专题02 解三角形（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形专题，涵盖正余弦定理应用、与平面向量综合、多三角形问题三大核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构知识，整合正弦定理、余弦定理等7个必备知识模块，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建解三角形问题的分析体系与解题思路。 资料以近三年高考真题动向为导向，突出命题预测精准性，题型攻坚中设计“从三个条件选一个使三角形存在且唯一”等结构不良问题训练，培养学生推理能力与模型观念。设置基础巩固到综合应用分层练习，配合真题详解与方法总结，助力学生在有限时间内突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

专题02解三角形 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 正余弦定理的应用 2 真题动向 必备知识 知识1正弦定理 知识2余弦定理 知识3射影定理 知识4三角形面积公式 知识5三角形内角和定理的应用 知识6三角形中的不等关系 知识7三角形中的三线两圆 命题预测 题型1正余弦定理 题型2判断三角形形状 题型3面积周长、最值范围 题型4爪形三角形问题 考点二 解三角形与平面向量综合 24 真题动向 必备知识 命题预测 题型1解三角形与平面向量综合 考点三 多三角形问题 29 真题动向 必备知识 命题预测 题型1多边形及多三角形问题 命题轨迹透视 北京卷近5年解三角形均以基础为主，主要考基本量运算，选择题、填空题、解答题均有出现，解答题比较多。 解答题中考基本量运算运算与最值问题，难度较低。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 正余弦定理的应用 北京T16解答题13分 北京T16解答题13分 北京T7选择题5分 解三角形与平面向量综合 多三角形问题 2026命题预测 预计在2026年北京卷同样会考解答题，侧重正余弦定理的应用、面积、最值。难度大概率比较简单。 考点一 正余弦定理的应用 1．（2023年北京高考数学真题T7单选题5分）在中，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故，又，所以. 故选：B. 2．（2025年高考北京卷数学真题T16解答题13分）在中，． (1)求c的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6；(2)答案见解析【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 3.（2024年高考北京卷数学真题T16解答题13分）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求；（2）从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】(1)由题意得，因为为钝角，则，则， 则，解得，因为为钝角，则. (2)选择①，则，因为，则为锐角，则，此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则，则代入得，解得， ,则. 选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则， 则 4.（2022年高考北京卷数学真题T16解答题12分）在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【解】(1)因为，则，由已知可得， 可得，因此，. (2)由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 5.（2021年高考北京卷数学真题T16解答题12分）在中，，． （1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，，，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：； 若选择③：由（1）可得，即，则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为：. 知识1正弦定理 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 1.正弦定理： (2R为△ABC外接圆的直径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.(边化角)； sin A＝；(角化边)； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 知识2余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 知识3射影定理 推导：； 知识4三角形面积公式 (1)(ha是高)； (2)； (2)(r为三角形内切圆半径)． (3)若，，，则 (4)(不作要求)(R为外接圆半径)； (海伦公式，) 知识5三角形内角和定理的应用 (1); (2)斜三角形中， (3)； (4)在中，内角成等差数列． 知识6三角形中的不等关系 (1)大边对大角 大角对大边：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB． (2)若△ABC为锐角三角形，则，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2． 若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则，sinA<cosB，cosA>sinB． (3)c2＝a2＋b2⇔C为直角； c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为锐角． (4)a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b． (5)若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈， 则1＜sin x＋cos x≤． 知识7三角形中的三线两圆 (1)中线:()中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍． 即：如图，在中，为中点，则． (b)已知两边及其夹角也可表述为：． (2)角平分线:角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则． 证法1：　在中，，在中，，． 证法2：　该结论可以由两三角形面积之比得证，即; (3)高: 分别为边上的高，则:; 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心． 外接圆半径的计算：R＝＝＝． 外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)． 　　　　　 (5)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心． 内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r． 【易错提醒】　 ①解三角形时一定要清楚解的情况； ②一定要清楚是角的取值范围. 题型1正余弦定理的应用 1．(25-26高三上·北京通州·月考)在中，角的对边分别是，若，则 (    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 2．(25-26高三上·北京通州·期中)在锐角中，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理(为外接圆半径)， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故，所以. 故选：A 3．(25-26高三上·北京·月考)已知、、是的三条边且.设函数，则下列结论中正确的是(   ) A．对任意正数，、、能作为一个三角形的三条边 B．对任意，、、都不能作为一个直角三角形的三条边 C．当是钝角三角形时，有零点 D．存在，使得 【答案】C【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、零点存在性定理的应用、比较指数幂的大小 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用余弦定理、三角形三边关系以及零点存在定理可判断C选项；分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，， 满足，此时、、不能作为一个三角形的三条边长，A错； 对于B选项，取，，，则，， 满足，此时、、能作为一个直角三角形的三条边长，B错； 对于C选项，若是钝角三角形，且，则为最大角，且为钝角， 由余弦定理可得，故， 由三角形三边关系可得， 又因为，且函数在上连续， 由零点存在定理可知，存在，使得， 因此当是钝角三角形时，有零点，C对； 对于D选项，， 若，则，对任意的，， 若，则，，令， 因为函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数， 因为，， 所以对任意的，，则，D错. 故选：C. 4．(25-26高三上·北京·月考)在中，若，，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、诱导公式二、三、四 【分析】由诱导公式确定，再由正弦定理即可求解. 【详解】由， 可得：，为钝角，所以， 由正弦定理可得：，所以，又为钝角，所以， 故选：B 5．(25-26高三上·北京·月考)在中，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以. 故选：A. 6．(24-25高三上·北京·开学考试)在中，若，，，则(   ) A．4 B． C．3 D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】根据同角三角函数关系式得，再利用正弦定理计算即可. 【详解】根据题意，，所以，且， 由正弦定理得，即，解得. 故选：A. 7．(2025高三上·北京·专题练习)在中，，，请写出一个的值是 ，使得满足条件的三角形恰有两个． 【答案】3(答案不唯一)【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】要使得满足条件的有两个，需结合三角形解的个数来分析. 【详解】解：要使三角形有两个解，需满足要使三角形有两个解，需满足： 代入，,得，；所以，. 因此，可以取3(也可取2到4之间的任意数) 故答案为：3(答案不唯一) 8．(25-26高三上·北京·月考)在中， ，，则 ． 【答案】/【难度】0.85 【知识点】正弦定理及辨析、二倍角的正弦公式 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得答案. 【详解】由正弦定理，，结合 ，， 则. 故答案为：. 9．(25-26高三上·北京·月考)在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为 ． 【答案】(答案不唯一，满足即可)【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】法一，根据条件，数形结合，即可求解；法二，根据条件，利用正弦定理得，再结合题设条件得，即可求解. 【详解】法一：如图，，，要使三角形存在且唯一，则. 法二：由正弦定理，得到，又，则， 因为三角形存在且唯一，所以当时，角存在且唯一． 所以， 又，所以其中一个整数取值为大于等于2的任意整数即可， 故答案为：(答案不唯一，满足即可) 10．(2025·北京通州·一模)在中，已知，，.则 . 【答案】/【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解. 【详解】由正弦定理可得，故， 故, 故答案为：. 11．(2025·北京顺义·一模)在中，，，则 . 【答案】/【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】先根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把化成，再结合，利用二倍角公式可得，再判断角的取值范围，即可求得. 【详解】根据正弦定理， .所以， 又，所以.所以， 所以. 因为为三角形内角，所以，所以， 所以 . 又，所以，所以为锐角，所以. 故答案为： 12．(24-25高三上·北京西城·期末)在中，若，，，则 . 【答案】/【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】根据同角三角函数关系得，最后利用正弦定理即可解出. 【详解】因为，为三角形内角，则， 则由正弦定理得，即，解得. 故答案为：. 13．(24-25高三上·北京·月考)在中，若，则角等于 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合已知可得，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，由正弦定理得，则，所以， 所以，又，所以. 故答案为：. 14．(25-26高三上·北京·月考)在中，，． (1)求A；(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)答案见解析【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. (2)分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】(1)解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. (2)解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由 ， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 题型2判断三角形形状 1．(25-26高三上·北京顺义·期中)在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为(    ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】A【难度】0.85 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 2．(2025高三·北京·专题练习)在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为(    ). A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意，求得，得到，由结合余弦定理，求得，进而得到且，即可求解. 【详解】由，可得，解得， 因为，所以， 又.由余弦定理得，所以， 因为，所以，解得，则，可得， 所以，所以为等边三角形. 故选：C. 3．(25-26高三上·北京·月考)在中内角、、所对边分别为、、，能说明“若，则是直角三角形”为假命题的一组、的值 ， . 【答案】 (答案不唯一，只需满足即可)【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理化简得出，可知为锐角，结合诱导公式得出，利用正弦型函数的单调性与对称性可得出、的关系，结合题意可得答案. 【详解】由结合正弦定理可得， 因为、，所以，故，故为锐角， 且，故，所以， 因为，则， 若，由于正弦函数在上为增函数，故，故； 若，则，可得， 综上所述，或. 命题“若，则是直角三角形”为假命题，则， 故可取，(答案不唯一). 故答案为：；(答案不唯一，只需满足即可). 4．(24-25高三上·北京海淀·期末)已知为等腰三角形，且，则 . 【答案】/0.875【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形， 由余弦定理得. 故答案为： 题型3面积周长、最值范围 1．(25-26高三上·北京海淀·期中)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则(    ) A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B【难度】0.4 【知识点】求三角形面积的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】对A，C选项可用平方数大于等于0进行判断得出，对C，D选项用基本不等式判断. 【详解】当时，，再由，且. 所以 , 当且仅当，即或时等号成立， 所以时，，故A错误，C错误； 当时，，再由，且. 所以 ， 当且仅当时，即等号成立，故B正确，D错误. 故选：B 2．(25-26高三上·北京·月考) 中，，则 的最大值为 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由正弦定理将转化为，利用余弦定理得.根据不等式求得其最小值，从而得到的最大值. 【详解】由正弦定理，，得，即.所以. 由余弦定理，得. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，.所以当且仅当时，取得最小值，最小值为. 因为，且在上单调递减，所以的最大值为. 故答案为：. 3．(25-26高三上·北京丰台·期中)在中，，，，则的面积为 【答案】/【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得：， ，. 故答案为：. 4．(25-26高三上·北京密云·月考)在中，，，，则 ，的面积为 ． 【答案】 或 /【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据正弦定理结合角的范围得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得出，所以，则或， 所以的面积为． 故答案为：或； 5．(25-26高三上·北京·开学考试)在中，，则的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理结合角的范围得出范围即可. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，则的范围是. 故答案为：. 6．(25-26高三上·北京·开学考试)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是 . 【答案】/【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由余弦定理及基本不等式求出的范围，根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即的最大值是． 故答案为： 7．(2025·北京朝阳·二模)在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、三角形面积公式及其应用、已知弦(切)求切(弦) 【分析】利用同角三角函数基本关系求出；利用三角形面积公式及基本不等式求出最大值. 【详解】在中，由，得，而，所以； 的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：； 8．(2025高三·北京·专题练习)已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为 ． 【答案】2【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用正弦定理进行边化角，再利用公式，其中，结合函数的单调性即可求解． 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理得，则 而，则 ， 由，得， 锐角由确定，又，则， 因此当时，取得最大值， 即，显然函数在上单调递增，所以． 故答案为：2． 9．(24-25高三上·北京丰台·期末)在中，，. ①若，则 ； ②面积的最大值为 . 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】①由正弦定理即可求得答案；②由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案. 【详解】①由正弦定理得，则； ②由余弦定理得， 即，当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为， 故答案为：； 10．(25-26高三上·北京海淀·月考)在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)答案见解析【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)根据余弦定理和三角形面积公式即可求得角的值. (2)选条件①②：先求出，然后求出，然后利用正弦定理求出，即可求出三角形的周长；选条件①③：先求出，然后利用正弦定理和余弦定理求出，即可求出三角形的周长. 选条件②③：不存在. 【详解】(1)由余弦定理，，又， 所以，得 (2)选条件①②：， ，则. 由正弦定理，代入解得：， 所以的周长为. 选条件①③：，， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理 ， 由得，解得，所以的周长为. (注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.) 11．(25-26高三上·北京通州·月考)在中，，. (1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：求的面积. 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)选②或③，【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)由正弦定理可得出的值； (2)选①，根据三角形三边关系说明三角形不存在；选②，利用余弦定理求出角的值，进而得出的值，结合勾股定理可知为等腰直角三角形；选③，利用正弦定理化简得出的值，可得出角的值，利用余弦定理可求出的值，结合勾股定理可知为等腰直角三角形.再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】(1)在中，，，由正弦定理得. (2)依题意，，由正弦定理得. 选①，，则，三角形不存在，不符合题意. 选②，，则， ，则为锐角，且. 由得，解得， 所以，故， 此时三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意. 选③，，由正弦定理得， 由于，，所以，则，则为锐角，且. 由余弦定理得，即， 得，故， 所以，故， 所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意. 所以. 12．(25-26高三上·北京东城·月考)在中，. (1)求角的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)①②不符合题意③ 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】(1)由正弦定理可解得；(2)选条件①由余弦定理可得；选条件②，验证不符合题意；选条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】(1)在中，因为，又，所以． 因为，所以．因为，所以． (2)选条件①：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．因为， 所以．所以． 设点为线段的中点，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 选择条件②：由(1)知，所以，可知， 不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②. 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．设边上的高线长为， 则面积，即，解得，因此， 设点为线段的中点，则，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 13．(25-26高三上·北京朝阳·月考)在中，． (1)求；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】(1)；(2)条件①：不存在，不存在面积；条件②：；条件③： 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可； (2)若选条件①：利用余弦定理分析即可；若选条件②：利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可；选条件③：利用余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)由正弦定理，得． 所以．所以． 因为，所以．所以．所以． (2)选条件①：，，由余弦定理，得， ，不存在. 选条件②：，由，可得， 由正弦定理，得， 由余弦定理得：， 整理得，解得，或(舍)， 所以的面积． 条件③：，因为，且，所以， 由余弦定理，得， 解得，或(舍)，所以的面积为：． 14．(25-26高三上·北京顺义·月考)在中，. (1)求；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)答案见解析【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)根据正弦定理，结合两角和的余弦公式，可求角的三角函数值，进而求角. (2)若选①，可用余弦定理求三角形的边长，再求三角形面积； 若选②，可用正弦定理求边，再利用两角和的正弦求，利用三角形的面积公式求面积即可； 若选③，利用正弦定理判断满足条件的三角形不唯一，所以选③不满足题意. 【详解】(1)在中，， 由正弦定理，可得， 整理得， 因为，，所以，即， 因为，所以. (2)选择条件①：因为的周长为， ，则， 由余弦定理，得， 所以，即， 解得，所以的面积； 选择条件②：因为，， 所以，因为， 由正弦定理，可得， 又，， 所以， 所以的面积； 选择条件③：因为， 由正弦定理，可得， 因为，所以不唯一， 因为存在且唯一确定，故条件③不成立． 题型4爪形三角形问题 1．(2025·北京·三模)在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理解三角形，根据三角形边角关系判断三角形形状，求得边长. 【详解】如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 2．(24-25高三上·北京房山·期末)在中，，，，则 ；若为边上一点，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得又则 在中，由正弦定理得：所以 故答案为：，. 3．(2025高三上·北京·专题练习)已知△的面积为，． (1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】(1)；(2)答案见解析【难度】0.4 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)利用三角形面积公式求解； (2)若选①，由题可能为锐角也可能为钝角，故△存在但不唯一确定；若选②，由题得或，故△存在但不唯一确定；若选③，由条件结合余弦定理得，进而求得，利用余弦定理求解. 【详解】(1)由已知得△的面积，所以. (2)若选①，，则可能为锐角也可能为钝角，故△存在但不唯一确定； 若选②，，则由(1)，得，或，故△存在但不唯一确定； 若选③，，得， 所以，又，所以，由(1)，得， 故此时、、均确定，△存在且唯一确定，符合题意， 如图，为边上中线， 在中，由余弦定理得， 故. 考点二 解三角形与平面向量综合   题型1解三角形与平面向量综合 1．( 25-26高三上·北京顺义·月考) 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】由余弦定理，可得，根据数量积公式，可得，根据数量积的几何意义，可得在方向上的投影长度为1，设的中点为E，连接DE，DA，DC，DB，可得，分析可得当B、D、C三点共线时，有最小值，且为，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为， 所以，即在方向上的投影长度为1， 设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB，所以，所以， 则,当B、D、C三点共线时取等号， 故选：A 2．(25-26高三上·北京顺义·月考)在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】由余弦定理，可得，根据数量积公式，可得，根据数量积的几何意义，可得在方向上的投影长度为1，设的中点为E，连接DE，DA，DC，DB，可得，分析可得当B、D、C三点共线时，有最小值，且为，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为， 所以，即在方向上的投影长度为1， 设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB， 所以，所以， 则, 当B、D、C三点共线时取等号， 故选：A 3．(25-26高三上·北京·月考)在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【答案】/【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、余弦定理解三角形、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 4．(24-25高三下·北京顺义·月考)已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解；②周长的最大值为；③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④【难度】0.65 【知识点】求正切(型)函数的值域及最值、正弦定理判定三角形解的个数、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用定义求向量的数量积 【分析】利用正弦定理判断①；由余弦定理结合基本不等式可判断②；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断③；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断④. 【详解】对于①，由正弦定理得， 又，所以，角为唯一锐角，有一解，故①错误； 对于②，由余弦定理得：， 则，所以， 所以周长为，所以周长的最大值为，当且仅当时取到，故②正确； 对于③，， 因为，则的取值范围为， 所以的取值范围为，故③正确； 对于④，由正弦定理得，则，则， ， 因为， 所以 . 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值为，故④正确. 故答案为：②③④. 5．(2024高三·北京·专题练习)在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是 .(填写序号)①；②；③；④若上有一动点P，则最小值为. 【答案】①③【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】对①，将条件式切化弦，得，结合三角恒等变换和正弦定理求解判断；对②，由及余弦定理，结合基本不等式求解判断；对③，利用两角和的正切公式及，可得，结合基本不等式求解判断；对④，过作，要使的最小值，应在之间运动，可得，根据二次函数求值域，得解. 【详解】对于①，，则，即， ，即， 又，，由正弦定理得，，故①正确； 对②，由及余弦定理，可得，即， 由基本不等式知，，当且仅当，即时等号成立， ，故②错； 对于③，在锐角中，由，且，， 由基本不等式可得，，整理得，， 当且仅当时，等号成立，又由， ，  因为三角形是锐角三角形，所以与不能同时成立 即,故③正确； 对于④，过作，则， 又在之间运动时，与的夹角为锐角，在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又， 当时，取最小值为，故④错误. 故答案为：①③. 考点三 多边形及多三角形问题 题型1多边形及多三角形问题 1．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】(1)连接，在中，由余弦定理可解； (2)在中，由正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式可得最大值. 【详解】(1)连接，因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. (2)在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 2．(25-26高三上·河北保定·期中) 一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形( 如图1) 的面积为 ，内拿破仑三角形( 如图2) 的面积为，则 的最大值等于 .    【答案】【难度】0.15 【知识点】正弦定理、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据题目条件，结合等边三角形的性质、正弦定理、余弦定理求出外拿破仑三角形与内拿破仑三角形的边长，使用基本不等式求出的最大值. 【详解】根据题目条件可得， 在外拿破仑三角形中，， 等边三角形中心平分顶角 ，故 ， ，， 故， 在内拿破仑三角形中，， 同理， ，， ， ， ， 在中，， 即， 代入 ，得 ， ( 当且仅当 时取等号) ，代入上式得： ， ，， 代入 得： ， 综上， 的最大值为 . 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 B C A D B C A D B C A O B C A D E F O $学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题02解三角形 目录 01析考情精解…个 02构•知能框架； 2 03破题型攻坚… 2 考点一正余弦定理的应用 2 真题动向 必备知识 知识1正弦定理 题型1正余弦定理 题型2判断三角形形状 命题好预测 题型3面积周长、最值范围 题型4爪形三角形问题 考点二 解三角形与平面向量综合… …24 真题动向 必备知识 命题好预测 题型1解三角形与平面向量综合 考点三多角形问题… 29 真题动向 必备知识 命题预测 题型1多边形及多三角形问题 NO.1 析·考情精解 命题 北京卷近5年解三角形均以基础为主，主要考基本量运算，选择题、填空题、解答题 均有出现，解答题比较多。 轨迹 解答题中考基本量运算运算与最值问题，难度较低。 透视 2025年 2024年 2023年 考点 考点 正余弦定理的应用 北京T16解答题13分 北京T16解答题13分 北京T7选择题5分 频次 解三角形与平面向 总结 量综合 多三角形问题 2026 预计在2026年北京卷同样会考解答题，侧重正余弦定理的应用、面积、最值。难度 大概率比较简单。 命题 预测 第1页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 N0.2 构·知能框架 知识点1正弦定理 知识点2余弦定理 考点一正余 知识点3射影定理 题型1正余弦定理的应用 弦定理的应用 知识点4三角形面积公式 题型2判断三角形形状 题型3面积周长、最值范围 知识点5三角形内角和定理的应用 题型4爪形三角形问题 知识点6三角形中的不等关系 知识点7三角形中的三线两圆 专题2解三角形 考点二解三角形与平面向量综合 题型1解三角形与平而向量综合 考点三多边形及多三角形问题 题型1多边形与多三角形问题 NO.3 破·题型攻坚 考点一正余弦定理的应用 动 向 1.(2023年北京高考数学真题T7单选题5分)在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则 LC=() A.8 B.9 c.9 D. 6 【答案】B【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解 【详解】因为(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB), 所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2, 则d+b2-2=b,故cosc=-总-子又0<C<m,所以c-月 故选：B 2.(2025年高考北京卷数学真题T16解答题13分)在△ABC中，cosA=-,asinc=4√2. (I)求c的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC 边上的高. 条件O:Q=6:条件②：asinB=12,条件③：△ABC的面积为10V2. 【答案】(1)6：(2)答案见解析【难度】0.65 第2页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)由平方关系、正弦定理即可求解： (2)若选①，可得A,C都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得b,由余弦定理求得a,利用等面积法求 得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得b,再根据余弦定理可求得a,由此可说明三角形ABC存在， 且可由等面积法求解AD 【详解】(1)因为c0sA=-,A∈(0，m,所以sin4=V-cosA=22, 3 由正弦定理有asinc=csinA=2c=4V2,解得c=6: 3 (2)如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD, 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为cosA=-号<0，这表明此时三角形ABC有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在： 10W2 若选@，osinB-,由sasinC=4巨有票- 3 5 4W2=6 由正弦定理得=所以b=5, 所以由余弦定理得a=√b2+c2-2 bccosA= 25+36-2×5×6× =9, 此时三角形ABC是存在的，且唯一确定， 所以SaA8c=bcsinA=BCAD,即时x5x6×29=×9AD, 所以BC边上的高AD=202 9 若选③，△ABC的面积是10V2,则SA4Bc=bcsinA=b×6×2=10V2, 3 解得b=5,由余弦定理可得a=√b2+c2-2bcc0sA 25+36-256（-) =9可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得cOsB,cosC也可以唯一确定，即B,C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足：Sa4C=0:AD=AD=10V2.即AD-29 0 3.(2024年高考北京卷数学真题T16解答题13分)在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为☑，b,c,∠A为 钝角，a=7,n28=56cos8. 7 (1)求∠A;(2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为己知，使得△ABC存在，求△ABC的面 积.条什①：b=7:条件@：co8-贵：条件@：6sm4-6 2 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分. 第3页共30页 品学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【解折】0)油题意得28cs8-9ca8,因为A为钝角，则c0sB去0，则2aB点。 7 7 2 a 7 则simB3如Asi血4，解得mAsV3 ,因为A为钝角，则A=2 2 3 7 ②选择0b=7,则m8==吾7=号，因为4子，则B为锐角，则5=号此时4+B=元，不合题意， 1414 舍弃： 选择②o8吕，因为8为三角形内角，则sm8 13 33 114 ，则代入2鱼8=有6得25。，解得 7 14-7 b=3, 血c=au+如g+血行o2+eoe迪8号(}则 1 x7×3x5V515V5 1 S.ABC= 144 75 选择③9mA-5,则有c95,解得c=5,则由正弦定理得品。：即号品，解得mc- 2 14 因为C为三角形内角，则cosC=, 5v3 11 114=14 则sinB=sin(A+C)=sin 2x14气214=14 则a4 ac sin8=)×7x5x3W5-15g 2 144 4.(2022年高考北京卷数学真题T16解答题12分)在△ABC中，sin2C=√3sinC. (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求AABC的周长. 【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得CosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值： (2)利用三角形的面积公式可求得α的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得△ABC的周长. 【解】（①）因为C∈(0，π)，则sinC>0,由已知可得√3sinC=2 sin C cos C, 可得cosC=1 3 因此，C= 2 6 ②由三角形的面积公式可得S4c=)absinC=3a=6v5,解得a=45 2 2 由余弦定理可得c2=4+62-2b0sC=48+36-2x4N5×6x5=12,.C=2N5, 所以，△ABC的周长为a+b+c=6V3+6 5(2021年高考北京卷数学真题T16解答题12分)在△ABC中，c=2bc0sB,C= 第4页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (1)求∠B;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使△ABC存在且唯一确 定，求BC边上中线的长， 条件①：c=V2b;条件②：△ABC的周长为4+2W3:条件③：△ABC的面积为35， 4 【答案】(1)石：(2)答案不唯一，具体见解析：【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)由正弦定理化边为角即可求解： (2)若选择①：由正弦定理求解可得不存在： 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求： 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求 【详解】(1)~c=2 bcosB,则由正弦定理可得sinC=2 sinBcosB, n2B=sim号=要，C=号÷8c(o,)2Be(0,）2B=专解得B- (2若选择0：由正孩定舞结合1)可得=二一学-V3。与c=V2不屑，故这样的△AC不作在 若选择②：由(1)可得A=?,设△ABC的外接圆半径为R, 则由正弦定理可得a=b=2Rsin号=R,c=2Rsin号=V3R, 则周长a+b+c=2R+√3R=4+2V3,解得R=2,则a=2,c=23, 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： (2W3+12-2×2V3×1×c0s”=√7： 6 1 若选择③：由(1)可得A=名即a=b,则SAABC=absinC= 知2×9- ,解得a=V3, 2 4 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： b2+( -2xb××os号=√3++V×= 2 2 知识1正弦定理 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 1.正弦定理：品=品。=品=2R(QR为△M8C外接圆的直径 变形：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C.(边化角)： sim4=品sinB=品，sinC=京（角化）边： a:b:c=sinA sin B sin C. 知识2余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=d2+c2-2acco.s B, c2=a2+b2-2abcos C. 第5页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 推论：c0sA=b2+e2-a2 2bc, COSB=42+e2-b2 COS=a2+b2-c2 2ac 2ab 变形：b2+c2-2=2 bccos A, a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C 知识3射影定理 acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,ccosA+acosC=b; 推导：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB→c=acosB+bcosA,. 知识4三角形面积公式 (1)S=2ahh.是高)： (2)S=bcsinA=acsinB=absinC; (2)S=r(a+b+c)(为三角形内切圆半径). (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则S=x1y2-y3)+x2y3-y1)+x3y1-y2川 (④（不作要求）S==2R2 sinAsniBsinC(R为外接圆半径)： 4R s=Vpp-@)0-b)p-0(海伦公式，p=当 知识5三角形纳角和定理的应用 A+B+C=i; (1)sinC sin(A+B),cosC =-cos(A+B); 三角形中，一tanC=tan(A+B)三台tanA+tanB+tamC=tanA,tamB. (3)sincoscosin 2 (④在△4BC中，内角AB,C成等差数列B=号A+C=智 知识6三角形中的不等关系 (I)大边对大角大角对大边：B台心b台sinA>sinB台cos4<cosB (2)若△ABC为锐角三角形，则A+B>乏sind-cosB,,cosA<sinB,a2+b>c2. 若△ABC为钝角三角形（假如C为钝角），则A+B<2siA<cosB,coA>sinB. (3)c2=2+b2台C为直角： c2>2+b2台C为钝角： c2<2+b2台C为锐角. (4)a+b>c,b+c>a,c+a>b. (⑤)若x∈(0,2)，则sinx<x<tanx.若x∈(0,2)，则1<sinx+cosV2。 知识7三角形中的三线两圆 (1)中线：(a)中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍. 即：如图，在A4BC中，D为BC中点，则AB+4C:=1BC2+2AD. 第6页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (b)已知两边及其夹角也可表述为：4AD2=AB2+AC2+2AB,AC.cosA. ②)角平分线：角平分线定理：如图，在△4BC中，AD是∠BAC的平分线，则是-器 证法1： 在△ABD中，AB sin-ADB=sin2BAD'在AACD中， BD AC CD sinLADC CD 证法2： 该结论可以由两三角形面积之比得证，即4D=4盟=BD SAACD AC CD' ③高：4么，么分别为A45C边a么c上的商，则hh:=号品点品 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度· (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R=,a=b三 2sinA 2sinB 2sinC 外接圆半径与三角形面积的关系：SAB=c=(R为△4BC外接圆半径). 4R 0 B (⑤)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆.其圆心叫做三角形的内心. 内切圆半径与三角形面积的关系：S48c=,(a十b十c)(为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r. 2 【易错提醒】 ①解三角形时一定要清楚解的情况； ②一定要清楚是角的取值范围 测 题型1正余弦定理的应用 1.(25-26高三上·北京通州月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,2 acosC+2 ccosA=3a, 则a=() A.2 B.3 C. D.2 【答案】A【难度】0.85 第7页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理计算可得 【详解】由余弦定理可得2a2+2-c+2c2+2a2=3a,化简可得2b=3a, 2ab 2bc 因为b=3,所以a=2 故选：A 2.(25-26高三上·北京通州·期中)在锐角△ABC中，V3 bsinA+acosB=V2a,则∠B=() A.2 B.4 c.3 D. 【答案】A【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解 【详解】由正弦定理品=品=2R(R为△ABC外接圆半径)， 将b=2 RsinB,a=2 RsinA代入V3 bsinA+acosB=√2a, 得：√5,2 RsinB,sinA+2 RsinA·cosB=√2,2 RsinA, 因A∈(0，，故simA≠0，两边同除以2 RsinA,.得：V3sinB+cosB=V2, 将左边化为辅助角形式：V3sinB+cosB=2sin(B+), 因此：2sim(B+)=V2sim(B+月=号 因△ABC为锐角三角形，B∈(0，)故B+名c(怎)，所以B+营京B=音 故选：A 3.(25-26高三上·北京·月考)己知a、b、c是△ABC的三条边且a≤b≤c.设函数f(x)=a+b-c,则下列 结论中正确的是() A.对任意正数x,ax、b、cx能作为一个三角形的三条边 B.对任意x>1,a、bx、cx都不能作为一个直角三角形的三条边 C.当△ABC是钝角三角形时，f(x)有零点 D.存在x∈(0,1)，使得f(x)≤0 【答案】C【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、零点存在性定理的应用、比较指数幂的大小 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用余弦定理、三角形三边关系以及零点存在定理可判断C选项： 分a≤b=c、a≤b<c两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断D选项， 【详解】对于A选项，不妨取a=b=1,c=√2，x=2,则a2=b2=1,c2=2, 满足a2+b2=c2,此时a2、b2、c2不能作为一个三角形的三条边长，A错： 对于B选项，取a=b=1,c=2,x=2,则a2=b2=1,c2=V2 满足(a)+(b)=(c2),此时a2、b2、c2能作为一个直角三角形的三条边长，B错： 第8页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 对于C选项，若△ABC是钝角三角形，且a≤b≤c,则C为最大角，且C为钝角， 由余弦定理可得c0sC=+-c<0,故a2+b2-c2<0, 2ab 由三角形三边关系可得f(1)=a+b-c>0, 又因为f(2)=a2+b2-c2<0,且函数f(x)在R上连续 由零点存在定理可知，存在xo∈(1,2)，使得f(x)=0, 因此当△ABC是钝角三角形时，f(x)有零点，C对： 对于D选项，f)=a+b-c=c['+(份-， 若a≤b=c,则f(x)=a,对任意的xe(0,1),f(x)>0 若a≤b<c,则0<<1,0<是<1，令9)=（月+（月-1， 因为函数y=(目)、y=(（在(0,1)上均为减函数， 故函数g()=(日+(-1在(0,1)上为减函数， 因为9(0)=1>0，g(1)=+-1=+b>0, 所以对任意的xE(0,1),g(x)>0,则f(x)=c,g(x)>0,D错 故选：C 4.(25-26高三上北京·月考)在△ABC中，若a=7,b=8,cos(A+C)=,则∠A的大小为() A.9 B.胃 C. D. 【答案】B【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、诱导公式二、三、四 【分析】由诱导公式确定B,再由正弦定理即可求解 【详解】由cos(A+C)=子A+B+C=π 可得：csB=-cos(A+C)=-子B为钝角，所以sinB= 7 由正弦定理品=品可得：品=是，所以smA=县又B为纯角，所以A=号 78 29 故选：B 5.(25-26高三上·北京月考)在△ABC中，Q=4b=5,c0sC=专则-() A.是 B. C.6 4 D.} 【答案】A【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】先根据余弦定理求出c=6,再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，c2=a2+b2-2 abcosC=16+25-2×4×5×日=36，即c=6, 所以晋- 第9页共30页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 故选：A 6.(2425高三上·北京开学考试在△ABC中，若A=号c0sB=5BC=6,则4C=() A.4 B.4V2 C.3 D.43 3 【答案】A【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系式得sinB=, 3 再利用正弦定理计算即可 【详解】根据题意，cosB=,所以B∈(O,) 3 且sinB= 31 由正弦定理得兴一品即品 解得AC=4. 故选：A 7.(2025高三上北京·专题练习)在·ABC中，a=4,B=30°，请写出一个b的值是 ,使得满足 条件的三角形恰有两个 【答案】3（答案不唯一）【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】要使得满足条件的△ABC有两个，需结合三角形解的个数b<Q<品来分析。， 【详解】解：要使三角形有两个解，需满足要使三角形有两个解，需满足：b<a<品 代入a=4,sin30=0.5得，b<4<:所以，2<b<4 因此，b可以取3（也可取2到4之间的任意数） 故答案为：3（答案不唯一） 8.(25-26高三上·北京·月考)在△ABC中，2b=3c,∠B=2LC,则cosC= 【答案】0.75【难度】0.85 【知识点】正弦定理及辨析、二倍角的正弦公式 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得答案， 【详解】由正弦定理，点=点结合2b=3c,∠B=22C 呢-器-如c-2cosG-c0sC-号 sinc sinc 放答案为：是 9.(25-26高三上·北京·月考)在△ABC中，己知A=三，b=2,a=m,若△ABC存在且唯一，则m的一个整 数取值为一 【答案】2（答案不唯一，满足m∈{2,3，…即可）【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】法一，根据条件，数形结合，即可求解：法二，根据条件，利用正弦定理得sn8=,再结合 m 第10页共30页 专题02解三角形 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 正余弦定理的应用 2 真题动向 必备知识 知识1正弦定理 知识2余弦定理 知识3射影定理 知识4三角形面积公式 知识5三角形内角和定理的应用 知识6三角形中的不等关系 知识7三角形中的三线两圆 命题预测 题型1正余弦定理 题型2判断三角形形状 题型3面积周长、最值范围 题型4爪形三角形问题 考点二 解三角形与平面向量综合 12 真题动向 必备知识 命题预测 题型1解三角形与平面向量综合 考点三 多三角形问题 13 真题动向 必备知识 命题预测 题型1多边形及多三角形问题 命题轨迹透视 北京卷近5年解三角形均以基础为主，主要考基本量运算，选择题、填空题、解答题均有出现，解答题比较多。 解答题中考基本量运算运算与最值问题，难度较低。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 正余弦定理的应用 北京T16解答题13分 北京T16解答题13分 北京T7选择题5分 解三角形与平面向量综合 多三角形问题 2026命题预测 预计在2026年北京卷同样会考解答题，侧重正余弦定理的应用、面积、最值。难度大概率比较简单。 考点一 正余弦定理的应用 1．（2023年北京高考数学真题T7单选题5分）在中，，则( ) A． B． C． D． 2．（2025年高考北京卷数学真题T16解答题13分）在中，． (1)求c的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 3.（2024年高考北京卷数学真题T16解答题13分）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求；（2）从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4.（2022年高考北京卷数学真题T16解答题12分）在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 5.（2021年高考北京卷数学真题T16解答题12分）在中，，． （1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为； 知识1正弦定理 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 1.正弦定理： (2R为△ABC外接圆的直径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.(边化角)； sin A＝；(角化边)； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 知识2余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 知识3射影定理 推导：； 知识4三角形面积公式 (1)(ha是高)； (2)； (2)(r为三角形内切圆半径)． (3)若，，，则 (4)(不作要求)(R为外接圆半径)； (海伦公式，) 知识5三角形内角和定理的应用 (1); (2)斜三角形中， (3)； (4)在中，内角成等差数列． 知识6三角形中的不等关系 (1)大边对大角 大角对大边：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB． (2)若△ABC为锐角三角形，则，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2． 若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则，sinA<cosB，cosA>sinB． (3)c2＝a2＋b2⇔C为直角； c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为锐角． (4)a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b． (5)若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈， 则1＜sin x＋cos x≤． 知识7三角形中的三线两圆 (1)中线:()中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍． 即：如图，在中，为中点，则． (b)已知两边及其夹角也可表述为：． (2)角平分线:角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则． 证法1：　在中，，在中，，． 证法2：　该结论可以由两三角形面积之比得证，即; (3)高: 分别为边上的高，则:; 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心． 外接圆半径的计算：R＝＝＝． 外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)． 　　　　　 (5)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心． 内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r． 【易错提醒】　 ①解三角形时一定要清楚解的情况； ②一定要清楚是角的取值范围. 题型1正余弦定理的应用 1．(25-26高三上·北京通州·月考)在中，角的对边分别是，若，则 (    ) A．2 B．3 C． D． 2．(25-26高三上·北京通州·期中)在锐角中，，则(   ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·北京·月考)已知、、是的三条边且.设函数，则下列结论中正确的是(   ) A．对任意正数，、、能作为一个三角形的三条边 B．对任意，、、都不能作为一个直角三角形的三条边 C．当是钝角三角形时，有零点 D．存在，使得 4．(25-26高三上·北京·月考)在中，若，，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 5．(25-26高三上·北京·月考)在中，，则(   ) A． B． C． D． 6．(24-25高三上·北京·开学考试)在中，若，，，则(   ) A．4 B． C．3 D． 7．(2025高三上·北京·专题练习)在中，，，请写出一个的值是 ，使得满足条件的三角形恰有两个． 8．(25-26高三上·北京·月考)在中， ，，则 ． 9．(25-26高三上·北京·月考)在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为 ． 10．(2025·北京通州·一模)在中，已知，，.则 . 11．(2025·北京顺义·一模)在中，，，则 . 12．(24-25高三上·北京西城·期末)在中，若，，，则 . 13．(24-25高三上·北京·月考)在中，若，则角等于 . 14．(25-26高三上·北京·月考)在中，，． (1)求A；(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型2判断三角形形状 1．(25-26高三上·北京顺义·期中)在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为(    ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 2．(2025高三·北京·专题练习)在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为(    ). A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．(25-26高三上·北京·月考)在中内角、、所对边分别为、、，能说明“若，则是直角三角形”为假命题的一组、的值 ， . 4．(24-25高三上·北京海淀·期末)已知为等腰三角形，且，则 . 题型3面积周长、最值范围 1．(25-26高三上·北京海淀·期中)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则(    ) A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．(25-26高三上·北京·月考) 中，，则 的最大值为 . 3．(25-26高三上·北京丰台·期中)在中，，，，则的面积为 4．(25-26高三上·北京密云·月考)在中，，，，则 ，的面积为 ． 5．(25-26高三上·北京·开学考试)在中，，则的取值范围是 ． 6．(25-26高三上·北京·开学考试)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是 . 7．(2025·北京朝阳·二模)在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 8．(2025高三·北京·专题练习)已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为 ． 9．(24-25高三上·北京丰台·期末)在中，，. ①若，则 ； ②面积的最大值为 . 10．(25-26高三上·北京海淀·月考)在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 11．(25-26高三上·北京通州·月考)在中，，. (1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：求的面积. 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 12．(25-26高三上·北京东城·月考)在中，. (1)求角的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 13．(25-26高三上·北京朝阳·月考)在中，． (1)求；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 14．(25-26高三上·北京顺义·月考)在中，. (1)求；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型4爪形三角形问题 1．(2025·北京·三模)在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 2．(24-25高三上·北京房山·期末)在中，，，，则 ；若为边上一点，且，则 . 3．(2025高三上·北京·专题练习)已知△的面积为，． (1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：． 考点二 解三角形与平面向量综合   题型1解三角形与平面向量综合 1．( 25-26高三上·北京顺义·月考) 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为( ) A． B． C． D． 2．(25-26高三上·北京顺义·月考)在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·北京·月考)在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 4．(24-25高三下·北京顺义·月考)已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解；②周长的最大值为；③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是 ． 5．(2024高三·北京·专题练习)在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是 .(填写序号)①；②；③；④若上有一动点P，则最小值为. 考点三 多边形及多三角形问题 题型1多边形及多三角形问题 1．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 2．(25-26高三上·河北保定·期中) 一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形( 如图1) 的面积为 ，内拿破仑三角形( 如图2) 的面积为，则 的最大值等于 .    学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 B C A D B C A D B C A O B C A D E F O $学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题02解三角形 目录 01析考情精解…1 02构•知能框架 2 03破题型攻坚… 2 考点一正余弦定理的应用 2 真题动向 必备知识 知识1正弦定理 题型1正余弦定理 题型2判断三角形形状 命题好预测 题型3面积周长、最值范围 题型4爪形三角形问题 考点二 解三角形与平面向量综合… 12 真题动向 必备知识 命题好预测 题型1解三角形与平面向量综合 考点三多角形问题… 3 真题动向 必备知识 命题预测 题型1多边形及多三角形问题 NO.1 析·考情精解 命题 北京卷近5年解三角形均以基础为主，主要考基本量运算，选择题、填空题、解答题 均有出现，解答题比较多。 轨迹 解答题中考基本量运算运算与最值问题，难度较低。 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 正余弦定理的应用 北京T16解答题13分 北京T16解答题13分 北京T7选择题5分 频次 解三角形与平面向 总结 量综合 多三角形问题 2026 预计在2026年北京卷同样会考解答题，侧重正余弦定理的应用、面积、最值。难度 大概率比较简单。 命题 预测 第1页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 N0.2 构·知能框架 知识点1正弦定理 知识点2余弦定理 考点一正余 知识点3射影定理 题型1正余孩定理的应用 弦定理的应用 知识点4三角形面积公式 题型2判断三角形形状 题型3面积周长、最值范围 知识点5三角形内角和定理的应用 题型4爪形三角形问题 知识点6三角形中的不等关系 知识点7三角形中的三线两圆 专题2解三角形 考点二解三角形与平面向量综合 题型1解三角形与平而向量综合 考点三多边形及多三角形问题 题型1多边形与多三角形问题 NO.3 破·题型攻坚 考点一正余弦定理的应用 动 向 1.(2023年北京高考数学真题T7单选题5分)在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则 ∠C=() A.8 B.9 C. D. 6 2. (2025年高考北京卷数学真题T16解答题13分)在△ABC中，c0sA=-子，asinC=4V2. (I)求c的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC 边上的高. 条件D:Q=6;条件②：asinB=2,条件③：△ABC的面积为10V2. 第2页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 3.(2024年高考北京卷数学真题T16解答题13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,∠A为 钝角，a=7,m2B=56cosB. (1)求∠A;(2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为己知，使得△ABC存在，求△ABC的面 积。条件①：方=7：条件@：cosB-品条件@：c4-5. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分. 4.(2022年高考北京卷数学真题T16解答题12分)在△ABC中，sin2C=√3simC, (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长. 第3页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 5.(2021年高考北京卷数学真题T16解答题12分)在△ABC中，c=26c0sB,C=号 (1)求LB；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确 定，求BC边上中线的长 条件①：c=V2b:条件②：△ABC的周长为4+2V3:条件③：△ABC的面积为5 4 必 备 知 识 知识1正弦定理 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,R为△ABC外接圆半径，则 品=品。=品e=2R(2R为△1BC外接圆的直径倒)， 1正弦定理：。=b 变形：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c-2 Rsin C.(边化角)： sinA=0sinB=京sinC=京（角化边）： a b c=sin A sin B sin C. 知识2余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, b2=d+c2-2acco.s B, c2=a2+b2-2abcos C. 推论：c0sA-=b2+e2-a 2bc COsB=a2+e2-b2 2ac, COs=42+b2-c2 2ab 变形：b+c2-a2=2 bccos A, a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 知识3射影定理 acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,ccosA+acosC=b; 推导：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB→c=acosB+bcosA, 第4页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知识4三角形面积公式 (1S=a·h(h是高)： (2)S-besinA=acsinB=absinC; (2S=r(a+b+c)0为三角形内切圆半径). (3)若A(x1,y),B(x2,y2),C(x3,y),则S=x10y2-y3)+x20y3-y)+x0y1-y2I (④（不作要求）S==2R2 sinAsniBsinC(R为外接圆半径)： 4R S=Vpp-0-bp-可（海伦公式，p= 知识5三角形内角和定理的应用 A+B+C=it; (1)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B); ②斜三角形中，-tanC=ta(A+B)=e台amA+tmB+tamC=anA:tmB,tmC (3)sin=cos,co-sin 2 (④在AMBC中，内角AB,C成等差数列B=牙，A+C=答 知识6三角形中的不等关系 (I)大边对大角大角对大边：AB→心b台simA>sinB台cos4<cosB ()②若△ABC为锐角三角形，则A+B>2sin4cosB,cos4 <sinB,.+b2>c2. 若△ABC为钝角三角形（假如C为钝角），则A+B<sinA<cosB,cosA>sinB. (3)c2=a2+b2→C为直角： c2>2+b2→C为钝角： c2<a2+b2台C为锐角， (4)a+b>c,b+c>a,c+a>b. (⑤)若x∈(0，)，则sinx<x<tamx.若x∈(0，)，则1<simx+cosV2. 知识7三角形中的三线两圆 (1)中线：()中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍， 即：如图，在△4BC中，D为BC中点，则AB2+4AC:=号BC+2AD. 2 b)已知两边及其夹角也可表述为：4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.cosA. (2)角平分线：角平分线定理：如图，在△4BC中，AD是∠BAC的平分线，则AB=即 AC CD 第5页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 证法1： AB BD AC CD 在A1BD中，sn2ADB-n2BAD'在AMCD中，sinZADC=sn∠CAD 证法2： 该结论可以由两三角形面积之比得证，即MD=9=BD SAACD AC CD 3)高：4：h:分别为△1BC边ab,c上的高，则：h1:h2:h3=是=之立立 a'b'c sinA'sinB‘sinC 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度， (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R=, b 2sinA 2sinB 2sinC 外接圆半径与三角形面积的关系：S4c=bc=(R为△4BC外接圆半径)。 4R (⑤)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆.其圆心叫做三角形的内心. 内切圆半径与三角形面积的关系：Sc=1(a十b十c)(为△4BC内切圆半径)，并可由此计算，. 2 【易错提醒】 ①解三角形时一定要清楚解的情况： ②一定要清楚是角的取值范围 e00 题型1正余弦定理的应用 1.(25-26高三上·北京通州：月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,2 acosC+2 ccosA=3a, 则a=() A.2 B.3 C. D. 2.(25-26高三上·北京通州：期中)在锐角△ABC中，V3 bsinA+acosB=√2a,则∠B=() A. B. C.3 D. 12 3.(25-26高三上·北京·月考)己知a、b、c是△ABC的三条边且a≤b≤c.设函数f(x)=a+b-c,则下列 结论中正确的是() 第6页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.对任意正数x,ax、bx、cx能作为一个三角形的三条边 B.对任意x>1,a、bx、cx都不能作为一个直角三角形的三条边 C.当△ABC是钝角三角形时，f(x)有零点 D.存在x∈(0,1)，使得f(x)≤0 4.(25-26高三上北京月考)在△ABC中，若a=7,b=8,c0s(A+C)=,则LA的大小为() A. B.8 C. D.8 5.25-26高三上北京月考)在△ABC中，Q=4b=5,cosC=合则-() A.是 B. C.6 4 D.月 6.(24-25高三上北京·开学考试在△ABC中，若A=c0sB=5,BC=6,则AC=() A.4 B.4W2 C.3 D.43 3 7.(2025高三上北京·专题练习)在△ABC中，a=4,B=30°，请写出一个b的值是 ，使得满足 条件的三角形恰有两个. 8.(25-26高三上·北京·月考)在△ABC中，2b=3c,∠B=2LC,则c0sC= 9.(25-26高三上北京·月考)在△ABC中，已知A=5b=2,a=m,若△ABC存在且唯一，则m的一个整 数取值为一 10.2025北京通州一模)在△ABC中，已知Q=7,c=5,C=军则cos2A=一 11.(2025北京顺义一模)在△ABC中，2b=3C,LA=2LC,则cosC= 12.24-25高三上·北京西城期末)在△ABC中，若a=3,b=4,cosB=子则sinA= 13.24-25高三上·北京·月考)在△ABC中，若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则角A等于 14.25:26高三上北京月考)在△ABC中，a=2V7,bsin学些=-asinB。. (1)求A:(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求BC边上的高h. 条件①：b+c=8:条件@：cosC=得：条件国：b=4 第7页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 注：如果选择的条件不符合要求，第（②）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答 计分. 题型2判断三角形形状 1.(25-26高三上·北京顺义·期中)在△ABC中的角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=b,则三 角形ABC的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形 2.(2025高三·北京·专题练习)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ac=b2,设△ABC的面积 为S,若accosB=25s,则△ABC的形状为(). A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.(25-26高三上·北京·月考)在△ABC中内角A、B、C所对边分别为a、b、c,能说明“若acosA=bsinA,则 △ABC是直角三角形”为假命题的一组A、B的值A=一，B=: 4.(24-25高三上·北京海淀·期末)己知△ABC为等腰三角形，且sinA=2sinB,则cosB= 题型3面积周长、最值范围 1.(25-26高三上·北京海淀·期中)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种 方法称为三斜求积术，如果把这种方法写成公式，就是s=2a2-(), 其中a,b,c是三角形 的三边，S是三角形的面积.若b=V3,则() A.当ac=1时，S≤誓 B.当ac=2时，S≤ 4 第8页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 C.当ac=1时，S≥5 4 D.当ac=2时，S≥压 4 2.(25-26高三上·北京·月考)△ABC中，sinA+sinB≥2sinC,则C的最大值为一 3.(25-26高三上·北京丰台·期中)在△ABC中，∠B=60°，b=√7，a-c=2,则△ABC的面积为 4.(25-26高三上·北京密云·月考)在△ABC中，a=3V3,c=5,a=2 bsinA,则B=,△ABC的面积 为 5.(Q2526高三上北京开学考试在△A8C中，<C=。则的取值范围是 6.(25-26高三上·北京·开学考试)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2V3,b=3,则∠B 的最大值是 7.(2025北京朝阳·二模)在△ABC中，a+c=2√5，且tanB=2,则sinB= △ABC面积的最 大值为 8.(2025高三北京专题练习)已知在△ABC中，B=子，AC=V3,设kE[0,2],记AB+k·BC的最大值为 f(k),则f(k)的最小值为一： 9.(24-25高三上北京丰台期末)在△ABC中，A=?a=2. ①若B=石则b= ②△ABC面积的最大值为 10.25-26高三上北京海淀月考)在△4BC中，b2+c2-a2=5sS为△ABC的面积. (1)求LA: (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的周长. 条件①：cosB=吾条件②：esinc=4W3:条件@：4C边上的中线等于号 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答 计分. 第9页共14页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 11.(25-26高三上·北京通州·月考)在△ABC中，sinA=√2sinB,b=V2. (1)求a;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并解 决下面的问题：求△ABC的面积 条件①：c=4:条件②：b2-a2=c2-V2ac;条件③：acosB=bsinA 注：如果选择的条件不符合要求，不给分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 12.25-26高三上北京东城月考)在△ABC中，Q=V3c,A=牙 (1)求角C的大小： (2)在下列三个条件中选择一个作为己知，使△ABC存在且唯一确定，并求出AC边上的中线的长度， 条件①.△ABC的周长为4+2V3:条件②.a=2b:条件③.BC边上的高线长为1.注：如果选择的条件 不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 第10页共14页