专题05 解直角三角形全章复习（期末复习讲义，知识点+20题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学期末复习讲义以“解直角三角形”为核心，通过表格系统梳理11个核心考点，结合知识框架图呈现锐角三角函数定义、特殊值、关系及应用的递进脉络，清晰标注重难点与考情规律，构建完整知识体系。 讲义亮点在于“题型+技巧”双轨设计，如构造直角三角形求不规则图形边长题型培养转化思想与应用意识，特殊角三角函数混合运算题提升运算能力。分层练习含基础通关、重难突破等模块，适配不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

专题05 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦角、余弦角、正切角相关 理解锐角三角函数的定义，并能在直角三角形中准确计算正弦、余弦、正切值。 必考概念，常出现在选择题中，考查定义的理解。 特殊三角形的三角函数 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能进行快速识别和计算。 中考常考记忆点，是后续计算的基础，务必记牢。 特殊三角函数值的混合运算 能熟练进行包含特殊三角函数值的混合运算（如加减、乘除、乘方）。 中考必考计算题型，要求计算准确、步骤清晰。 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 能根据三角形内角的三角函数值，推断三角形的形状（如等腰、直角、等边）。 中档题常见，考查逆向思维和三角函数的性质应用。 根据特殊角三角函数值求角的度数 能由已知的三角函数值求出对应的锐角度数。 常作为计算题的一步，或单独出现在填空题中。 根据三角函数值判断锐角的取值范围 能利用三角函数的增减性，根据函数值大小判断锐角的范围。 易错点，常出现在选择题中，需理解三角函数的单调性。 解直角三角形相关计算 能综合运用勾股定理、三角函数解直角三角形，求出所有未知的边和角。 核心高频考点，常以解答题形式出现，考查综合计算能力。 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 能通过作辅助线构造直角三角形，将复杂图形问题转化为解直角三角形问题。 综合应用题的关键步骤，常出现在中档题中，考查转化与建模能力。 解直角三角形的应用 能将仰角、俯角、坡度、方位角等实际问题转化为解直角三角形的数学模型并求解。 中考必考应用题题型，背景多样（如测量、工程等），需仔细审题。 利用同角三角函数关系求值 熟练掌握同一个角的三角函数基本关系式，能根据已知的一个三角函数值求出该角的其他三角函数值。 高频计算考点，常以选择题或填空题形式出现，考查对同角关系的直接运用与代数变形能力，是三角函数运算的基础。 互余两角三角函数的关系 掌握若两角互余，并能利用这些关系进行三角函数的化简、求值与证明。 常与特殊角的三角函数值结合考查，用于简化计算或进行恒等变形，在中档题中作为关键步骤出现。 知识点一、 锐角三角函数的定义 1定义,如图在 锐角 的正弦： ． 锐角 的余弦： ． 锐角 的正切： ． 锐角 的正弦、余弦、正切统称为锐角 的三角函数 2.锐角三角函数的表示法 （1）在 中，三角函数的符号一定要小写，不能大写． （2）当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如 ， 等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如 等． （3）＂ ＂＂ ＂＂ ＂是整体符号，不能理解为 . （4） 表示 ，不能写成 ； 表示 ，不能写成 表示 ，不能写成 ． 易错点： 1．正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关． 2．由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且 . 3．正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如 等． 4． 和 都是以 为自变量的函数，一旦 的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化． 知识点二、 锐角三角函数之间的关系 1．同一锐角的三角函数之间的关系 （1）平方关系： ． （2）商除关系： ． 2．互余两角的三角函数之间的关系 易错点： 锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出. 知识点三、 特殊角的三角函数值 300，450，600角的三角函数值 三角函数值 300 450 600 1 易错点： 上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角 知识点四、 任意锐角的三角函数值 1.利用计算器求锐角三角函数值 (1)将角度单位状态设定为“度”: “SHIFT”“菜单”（设置）“2”(角度单位)“1”(度)，屏幕显示“D” (2)在角度单位状态为“度”的情况下，按“sin”或“cos”或“tan”键直接求出一个角的正弦值、余弦值或正切值 2.已知锐角三角函数值求锐角的度数 一般的计算器中都有“sin”（sin-1），“cos”（cos-1）,“tan”（tan-1）键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值求锐角时，要用到“SHIFT” “sin”（sin-1）， “SHIFT”“cos”（cos-1）或“SHIFT”“tan”（tan-1）键. 易错点： 不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形:先按三角函数键，再按数字键或先输入数字，再按三角函数键 知识点五、 解直角三角形的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 知识点六、利用同角三角函数关系求值 1. 同角三角函数的基本关系式 对于任意一个锐角，其正弦、余弦、正切之间满足以下两个基本关系： 1. 平方关系： 2. 商数关系： 2.利用同角关系求值的方法 已知、、三个函数值中的任意一个，且知道角所在的象限（或范围），可以利用上述关系式求出另外两个函数值。 一般步骤： 1. 根据已知函数值，利用平方关系求出另一个函数的绝对值。 2. 根据角的象限（或题目条件）确定符号。 3. 再利用商数关系求出第三个函数值。 易错点： 利用平方关系开方时，要注意正负号的选取，这取决于角所在的象限。若无特殊说明，锐角的三角函数值均为正。 使用商数关系时，注意分母不能为零。 知识点七、互余两角三角函数的关系 1. 互余两角的三角函数关系 若两个锐角和互余，即，则它们的三角函数值满足以下关系： ①正弦与余弦互余： ②正切与余切互余： 2.互余关系的应用 互余关系可以用于： · 将一个角的三角函数转化为其余角的三角函数，从而简化计算。 · 证明三角恒等式。 · 在解直角三角形时，利用两锐角互余进行转化。 易错点： 互余关系只适用于两个角之和为的情况，不要与互补关系（和为）混淆。 互余关系中，正弦与余弦互换，正切与余切互换，但正割与余割也互换（初中阶段较少涉及）。 知识点八、根据三角函数值判断锐角的取值范围 1. 锐角三角函数的增减性 在到范围内，锐角三角函数具有以下性质： · 正弦函数随角度的增大而增大。 · 余弦函数随角度的增大而减小。 · 正切函数随角度的增大而增大。 2. 利用增减性判断角的范围 给定一个三角函数值，可以利用上述增减性确定锐角的大致范围。 常见判断方法： 1. 若，则。 2. 若，则（因为余弦递减）。 3. 若，则。 易错点： 利用增减性时，必须确保角度在到之间。 对于正弦和正切，函数值越大，角度越大；对于余弦，函数值越大，角度越小。 比较时，通常先将其与特殊角（、、）的三角函数值进行比较。 题型一 正弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆在直角三角形中，sinA = 对边/斜边 ☆若求角，先确定对边和斜边； ☆若求边，利用已知角和一边解方程 【典例1】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角的正弦值等于其对边长度与斜边长度的比值"是解题的关键. 【详解】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 【典例2】在中，，， ，则边的长为（   ） A．5 B．12 C． D．25 【答案】A 【分析】本题考查了正弦定义和勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据，,得，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， 故选：A． 【变式1】在中，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形中三角函数的定义，掌握知识点是解题的关键．由知为直角三角形，为斜边，根据正弦定义等于角的对边与斜边的比值，据此作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式2】小朱在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦的定义，正方形的性质，弦图的计算；过点作于点，根据题意得出正方形与正方形的面积之比为，设正方形的面积为，则的面积为，得出每个直角三角形的面积为，进而可得，解得，进而求得，根据，求得，根据勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 设， ∵正方形与正方形的边长之比为， ∴正方形与正方形的面积之比为， 设正方形的面积为，则的面积为， 又∵四个直角三角形全等， ∴每个直角三角形的面积为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 题型二 余弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆cosA = 邻边/斜边 ☆注意区分邻边与斜边，避免与正弦混淆 【典例1】如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【典例2】已知在中，，D、E分别在，上，连，交于点F，若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，余弦函数，勾股定理等；掌握相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能构建相似三角形，利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． 过作交过作的垂线于，连接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形是性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：过作交，过点的垂线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设，， ， ， ； 故答案为：． 【变式1】如图，是圆的直径，点为左半圆上一点，的平分线与圆交于点，连接交于点，若时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，余弦的计算，理解图示，掌握余弦的计算方法是关键． 结合角平分线的定义得到，可证，设，则，运用勾股定理得到，根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴， 设，则， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形性质，重心性质及平行线分线段成比例定理，结合三角函数求边长是解题关键． 先由等腰三角形“三线合一”得，结合求出的长度；再利用重心分中线的比例关系，结合推出，进而通过比例式求出的长． 【详解】解：在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ． 故选：C． 【变式3】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，余弦的定义，证明，，推出，再根据为定值，可得，为定值，再根据是变值，即可得到是变化的，即可得出答案． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 题型三 正切角相关 解｜题｜技｜巧 ☆tanA = 对边/邻边 ☆当已知直角边之间的关系时，正切往往更方便 【典例1】如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形相似和正切函数的定义，解题的关键是利用相似，并利用网格和三角形面积建立方程求正切值． 【详解】 设， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵网格图中每个小正方形的面积都为1，的面积为3 ∴ 解得，（舍） ∴ ∴ 故选：A． 【典例2】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， 则， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于点D，C，连接，，若，则（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，结合锐角三角函数及反比例函数图像上点的坐标特征列一元二次方程求出参数值，是解此题的关键． 根据点在反比例函数上，将点代入反比例函数得，可得，求得m的值，再将点A代入解析式即可求得k值． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，即， 又∵， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【变式2】在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 利用锐角三角函数求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 故选：A． 【变式3】如图所示，在中，，，，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解直角三角形，三角函数的定义及勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键．注意勾股定理的应用． 利用三角函数的定义可以求得，再利用勾股定理可求得． 【详解】解：在中，， ， ，， ， ， ． 故答案为：13． 题型四 特殊三角形的三角函数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记30°、45°、60°的三角函数值，并能在图形中快速识别 ☆可通过等边三角形和等腰直角三角形推导 【典例1】以下四个特殊三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接计算各选项的三角函数值并比较大小. 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 故最大的是. 故选：D. 【典例2】的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，30度角的余弦值为，据此可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键，利用特殊角三角函数的值可得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为：． 【变式3】如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值等知识点，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半成为解题的关键． 根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数，再根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：由题意和正方形的性质得，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆先代入已知特殊值，再按实数运算顺序计算 ☆注意、的处理，常需分母有理化 【典例1】计算： ； 【答案】− 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据特殊角的三角函数化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的记忆和基本运算能力，包括乘法、加法和减法；解题的关键是正确回忆并代入特殊角（如，，）的三角函数值，并遵循运算顺序． 【详解】（1） （2） ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． （2）先运算零指数幂，特殊角的三角函数值，以及运用二次根式的性质化简，再运算乘法以及化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可． 【详解】（1）解：（1）原式 ； （2）（2）原式 ． 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解｜题｜技｜巧 ☆根据三角函数值反推角度，结合三角形内角和判断是锐角、直角或钝角三角形 ☆注意多解情况（如sinα=，α可能是30°或150°） 【典例1】在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据和的值求出和的度数，再计算的度数，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：A． 【典例2】在中，若（其中，为锐角），则的形状是 ． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 【变式1】在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 【变式2】在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 【变式3】在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记特殊角三角函数值表，直接对应 ☆若值不特殊，考虑使用计算器（但中考通常只考特殊角） 【典例1】已知α是锐角，，则α等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见的特殊角的三角函数值是解题的关键． 由且α是锐角，再根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ，且α是锐角，， ∴ ． 故选：A． 【典例2】在中，和为锐角，且满足，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性，可得和的值，再根据特殊角的三角函数值确定的度数，最后利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方都具有非负性， ， ∵和为锐角， ∴， ． 故答案为：． 【变式1】已知锐角满足，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的特殊值，解题的关键是熟知特殊角的余弦值． 根据特殊角的余弦值，由得出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：因为，且是锐角，所以， 解得． 故选：D． 【变式2】我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，新定义，根据，得到，进而得到，再根据新定义，代值计算即可． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 由题意，． 故选：D． 【变式3】在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值得出的值，进而得出答案． 【详解】解：在中，为锐角， ， ， ， ． 故选：D． 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 解｜题｜技｜巧 ☆正弦（0°~90°）随角度增大而增大 ☆余弦（0°~90°）随角度增大而减小 ☆正切（0°~90°）随角度增大而增大 【典例1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【典例2】若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式1】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解： ， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 【变式2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A． 【变式3】已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键是理解当与互余时，. 利用三角函数的性质，分别分析在时，的正弦值、余弦值和正切值的大小关系. 【详解】解：．理由如下： 又 ∴的值最大； 又 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 ☆以特殊角为界.例如： ◎若sinα >，则α > 30°（锐角范围内） ◎若cosα <，则α > 30° ◎若tanα > 1，则α > 45° 【典例1】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 【典例2】若，则的度数在哪个范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 【变式1】若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选：A． 【变式2】设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、正切等知识，正确判断出是解题关键．设点的坐标为，先判断出，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据正切的定义可得，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，，且都是锐角，，，， ， ∵是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故选：B． 【变式3】某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又 且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 题型十 利用同角三角函数关系求值 解｜题｜技｜巧 ☆关键要点：已知一个角的某个三角函数值，利用同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系等）可以求出该角的其他三角函数值 ◎根据已知条件确定角所在的象限，从而确定所求函数值的符号（若无特殊说明，锐角的三角函数值均为正） ◎若已知正弦或余弦值，利用平方关系求出另一个值（注意根据象限选取正负号），再利用商数关系求出正切值 ◎若已知正切值，可设，代入平方关系求出和 ◎有时需要用到倒数关系（如），但初中阶段主要关注、、 【典例1】已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 【典例2】如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【详解】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】若和是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，正弦和余弦的关系；根据一元二次方程根的判别式求得的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到和的表达式，利用三角恒等式建立方程，解出的值，并检验方程有实根的条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程 ∴ ∵和是方程的两个根， ∴ 解得： 根据根与系数的关系， ， ． ∵， ∴， 整理得， 解得（舍去）或． ∴的值为． 【变式3】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 题型十一 互余两角三角函数的关系 解｜题｜技｜巧 ☆若两个角互余（和为），则一个角的正弦等于另一个角的余弦，一个角的正切等于另一个角的余切 ◎明确互余关系： ◎直接应用公式：，， ◎在求值或化简时，将互余角的三角函数进行转换，常常可以简化计算（例如，将转化为） ◎在几何问题中，直角三角形中两锐角互余，所以经常用到这些关系来建立边角联系 【典例1】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 【典例2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 【变式1】计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了互余角的三角函数关系．利用互余角的三角函数关系将转化为，然后计算差值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】已知，若，则 ． 【答案】0.618 【分析】本题考查锐角三角函数的余角关系，掌握锐角三角函数的基础性质是解题关键． 根据互余角的三角函数关系，计算即可． 【详解】解：若两个角互余，则其中一个角的正弦等于另一个角的余弦． ∵， ∴与互余， 已知， 故． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 题型十二 求证同角三角函数关系式 解｜题｜技｜巧 ☆证明涉及同一个角的三角函数的恒等式，通常从一边开始变形，利用基本关系式逐步推导到另一边 ◎观察等式两边，选择从较复杂的一边开始变形，也可以同时从两边向中间化简 ◎将所有的三角函数都化为正弦和余弦（常用技巧），或者利用已知的恒等式（如，）进行代换 ◎灵活运用平方关系、商数关系、倒数关系等进行化简，必要时可对分子分母进行因式分解或通分 ◎有时需要将表达式平方后再开方（注意正负），或分子分母同乘以某个式子以进行有理化 ◎证明过程中要确保每一步都是可逆的，或者最终推出一个显然成立的等式（如 ） 【典例1】如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【典例2】如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，，；，，； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据锐角三角函数的定义，即可得到锐角三角函数的正弦值和余弦值，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图①中，，，， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角有； （2）解：∵为锐角， ∴，， 由，得 解得（负值已经舍去）． 【变式1】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【变式2】如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 题型十三 三角函数综合 解｜题｜技｜巧 ☆结合定义、特殊值、解直角三角形等知识 ☆常需在复杂图形中识别或构造直角三角形 【典例1】如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，二次函数求最值，熟练掌握三角函数是解题的关键． 设，根据，可得，根据，利用二次函数求最值即可求解． 【详解】解：设， ， 的最大值为：， ， ， ， 则， ， ， 当时，的面积取得最大值为：． 故答案为：． 【典例2】如图1，在中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动．两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象由，两段组成，如图2所示．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，的范围是 D．的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与三角形面积的综合应用，解题的关键是结合函数图象的分段特征，分析点的运动阶段，利用三角形面积公式建立函数关系． 分析在段运动时的面积表达式，结合图象数据求和的长度，再分析在段运动时的面积变化，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、由图2知，当时，图象与轴相交，只能说明此时到达点（运动停止），Q点位置可能未到达B点，不能得出，故此选项错误，不符合题意； B、当在段的运动（对应图象段） 已知，点速度为，点速度为，运动时间为，则， 过作于，在中，． 因此的面积为： 由图2知，当时，，代入得：， 解得，故此选项错误，不符合题意；； C、当在段时，当时，，故此选项错误，不符合题意； D、如图，当点在线段上时，， 由图2可知，点在图象上， 由于，二次函数图象开口向下，因此函数在顶点处取得最大值． 顶点的横坐标（即取最值时的值）为：， 将代入函数：，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，． (1)求证：． (2)如图2，连结交于点．若，求证：． (3)如图3，已知，．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数解直角三角形等知识点，合理作出辅助线和利用好边的比值关系是解题的关键． （1）连接，利用全等三角形的判定证明得到，再推理出得到，根据垂直平分线的性质即可求解； （2）利用相似三角形的判定方法证出，得到后转化为，再利用三角形面积的比值关系推导出即可； （3）过点作于，设，，利用三角函数的比值关系用含的式子表达出的长即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，，， ∴（SSS）， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴为的平分线， ∴点到，的距离相等， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于， ∵由（1）， ∴， ∵， ∴设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】综合与实践 【问题情境】如图，在四边形中，点P是线段上一点，，． 【问题情境】如图1，当时，猜想，，三条线段存在的数量关系并证明． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，求的值． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，用含的代数式表示的值． 【答案】【问题情境1】三条线段存在的数量关系为，见解析 【问题情境2】 【问题情境3】 【分析】【问题情境1】根据证明即可得证． 【问题情境2】过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合特殊角的三角函数计算证明即可． 【问题情境3】过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合三角函数计算证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握全等的判定，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】【问题情境1】如图，三条线段存在的数量关系为，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【问题情境2】，理由如下： 过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ，， ∵， ∴． 【问题情境3】，理由如下： 如前图，过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，，， ∴，， ，， ∵， ∴． 【变式3】在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒． (1)用t表示线段的长度； (2)连接，求的值； (3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值； (4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)①当点E在线段上时，；②当点E在线段上时， (2) (3)，1， (4)或 【分析】本题考查了代数式表示式，平行四边形性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，并正确添加辅助线． （1）分两种情况讨论，当点E在线段上时，；当点E在线段上时，； （2）过点C作延长线于点G，根据平行四边形性质推出，，设，，利用勾股定理建立等式求出，进而得到，，在中，即可求出的值； （3）根据题意分类讨论：当时，点F落在上，点F落在上时，过点D作于点H；当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题； （4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：由题知，①当点E在线段上时，即时，； ②当点E在线段上时，当时，． （2）解：如图1，过点C作延长线于点G， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 在，由， ， 设，， 由勾股定理得：， 解得：， ，， 中，． （3）解：由旋转知，， 当时，点F落在上，如图2， 由得，， 解得：； 点F落在上时，如图3，过点D作于点H， 同（1）可求，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 解得：， 当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4， 由，得：，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 解得． 综上所述：t的值为，1，． （4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）， 由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，， ， ， 设，则，，， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； ②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线）， 同理可得：， 解得：， ， ． 综上所述：或． 题型十四 解直角三角形相关计算 解｜题｜技｜巧 ☆已知一边和一锐角：用三角函数求另两边 ☆已知两边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求角 ☆牢记“有斜用弦，无斜用切” 【典例1】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，根据余弦定义设，，利用勾股定理求，再根据正切定义求． 【详解】解：∵在中，， ∴设，， ∴， ∴， 故选：D． 【典例2】如图，已知矩形中，，点E，F是边上的三等分点，连接，将绕点E旋转得到，使点落在的延长线上，连接，交于点G，若恰好经过点F，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理等知识点，构造是解答本题的关键．通过辅助线构造，然后在中由勾股定理求出，再根据，建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：延长交于点P，过点作的垂线，H为垂足． 根据旋转的性质，，， ， 在和中， ， ， 设，， 则 由可得： 在中，由可得： 根据轴对称的性质，， ，， ， ， ，即， 整理得：， ， 易知，当时，， 解得，； 当时，，则，不合题意． 故答案为： 【变式1】如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，解直角三角形的相关计算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 求得出，，再利用三角函数求得，从而可求得． 【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴ ， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为 ， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，点是上一点，点是上一点，连接，把沿折叠，若点的对应点正好落在的延长线，交于点，且平分，则的长是 ，的值为 ． 【答案】 7 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质，定理，是解题的关键：勾股定理求出的长，根据折叠的性质，得到，进而推出，进而得到，根据，求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长，作于点，解直角三角形求出的长，设，在中，利用勾股定理求出的值，线段的和差求出的长，再根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵折叠， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 作于点，则， 设，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，7． 【变式3】如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点，过点作于点M，交边于点． (1)求证：； (2)若． ①求的值； ②当时，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)①,②4 【分析】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质、锐角三角函数及线段长度计算，涉及知识点：正方形的角与边的性质、相似三角形的“两角对应相等”判定、正切的定义、线段比例关系．解题方法是利用正方形的直角与平行关系找等角，结合条件证相似；通过设参数表示线段长度，利用相似或比例关系求解．解题关键是利用正方形的边、角性质建立线段与角的联系，易错点是参数设定或比例转化时的对应关系错误． （1）利用正方形的直角和平行，证、，从而证相似； （2）①根据相似的性质得出，结合等角的三角函数值相等，即可解答；②代入的值，利用三角函数值即可求． 【详解】（1）在正方形中，， ∴． ∵，， ∴； 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴（两角对应相等）． （2）解：∵ ①设，则， ， 即． ∵， ∴， ∴． ②当时，． ∵，， ∴． 解得． 题型十五 解非直角三角形 解｜题｜技｜巧 ☆通过作高（垂线）转化为两个直角三角形求解 ☆若已知两边及夹角或三边，也可考虑余弦定理（超纲但有时可用勾股定理推导） 【典例1】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【典例2】如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【变式1】阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选：．   【变式2】阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 【变式3】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． （1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解｜题｜技｜巧 ☆作垂线是最常用方法 ☆将不规则图形分割成多个直角三角形，利用勾股定理和三角函数逐个突破 【典例1】如图是一块四边形空地，该空地面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，∵， 在中，∵， . 则该空地的面积 故答案为：． 【典例2】如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键．延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 过B作于P，则，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于P，则， ，， ， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220． 【变式3】如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则= ，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ①过点O作，垂足为H，根据题意可得，利用平行四边形的性质可得，然后在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出、的长，进行计算即可求出的长；②根据题意可得点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上，当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接OQ，根据轴对称的性质可得，，，从而可得 ，，进而求出，然后利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得，最后设，则，，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：①过点O作，垂足为H， 由题意得： ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q落在上时，则， ②∵， ∴点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上， 当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接， ∵点B关于直线AP的对称点为Q， ∴，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为2． 故答案为：；2． 题型十七 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆画出平面示意图，明确仰角（向上看）、俯角（向下看）的定义 ☆通常构造两个及多个直角三角形，利用公共边建立方程 ☆注意有时会涉及矩形的性质与判定 【典例1】如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走10米到点，测得建筑物顶端的仰角为，求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】建筑物的高度为米 【分析】本题主要考查仰角与俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意得到，由角的正切值的计算，列式求解即可． 【详解】解：根据题意，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴建筑物的高度为米． 【典例2】“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， （米）； 答：屋顶到横梁的距离约为米； （2）过作于， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：， ∴米， （米）， 答：房屋的高约为米． 【变式1】如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米， (1)求电线杆上部分的长； (2)求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）． 【答案】(1)电杆上部分的长为米 (2)拉线的长为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题时通过转化思想构造矩形与直角三角形，利用三角函数定义求解，关键是将已知条件转化到直角三角形中，易错点是忽略测角仪高度或混淆三角函数对应边； （1）过点作，垂足为构造矩形，用仰角的正切求 与测角仪高度的差得 ； （2）在 中用 的正弦求． 【详解】（1）解：过点作，垂足为 由题意可知四边形为矩形，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：在，，， ∴米， 所以拉线的长约米． 【变式2】某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 【变式3】万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 【答案】(1)点D与塔顶P的距离是140 (2)古塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义， （1）根据，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：如下图， 由题意得：， ， ， ； （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图， 则由题意得点P、F、N在同一直线上， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 题型十八 方位角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆以观测点为原点，画出“上北下南左西右东”的十字方向线，根据方位角确定目标方向，构造直角三角形☆注意可能涉及两个方向角的和或差 【典例1】如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 【典例2】通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（    ） A．的面积是 B． C．点在该函数图象上 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角与方向角，勾股定理，函数图象的实际意义，三角形面积计算及垂线段最短．通过分析图象与几何图形的对应关系，逐一验证选项即可． 【详解】解：如图，过点B作于点D，，， ∵图2中图形的最低点， ∴，， ∴在中，， ∴，故B错误，不符合题意； ∴，故A错误，不符合题意； ∵图象经过点， ∴，， ∵在中，，， ∴， 即，故D错误，不符合题意； 如图，当时，， ∵在中，， ∴，即点在该函数图象上，故C正确，符合题意， 故选：C． 【变式1】如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)海里 (2)有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， （海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； （2）解：有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【变式2】如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． （1）利用角的正弦即可求得的长，从而易得的长； （2）过点作于点，在中利用三角函数可求出、的长，在等腰中即可求得． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 【变式3】小叶在学习二次函数图象平移内容时，研究了抛物线的移动方法． 课本方法：把顶点先向左或向右平移一定距离，再向上或向下平移一定距离得到新的抛物线． 在以前的学习过程中，小叶知道确定物体位置的方法可以用方向与距离表示． 迁移方法：于是他想，在移动抛物线时也可以通过确定移动的方向后，再一次性把顶点移动一定距离就到位．例如：如图，二次函数图象沿北偏东方向移动4个单位得到二次函数的图象． (1)仿照迁移方法，把抛物线沿 方向移动 个单位得到抛物线； (2)比较课本方法与迁移方法，写出迁移方法的优点与缺点（至少各一条）． 【答案】(1)西北； (2)优点：可以一次性就移到位；缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向 【分析】本题主要考查了平移的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握平移的性质． （1）利用平移的性质和锐角三角函数进行求解即可； （2）根据题意，描述出优缺点即可． 【详解】（1）解：根据平移的性质，由到， 可以看作向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到， ∴平移的方向为西北方向， 由勾股定理得， ∴把抛物线沿西北方向移动个单位得到抛物线， 故答案为：西北；； （2）解：优点：可以一次性就移到位；缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向． 题型十九 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆坡度i = 垂直高度/水平宽度 = tanα（α为坡角） ☆已知坡度可求坡角，反之亦然 ☆解题时常需将斜坡长度、垂直高度、水平宽度三者转化 【典例1】如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）＝垂直高度∶水平宽度． 利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵坡比为的斜坡上两树间的水平距离为， ∴． ∴． 故选：C. 【典例2】图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是正确解答此题的关键． 过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于， 在中，，，则， ， ， ， ， ， 手柄所在直线与地面之间的距离为：， 故答案为：A. 【变式1】如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 【变式2】在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，，斜坡的长为，坡度，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为，点B到旗杆底端C的距离为． (1)求斜坡的坡角α的度数． (2)求旗杆顶端离地面的高度．（参考数据，，，结果精确到） 【答案】(1) (2)约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度、坡角问题，解决本题的关键是仰角俯角、坡度、坡角的定义． （1）根据坡度、坡角的定义即可求出结论； （2）利用锐角三角函数即可求出的长． 【详解】（1）解： ，垂足为点， ． 在中， ， ，即． 答：斜坡的坡角的度数为； （2）解：在中， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， 在中， ，， ， ， 答：旗杆顶端离地面的高度约为． 【变式3】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； （2）先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∴ （米）． 答：的长为米； 题型二十 其他问题（解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆仔细审题，提取关键数据，将实际问题抽象为几何模型（通常是直角三角形） ☆注意结果是否符合实际意义（如长度、角度取正数） 【典例1】随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【典例2】某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)背垫旋转的度数为 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数． 【详解】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为． 【变式1】图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度． (1)当时，求到的距离． (2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？ 【答案】(1) (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，过点作于点，运用等腰三角形的性质，得，再列式计算，求出的长度， （2）与（1）同理得，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接，过点作于点， ， ，， ， ， 即到的距离为； （2）解：连接，过点作于点， ， ∵，的最大张角为75度． 此时，， 在中，， ∴， 则， ∴此时能用取碗夹夹起这个盘子． 【变式2】图1是可折叠哑铃凳的示意图，其侧面可抽象成图2，为固定支撑点，，为的中点，点在处滑动，使靠背可绕点转动．已知，，． (1)当从最小角转动到最大角时，求点运动的路径长．（结果保留）； (2)在转动过程中，求点到地面的最大距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)当从最小角转动到最大角时，点运动的路径长 (2)在线段转动过程中，点到地面的最大距离为 【分析】本题考查轨迹，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）利用弧长公式求解即可； （2）如图2中，当时，点H到地面的距离最大．过点作于，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，分别解直角三角形求出，，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴旋转角为， ∵中， ∴当从最小角转动到最大角时，点运动的路径长； （2）解：如图2中，当时，点到地面的距离最大， 过点作于，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴在线段转动过程中，点到地面的最大距离为． 【变式3】如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）分和两种情况，用对应角度的三角函数求的竖直高度，结合B到地面的距离算出A的高度，作差得增加了． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； （2）解：最高点A到地面的高度为， 当时，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 同理得， ∴， ∴． 故当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，，故该选项不符合题意； B、在中，，故该选项符合题意； C、在中，，故该选项不符合题意； D、在中，，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：． 4．在中，，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 5．点在反比例函数的图象上，与x轴的正半轴所夹的角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，求反比例函数的函数值，过点P作轴于Q，连接，求出点P的坐标得到的长，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作轴于Q，连接， 在中，当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】2.6 【分析】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值． 题目中给出的坡度i=12∶5，表示垂直高度与水平距离的比例为，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长． 【详解】设水平距离为米，斜边长为米， 根据题意可得：， ， ． 故答案为：2.6． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算； 代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．在中，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的余弦值，根据余弦值等于角度邻边与斜边的比值，进行计算即可． 【详解】解：∵，，，    ∴. 故选：A． 2．如图，是等腰直角三角形，点，是斜边上的两个动点，，过点，分别作，，垂足分别为若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题运用等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识求解．设未知数表示相关线段长度，通过角度关系证明三角形相似，进而求出与的长度，最后根据三角函数的定义求出的值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，是斜边， ∴，，， ∴， ∵，，垂足分别为，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，三角函数，掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠，推导出，根据勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选：A． 4．如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】在上找一点F，使，过A作于点G，根据相似三角形的判定得出∽，进而利用相似比求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上找一点F，使，过A作于点G， ，且， ， ， ，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得， 故答案为： 5．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正切的定义，等腰三角形的性质，由题意，设的边长，，，则小正方形的边长，由等腰三角形的性质可得，从而得出，证明，由相似三角形的性质求出，最后由正切的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴为直角三角形，， 设的边长，，， ∴小正方形的边长， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 6．如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 【答案】 4或5 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用正方形性质推出，从而证明，得到，利用角的正切值求出的长，再利用勾股定理求出结果即可； （2）分两种情况①；②，利用相似三角形性质结合正方形性质，利用勾股定理求出最后结果 【详解】解：（1）， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ． （2）有两种情况： ①， 即， ， 则四边形为矩形， ； ②， 则． 由（1），得， 即， ， ． 由（1），得， ， ， 即点G和点D重合． ， ． 综上，的长为4或5． 故答案为：（1）；（2）4或5． 7．在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理和求角的正弦值，正确运用相关知识进行解答是解题的关键， （1）直接运用勾股定理解答即可； （2）根据正弦的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）解：如图， ． 8．如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接． (1)________；__________． (2)若与相似，求的值； (3)连接，如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3) 【分析】本题主要考查动点与直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质，求出的值，根据点的运动，即可求解； （2）根据点的运动，分类讨论，①当；②当；根据相似三角形的性质，图形结合分析即可求解； （3）如图所示，过点作于点，根据三角形函数值的计算分别求出的值，再证，根相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在，，， ∴， ∵动点从点到点的速度为每秒，动点从点到点的速度为每秒，运动时间为t秒（）， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）解：①当， ∴，即，垂足为点， 由（1）可知， ， ，，， ∵， ∴，即，解得，，符合题意； ②当， ∴，即，垂足为点， ∴，即，解得，，符合题意； 综上所述，与相似，的值为或． （3）解：如图所示，过点作于点，    在中，，， ∵，，， ∴在中，，得， ，得， ∴， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即，解得，或， ∵运动时间为t秒（）， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．在中，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及应用、勾股定理，设，则，由勾股定理得出，再由正切的定义即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵在中，， 设，则， ， ． 故选：B． 2．如图，在正方形中，是的中点，在延长线上取点使，过点作交于点，交于点，交于点，连接，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，正切定义，解直角三角形等知识．设正方形边长为x，证明，由可得；由即得． 【详解】四边形是正方形， 设， E是BC的中点， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．在中，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，绝对值和平方的非负性，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值确定和的度数，最后利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方都具有非负性， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角，竖直下降10米至D，测得A点俯角，那么峭壁的高是 米（精确到米） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，俯角与仰角，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意及图，得，，推导出为等腰直角三角形，且，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：由题意及图，得，， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 5．如图，在中， ， ，点M为的重心， 若 那么的长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了重心的有关性质，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，已知正切值求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用三角形的重心的性质得出，，，再，，列出比例式求出、，结合，求得，然后利用勾股定理求得，从而可求得，进而求得，再利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得． 【详解】解：延长交于点E，延长交于点F，过点M分别作，的垂线，垂足分别是G，D， ∵点M为的重心，， ∴，，， 又， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 6．如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； （2）由可知，根据正弦的定义求出． 【详解】（1）解： ， ， 设，， 在中，， ， ， 解得：或(负值舍去)， ； （2）解：由（1）可知， ，， ． 7．某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在处测得树顶的仰角为，处测得树顶的仰角为（点，，在一条水平直线上），已知测量仪高度米，米，求树BD的高度（参考数据：）． 【答案】树的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，平行四边形的判定，解分式方程等知识，连接，交于点，先证明四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，同理可得，四边形是矩形，四边形是矩形，则有，米，在中，，所以，设米，则米，米，在中，，即，解得，经检验，是原方程的解，即米，然后通过线段的和与差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，米， 在中，， ∴， 设米，则米，米， 在中，， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 即米， ∴（米）， 答：树的高度为米． 8．如图1，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． (1)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域； (2)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)的长为或或 【分析】本题考查梯形、矩形的性质，图形翻折的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数与勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）用梯形和矩形的性质求出，确定的定义域；由翻折得垂直平分，可证、，利用相似的比例关系，将面积比转化为线段比，再推导函数式即可； （2）先求出，分三种等腰情况讨论：当时，通过证明得，结合勾股定理列方程求；当时，用相似比得，再通过勾股定理求解；当时，利用值相等的关系计算． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，设交于，设，， ∴，， ∵在梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点在线段上（不与点重合），， ∴， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴①， ∵，， ∴， ∴，即， ∴②， ②①，得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 答：与之间的函数关系式为． （2）解：①如图2，在梯形中，，，，，当时，延长交于，设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②如图3，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③如图4，当时，点与重合， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 答：的长为或或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦角、余弦角、正切角相关 理解锐角三角函数的定义，并能在直角三角形中准确计算正弦、余弦、正切值。 必考概念，常出现在选择题中，考查定义的理解。 特殊三角形的三角函数 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能进行快速识别和计算。 中考常考记忆点，是后续计算的基础，务必记牢。 特殊三角函数值的混合运算 能熟练进行包含特殊三角函数值的混合运算（如加减、乘除、乘方）。 中考必考计算题型，要求计算准确、步骤清晰。 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 能根据三角形内角的三角函数值，推断三角形的形状（如等腰、直角、等边）。 中档题常见，考查逆向思维和三角函数的性质应用。 根据特殊角三角函数值求角的度数 能由已知的三角函数值求出对应的锐角度数。 常作为计算题的一步，或单独出现在填空题中。 根据三角函数值判断锐角的取值范围 能利用三角函数的增减性，根据函数值大小判断锐角的范围。 易错点，常出现在选择题中，需理解三角函数的单调性。 解直角三角形相关计算 能综合运用勾股定理、三角函数解直角三角形，求出所有未知的边和角。 核心高频考点，常以解答题形式出现，考查综合计算能力。 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 能通过作辅助线构造直角三角形，将复杂图形问题转化为解直角三角形问题。 综合应用题的关键步骤，常出现在中档题中，考查转化与建模能力。 解直角三角形的应用 能将仰角、俯角、坡度、方位角等实际问题转化为解直角三角形的数学模型并求解。 中考必考应用题题型，背景多样（如测量、工程等），需仔细审题。 利用同角三角函数关系求值 熟练掌握同一个角的三角函数基本关系式，能根据已知的一个三角函数值求出该角的其他三角函数值。 高频计算考点，常以选择题或填空题形式出现，考查对同角关系的直接运用与代数变形能力，是三角函数运算的基础。 互余两角三角函数的关系 掌握若两角互余，并能利用这些关系进行三角函数的化简、求值与证明。 常与特殊角的三角函数值结合考查，用于简化计算或进行恒等变形，在中档题中作为关键步骤出现。 知识点一、 锐角三角函数的定义 1定义,如图在 锐角 的正弦： ． 锐角 的余弦： ． 锐角 的正切： ． 锐角 的正弦、余弦、正切统称为锐角 的三角函数 2.锐角三角函数的表示法 （1）在 中，三角函数的符号一定要小写，不能大写． （2）当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如 ， 等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如 等． （3）＂ ＂＂ ＂＂ ＂是整体符号，不能理解为 . （4） 表示 ，不能写成 ； 表示 ，不能写成 表示 ，不能写成 ． 易错点： 1．正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关． 2．由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且 . 3．正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如 等． 4． 和 都是以 为自变量的函数，一旦 的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化． 知识点二、 锐角三角函数之间的关系 1．同一锐角的三角函数之间的关系 （1）平方关系： ． （2）商除关系： ． 2．互余两角的三角函数之间的关系 易错点： 锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出. 知识点三、 特殊角的三角函数值 300，450，600角的三角函数值 三角函数值 300 450 600 1 易错点： 上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角 知识点四、 任意锐角的三角函数值 1.利用计算器求锐角三角函数值 (1)将角度单位状态设定为“度”: “SHIFT”“菜单”（设置）“2”(角度单位)“1”(度)，屏幕显示“D” (2)在角度单位状态为“度”的情况下，按“sin”或“cos”或“tan”键直接求出一个角的正弦值、余弦值或正切值 2.已知锐角三角函数值求锐角的度数 一般的计算器中都有“sin”（sin-1），“cos”（cos-1）,“tan”（tan-1）键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值求锐角时，要用到“SHIFT” “sin”（sin-1）， “SHIFT”“cos”（cos-1）或“SHIFT”“tan”（tan-1）键. 易错点： 不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形:先按三角函数键，再按数字键或先输入数字，再按三角函数键 知识点五、 解直角三角形的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 知识点六、利用同角三角函数关系求值 1. 同角三角函数的基本关系式 对于任意一个锐角，其正弦、余弦、正切之间满足以下两个基本关系： 1. 平方关系： 2. 商数关系： 2.利用同角关系求值的方法 已知、、三个函数值中的任意一个，且知道角所在的象限（或范围），可以利用上述关系式求出另外两个函数值。 一般步骤： 1. 根据已知函数值，利用平方关系求出另一个函数的绝对值。 2. 根据角的象限（或题目条件）确定符号。 3. 再利用商数关系求出第三个函数值。 易错点： 利用平方关系开方时，要注意正负号的选取，这取决于角所在的象限。若无特殊说明，锐角的三角函数值均为正。 使用商数关系时，注意分母不能为零。 知识点七、互余两角三角函数的关系 1. 互余两角的三角函数关系 若两个锐角和互余，即，则它们的三角函数值满足以下关系： ①正弦与余弦互余： ②正切与余切互余： 2.互余关系的应用 互余关系可以用于： · 将一个角的三角函数转化为其余角的三角函数，从而简化计算。 · 证明三角恒等式。 · 在解直角三角形时，利用两锐角互余进行转化。 易错点： 互余关系只适用于两个角之和为的情况，不要与互补关系（和为）混淆。 互余关系中，正弦与余弦互换，正切与余切互换，但正割与余割也互换（初中阶段较少涉及）。 知识点八、根据三角函数值判断锐角的取值范围 1. 锐角三角函数的增减性 在到范围内，锐角三角函数具有以下性质： · 正弦函数随角度的增大而增大。 · 余弦函数随角度的增大而减小。 · 正切函数随角度的增大而增大。 2. 利用增减性判断角的范围 给定一个三角函数值，可以利用上述增减性确定锐角的大致范围。 常见判断方法： 1. 若，则。 2. 若，则（因为余弦递减）。 3. 若，则。 易错点： 利用增减性时，必须确保角度在到之间。 对于正弦和正切，函数值越大，角度越大；对于余弦，函数值越大，角度越小。 比较时，通常先将其与特殊角（、、）的三角函数值进行比较。 题型一 正弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆在直角三角形中，sinA = 对边/斜边 ☆若求角，先确定对边和斜边； ☆若求边，利用已知角和一边解方程 【典例1】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【典例2】在中，，， ，则边的长为（   ） A．5 B．12 C． D．25 【变式1】在中，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】小朱在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，，，求的长． 题型二 余弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆cosA = 邻边/斜边 ☆注意区分邻边与斜边，避免与正弦混淆 【典例1】如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知在中，，D、E分别在，上，连，交于点F，若，，则的值为 ． 【变式1】如图，是圆的直径，点为左半圆上一点，的平分线与圆交于点，连接交于点，若时，则的值为 ． 【变式2】如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 题型三 正切角相关 解｜题｜技｜巧 ☆tanA = 对边/邻边 ☆当已知直角边之间的关系时，正切往往更方便 【典例1】如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于点D，C，连接，，若，则（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 【变式2】在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3】如图所示，在中，，，，则 ． 题型四 特殊三角形的三角函数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记30°、45°、60°的三角函数值，并能在图形中快速识别 ☆可通过等边三角形和等腰直角三角形推导 【典例1】以下四个特殊三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【变式3】如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为 ． 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆先代入已知特殊值，再按实数运算顺序计算 ☆注意、的处理，常需分母有理化 【典例1】计算： ； 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解｜题｜技｜巧 ☆根据三角函数值反推角度，结合三角形内角和判断是锐角、直角或钝角三角形 ☆注意多解情况（如sinα=，α可能是30°或150°） 【典例1】在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【典例2】在中，若（其中，为锐角），则的形状是 ． 【变式1】在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是 ． 【变式3】在中，满足：，则的形状为 ． 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记特殊角三角函数值表，直接对应 ☆若值不特殊，考虑使用计算器（但中考通常只考特殊角） 【典例1】已知α是锐角，，则α等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【典例2】在中，和为锐角，且满足，则的度数为 ． 【变式1】已知锐角满足，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 解｜题｜技｜巧 ☆正弦（0°~90°）随角度增大而增大 ☆余弦（0°~90°）随角度增大而减小 ☆正切（0°~90°）随角度增大而增大 【典例1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例2】若，，，则由小到大的顺序为 ． 【变式1】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【变式3】已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 ☆以特殊角为界.例如： ◎若sinα >，则α > 30°（锐角范围内） ◎若cosα <，则α > 30° ◎若tanα > 1，则α > 45° 【典例1】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【典例2】若，则的度数在哪个范围（   ） A． B． C． D． 【变式1】若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【变式3】某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 题型十 利用同角三角函数关系求值 解｜题｜技｜巧 ☆关键要点：已知一个角的某个三角函数值，利用同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系等）可以求出该角的其他三角函数值 ◎根据已知条件确定角所在的象限，从而确定所求函数值的符号（若无特殊说明，锐角的三角函数值均为正） ◎若已知正弦或余弦值，利用平方关系求出另一个值（注意根据象限选取正负号），再利用商数关系求出正切值 ◎若已知正切值，可设，代入平方关系求出和 ◎有时需要用到倒数关系（如），但初中阶段主要关注、、 【典例1】已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【典例2】如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【变式2】若和是一元二次方程的两个根，求的值． 【变式3】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 题型十一 互余两角三角函数的关系 解｜题｜技｜巧 ☆若两个角互余（和为），则一个角的正弦等于另一个角的余弦，一个角的正切等于另一个角的余切 ◎明确互余关系： ◎直接应用公式：，， ◎在求值或化简时，将互余角的三角函数进行转换，常常可以简化计算（例如，将转化为） ◎在几何问题中，直角三角形中两锐角互余，所以经常用到这些关系来建立边角联系 【典例1】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】若，则 ． 【变式1】计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．0 【变式2】已知，若，则 ． 【变式3】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 题型十二 求证同角三角函数关系式 解｜题｜技｜巧 ☆证明涉及同一个角的三角函数的恒等式，通常从一边开始变形，利用基本关系式逐步推导到另一边 ◎观察等式两边，选择从较复杂的一边开始变形，也可以同时从两边向中间化简 ◎将所有的三角函数都化为正弦和余弦（常用技巧），或者利用已知的恒等式（如，）进行代换 ◎灵活运用平方关系、商数关系、倒数关系等进行化简，必要时可对分子分母进行因式分解或通分 ◎有时需要将表达式平方后再开方（注意正负），或分子分母同乘以某个式子以进行有理化 ◎证明过程中要确保每一步都是可逆的，或者最终推出一个显然成立的等式（如 ） 【典例1】如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【典例2】如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 【变式1】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【变式2】如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【变式3】在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 题型十三 三角函数综合 解｜题｜技｜巧 ☆结合定义、特殊值、解直角三角形等知识 ☆常需在复杂图形中识别或构造直角三角形 【典例1】如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 【典例2】如图1，在中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动．两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象由，两段组成，如图2所示．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，的范围是 D．的最大值为 【变式1】如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，． (1)求证：． (2)如图2，连结交于点．若，求证：． (3)如图3，已知，．若，，求的长． 【变式2】综合与实践 【问题情境】如图，在四边形中，点P是线段上一点，，． 【问题情境】如图1，当时，猜想，，三条线段存在的数量关系并证明． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，求的值． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，用含的代数式表示的值． 【变式3】在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒． (1)用t表示线段的长度； (2)连接，求的值； (3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值； (4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值． 题型十四 解直角三角形相关计算 解｜题｜技｜巧 ☆已知一边和一锐角：用三角函数求另两边 ☆已知两边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求角 ☆牢记“有斜用弦，无斜用切” 【典例1】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知矩形中，，点E，F是边上的三等分点，连接，将绕点E旋转得到，使点落在的延长线上，连接，交于点G，若恰好经过点F，则线段的长为 ． 【变式1】如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，点是上一点，点是上一点，连接，把沿折叠，若点的对应点正好落在的延长线，交于点，且平分，则的长是 ，的值为 ． 【变式3】如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点，过点作于点M，交边于点． (1)求证：； (2)若． ①求的值； ②当时，求的长． 题型十五 解非直角三角形 解｜题｜技｜巧 ☆通过作高（垂线）转化为两个直角三角形求解 ☆若已知两边及夹角或三边，也可考虑余弦定理（超纲但有时可用勾股定理推导） 【典例1】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【典例2】如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【变式1】阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式2】阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【变式3】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 题型十六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解｜题｜技｜巧 ☆作垂线是最常用方法 ☆将不规则图形分割成多个直角三角形，利用勾股定理和三角函数逐个突破 【典例1】如图是一块四边形空地，该空地面积为 ． 【典例2】如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【变式1】如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝ ． 【变式2】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【变式3】如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则= ，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为 ． 题型十七 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆画出平面示意图，明确仰角（向上看）、俯角（向下看）的定义 ☆通常构造两个及多个直角三角形，利用公共边建立方程 ☆注意有时会涉及矩形的性质与判定 【典例1】如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走10米到点，测得建筑物顶端的仰角为，求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【典例2】“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 【变式1】如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米， (1)求电线杆上部分的长； (2)求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）． 【变式2】某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【变式3】万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 题型十八 方位角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆以观测点为原点，画出“上北下南左西右东”的十字方向线，根据方位角确定目标方向，构造直角三角形☆注意可能涉及两个方向角的和或差 【典例1】如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 【典例2】通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（    ） A．的面积是 B． C．点在该函数图象上 D． 【变式1】如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【变式2】如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【变式3】小叶在学习二次函数图象平移内容时，研究了抛物线的移动方法． 课本方法：把顶点先向左或向右平移一定距离，再向上或向下平移一定距离得到新的抛物线． 在以前的学习过程中，小叶知道确定物体位置的方法可以用方向与距离表示． 迁移方法：于是他想，在移动抛物线时也可以通过确定移动的方向后，再一次性把顶点移动一定距离就到位．例如：如图，二次函数图象沿北偏东方向移动4个单位得到二次函数的图象． (1)仿照迁移方法，把抛物线沿 方向移动 个单位得到抛物线； (2)比较课本方法与迁移方法，写出迁移方法的优点与缺点（至少各一条）． 题型十九 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆坡度i = 垂直高度/水平宽度 = tanα（α为坡角） ☆已知坡度可求坡角，反之亦然 ☆解题时常需将斜坡长度、垂直高度、水平宽度三者转化 【典例1】如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，，斜坡的长为，坡度，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为，点B到旗杆底端C的距离为． (1)求斜坡的坡角α的度数． (2)求旗杆顶端离地面的高度．（参考数据，，，结果精确到） 【变式3】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 题型二十 其他问题（解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆仔细审题，提取关键数据，将实际问题抽象为几何模型（通常是直角三角形） ☆注意结果是否符合实际意义（如长度、角度取正数） 【典例1】随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【典例2】某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【变式1】图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度． (1)当时，求到的距离． (2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？ 【变式2】图1是可折叠哑铃凳的示意图，其侧面可抽象成图2，为固定支撑点，，为的中点，点在处滑动，使靠背可绕点转动．已知，，． (1)当从最小角转动到最大角时，求点运动的路径长．（结果保留）； (2)在转动过程中，求点到地面的最大距离．（结果精确到，参考数据：） 【变式3】如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，如果，，那么 ． 5．点在反比例函数的图象上，与x轴的正半轴所夹的角为，则的值为 ． 6．有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 7．计算： (1)； (2)． 8．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．在中，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等腰直角三角形，点，是斜边上的两个动点，，过点，分别作，，垂足分别为若，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 5．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是 ． 6．如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 7．在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 8．如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接． (1)________；__________． (2)若与相似，求的值； (3)连接，如图2，若，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．在中，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，是的中点，在延长线上取点使，过点作交于点，交于点，交于点，连接，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，则的度数是 ． 4．如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角，竖直下降10米至D，测得A点俯角，那么峭壁的高是 米（精确到米） 5．如图，在中， ， ，点M为的重心， 若 那么的长等于 ． 6．如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 7．某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在处测得树顶的仰角为，处测得树顶的仰角为（点，，在一条水平直线上），已知测量仪高度米，米，求树BD的高度（参考数据：）． 8．如图1，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． (1)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域； (2)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $