专题02 一元二次方程全章15种题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题02 一元二次方程 题型1 直接开平方法 题型9 确定字母的取值或范围 题型2 配方法 题型10 根与系数关系的综合应用（重点） 题型3 因式分解法（重点） 题型11 图形问题 题型4公式法 题型12 营销问题（难点） 题型5 用适当的方法解方程（常考点） 题型13 传播问题（重点） 题型6 解分式方程 题型14 动点问题（重点） 题型7 换元法（难点） 题型15 配方法第的应用 题型8 判断一元二次方程根的情况（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直接开平方（共3小题） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ． （2） ， ， 或， ． 2．（25-26九年级上·河南安阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法）并能根据具体情况选用适当的方法求解是解题的关键． （1）对方程左边的多项式进行因式分解，即可求解． （2）将方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得． （2） 两边直接开平方，得或 解得． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用利用直接开平方法求解即可； （2）利用利用直接开平方法求解即可； （3）利用利用直接开平方法求解即可； （4）利用利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ，． 题型二 配方法（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）首先按照移项、二次项系数化为1的步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案； （2）将方程等号右边部分移动到左侧，再提公因式可得，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， 或 ∴，． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用配方法求解即可． 【详解】解：， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 3．（22-23九年级下·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 题型三 因式分解法（共3小题） 1．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，正确对多项式分解因式是关键； （1）直接利用因式分解求解即可； （2）先移项，再提取公因式即可求解； 【详解】（1）解：， ， 即或， ∴； （2）解：， ， ， 即或， ∴． 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和整体思想是解题关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）移项后，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， 解得，，； （2）解：， 移项得，， 因式分解得，， 解得，，． 3．（24-25九年级上·云南大理·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． （1）采用因式分解法解方程即可； （2）采用十字相乘法解方程即可； 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： 解得：，． 题型四 公式法（共3小题） 1．（22-23九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， ，，， ， ∴， ∴， ． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择恰当的解法是解题的关键．先求出，再由求根公式，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 故，． 3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 题型五 用适当的方法解方程（共3小题） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用提公因式法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 或． （2）， ，，， ， ， 或． 3．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，； （2）解： ， 或， 得，． 题型六 解分式方程（共1小题） 1．（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． 解法，去分母化成整式方程，解整式方程，检验，即得；解法２，令，原方程可化为，求出t值，代回得x的分式方程，解x的分式方程，检验，即可． 【详解】解法：去分母，得 化简，得 ， 整理，得 解得 经检验，，是原方程的解． ∴原方程的解为，． 解法：令，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，和是原方程的解． ∴原方程的解为，． 题型七 换元法（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设， 则原方程可化为，① 解得，． 当时，，∴即． 当时，，∴即． ∴原方程的解为，，，． 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想． (2)解方程 【答案】(1)转化 (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解方程，解题关键是理解并掌握整体换元法解方程，即把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题，即可获得答案； （2）设，将原方程可化为，解之可得的值，再进一步解关于的方程可得答案． 【详解】（1）解：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化； （2）设，则原方程可化为， 解得，（不合题意，舍去）， 由可得，， 故方程的解是，． 2．（25-26九年级上·江西抚州·月考）请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程等知识，理解“换元法”是解题关键，注意分式方程要进行检验．设得到，解得或，再分别代入，解方程，检验即可求解． 【详解】解：． 设 则， 解得或， 当时，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验，是分式方程的解， 原分式方程的解是，． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）先换元，再求出的值，最后求出答案即可； （2）先换元，再求出的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 题型八 判断一元二次方程根的情况（共3小题） 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了判断一元二次方程根的情况，通过计算判别式的值来判断根的情况即可得出答案． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程 的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 题型九 确定字母的取值或范围（共3小题） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程与根的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：． 2．（24-25九年级上·天津·期末）（1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根是解本题的关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式证明即可 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， ∴或 ∴，； （2）证明：由题意可知， ∵， ∴，即， ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，解答的关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出一元二次方程根的判别式，根据偶次方的非负性证明； （2）将已知的方程的根代入方程，求出m的值，然后再解方程求另一个根． 【详解】（1）证明：∵，所以该方程是一元二次方程． 又 ， ∵， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的一个根是， ∴， 解得：， 方程即为， 解得：， 方程的另一个根是． 题型十 根与系数关系的综合应用（共3小题） 1．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查含参方程的根的个数以及一元二次方程根与系数的关系，注意判别方程的形式是解题的关键． （1）由于题干未明确方程形式，故对与进行分类讨论，要使方程有根，一次方程满足题意要求，二次方程需满足，计算得出的取值范围即可； （2）既然方程有两个根，即为二次方程，故根据二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； （2）解：∵和是方程有两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为 (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意原方程有两个实数根，则，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意， ∴． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟悉解一元二次方程的方法，根的判别式以及根与系数的关系． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）①由，则方程有两个相等的实根，则，根据求解即可； ②根据根与系数的关系，代入求解即可． 【详解】（1）， ， ， 所以． （2）①由题知，方程有两个相同的实数根， 所以， 解得； ②由根与系数的关系，， ， ， 即， 解得或， 当时，方程为，，符合题意； 当时，方程为，，不符合题意， 故． 题型十一 与几何图形的综合应用（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明有一根长为的铁丝，请按要求完成以下问题： (1)如图1，如果以这根铁丝的长为周长做成一个正方形，面积是______； (2)如图2，如果把这根铁丝平均分成2段，分别做成正方形，这两个正方形的面积之和是______； (3)如图3，如果把这根铁丝分成2段，分别做成正方形，要使这两个正方形的面积之和等于，这两个正方形的边长分别是多少？ (4)他是否能够把这根铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，并且使它们的面积之和是？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)和 (4)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的面积，列一元二次方程解决几何问题，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的应用和求解． （1）求出边长，然后利用正方形的面积公式求解即可； （2）求出边长，然后利用正方形的面积公式求解即可； （3）设这两个正方形的边长分别是和，根据面积之和列出一元二次方程，然后求解即可； （4）设这段铁丝被剪成两段后，围成的两个正方形边长分别是和cm，根据面积之和列出一元二次方程，然后利用根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据铁丝的长度可得正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：64； （2）解：每个正方形的边长为， 则两个正方形的面积之和为 故答案为：32； （3）解：设这两个正方形的边长分别是和，根据题意得： ， 解这个方程得：， 答：这两个正方形的边长分别是和； （4）解：不能，理由如下： 设这段铁丝被剪成两段后，围成的两个正方形边长分别是和cm，根据题意得： ， ， ， ∴此方程没有实数根， ∴这根铁丝剪成两段后不能围成面积是两个正方形． 2．（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 【答案】长方形的长取15米，宽取10米． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设长方形的长为米，根据木板材料的长度，表示出宽的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，则每个长用的木板材料为米，每个宽用的木板材料为米， ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为或； (3)羊的活动范围的面积不能为．理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； （3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 题型十二 营销问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）已知甲商品的进价为每件元，商场确定其售价为每件元． (1)现需进行降价促销活动，预备从原来的每件元进行两次调价，已知该商品的现价为每件元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售件，已知当甲商品的售价为每件元时，每月可销售件，若该商场希望该商品每月能盈利元，且尽可能增加销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】(1) (2)在原售价的基础上，再降低元 【分析】考查一元二次方程的应用．解题的关键是掌握：求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，销售利润问题：每件商品的利润×销售的数量=总利润． （1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解． （2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是，依题意得： ， 解得：，舍去； 故这个降价率为； （2）解：设降价元，则多销售件， 根据题意得 解得：（舍去）或， 答：在原售价的基础上，再降低元． 2．（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加_______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价10元或20元 (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见详解 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每件衣服降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每件服装降价10元或20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解， 即不可能每天盈利1800元． 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽 车的售价为万元 题型十三 传播问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出一元二次方程是关键； 设每一轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总感染人数为144，建立方程，求解得到． 【详解】解：设每一轮传染后平均一个人传染x人． 最初有1人感染，第一轮传染后感染总人数为，第二轮传染后感染总人数为． 由题意，， 即， 解得：（舍去）， 所以． 答：每一轮传染后平均一个人会传染了11个人． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 题型十四 动点问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 2．（21-22九年级上·内蒙古通辽·期末）已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于 (2)点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）设x秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可； （2）设y秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设x秒后，的面积等于， 由题意得，， ∴， 解得或； 答：点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于． （2）解：设y秒后，的长度等于， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 题型十五 配方法的应用（共3小题） 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 2．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 3．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3）， ， ， 当时，代数式有最大值． $专题02 一元二次方程 题型1 直接开平方法 题型9 确定字母的取值或范围 题型2 配方法 题型10 根与系数关系的综合应用（重点） 题型3 因式分解法（重点） 题型11 图形问题 题型4公式法 题型12 营销问题（难点） 题型5 用适当的方法解方程（常考点） 题型13 传播问题（重点） 题型6 解分式方程 题型14 动点问题（重点） 题型7 换元法（难点） 题型15 配方法第的应用 题型8 判断一元二次方程根的情况（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直接开平方（共3小题） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·河南安阳·期末）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 配方法（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 3．（22-23九年级下·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 题型三 因式分解法（共3小题） 1．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2) 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·云南大理·期末）解方程： (1)； (2)． 题型四 公式法（共3小题） 1．（22-23九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）解方程： (1) (2) 题型五 用适当的方法解方程（共3小题） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）解方程． (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）解方程： (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）解方程： (1)； (2)． 题型六 解分式方程（共1小题） 1．（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 题型七 换元法（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设， 则原方程可化为，① 解得，． 当时，，∴即． 当时，，∴即． ∴原方程的解为，，，． 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想． (2)解方程 2．（25-26九年级上·江西抚州·月考）请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 题型八 判断一元二次方程根的情况（共3小题） 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程 的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 题型九 确定字母的取值或范围（共3小题） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 2．（24-25九年级上·天津·期末）（1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 题型十 根与系数关系的综合应用（共3小题） 1．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为 (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 题型十一 与几何图形的综合应用（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明有一根长为的铁丝，请按要求完成以下问题： (1)如图1，如果以这根铁丝的长为周长做成一个正方形，面积是______； (2)如图2，如果把这根铁丝平均分成2段，分别做成正方形，这两个正方形的面积之和是______； (3)如图3，如果把这根铁丝分成2段，分别做成正方形，要使这两个正方形的面积之和等于，这两个正方形的边长分别是多少？ (4)他是否能够把这根铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，并且使它们的面积之和是？请说明理由． 2．（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 题型十二 营销问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）已知甲商品的进价为每件元，商场确定其售价为每件元． (1)现需进行降价促销活动，预备从原来的每件元进行两次调价，已知该商品的现价为每件元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售件，已知当甲商品的售价为每件元时，每月可销售件，若该商场希望该商品每月能盈利元，且尽可能增加销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 2．（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加_______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 答：下调后每辆汽 车的售价为万元 题型十三 传播问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 题型十四 动点问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 2．（21-22九年级上·内蒙古通辽·期末）已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型十五 配方法的应用（共3小题） 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 2．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 3．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． $