题型03 解一元二次方程 / 解一元二次方程方法总结：首选因式分解，其次配方法或公式法，最后考虑直接开方。 解一元二次方程易错总结：忘化一般式，公式代错，符号出错，漏根。 【典例】（2024·甘肃陇南·一模）解方程：． 【变式】1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1) (2) 命题点二 根的判别式 ►题型01 根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 / 判别式判断根情况方法总结：Δ>0两实异根，Δ=0两实同根，Δ<0无实根。 判别式判断根情况易错总结：忽略a≠0前提，符号计算错误，结论与Δ对应错。 【典例】（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式】1．（2025·山东滨州·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2024·山东临沂·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判定 ►题型02 根据一元二次方程的根的情况求参数 / 由根情况求参数方法总结：由Δ与0关系建不等式，结合二次项系数≠0，解出参数范围。 由根情况求参数易错总结：忽略二次项系数非零，Δ符号方向弄反，端点值未验证。 【典例】（2025·山东临沂·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件整数k的值 ． 【变式】1．（2025·山东日照·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）关于x的方程有实数根，则a的取值范围为 ． 命题点三 根与系数的关系 ►题型01 根据根与系数的关系求代数式的值 / 根与系数关系求值方法总结：用韦达定理表示目标式，整体代入，降次化简求解。 根与系数关系求值易错总结：对称式变形错、降次处理不当、忽略隐含条件。 【典例】（2025·山东泰安·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ． 【变式】1．（2025·山东德州·一模）若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴交于和，关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ． ►题型02 利用根与系数关系的代数式值求参数 / 由代数式值求参数方法总结：韦达定理表关系，代入已知值，结合判别式求解。 由代数式值求参数易错总结：忽略判别式检验、代入变形错、参数解未回验。 【典例】（2025·山东临沂·二模）关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为 ． 【变式】1．（2025·山东泰安·一模）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 2．（2025·山东临沂·一模）已知 m 、n 是关于 x 的一元二次方程的两个解，若，则 a 的 值为 ． 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01 列一元二次方程 / 列一元二次方程方法总结：找等量关系，设未知数，依二次结构列方程，化简整理。 列一元二次方程易错总结：关系错列成一次、未化成一般形式、系数符号出错。 【典例】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为米，如果绿化面积为平方米，那么与之间的函数关系式为( ) A． B． C． D． 【变式】1．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． ►题型02 一元二次方程的应用 / 一元二次方程应用方法总结：审题建模，设元列方程，求解取舍（检验），规范作答。 一元二次方程应用易错总结：等量关系错、解不合实际未舍、单位或作答不全。 【典例】（2025·山东威海·一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 【变式】1．（2025·山东淄博·二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人． (1)现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？ (2)若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？ 2．（2025·山东青岛·模拟预测）某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．该产品第1年正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润．据统计，此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系式． (1)该产品第1年的售价是多少？ (2)第2年该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场占有率，公司规定第2年的产品售价不低于第1年的售价，另外公司规定，该产品的年产量不能低于8万件．求该公司第2年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数表达式，并求利润至少为多少万元． 3．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 突破一 判别式和根与系数综合问题 【典例】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 【变式】1．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 2．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的解； (2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 3．定义：如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）； ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，求出，满足的数量关系． 突破二 一元二次方程与函数的综合问题 【典例】某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． (1)求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； (2)新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：_____； ②求该茶商每天的最大利润． 【变式】1．临近元旦，昆明斗南花卉市场年宵花一路走俏，蝴蝶兰作为传统的年宵花，因其美丽的花朵和吉祥的寓意而受到消费者的青睐．某花店销售一批蝴蝶兰，每箱进价40元，规定每箱销售单价不低于46元且不超过55元，试销售期间发现，若销售单价定为44元每箱时，每周可售出300箱，销售单价每上涨1元，每周的销量将减少10箱． (1)每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，花店每周可以获得利润2400元？ (2)设花店每周获得的利润为W（元），将每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，才能使花店每周获得的利润最大？最大利润是多少元？ 2．2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红． (1)据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)①市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若要使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ ②在①的条件下，商家想要获得最大利润，则售价应定为多少？最大利润为多少？ 3．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 要使得月销售利润达到最大，且售价不超过60元，则实际售价应定为多少元？最大利润为多少元？ 一、单选题 1．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 2．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 二、填空题 4．方程的解为 ． 5．已知、是方程两个根，则 6．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为 ． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 8．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 一、单选题 1．一元二次方程配方变形为，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（    ） A．9 B． C． D． 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 5．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 6．若是方程的一个根，则式子的值为 ． 三、解答题 7．解下列方程： (1)； (2)． 8．实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 9．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 3．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设长为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 4．我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．或 二、填空题 5．已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则 ． 6．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 7．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 9．解下列方程． (1) (2)； 10．（2025·四川广安·一模）某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 11．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 12．江阴市公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．一头盔生产厂家统计了某品牌头盔2025年8月份到10月份的销量，该品牌头盔8月份销售300个，10月份销售432个，8月份到10月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)11月份，厂家对该品牌的头盔进行了升级，每个头盔与一些其他配件组成一套安全装置．其他配件成本为10元／个，头盔成本为30元／个．经过调查统计，当整套装置售价为60元／套时，月销售量为800套，若在此基础上售价每上涨1元／套，则月销售量将减少10套，为使月销售利润达到24000元，且尽可能让购买者得到实惠，则整套装置每个售价应定为多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第03讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一元二次方程的概念及解法 题型01一元二次方程的识别 题型02已知一元二次方程的根求参数 题型03解一元二次方程 命题点二 根的判别式 题型01 根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 题型02 根据一元二次方程的根的情况求参数 命题点三 根与系数的关系 题型01 根据根与系数的关系求代数式的值 题型02 利用根与系数关系的代数式值求参数 命题点四 一元二次方程的应用 题型01 列一元二次方程 题型02 一元二次方程的应用 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 判别式和根与系数综合问题 突破二 一元二次方程与函数的综合问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程的概念 山东青岛 T3 山东济南 T4 山东省卷 T2 了解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），确定方程中二次项、一次项、常数项及各项系数 一元二次方程的解法 山东济南 T17 山东青岛 T16 山东省卷 T15 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能根据方程的特征选择简便的解法，理解求根公式的推导过程 根的判别式 山东青岛 T10 山东省卷 T9 山东济南 T8 理解一元二次方程根的判别式△=b2-4ac的含义，能根据判别式判断方程根的情况（有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根），反之能根据根的情况确定参数的取值范围 根与系数的关系（韦达定理） 山东省卷 T12 山东济南 T11 山东青岛 T13 了解根与系数的关系，能运用韦达定理求一元二次方程的两根之和、两根之积，解决与根相关的代数式求值、构造新方程等问题 一元二次方程的应用 山东济南 T23 山东省卷 T22 山东青岛 T24 能从实际问题（增长率、面积、利润等）中抽象出一元二次方程模型，分析数量关系建立方程，求解并检验解的实际意义，体会数学建模思想 命题预测 结合一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理及实际应用考查，题型涵盖选择、填空、解答题（解答题占8 - 10分）。解法常考含参数方程的求解；根的判别式侧重与参数取值、函数图像结合；应用多与增长率、几何面积、经济利润问题结合，注重建模与检验解的合理性。 考点一 一元二次方程的概念及解法 1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3.一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 4.一元二次方程的解法 直接开平方：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1．（2023·山东滨州·中考真题）一元二次方程根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 【答案】A 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． 3．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 4．（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 5．（2025·山东济宁·模拟预测）解一元二次方程： 【答案】， 【分析】用配方法解一元二次方程即可． 【详解】 ， 解得，． 6．（2025·山东滨州·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 或 解得：， 考点二 根的判别式 判别式Δ = b2 - 4ac， 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； Δ=0时，有两个相等的实数根； Δ<0时，无实数根。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 4．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 考点三 根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 4．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 考点四 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 2．（2025·山东青岛·一模）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，去年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为万件和8万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题的关键． 利用五月份完成投递的快递总件数等于三月份完成投递的快递总件数，据此列出方程即可． 【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为， 根据题意，得：． 故选：C． 3．（2025·山西晋城·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，根据图形，结合矩形面积为，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为， 根据题意，可得：， 故选：C． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，三年共植树1575棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 设该校植树棵数的年平均增长率为，则第二年植树棵，第三年植树棵，三年相加即可． 【详解】设该校植树棵数的年平均增长率为，则第二年植树棵，第三年植树棵， ∵三年共植树1575棵， ∴ 故答案为： 5．（2025·山东青岛·一模）为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程，是解题的关键． 设进馆人次的月平均增长率为，利用3月进馆人次等于1月进馆人次乘（1+进馆人次的月平均增长率）的平方，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解: 设进馆人次的月平均增长率为，根据题意得， 故答案为：． 6．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 7．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 8．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 9．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 命题点一 一元二次方程的概念及解法 ►题型01 一元二次方程的识别 / 一元二次方程识别方法总结：整式方程，一个未知数，最高次数为二，二次项系数非零。 一元二次方程识别易错总结：忽视化简、忽略二次项系数为零、混淆次数与系数。 【典例】将一元二次方程化为一般形式为（   ） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一般形式为（），需通过移项将所有项移到等号左边，且按未知数次数从高到低排列，移项时注意符号变化． 先明确一元二次方程一般形式的结构（等号右边为0，左边按项、项、常数项顺序排列）；再对原方程进行移项，将右边的移到左边并变号；最后整理左边各项顺序，对比选项确定正确答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），需将所有项移至等号左边，按项、项、常数项排序． 对原方程移项（右边3x移到左边变号），得． A、方程未按项、项、常数项顺序排列，不符合一般形式规范，此选项不符合题意； B、常数项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； C、方程符合一般形式定义，此选项符合题意； D、项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式】1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的系数及常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是，，． 故选：A． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ，， ． 故选 ：B． ►题型02 已知一元二次方程的根求参数 / 已知根求参数或代数式值方法总结：利用韦达定理构建方程，或直接代入原方程，联立求解。 已知根求参数或代数式值易错总结：忽略二次项系数≠0，判别式未检验，计算失误。 【典例】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【变式】1．（2023·山东济南·一模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值． 【详解】把代入得， 解得， 而， 所以． 故答案为：． 2．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解； 由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0， 将代入原方程中得 当时， 故答案为：． ►题型03 解一元二次方程 / 解一元二次方程方法总结：首选因式分解，其次配方法或公式法，最后考虑直接开方。 解一元二次方程易错总结：忘化一般式，公式代错，符号出错，漏根。 【典例】（2024·甘肃陇南·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 【变式】1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）变形后利用因式分解法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， 则 ∴或 解得，； （2）解： ∴ 则 ∴或 解得， 命题点二 根的判别式 ►题型01 根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 / 判别式判断根情况方法总结：Δ>0两实异根，Δ=0两实同根，Δ<0无实根。 判别式判断根情况易错总结：忽略a≠0前提，符号计算错误，结论与Δ对应错。 【典例】（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式】1．（2025·山东滨州·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般形式，进而计算根的判别式，得到，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，算出根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． ►题型02 根据一元二次方程的根的情况求参数 / 由根情况求参数方法总结：由Δ与0关系建不等式，结合二次项系数≠0，解出参数范围。 由根情况求参数易错总结：忽略二次项系数非零，Δ符号方向弄反，端点值未验证。 【典例】（2025·山东临沂·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件整数k的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由根的判别式得，即可求解；掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】解：有两个不相等的实数根， ， 解得：， 整数k的值（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【变式】1．（2025·山东日照·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，即可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）关于x的方程有实数根，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分当时，当，即时，两种情况讨论求解即可．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】解：当时，即时， 原方程即为，解得，符合题意； 当，即时， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得且； 综上所述，， 故答案为：． 命题点三 根与系数的关系 ►题型01 根据根与系数的关系求代数式的值 / 根与系数关系求值方法总结：用韦达定理表示目标式，整体代入，降次化简求解。 根与系数关系求值易错总结：对称式变形错、降次处理不当、忽略隐含条件。 【典例】（2025·山东泰安·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据两根之和等于，两根之积等于得，，代入算式，进行计算，即可得到答案， 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东德州·一模）若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由根与系数的关系得到，再把所求式子通分后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵实数a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴交于和，关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质求得，，得到，，则方程可转化为，根据根与系数的关系，，再将整理得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：二次函数与x轴交于和， ∴，， ∴，， ∴一元二次方程为， 即， ∵关于x的一元二次方程的两个根分别是和， ∴，， ∴， 故答案为：． ►题型02 利用根与系数关系的代数式值求参数 / 由代数式值求参数方法总结：韦达定理表关系，代入已知值，结合判别式求解。 由代数式值求参数易错总结：忽略判别式检验、代入变形错、参数解未回验。 【典例】（2025·山东临沂·二模）关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，由根于系数的关系得，代入，求出，将代入方程，即可求解；掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 解得：， ， 解得：； 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东泰安·一模）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（2025·山东临沂·一模）已知 m 、n 是关于 x 的一元二次方程的两个解，若，则 a 的 值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为 、，则 ．由m 、n 是关于 x 的一元二次方程的两个解，得出，，可得，整体代入求得a的数值即可． 【详解】解：∵m 、n 是关于 x 的一元二次方程的两个解， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得． 故答案为 ． 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01 列一元二次方程 / 列一元二次方程方法总结：找等量关系，设未知数，依二次结构列方程，化简整理。 列一元二次方程易错总结：关系错列成一次、未化成一般形式、系数符号出错。 【典例】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为米，如果绿化面积为平方米，那么与之间的函数关系式为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键．根据题中图形，矩形的面积计算方法进行求解即可． 【详解】解：依题意可得：， 故选：C． 【变式】1．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 2．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． ►题型02 一元二次方程的应用 / 一元二次方程应用方法总结：审题建模，设元列方程，求解取舍（检验），规范作答。 一元二次方程应用易错总结：等量关系错、解不合实际未舍、单位或作答不全。 【典例】（2025·山东威海·一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 【答案】元或元 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际经济问题中的应用，涉及到根据价格和销量的变化关系建立数学模型．解题的关键在于正确设出变量，准确表示出变化后的门票价格和游客人数，从而建立起正确的方程，再通过求解方程并结合实际意义得到门票价格．本题可通过设门票价格的变化量，根据门票价格变化与游客人数变化的关系，建立门票总收入的方程，进而求解出使门票总收入为万元的门票价格． 【详解】解：设门票价格提高了个元．原来门票价格为元，当为正数时表示价格提高，为负数时表示价格降低，那么现在的门票价格为元．由题意可得， ． ． 所以或， 解得，． 当时，门票价格为（元）； 当时，门票价格为（元）； 答：票价定为元或元（以元为调整单位）时，能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元 【变式】1．（2025·山东淄博·二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人． (1)现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？ (2)若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？ 【答案】(1)10元 (2)15元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设每张门票应涨价元，则每名游客带来的利润为元，游客数为名，据此建立方程求解即可； （2）设每张门票涨价元，能获利元，用游客数乘以每名游客带来的利润列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每张门票应涨价元， 根据题意，得：， 解得，． ∵该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠， ∴， 答：每张门票应涨价10元； （2）解：设每张门票涨价元，能获利元， 根据题意，得， ∵， 时，获利最多． 答：纯从经济角度看，每张门票涨价15元，才能使该项目获利最多． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．该产品第1年正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润．据统计，此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系式． (1)该产品第1年的售价是多少？ (2)第2年该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场占有率，公司规定第2年的产品售价不低于第1年的售价，另外公司规定，该产品的年产量不能低于8万件．求该公司第2年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数表达式，并求利润至少为多少万元． 【答案】(1)16元/件 (2)，万元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）根据利润等于单件利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）根据该产品的年产量不能低于8万件列出不等式求出x的取值范围，根据利润等于单件利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；由题意得， 整理得： 解得． 答：该产品第1年的售价是16元/件． （2）解：由题意得，且， ． ． ，抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取得最小值，． 答：该公司第年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数关系式为，利润至少为万元． 3．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 【答案】(1)裁掉的正方形的边长为； (2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键． （1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为，则题意可列出方程，可求得答案； （2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设裁掉的正方形的边长为，由题意可得： ， 解得：或（舍去）． 答：裁掉的正方形的边长为； （2）解：设总费用为y元， 则 ． 又∵， ∴． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，最小值为． 答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 突破一 判别式和根与系数综合问题 【典例】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系． （1）有两个不相等的实数根时必须满足，进一步解出答案即可， （2）根据一元二次方程中根与系数的关系解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：不存在， 由题意可知， ， ， 解得， ， 舍去， 的值不存在． 【变式】1．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系等． （1）根据方程可知，，，再利用即可证明本题答案； （2）利用方程可知，，再将题干式子通分代入两根之和与两根之积，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ， ， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 检验，是分式方程的解， ∴m的值为1． 2．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的解； (2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是∶ （1）把代入方程，如何根据因式分解法求解即可； （2）先根据根的判别式求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得出，，再把变形为，整体代入得出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 或， ∴，； （2）解：∵方程有两个不等实数根， ∴， ∴， 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 又， ∴． 3．定义：如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）； ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，求出，满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，解一元一次方程，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为，，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解： ①解方程得，，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，，， ， 方程是“邻根方程”， 综上，是“邻根方程”的是①③． 故答案为：①③． （2）解：解方程， 得，． 该方程是“邻根方程”， 或， 解得或． （3）解：一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，设方程的两个根为，， ，，． 由，得， ， 即， ． 突破二 一元二次方程与函数的综合问题 【典例】某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． (1)求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； (2)新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：_____； ②求该茶商每天的最大利润． 【答案】(1) (2) ①；② 1250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）、二次函数的实际应用（利润最值），解题的关键是根据数量关系建立方程或函数模型． （1） 设平均增长率，根据2023和2025年游客人次列一元二次方程求解； （2） ①根据单价增加量与销量减少的关系，列出销量与的函数式；②根据利润公式建立二次函数，配方求最大值． 【详解】（1）解∶设平均增长率为， 由题意得 解得， 即（舍去负根）， 故 平均增长率为． （2）① 单价每增加元，销量减少斤， 故． 故答案为：． ② 设每天利润为元，每斤利润为元， 销量为， 则∶ 当时，取得最大值1250元． 【变式】1．临近元旦，昆明斗南花卉市场年宵花一路走俏，蝴蝶兰作为传统的年宵花，因其美丽的花朵和吉祥的寓意而受到消费者的青睐．某花店销售一批蝴蝶兰，每箱进价40元，规定每箱销售单价不低于46元且不超过55元，试销售期间发现，若销售单价定为44元每箱时，每周可售出300箱，销售单价每上涨1元，每周的销量将减少10箱． (1)每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，花店每周可以获得利润2400元？ (2)设花店每周获得的利润为W（元），将每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，才能使花店每周获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每箱蝴蝶兰的销售单价定为元时，花店每周可以获得利润元 (2)将每箱蝴蝶兰的销售单价定为元时，才能使花店每周获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）设每箱蝴蝶兰的销售单价定为x元，利用每箱的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （2）设每箱蝴蝶兰的销售单价定为x元，利用每箱的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时，最大，从而计算出时对应的的值即可． 【详解】（1）解：设每箱蝴蝶兰的销售单价定为x元， 根据题意得， 整理得：， 解得，（舍去）， 答：每箱蝴蝶兰的销售单价定元时，花店每周可以获得利润元； （2）解：设每箱蝴蝶兰的销售单价定为x元， 则有 ， ， 当时，随的增大而增大， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将每箱蝴蝶兰的销售单价定为元时，才能使花店每周获得的利润最大，最大利润是元． 2．2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红． (1)据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)①市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若要使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ ②在①的条件下，商家想要获得最大利润，则售价应定为多少？最大利润为多少？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)①售价应降低20元；②售价应定为85元，最大利润为1250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用3月份的销售量1月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）①设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据使销售该公仔每天获利1200元，列出关于y的一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②设利润为，根据①得出一元二次函数，再根据一元二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是； （2）解：①设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元； ②设利润为，根据题意得： （元）， ∵， ∴当时，售价为（元），此时利润最大，最大值为1250元． 答：售价应定为85元，最大利润为1250元． 3．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 要使得月销售利润达到最大，且售价不超过60元，则实际售价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】任务1：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为；任务2：该零件的实际售价应定为50元；任务3：该零件的实际售价应定为60元，最大利润为12000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论． 任务3：设该零件的实际售价应定为元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，总利润为元，得出函数关系式求解即可． 【详解】解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让车企得到实惠， ． 该零件的实际售价应定为50元． 任务3：设该零件的实际售价应定为元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，总利润为元 随的增大而增大， 当时，取最大值， 答：该零件的实际售价应定为60元，最大利润为12000元． 一、单选题 1．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 将方程化为标准形式后，再根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选：A． 2．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 3．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义． 根据方程解的定义求出，整体代入求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 4．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， 则提取公因式得， ∴得或， 解得，； 故答案为：，． 5．已知、是方程两个根，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式求解． 【详解】解：对于方程， 根据根与系数的关系，有，。 ， 故答案为：． 6．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：原图经过平移转化为图1． 根据题意，得． 故答案为：． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法解一元二次方程即可； （）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 8．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 通过设降价x元，根据盈利关系列出方程，解方程后根据减少库存的要求选择合适解． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 一、单选题 1．一元二次方程配方变形为，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过将配方后的方程展开，与原方程比较常数项，直接求解n的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴展开得， 即， ∵配方后的方程为， ∴得， 故选：A． 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，据此求出m的取值范围． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，，，再通过公式 ，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根分别为 、， ∴ ，， ∴ ， 故选：D． 二、填空题 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式为零时，方程有两个相等的实数根，由此建立方程求解a． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：1． 5．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意． 设年平均增长率为x， 【详解】设年平均增长率为x，则2019年销量为万辆，2020年销量为万辆， 根据题意，2020年销量为130万辆， 因此可列方程为． 故答案为：． 6．若是方程的一个根，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程根的定义和代数式求值，由是方程的根，可得，再整体代入计算； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解法求解，熟练掌握因式分解（十字相乘法、提取公因式法）的方法是解题的关键． （1）先将方程整理为一般形式，再用因式分解法求解； （2）先对右边式子变形，再通过移项、提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 或 ， 解得 ，， （2）解：， ， ， ∴ 或 ， 解得 ，． 8．实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 【答案】长方形的长取15米，宽取10米． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设长方形的长为米，根据木板材料的长度，表示出宽的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，则每个长用的木板材料为米，每个宽用的木板材料为米， ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 9．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)元 (2)售价定为元时，最大利润是元 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其蕴含的函数关系，并列出解析式，也要求熟练掌握二次函数的性质． （1）设每个毛绒玩具售价定为元，，先表示出上涨的价格，然后得出销售量与售价的关系式； （2）根据单价利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据获利不得高于进价的得到自变量的取值范围，然后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个毛绒玩具售价定为元，， 该毛绒玩具每天的销售量为， 根据题意得， 解得，， 尽可能让利于顾客， ，即每个毛绒玩具售价定为元； （2）设每天销售玩具所获利润为元， ， 获利不得高于进价的， ， 解得， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时， 若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是元． 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程． 选项A：，未知数次数为1，不符合条件②； 选项B：，含两个未知数，不符合条件①； 选项C：，含有分式，不是整式方程，不符合条件③； 选项D：，只含一个未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合所有条件． 故选：D． 2．（2025·四川广安·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式，由此建立方程求解的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 3．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设长为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设长为x步，则宽为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长为x步，则宽为步， 由题意得，， 故选：C． 4．我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据二阶行列式的运算法则列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴或， 解得． 故选：C． 二、填空题 5．已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：1． 6．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查根与系数的关系，利用根与系数的关系得到两根之和，并由方程得，将所求代数式变形为后代入求值． 【详解】方程的两根分别为和， ，且， ， ． 故答案为：17． 7．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系． 根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 故答案为 0． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 三、解答题 9．解下列方程． (1) (2)； 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴或． 10．（2025·四川广安·一模）某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 11．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【答案】(1) (2)长和宽分别为55，5或者20，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意直接用x表示出y即可； （2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． 12．江阴市公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．一头盔生产厂家统计了某品牌头盔2025年8月份到10月份的销量，该品牌头盔8月份销售300个，10月份销售432个，8月份到10月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)11月份，厂家对该品牌的头盔进行了升级，每个头盔与一些其他配件组成一套安全装置．其他配件成本为10元／个，头盔成本为30元／个．经过调查统计，当整套装置售价为60元／套时，月销售量为800套，若在此基础上售价每上涨1元／套，则月销售量将减少10套，为使月销售利润达到24000元，且尽可能让购买者得到实惠，则整套装置每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)20% (2)80 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔8月份销售300个，10月份销售432个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍去负值）， 即该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设整套装置每个售价应定为y元， ， 解得，， 要尽可能让购买者得到实惠， ∴整套装置每个售价应定为80元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $