第06讲 分式方程及其应用（复习讲义，3考点8题型4重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“分式方程及其应用”专题，覆盖分式方程的概念、解法、增根、应用及与不等式、函数的综合问题。通过知识导航构建网络体系，考点解析分层通关，命题洞悉预测题型，重难突破思维进阶，配合优题精选分层训练，形成“梳理-解析-训练-突破”的系统复习链，针对性强。 亮点在于“考情数据+核心素养”双驱动设计，如通过分式方程增根与参数取值的典例分析，培养学生的推理意识和运算能力。重难突破环节设计工程问题与一次函数结合的综合题，强化模型意识，分层练习从基础到全国新趋势，助力学生高效提升应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章方程（组）与不等式（组） 第02讲分式方程及其应用 目录 01缩折忘瞻… 2 02○知航嘀键 2 03账 3 04瑞 4 题型01分式方程的概念 命题点一分式方程的概念及解法 题型02解分式方程 题型03解分式方程错解复原 题型01分式方程的增根 命题点二分式方程根的情况 题型02分式方程的无解 题型03分式方程解的情况 命题点三分式方程的应用 题型01列分式方程 题型02分式方程的应用 05难 突破一分式方程根的情况与不等式的综合问题 突破二分式方程与二元一次方程组的应用综合问题 突破三分式方程与不等式的应用综合问题 突破四分式方程与一次函数的应用的综合问题 06●0 基础巩固一能力提升一→全国新趋势 01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 了解分式方程的概念，能区分整式方程与 分式方程 山东青岛T5 山东济南T6 山东青岛T4 分式方程，识别分式方程分母中含未知数 的概念 的特征 掌握解可化为一元一次方程的分式方程的 分式方程 山东青岛 山东济南 山东济南T18 步骤（去分母、解整式方程、检验），理 的解法 T17 T19 解检验的必要性（避免分母为零) 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分式方程 山东青岛 理解分式方程增根的含义，能根据增根确 山东青岛T9 山东济南T8 的增根 T10 定方程中参数的取值 能从实际问题（工程、行程、销售等）中 分式方程 山东青岛T8 山东济南T19 山东青岛T20 抽象出分式方程模型，求解并检验解的实 及其应用 际意义 结合分式方程的解法、增根与实际应用考查，题型以解答题为主（占8-10分）。解法常 命题预测 考含参数分式方程求解；增根侧重参数计算；应用多与工程效率、 行程速度结合，注重建 模与检验。 02 知识导航·网络构建 1. 分式方程的定义 一 分母中含有未知数的方程 核心思想：去分母，将分式方程转化为整式方程 分式方程及其应用 2.解分式方程的基本思路 1.找最简公分母：将所有分母因式分解 2.去分母：方程两边同乘最简公分母 般步骤： 3.解整式方程 4.验根（关键）：将解代入最简公分母，检验是否使分母为零 一1.工程问题一常用公式：甲效+乙效=合作效率 2.行程问题一 常见类型：相遇、追及、水上航行 常见问题类型 3.销售问题一关系：利润=售价-进价 4.其他类型：浓度问题、数字问题等 3.分式方程的应用 1.审：审清题意，明确已知、未知 2.设：设未知数 3.列：根据等量关系列出方程 列方程解应用题的一般步骤 4.解：解方程 5,验：检验是否为原方程的根，且是否符合实际意义 6.答：写出完整答案 -03- 考点解析·知识通关 芸念 知识·核心梳理 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据。 2.分式方程的解法：(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程 两边同乘以各分式的最简公分母。 (2)解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最 简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根， 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式 项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解. 真题·实战精练 1,(2025山东潍坊一模)若代数式2和3的值相等，则x的值为() x-1 A.x=-2 B.x=-1 C.x=1 D.x=2 2。(2024山东临沂模拟预测)当】比，2 多1时，x=() x-3 03-X A.4 B.6 C.-5 D.-3 3.(2025山东泰安一模)方程-3-1=2工的解为 1-xx-1 1 4,(2025山东枣庄二模)分式方程，3=1+的解为一 x-3 225山东济南一板)代数式和代数式的值相等，则© 6.（2025山东青岛模拟预测)解方程3。 =1 x-9x-3 莫分银 知识·核心梳理 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.由于可能产生增根，所 以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根. 真题·实战精练 1.(2025山东潍坊三模)当m=时，解分式方程一4，m会出现增根。 x-22-x 2.（2025山东东营一模)若关于x的方程2x+”+-1=3的解是非负数，则m的取值范围为】 x-22-x 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2024山东济南模拟预测)若关于x的分式方程x-“=1的解为正数，则a的取值范围为」 x+1 4.（2024四川达州中考真题)若关于x的方程3，：】1无解，则k的值为一 x-2x-2 在用 知识·核心梳理 (1)分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等. 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间发，时同霸 速度 (2)列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检 验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥鉴， 真题·实战精练 1.(2024山东东营中考真题)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证 从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的4，小丽家去年5月份的水费是28元，而 今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3.设该市去年 居民用水价格为x元/m3,则可列分式方程为 2.(2023山东青岛·中考真题)某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400 元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x 元，则x满足的分式方程为一 3.(2025山东潍坊中考真题)某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人， 购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单 价低3万元. (1)求A型、B型两种机器人的单价； (②)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备 1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案， 4.(2025山东东营·中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩 偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50 个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍， (1)4、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个， 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 5.(2024山东德州中考真题)某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋.五子棋比象棋的单价少8元， 用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等， (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍.问 购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 6.(2025山东济南中考真题)随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某 健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求，据了解，甲型健身器材的单价比乙型 健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同. (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元. (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器 材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ -04 命题洞悉·题型预测 志分陆 ~题型01分式方程的概念 点方法，群易猪 分式方程概念：分母中含未知数的方程。 方法总结：去分母化整式方程，解整式方程，最后必须检验增根。 易错总结：最易忘检验分母不为零，增根不是原方程的解。 【典例】(2025上海闵行模拟预测)在下列方程中，分式方程是() A.x=4 8.1 c.4=1 4 x D. 【变式】1.(2024广西贺州·三模)下列式子是分式方程的是() A.+15 1.4x 2-3 B. 3x-13x+1 C. 3 -=1 D.3-x+2=- 2x-12x+1 4 3 2.下列送于的方程申上1,221+1”；3)言+若1：(4)吾=a+4:5) 2x+3y+1=0,其中是分式方程的有（） π 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ~题型02解分式方程 点方法 群多借 分式方程方法总结：去分母化整式，解方程求根，代回检验舍增根。 分式方程易错总结：去分母漏乘常数项，求解后不检验，增根当解。 【典例】 (2024山东聊城三模)分式方程2。+，1 =3的解为 x-24-2x 【变式】1. (2024山东济南模拟预测)若代数式2与代数式3的值相等，则x=一 x+1 x-1 2 2. (2024陕西西安·二模)解方程： x-21=x-d0x-2 3. (2025山东聊城三模)解方程：2、-1=，产 x+2 4-x2: ~题型03解分式方程错解复原 支方法，群易精 分式方程错解复原总结：逆向回推，核验去分母步骤，锁定漏乘或符号错误。 分式方程错解易错点总结：复原易忽略通分，符号出错未发现，增根判断遗漏。 【典例】 (2024山东滨州模拟预测)小丁和小迪分别解方程，x。-3-1过程如下： x-22-x 小丁： 小迪： 解：去分母，得x-(x-3)=x-2 解：去分母，得x+(x-3)=1 去括号，得x-x+3=x-2 去括号，得x+x+3=1 合并同类项，得3=x-2 合并同类项，得2x-3=1 解得，x=5 解得，x=2 原方程的解是x=5 经检验x=2是方程的增根，原方程无解， 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“V”,如果错误，请写出正确的解答过程 【变式】1. 以下是小明同学解方程一，1-2的过程。 x-33-x 【解析】方程两边同时乘(x-3),得1-x=-1-2。 第一步解得x=4 第二步检验：当x=4时，x-3=4-3=1≠0.第三步 6/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以，原分式方程的解为x=4.第四步 (1)小明的解法从第 步开始出现错误； 2)写出解方程1-x-1 一2的正确过程， x-33-x 2。下面是小亮时学解方程一二号的过程，游侧碳并完成相应任务。 解：去分母得，1=3+(x-1),第一步， 去括号得，1=3+x-1,第二步， 解得，x=-1.第三步， 检验：当x=-1时，2-x≠0，第四步， x=-1是原方程的根，第五步. 任务： ()小亮同学的求解过程从第步开始出现错误，错误的原因是_： (②)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是_。 ~题型01分式方程的增根 点方法，群易精 分式方程增根方法总结：增根为使原分母为零的整式解，必须代入检验舍去。 分式方程增根易错总结：忘记检验分母，误将增根作解，忽略实际意义。 【典例】 023山东枣庄三模)已知关于的分式方程=有增根，则m三 【线儿.302东赋一货)若关丁的分式方程，品受·会产生塔根，则加的位为 -+mx=3 （2025四川雅安二模)若关于x的方程3,2。=m有增根，则m的值为 x+2x-2x4 ·题型02分式方程的无解 方法 易猪 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分式方程无解方法总结：无解含两种情形：①整式方程无解；②解均为增根。 分式方程无解易错总结：只考虑整式无解，忽略全为增根情形，判断不全面。 【典例】 (224四川宜宾楼拟预0)关于X分式方程-3=无解，则m的值为 x-1 【变式】1. (2025广东揭阳三模)若关于x的分式方程02+，2=4无解，则4的值是 x-22-x 2 （2025四川南充一模)关于x的方程2x-2+,2m=5无解，则m的值为 x-22-x ~题型03分式方程解的情况 点方法 舞易绪 分式方程解的情况方法总结：分“有解（经检验）”“无解”“有增根”三类，需完整讨论。 分式方程解的情况易错总结：混淆无解与增根，漏论整式方程无解，检验不全。 【典例】 (2025西孩日喀则一模)分式方程，名1+吕的解为正数，则的取值范刷 【变式】1. (2025江苏宿迁二模)已知关于的分式方程2r-30-1的解为负数，则字母的取值范围 x+1 是」 2.(2425八年级下-上海月考)关于x的分式方程-一！-m,+2的根是正实数，则m的取值范围 x-2x-2 是 娇用 题型01列分式方程 点方法 群易结 列分式方程方法总结：审清等量关系，设未知数，依题意列方程，注意单位统一。 列分式方程易错总结：单位不统一，等量关系找错，忽略实际意义导致分母为零。 【典例】(2025山东青岛·模拟预测)用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序 操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2 倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据， 根据题意可列方程为」 8/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式】1.(2025山东青岛·模拟预测)某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量 的树木.该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300 棵所需时间相同.设实际每天植树x棵，那么x满足的分式方程是」 2.（2025山东青岛·二模)五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行 销售.已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元；用450元购进甲纪念品的数量是用500元购进乙纪 念品的数量的倍.若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为一 ·题型02分式方程的应用 点方法 舞易精 分式方程应用方法总结：审题找等量关系，设元列方程，求解检验，作答。 分式方程应用易错总结：等量关系错、检验不彻底（增根和实际意义）、作答不完整。 【典例】(2025·山东济南·三模)为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人 机和编程机器人，已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用7500元购买航拍无人机的数量 和用6600元购买编程机器人的数量相同， (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共15台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2 倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠.问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时 花费最少？最少花费是多少元？ 【变式】1.(2025山东济宁模拟预测)贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不 显示着人们欣赏美的情趣和想象力.小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若 干A种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干B种贝壳粘贴画.己知B种贝壳粘贴画的单价比A种贝壳 粘贴画高出一半，且第二次购买的B种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的A种贝壳粘贴画少2幅. (1)求A,B两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (②)某艺术品收藏协会计划团购A,B两种贝壳粘贴画共20幅，且B种粘贴画的数量不低于A种粘贴画的数量， 和供应商商定后达成一致，A种贝壳粘贴画每幅降价10元，B种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠10%，那 么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元 2.(2025·山东青岛模拟预测)“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”.2024年青岛樱桃节期间，张大爷购 进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元.受污损的进货清单如表 所示： 品名 大樱桃 小樱桃 9/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 进价/（元/千克） 总价/元 1134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元. (2)若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的 进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二 批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ (3)利润关系仍然满足(2)中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的25%另购大、小樱桃 赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ -05- 重难突破·思维进阶 突破一分式方程根的情况与不等式的综合问题 【典例】若整数a使关于x的分式方程a, +1=x+a -0 的解为负数，且使关于x的不等式组 x-1 x+1 x-12x+1无 3 解，则所有满足条件的整数Q的值之和是」 2x+1、1 【变式】1.(2024山东日照·二模)关于x的不等式组 4之一2有解，同时关于x的方程 2x-1<2m 1-x m =2有正数解，则所有满足条件的整数m的和是 2-xx-2 2x-1<3x-2 2.(2024山东德州二模)若关于x的一元一次不等式组 a>1 的解集为x>5,且关于y的分式 2 方程少、 ,a=-】有非负整数解，则符合条件的所有整数α的和为 y-2+2-y 3x- 3.(2023·重庆一模)若关于x的一元一次不等式组 2≥x+1 有解，且关于y的分式方程 2x-4<a y-3-2=y-5 y-1 1-y 有整数解，则所有满足条件的整数α的值之和是 10/18 第二章 方程（组）与不等式（组） 第02讲 分式方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 分式方程的概念及解法 题型01分式方程的概念 题型02解分式方程 题型03解分式方程错解复原 命题点二 分式方程根的情况 题型01 分式方程的增根 题型02 分式方程的无解 题型03 分式方程解的情况 命题点三 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02 分式方程的应用 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 分式方程根的情况与不等式的综合问题 突破二 分式方程与二元一次方程组的应用综合问题 突破三 分式方程与不等式的应用综合问题 突破四 分式方程与一次函数的应用的综合问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式方程的概念 山东青岛 T5 山东济南 T6 山东青岛 T4 了解分式方程的概念，能区分整式方程与分式方程，识别分式方程分母中含未知数的特征 分式方程的解法 山东济南 T18 山东青岛 T17 山东济南 T19 掌握解可化为一元一次方程的分式方程的步骤（去分母、解整式方程、检验），理解检验的必要性（避免分母为零） 分式方程的增根 山东青岛 T9 山东济南 T8 山东青岛 T10 理解分式方程增根的含义，能根据增根确定方程中参数的取值 分式方程及其应用 山东青岛T8 山东济南T19 山东青岛T20 能从实际问题（工程、行程、销售等）中抽象出分式方程模型，求解并检验解的实际意义 命题预测 结合分式方程的解法、增根与实际应用考查，题型以解答题为主（占8 - 10分）。解法常考含参数分式方程求解；增根侧重参数计算；应用多与工程效率、行程速度结合，注重建模与检验。 考点一 分式方程的概念 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2.分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 1．（2025·山东潍坊·一模）若代数式和的值相等，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，由题意可得，解分式方程即可得解，熟练掌握解分式方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式和的值相等， ∴， 解得：， 检验，当时，， ∴若代数式和的值相等，则x的值为， 故选：A． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）当比多1时，（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的运算，根据比多1，进行列式计算，得，即可作答． 【详解】解：∵比多1 ∴ 即 ∴ 经检验是的解 故选：B 3．（2025·山东泰安·一模）方程的解为 ． 【答案】无解 【分析】此题考查解分式方程，先去分母，解整式方程求出方程的解，再检验即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：去分母得 解得 检验，当时，，故不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解， 故答案为：无解． 4．（2025·山东枣庄·二模）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．方程两边乘以将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 5．（2025·山东济南·一模）代数式和代数式的值相等，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可． 【详解】解：由题可得：， 去分母得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是所列方程的根， 故答案为：1． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）解方程． 【答案】 【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故原方程的根为． 考点二 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 1．（2025·山东潍坊·三模）当 时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解方程可得，再由增根的定义可得，求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分母可知，分式方程的增根是， ∴当时，，解得， 故答案为：2． 2．（2025·山东东营·一模）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解、解不等式，根据方程的解得出不等式是解题的关键，易忽略分式方程的增根的情况，根据方程的解为负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， ∵解是非负数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 3．（2024·山东济南·模拟预测）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式，去分母把分式方程化成整式方程，解方程后得出且，解不等式组即可得出答案．根据题意得出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解： 去分母得： 移项得： 合并同类项得：， ∵，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵关于的方程无解， ∴当或时，分式方程无解， 解得：或（经检验是原方程的解）， 即或，无解． 故答案为：或2． 考点三 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 1．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 2．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ． 【答案】 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 4．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 5．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元 (2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得： 解得：， 经检验是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元； （2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得： ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 在中， 为正整数， 当时，有最小值，最小值为（元）， 则（副） 答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元． 6．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 命题点一 分式方程的概念及解法 ►题型01 分式方程的概念 / 分式方程概念：分母中含未知数的方程。 方法总结：去分母化整式方程，解整式方程，最后必须检验增根。 易错总结：最易忘检验分母不为零，增根不是原方程的解。 【典例】（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 【变式】1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． ►题型02 解分式方程 / 分式方程方法总结：去分母化整式，解方程求根，代回检验舍增根。 分式方程易错总结：去分母漏乘常数项，求解后不检验，增根当解。 【典例】（2024·山东聊城·三模）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式】1．（2024·山东济南·模拟预测）若代数式与代数式的值相等，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列分式方程、解分式方程等知识点，正确列出分式方程并求解成为解题的关键． 先根据题意列出分式方程，求出方程的解即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得： 移项得：， 合并得：， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为：． 2．（2024·陕西西安·二模）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及检验是解题的关键． 先去分母，将其化为整式方程，再解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得， 系数化成1，得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 3．（2025·山东聊城·三模）解方程：． 【答案】（1） 【分析】根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】， 两边乘以去分母得： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验，当时，， 是原分式方程的根． ►题型03 解分式方程错解复原 / 分式方程错解复原总结：逆向回推，核验去分母步骤，锁定漏乘或符号错误。 分式方程错解易错点总结：复原易忽略通分，符号出错未发现，增根判断遗漏。 【典例】（2024·山东滨州·模拟预测）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 【答案】小丁和小迪的解法都不正确，正确过程见解析 【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程． 【详解】小丁和小迪的解法都不正确， 正确解法如下：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验，当时，， 原方程的解是． 【变式】1．以下是小明同学解方程的过程． 【解析】方程两边同时乘，得. 第一步解得 第二步检验：当时，.第三步 所以，原分式方程的解为.第四步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误； (2)写出解方程的正确过程． 【答案】(1)一(2) x＝4 【详解】试题分析： （1）去分母是，每一项都要乘以最简公分母. (2)去分母，化为一元一次方程，解方程，检验. 试题解析： (1)一 (2)方程两边同时乘(x－3)，得1－x＝－1－2x＋6， 解得x＝4. 检验：当x＝4时，x－3≠0. 所以，原分式方程的解为x＝4. 点睛：辨析分式与分式方程 （1）分式，整式A除以整式B,可以表示成的的形式.如果B中含有字母,那么称 为分式.分式特点是没有等号，分式加减一般需要通分. （2）分式方程，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.特点是有等号，要先确定最简公分母，去分母的时候要每一项乘以最简公分母，所以一般不需要通分，而且要检验. 2．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 命题点二 分式方程根的情况 ►题型01 分式方程的增根 / 分式方程增根方法总结：增根为使原分母为零的整式解，必须代入检验舍去。 分式方程增根易错总结：忘记检验分母，误将增根作解，忽略实际意义。 【典例】（2023·山东枣庄·三模）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键．解出方程的解，根据方程有增根，得到关于的方程，求出即可． 【详解】解：方程两边乘得：， ， 方程有增根， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式】1．（2024·山东聊城·一模）若关于x的分式方程，会产生增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确∶(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可 【详解】解∶去分母，得∶ 由分式方程有增根，得到或，即，，， 把代入整式方程，可得∶，解得 当时，，方程的解为，没有产生增根， 不符合题意； 把代入整式方程，可得∶，解得； 把代入整式方程，可得∶，无解； 综上，可得若关于x的分式方程会产生增根，则的值为 故答案为∶ ． 2．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． ►题型02 分式方程的无解 / 分式方程无解方法总结：无解含两种情形：①整式方程无解；②解均为增根。 分式方程无解易错总结：只考虑整式无解，忽略全为增根情形，判断不全面。 【典例】（2024·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 【变式】1．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 2．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． ►题型03 分式方程解的情况 / 分式方程解的情况方法总结：分“有解（经检验）”“无解”“有增根”三类，需完整讨论。 分式方程解的情况易错总结：混淆无解与增根，漏论整式方程无解，检验不全。 【典例】（2025·西藏日喀则·一模）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，根据题意列出不等式且，求出不等式的解集即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式】1．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键． 解分式方程得，由题意可知，当时，，方程有增根．即可求出答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， 当时，， ∴且， 故答案为：且． 2．（24-25八年级下·上海·月考）关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵分式方程的解为正实数， ∴且， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 / 列分式方程方法总结：审清等量关系，设未知数，依题意列方程，注意单位统一。 列分式方程易错总结：单位不统一，等量关系找错，忽略实际意义导致分母为零。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列出分式方程，根据甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，列出方程即可． 【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，由题意： ； 故答案为： 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，那么满足的分式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵， 由题意可得：， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·二模）五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元；用450元购进甲纪念品的数量是用500元购进乙纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品的进价为元，则可列方程，明确题意，准确得到数量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲种纪念品的进价为元， 根据题意得，， 故答案为：． ►题型02 分式方程的应用 / 分式方程应用方法总结：审题找等量关系，设元列方程，求解检验，作答。 分式方程应用易错总结：等量关系错、检验不彻底（增根和实际意义）、作答不完整。 【典例】（2025·山东济南·三模）为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同． (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共15台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元 (2)购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，根据题意找到数量关系列出方程、不等式与函数式是解题的关键． （1）设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；根据等量关系：用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同，列出分式方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，由题中不等关系可确定m的取值范围；设购买两种设备的总费用为w元，根据题意可列出函数关系式，从而求得最小花费． 【详解】（1）解：设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元； 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则； 答：航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元； （2）解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台， 由题意得：，解得：； 设购买两种设备的总费用为w元，则， 整理得：； ∵，且， ∴当时，w最小，最小值为13800元； 此时购买航拍无人机为（台）； 答：购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元． 【变式】1．（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 【答案】(1)种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元 (2)购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数是解题的关键： （1）设种贝壳粘贴画的单价为元，根据种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，购买费用为元，根据种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，列出不等式求出的范围，根据总费用为两种粘贴画的费用之和，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种贝壳粘贴画的单价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，并符合题意； ∴； 答：种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，则购买幅种贝壳粘贴画，由题意，得：，解得：， 设购买费用为元，由题意，得： ， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小为， 答：购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． (2)若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ (3)利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 【答案】(1)每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元 (2)张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润 (3)第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程、函数解析式以及不等式是解题的关键。 （1）设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃，先根据题意列不等式求得a的取值范围，设总利润为元，根据题意，得．然后根据一次函数的性质求解即可； （3）直接根据题意列不等式求解即可。 【详解】（1）解：设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义，． 答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元． （2）解：设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃． 根据题意，得，解得:． 每千克大樱桃的利润为（元），每千克小樱桃的利润为（元）． 设总利润为元，根据题意，得． , 随的增大而增大， 当时，有最大值，此时． 答：张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润． （3）解：根据题意，得，解得． 答：第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元． 突破一 分式方程根的情况与不等式的综合问题 【典例】若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先解分式方程得到，根据分式方程的解无解和分式有意义的条件求出且，再分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出，据此确定a的取值范围，从而确定符合题意的整数a，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴且， ∴且； 解，得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：9． 【变式】1．（2024·山东日照·二模）关于的不等式组有解，同时关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、分式方程的解等知识，理解分式方程有整数解的条件与解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先分别求出不等式组的解和分式方程有正数解的的范围，再确定所有满足条件的整数，即可获得答案． 【详解】解：解不等式组， 可得， ∵该不等式组有解， ∴ ∴， 解分式方程， 可得， ∵该方程有正数解， ∴且， 解得且， ∴且， ∴所有满足条件的整数包括，0，2， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：1． 2．（2024·山东德州·二模）若关于x的一元一次不等式组  的解集为 且关于y的分式方程   有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 . 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先解不等式组，根据不等式组的解集确定a的范围，再解分式方程求出y的值，然后根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，且， ∴且， 综上所述：且， ∴符合条件的所有整数a的值为：， ∴符合条件的所有整数a的值的和为：， 故答案为：3． 3．（2023·重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】7 【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，进而解决此题． 【详解】解：由，得． 由，得． ∵关于x的一元一次不等式组有解， ∴． ∴． ， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴是整数且． ∴或或或． ∴或2或3或或4或或． 又∵， ∴或4． ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：7． 突破二 分式方程与二元一次方程组的应用综合问题 【典例】（2025·山东济南·二模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？ 【答案】(1)A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递 (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用． （1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合A，B型数控机器人接力9小时完成分拣任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型数控机器人每小时分拣快递的数量），再将其代入中，即可求出A型数控机器人每小时分拣快递的数量； （2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，根据刚好分拣完成5760件快递，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各安排方案． 【详解】（1）解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递； （2）解：设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种安排方案， 方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人； 方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人； 方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人． 【变式】1．（24-25九年级下·山东济宁·期中）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 【答案】(1)单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元 (2)原计划平均每天制作20个充电桩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，根据表格数据进行出方程组，再计算，即可作答． （2）设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，再根据实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，由题意得： ， 解得： 答：单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元． （2）解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每天制作20个充电桩． 突破三 分式方程与不等式的应用综合问题 【典例】（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到70千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 【变式】1．（2024·山东泰安·三模）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1308元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【答案】(1)前期电话询问时自动铅笔的单价为5元，则钢笔的单价为元； (2)学校最多购买了90支钢笔作为奖品 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式得实际应用： （1）设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支列出方程求解即可； （2）设学校购买m支钢笔，则购买支自动铅笔，根据购买奖品的费用没有超过1308元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解；设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：前期电话询问时自动铅笔的单价为5元，则钢笔的单价为元； （2）解：设学校购买m支钢笔，则购买支自动铅笔， 由题意得， 解得， 答：学校最多购买了90支钢笔作为奖品． 2．（2025·山东东营·一模）某学校为了增强学生体质，购进一批甲、乙两种跳绳，已知一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同． (1)求每件甲种、乙种跳绳的进价分别是多少元？ (2)该校计划购进甲、乙两种跳绳共 48 件，其中甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数．该校决定此次进货的总资金不超过 1000 元，求该校共有哪几种进货方案？哪种方案的费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)每件甲种跳绳的进价为15元，每件乙种跳绳的进价为25元 (2)方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件；方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件；方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件；方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件；方案四的费用最低，为970元． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式组是解题的关键： （1）设每件甲种跳绳的进价为元，根据一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进甲种跳绳件，根据甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数，此次进货的总资金不超过 1000 元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设每件甲种跳绳的进价为元，则：每件乙种跳绳的进价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解并符合实际意义， ∴， 答：每件甲种跳绳的进价为15元，每件乙种跳绳的进价为25元； （2）设购进甲种跳绳件，则购进乙跳绳件，由题意，得： ，解得：， ∵为整数， ∴，则：， 故共有4种方案： 方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件； 方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件； 方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件； 方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件； ∵乙种跳绳的进价高于甲种跳绳的进价，故购进甲种跳绳的数量越多，乙种跳绳的数量越少，费用越少， ∴方案四，当购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件时，费用最少，为：元； 答：方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件；方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件；方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件；方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件；方案四的费用最低，为970元． 3．（2023·贵州黔东南·一模）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． (1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？ 【答案】(1)乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元 (2)共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，由题意列出关于的方程，求出的值即可； （2）设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，根据题意列出关于的不等式组，求出的整数解即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元． （2）解：设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件， 由题意得， 解得：． 为整数， 或25， 共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件． 突破四 分式方程与一次函数的应用的综合问题 【典例】（2025·山东临沂·二模）在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型，已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元．同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． (1)“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ (2)该机器人模型店计划购进两种模型共200个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)灵巧模型的进价是25元，迅捷模型的进价是20元 (2)当购进灵巧模型50个时，可获得最大利润，最大利润为1550元 【分析】（1）设“迅捷”模型进价为每个x元，可表示“灵巧”模型进价为元，再根据购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个，列出分式方程，求出解并检验即可； （2）购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为w，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“迅捷”模型的进价为x元，则“灵巧”模型的进价为元． 根据题意得： 整理并解得，（舍） 经检验是原方程的解，且符合题意．所以 答：灵巧模型的进价是25元，迅捷模型的进价是20元． （2）解：． 由得．因为 所以w随a的增大而增大，当时，w有最大值为1550 答：当购进灵巧模型50个时，可获得最大利润，最大利润为1550元． 【变式】1．2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元．若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？ (2)某网店从该厂家处批发购进了A，B两款型号的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元 (2)购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，为1280元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，根据花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同建立方程求解即可； （2）先求出A的售价，再设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，根据A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半建立不等式求出m的取值范围，再分别求出A，B两款吉祥物的利润，进而得到总利润与m之间的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元； （2）解：由题意得，A款售价为元/个， 设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个， ∵A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半， ∴， ， 设利润为W元， ∴ ， ∵， W随着增大而增大，当时，W有最大值，最大值为为． 答：购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，最大利润为1280元． 2．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 3．（2025·山东济南·二模）某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍． (1)以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话： 请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量； (2)某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？ 【答案】(1)每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质 (2)准备甲乙两种型号营养土各5包 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程、一次函数的解析式和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍，列出方程求解即可； （2）设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包，根据配置好的营养土中颗粒土含量不低于，列出不等式，求出m取值范围；再设配成营养土中有机质总含量为，根据营养土中有机质总含量=甲种型号营养土中有机质总含量+乙种型号营养土中有机质总含量，列出函数关系式，然后根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得，是原方程的解， ． 答：每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质分 （2）解：设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包， 根据题意得， 解得：， 设配成营养土中有机质总含量为，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当 时， y 值最大，此时， 答：应准备甲乙两种型号营养土各5包． 一、单选题 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）方程的解为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母把原方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：D． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）解分式方程：的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母；②得整式方程：；③解得；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题考查解分式方程的步骤：去分母化为整式方程，解整式方程得到解，将整式方程的解代入最简公分母中检验，得到分式方程的解． 检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验． 【详解】解：解分式方程的步骤为： ①方程两边同时乘最简公分母； ②得整式方程：； ③解得； ④故原方程的解为3 其中有误的一步为④，此步骤应进行检验． 故选：D． 3．（2024·山东日照·模拟预测）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩包，则依题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查从实际问题抽象出分式方程，准确理解题意是解题的关键．根据题意中的等量关系列出分式方程即可得到答案． 【详解】解：设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩包， 根据题意可得：， 故选：C． 二、填空题 4．（2024·山东临沂·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解问题．左右两端同时乘以最简公分母，得到整式方程，求得整式方程的解，再检验即可得解． 【详解】解：， 等式两端同时乘以最简公分母，得： ， 解得， 检验：将代回最简公分母，， 因此原方程的解为； 故答案为：． 5．（2024·山东菏泽·三模）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解． 【详解】解： 当时，即时，原分式方程无解； 当时， ∵原分式方程无解 ∴ 解得 综上，或 故答案为：1或2． 6．（2024·山东青岛·三模）某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程． 【详解】设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是， 依题意，得：， 故答案为：． 三、解答题 7．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式，零指数幂，三角函数值，解分式方程． （1）先化简二次根式，计算零指数幂，三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先去分母，再求解，最后检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 8．（2025·山东济南·模拟预测）为培养学生的阅读能力，李老师准备购买《钢铁是怎样炼成的》和《围城》两种书，已知《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本． (1)求李老师准备购买的两种书的单价分别是多少元； (2)若李老师计划购买两种书共100本，且《钢铁是怎样炼成的》的数量不少于《围城》的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元 (2)购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 【分析】本题考查分式方程，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）设《围城》的单价为x元，根据《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本，列出分式方程，求解即可； （2）设《围城》的数量为m本，费用为y元，列出一次函数，由，得到y随x的增大而减小，由，得，且m为正整数，则当时，y取得最小值，即可解答． 【详解】（1）解：设《围城》的单价为x元，依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元． （2）解：设《围城》的数量为m本，费用为y元，依题意，得 ， 即， ∵， ∴的y随的增大而减小， 由，得，且m为正整数， ∴当时，y取得最小值， 即（本），（元）． 答：购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 一、单选题 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）分式方程的解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的求解，通过去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验分母是否为零求出最后结果即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验当时，分母且， 故方程解为， 故选：C． 2．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 3．（2024·新疆·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（    ） A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由快、慢马需要的时间与规定时间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示慢马的速度，根据各数量之间的关系及所列方程，找出的意义是解题的关键． 【详解】解：已知快马的速度是慢马的倍，根据题意列方程为， ∴表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间， ∴表示慢马的速度， 故选：． 二、填空题 4．（2025·广东·一模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 检验：当时，分母 ， 所以原方程的解为， 故答案为：． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 6．（2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一元一次不等式组的整数解，解分式方程等知识，解不等式组得，所以正整数的值为4、5、6、7，解分式方程得，再分别求出的值即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得：， ∴正整数的值为4、5、6、7， 解分式方程得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴分式方程有整数解的概率为， 故答案为： 三、解答题 7．（2025·内蒙古·一模）解分式方程： 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是确定最简公分母，将分式方程化为整式方程．在方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，解整式方程，最后验根：确保解不会使原方程的分母为零即可． 【详解】解： 方程两边乘得，， 去括号得，， 移项得，， 系数化为得，， 检验：将代入， 原方程的解为． 8．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 9．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 10．（2024·湖南娄底·模拟预测）年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号．千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店打算使用不超过元的进货资金，购进两款与龙相关的吉祥物共件进行销售．两款吉祥物的进货价格每件分别为元和元，且每件款吉祥物的售价是每件款吉祥物售价的倍．消费者用元购买款吉祥物的数量比用元购买款吉祥物的数量少件． (1)两款吉祥物的售价每件分别为多少元？ (2)商店为了让利给消费者，决定把款吉祥物的售价每件降低元，款吉祥物的售价每件降低元．求商店应如何进货才能获得最大利润．（假设购进的两款吉祥物全部销售完） 【答案】(1)款吉祥物的售价每件为元，款吉祥物的售价每件为元 (2)购进款吉祥物件，购进款吉祥物件 【分析】（）设款吉祥物的售价每件为元，则款吉祥物的售价每件为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进款吉祥物件，则购进款吉祥物件，根据题意列出不等式可求得，设商店获得的利润为元，可得与的一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设款吉祥物的售价每件为元，则款吉祥物的售价每件为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：款吉祥物的售价每件为元，款吉祥物的售价每件为元； （2）解：设购进款吉祥物件，则购进款吉祥物件， 由题意得，， 解得， 设商店获得的利润为元， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，获得的利润最大，元， 此时， 答：商店应购进款吉祥物件，购进款吉祥物件，才能获得最大利润． 一、单选题 1．（2025·湖北襄阳·模拟预测）分式方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解法，同时注意检验. 先将分式方程化为整式方程，再求解即可. 【详解】解： 两边同时乘以得： ， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验：是原方程的解， 故选：B 2．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 3．（2025·山东·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 方程的解为非正数， ， 解得， 又， ， ， ， 的取值范围是． 故选：B． 5．（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集的情况求参数的值：首先解分式方程，得到解的条件为且；再解不等式组，得到．综合条件得的取值范围为且的整数，求和即可． 【详解】解： 两边同乘得：，整理得． ∵分式方程的解为正数： ∴， ∴， ∵分母不为零， ∴， ∴； 解，得： ∵不等式组有解， ∴， ∴， 综上：且， ∴整数为，； 故选C 二、填空题 6．（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．方程两边同乘，将分式方程化为整式方程，然后求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 故答案为： 7．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得，， 解得，，， 经检验，，均为原方程的解， 故答案为：或． 8．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴， 解得：， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 10．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 三、解答题 11．（2025·上海·模拟预测）解分式方程：． 【答案】x 【分析】本题考查解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：x， 检验：当x时，， 所以x是原方程的解， 即原方程的解是x． 12．（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【答案】(1)精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元 (2)最少要购进普通果67 箱 【分析】本题考查了分式方程的实际应用与一元一次不等式的实际应用，理解题意，正确列出方程与不等式是关键； （1）设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元，根据等量关系：用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，列出分式方程并求解，最后检验即可． （2）设购进普通果m箱，则购进精品果箱，根据不等关系：购进精品果与普通果共花费不超过5000元，列出不等式，解不等式，求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，， 解得 ∴符合题意的m的最小值为67， 答：最少要购进普通果67 箱． 13．（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 【答案】(1)每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元 (2)购入吉祥物167件，春碗套装333套时，商店获得利润最高 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）设每件吉祥物的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装件，利润为元，根据题意得到，再求得．进而利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件吉祥物的进价为元，则每套“春碗”套装的进价为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元． （2）解：设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装套，利润为元， ， 购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍， ，解得． 为正整数， 的最小值为167， ， 当时，有最大值， 此时，． 答：购入吉祥物167件，“春碗”套装333套时，商店获得利润最高． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $