各位家长朋友们，同学们好。这期视频我们来讲题型52抽象函数的值域问题。我相信新高考地区的同学，估计看到今年也就是2023年的高考数学试题，相信大家印象也比较深刻。因为其中有一道题就是抽象函数的相关的一些问题，也就是我们新高考数学试题多选的第十一题。注意，是那个多选的十一题。这个多选的十一题，我们随后在后期的视频课上会逐渐的会讲这一道题。我相信有一些老师像有一些网红老师，为了提前可能就已经包括有一些老师可能还会参加这个高考，都已经把这个题给做了，甚至提前讲了。我们今天额外是也做了一期视频，讲这个新高考数学试题。当然了高考还没有结束，我一般是不会讲的。所以说我们是等到6月9号的晚上才开始逐渐讲一些高考数学试题。今天咱们讲的这道题，就是属于抽象函数的值域问题。可以说每年的关于抽象函数的问题，大家还是要得重视。你像我们这一期的重难点视频课，对于提前15 12，也就是子育问题，大家还是要得重视。那么我们看一下这一道例题，已知函数，我们就以最最简单的一道题，大家看啊已知函数的值域，那个定域是0到4，那么求函数Y等于FX方加上FX这个整体的平方的值域。对于这个函数值域，首先咱们要研究它的定义域。大家切记对于研究函数的所有的性质问题，一定要注意定域优先级。所以说我们先研究这个新函数的定义新函数的定义。根据上一期的视频，我们要注意这个自变量就是X那么对于这个X方这个整体，它的范围就等价于大于等于0，小于等于4。注意这个整体等价于这里面的X范围，这个X方的范围是大于等于0，小于等于4。那么这个X范围本身它就是大于等于0，小于4，这个是不变的。所以说两个取交集之后，我们可以解出X是大于等于0，小于等于2。具体的这个1元2次不等式的解法，因为咱们这个是重难点题型，视频系列课，所以说这个简单的这个技巧我们就不再讲了。好，这样的话我们先研究出这个地域它是0到2，然后我们对这个函进行变形。又因为这个Y它是等于FX的平方，加上一个FX这个整体的平方。好，现在我们用这个X方替换里面的X所以第一个解析式就是第一个这个表达式就转化成X平方，加X减1加上一个后面这个我们可以整理成X减一的平方，这是第一步。然后把它整理一下可以得到这个是这有X方，这也有一个X方合并转化为2X方。这边有一个-2X后面这个常数有一个一，这个前面有个常数，负一合并是零。好，然后我们来看一下二次函数这个对称轴。根据对称轴方程，这个对称轴就是X等于负的2A分之B口算一下，那么就是2分之1。我们可以画一个大致的草图做一个分析。这个是X轴，这个是原点对称轴，很明显是X等于2分之1。我们口算2分之1时，对应的纵坐标就是负的2分之1。开口方向向上经过就是你把这个提个公因式就变成2X倍的X减1，就是经过00和10这样两个点。好，其中定域我们把定域上的这个图像，我们把它加粗。对，加粗。好，这个是102处对应的函数值，我们带进会发现二处对应的函数值它是4。这个位置对12，我们把它加粗一下，到这里结束。所以说由图像什么是值域呢？就是函数图像上所有点的纵坐标的取值集合。所以由图像上我们可以得出这个函数的值域就应该是属于负的2分之1表示。也就是在X等于2分之1处取得最小值，在X等于2处取得最大值。是所以说此题的这个答案就是负的2分之1到4。当然今天咱们找的这道题本身的难度不是很大，但是很具有一定的代表意义。通过今天这节课，希望大家在研究函数值域的问题。一要想到这个抽象函数的定义问题，二要学会换元，甚至根据函数图像来解函数的值域问题。今天这个视频课我们就讲到这里，感谢您的收看，下期视频我们再见。