专题06 平行线分线段成比例的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题06 平行线分线段成比例的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用比例的性质求解 类型二、由平行判断成比例的线段 类型三、由平行截线求相关线段的长 类型四、由平行截线求相关线段的比值 压轴专练 类型一、利用比例的性质求解 知识点总结 1.基本性质：若a:b = c:d（即=），则ad = bc（交叉相乘相等），反之若ad = bc且b、d≠0，则a:b = c:d，是比例变形的基础。 2.合分比性质：若=，则=）（合比）、=（分比），适用于含和差关系的比例问题。 解题技巧 1.设参数法：设比例系数k，如==k，则a = bk、c = dk，将多元问题转化为单参数计算，简化过程。 2.巧用变形：遇复杂比例式时，利用基本性质转化为等积式，或通过合分比性质消去常数项，聚焦未知量关系，快速建立等式求解。 例1．（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【变式1-1】已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【变式1-2】求值： (1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【变式1-3】已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 类型二、由平行判断成比例的线段 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。例如若l1∥ l2∥ l3，截直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则=。 2.三角形平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例，且截得的三角形与原三角形对应边成比例。 解题技巧 1.找截线与被截线：识别平行线组所截的两条直线，明确对应线段位置，避免比例项混淆。 2.构造辅助平行线：若图形中平行线不足，通过过关键点作平行线，将分散线段纳入比例关系中，转化为可直接应用定理的模型。 例2．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 类型三、由平行截线求相关线段的长 知识点总结 1. 平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例。若AB∥ CD∥ EF，截直线m、n于点A、C、E和B、D、F，则=。 2. 相似三角形判定与性质：平行于三角形一边的直线截另两边，形成的三角形与原三角形相似，对应边成比例，可通过相似比求线段长度。 解题技巧 1. 确定对应线段：根据平行线找准截得的对应线段，标记已知量与未知量，明确比例关系中的分子分母对应关系。 2. 列方程求解：设未知线段长为x，依据比例关系列方程，结合基本性质交叉相乘转化为整式方程计算，复杂图形可拆分简化。 例3．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【变式3-1】如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【变式3-2】如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【变式3-3】如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．    (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 类型四、由平行截线求相关线段的比值 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。例如直线l1∥ l2∥ l3截直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则=，可直接用于求线段比值。 2. 三角形相似的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似，对应边的比等于相似比，由此可推导线段间的比值关系。 解题技巧 1.标注线段对应关系：在图形中明确平行线截得的对应线段，用符号或颜色区分，避免比例项错位。 2.转化比例关系：遇复杂图形时，通过等量代换将所求比值转化为已知线段的比例，或利用合比、分比性质简化计算，快速得出结果。 例4．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【变式4-1】如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【变式4-2】如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【变式4-3】如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 一、单选题 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是一个三层折叠花架，已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，则=（   ） A．1 B． C． D． 5．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 二、填空题 6．已知则的值为 ． 7．若，则 ． 8．如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ． 9．若，，则= ． 10．如图，在中，D为边上一点，E为线段上一点，延长交于点F．若，则 ．    三、解答题 11．如图，，E，F分别在上，且，若，，求线段的长． 12．已知，且． (1)求的值． (2)若，求的值． 13．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1) ________； (2)求的长． 14．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 15．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 16．阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 17．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 18．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平行线分线段成比例的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用比例的性质求解 类型二、由平行判断成比例的线段 类型三、由平行截线求相关线段的长 类型四、由平行截线求相关线段的比值 压轴专练 类型一、利用比例的性质求解 知识点总结 1.基本性质：若a:b = c:d（即=），则ad = bc（交叉相乘相等），反之若ad = bc且b、d≠0，则a:b = c:d，是比例变形的基础。 2.合分比性质：若=，则=）（合比）、=（分比），适用于含和差关系的比例问题。 解题技巧 1.设参数法：设比例系数k，如==k，则a = bk、c = dk，将多元问题转化为单参数计算，简化过程。 2.巧用变形：遇复杂比例式时，利用基本性质转化为等积式，或通过合分比性质消去常数项，聚焦未知量关系，快速建立等式求解。 例1．（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【答案】（1）；（2）1或 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，k的值为1或． 【变式1-1】已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键． （1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果； （2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长． 【详解】（1）解：由已知条件知： ， 设，则， （2）由（1）设，则， ， 得 ，，． 【变式1-2】求值： (1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． （1）先由，可设，进而代入待求式中计算即可； （2）先由，且，得，再代入所求的式子中计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴ ； （2）解：∵，且， ∴, ∴ ． 【变式1-3】已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 类型二、由平行判断成比例的线段 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。例如若l1∥ l2∥ l3，截直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则=。 2.三角形平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例，且截得的三角形与原三角形对应边成比例。 解题技巧 1.找截线与被截线：识别平行线组所截的两条直线，明确对应线段位置，避免比例项混淆。 2.构造辅助平行线：若图形中平行线不足，通过过关键点作平行线，将分散线段纳入比例关系中，转化为可直接应用定理的模型。 例2．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 【变式2-2】如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 类型三、由平行截线求相关线段的长 知识点总结 1. 平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例。若AB∥ CD∥ EF，截直线m、n于点A、C、E和B、D、F，则=。 2. 相似三角形判定与性质：平行于三角形一边的直线截另两边，形成的三角形与原三角形相似，对应边成比例，可通过相似比求线段长度。 解题技巧 1. 确定对应线段：根据平行线找准截得的对应线段，标记已知量与未知量，明确比例关系中的分子分母对应关系。 2. 列方程求解：设未知线段长为x，依据比例关系列方程，结合基本性质交叉相乘转化为整式方程计算，复杂图形可拆分简化。 例3．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6． 【变式3-1】如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【答案】, 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【变式3-3】如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．    (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 类型四、由平行截线求相关线段的比值 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。例如直线l1∥ l2∥ l3截直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则=，可直接用于求线段比值。 2. 三角形相似的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似，对应边的比等于相似比，由此可推导线段间的比值关系。 解题技巧 1.标注线段对应关系：在图形中明确平行线截得的对应线段，用符号或颜色区分，避免比例项错位。 2.转化比例关系：遇复杂图形时，通过等量代换将所求比值转化为已知线段的比例，或利用合比、分比性质简化计算，快速得出结果。 例4．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式4-1】如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． 一、单选题 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 3．如图，是一个三层折叠花架，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 4．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，则=（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应线段列出比例式是解题的关键．由，，不妨设，，，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可得解． 【详解】解：由，，不妨设，，， 故选：C． 5．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题 6．已知则的值为 ． 【答案】 【分析】根据比例的基本性质：通过交叉相乘将比例式转化为等式，进而得到两个未知数之间的关系． 代入目标分式通过合并同类项、约分等步骤化简分式，最终求出结果． 【详解】解：∵，根据交叉相乘相等的原则， 整理得：，即， 将代入进行计算，得到： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的知识点是分式的化简与比例的应用，关键是利用比例关系建立未知数之间的联系，再通过代入法简化分式计算，体现了“消元”的思想． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用合比性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理，可知，则的长可求． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 9．若，，则= ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得，，，代入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ 故答案为：2． 10．如图，在中，D为边上一点，E为线段上一点，延长交于点F．若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握作出辅助线是解题的关键．过点C作交的延长线于点G，根据平行线分线段成比例得到，根据得出，等量代换即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，    则 ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 三、解答题 11．如图，，E，F分别在上，且，若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 12．已知，且． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)2.5 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，代入所求式子计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 13．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1) ________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例定理求出，然后根据比的性质求解即可； （2）根据（1）中结论并结合已知求出，然后平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）因为 所以， 又因为， 所以 所以； 故答案为：； （2）解：因为 所以 因为， 所以， 又因为 所以 14．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 15．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 16．阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得，结合是的中点，可得，根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ∵AD平分， ∴， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， 17．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，，， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$