专题05 二次函数全章20种题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期华东师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数 题型归纳·内容导航 题型1二次函数概念 题型11图形问题 题型2二次函数图像与性质（重点） 题型12拱桥问题（重点） 题型3二次函数图像与系数的关系（常考点） 题型13销售问题（重点） 题型4一次函数与二次函数综合判断 题型14投球问题 题型5反比例函数与二次函数的综合判断 题型15喷水问题 题型6根据对称性求函数值 题型16线段周长问题 题型7二次函数平移 题型17面积问题（常考点） 题型8二次函数与坐标轴的交点问题 题型18特殊三角形问题 题型9二次函数与不等式的关系（常考点） 题型19特殊四边形问题 题型10待定系数法求解析式 题型20相似三角形问题 题型通关·靶向提分 题型一二次函数概念（共3小题） 1.(24-25九年级上河南周口·期末)若关于x的函数y=2xm+1-x+1是二次函数，则m的值为() A.2 B.1 C.0 D.3 2.(24-25九年级上陕西西安期末)若关于x的函数y=(m+2)xm-2+x-3是二次函数，则m的值为() A.0 B.2 C.-2或2 D.-2 3.(24-25九年级上四川凉山期末)当二次函数的解析式为y=(a-1)x1+2x+3时，a的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 题型二二次函数图像与性质（共10小题） 1.(23-24九年级上广西梧州期末)如图，是二次函数=mx2,y2=nx2的图象，则m与的关系是() 1/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 yA VI=mx2 /2=x A.m>n B.m<n C.m=n D.m+n=0 2.(23-24九年级上河南安阳期末)下列抛物线中，对称轴为直线x=)的是〈) A-- c=+ o.=(+- 3.(24-25九年级上江苏南通期末)如图，矩形ABCD中，E为AB中点，连接CE,点F为点B关于CE 的对称点，差接4F,BF,an∠BMF=手设4B=x,△ABF的面积为y,则y与的函数图象大致为() D 12 6 6 4.(24-25九年级上甘肃临夏·期末)己知点A(1,y),B(2y2,C(-3,y3)都在函数y=-2x2+4的图象上， 则y,2,y3的大小关系是() A.y1>y2>3B.2>y3>月 C.3>y2> D.y1>y3>y2 5.(25-26九年级上江苏泰州·月考)对于抛物线y=-2x2+4,下列结论正确的是() A.该函数图象开口向上： B.当x>0时，y随x的增大而减小； C.当x=0时，取得最小值y=4; D.当-2<x≤1时，y的取值范围是-4<y≤2 6.(24-25九年级上陕西西安期末)抛物线y=-2(x-3)的顶点坐标为() A.（3,0 B.(0,3 C.(0,-3 D.（-3,0 7.(22-23九年级上山西吕梁期中)将抛物线y=(x-3)2-4先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后， 2/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 得到抛物线的解析式是() A B.y=(x-12-3 C.y=(x-2-2 D.y=(x-4)2-2 8.(24-25九年级上河北张家口.期末)下列关于二次函数y=(x-3)2-4的说法正确的是（) A,图象是一条开口向下的抛物线 B.顶点坐标是(-3，-4】 C.函数图象与y轴交于正半轴 D.y有最大值，最大值为-4 9.(24-25九年级上河北张家口期末)如图，己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点 A-3,0),B(1,0);则下列结论错误的是() A A.abc<0 B.若点(-4，y), 在抛物线上，则以<y2 C.b2-4ac>0 D.对任意实数m,am2+bm≥a-b均成立 10.(25-26九年级上湖北期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,部分图 象如图所示，下列结论中：①a=b:②5a+c>0:③若t为任意实数，则有a-bt≤ar2+b:④点(1,2)在 抛物线上时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为，x,x<x2),则x1+2x2=-1,其中正确的结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三二次函数图像与系数的关系（共3小题） 1.(25-26九年级上河南安阳期末)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是() A.abcx0,a+b+c> B.abc<0,a+b+c< C.abe x0,a+b+c< D.abe<0,a+b+c>0 2.(2019四川乐山二模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为-2，-9a,下 列结论：①abc<0;②4a+2b+c>0;③5a-b+c=0;④若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x和：2，且 x<x2,则-5<x<x,<1;⑤若方程ax2+bx+c=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论有 () V A.①②③④ B.①②③⑤ C.②③④⑤ D.①②④⑤ 3(2022-四川遂宁.一模)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①2a-b=0 ;②abc>0:③4ac-b2<0;④9a+3b+c<0;⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的 实数根；⑥8a+c<0,其中正确的个数是() 4/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 题型四一次函数与二次函数综合判断（共3小题） 1.(25-26九年级上浙江杭州·月考)在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+aa<0)的图像的大致位置 可能是() 2. (20-21九年级上山东菏泽.期末)一次函数y=+b与反比例函数y=C的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx+c的大致图象是() 3.(24-25九年级下.山东潍坊期末)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数 y=口与一次函数y=cx-b在同一平面直角坐标系内的图象可能是() 5/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五反比例函数与二次函数的综合判断（共3小题） 1.(23-24九年级上江西宜春期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数 y=C与一次函数y=+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是() 2.(24-25九年级上广东江门期末)己知在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx和反比例函数 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=C的图象如图所示，则一次函数y=二x+b的图象所经过的象限是() A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限 3.(24-25九年级上辽宁盘锦期末)二次函数y=r2+br和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的 大致图像可能是() 冬 题型六根据对称性求函数值（共3小题） 1.(2024四川凉山模拟预测)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的 说法错误的是（) A.对称轴是直线x=-2 B.抛物线开口向下 C.当x>-2时，y随x的增大而减小 D.当x=-4时，y=-11 7/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上黑龙江齐齐哈尔.期中)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,3)， (x,0),其中，2<x<3,对称轴为x=1,则下列结论：①2a-b=0;②m(am+b≤a+b(m为任意实数)； ③方程ax2+bx+c-3=0的两根为x'=0,x'=2;④a-b+c<0.其中正确的有() (0,3 x=1 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.(24-25九年级上广东珠海·期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的 一个交点坐标为-1,0)；其部分图象如图所示，下列结论不正确的是() A.4ac<b2 B.当y>0时，x的取值范围是-1<x<3 C.2a+b=0 D.若(2，乃)，(-32)是抛物线上两点，则片< 题型士二次函数平移（共3小题） 1.(25-26九年级上北京·期末)将抛物线y=-3x2平移，得到抛物线y=-3x-1)2-2,下列平移方式中， 正确的是（) A.向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B.向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C.向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D.向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 2.(25-26九年级上·安徽合肥期末)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2向右平移2个单位后的解析式 8/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为() A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.y=x2+4x+4 D.y=x2-4x+4 3。(2324九年级上：内数古兴安盟：期末)将抛物线y+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单 位长度，得到的抛物线的解析式为() A=x+-2 0.y c=x4-3 1 D.y=-2 题型八二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 1.(2025陕西西安模拟预测)在平面直角坐标系中，当二次函数y=x2+(c-3x-8图象的顶点到x轴的 距离最小时，该二次函数图象与x轴两交点之间的距离为() A.4 B.8 C.2√2 D.4N2 2.(23-24九年级上江苏南京·期末)已知二次函数卫=x2-6x+8,则下列说法错误的是(） A.图象与y轴的交点坐标是0,8) B.图象的顶点坐标是(3，) C.图象与x轴的交点坐标是(2,0)，(4,0)D.当x<3时，y随x增大而减小 3.（25-26九年级上江苏南京·月考)函数y=(m-2)x2+2x+1的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取 值范围是() A.m≤3 B.m≥3 C.m≤3且m≠2D.m<3 题型九二次函数与不等式的关系（共3小题） 1.(14-15九年级上江苏盐城期末)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值 范围是() A.-1<x<4B.-1<x<3 C.x<-1或x>4D.x<-1或x>3 9/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(21-22九年级上·山东济南期末)新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若 二次函数y=x2-x+c（c为常数)在-2<x<4的图像上存在两个二倍点，则C的取值范围是() A.-2<C<4 1 B.4<c<4 9 c.4<c<4 1 0.-10<c<9 3.(24-25九年级上·湖北武汉，期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，点 (2.0)在该函数图象上，其对称维为直线x=则当y>0时，自变量的取值范围正碗的是（) A.-2<x<0B.x<-2或x>1 C.x<1 D.-2<x<1 题型十待定系数法求解析式（共3小题） 1.(25-26九年级上天津月考)已知抛物线经过点A-1,0)和B(3,0)及y轴正半轴一点C,且0C=0B. (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线BC解析式. 2.(25-26九年级上江西赣州期中)已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3) y B (1)求抛物线的解析式： (2)当2≤x≤5时，求函数的最小值 3.(23-24九年级上内蒙古乌海期末)已知抛物线y=-x2+bx+c与直线y=4x+m相交于第一象限内不 10/22专题05 二次函数 题型1 二次函数概念 题型11 图形问题 题型2 二次函数图像与性质（重点） 题型12拱桥问题（重点） 题型3 二次函数图像与系数的关系（常考点） 题型13 销售问题（重点） 题型4 一次函数与二次函数综合判断 题型14 投球问题 题型5 反比例函数与二次函数的综合判断 题型15 喷水问题 题型6 根据对称性求函数值 题型16 线段周长问题 题型7 二次函数平移 题型17 面积问题（常考点） 题型8 二次函数与坐标轴的交点问题 题型18 特殊三角形问题 题型9 二次函数与不等式的关系（常考点） 题型19 特殊四边形问题 题型10 待定系数法求解析式 题型20 相似三角形问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数概念（共3小题） 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·四川凉山·期末）当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不等于零是解题的关键． 先根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴且，解得：． 故选C． 题型二 二次函数图像与性质（共10小题） 1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形中，为中点，连接．点为点关于的对称点，连接，，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，根据对称性，得到垂直平分，进而得到为的中位线，得到，解，求出，利用面积公式求出关于的表达式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点， ∵点为点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴设， 则：， ∴， ∴， ∴，当时，， ∴与的函数图象大致为： 故选D． 【点睛】本题考查对称的性质，中垂线，三角形的中位线定理，解直角三角形，二次函数的图象等知识点，解题的关键是得到为的中位线． 4．（24-25九年级上·甘肃临夏·期末）已知点，，都在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过直接计算函数值、、，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：对于函数， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标为，掌握顶点坐标是解答本题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 7．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律． 由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为， 平移后解析式为， 故选：C． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 9．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 10．（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 题型三 二次函数图像与系数的关系（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数各项系数对图像的影响是解题的关键． 根据二次函数图像的开口方向，对称轴位置，与y轴交点，以及时的函数值，判断的符号和的符号． 【详解】解：函数开口向下， ， 函数对称轴为直线， ， 函数图像与y轴交于负半轴， 当时，， ， 根据图像可知当时，． 故选：C． 2．（2019·四川乐山·二模）二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键． 根据开口方向及顶点坐标求出，，可求得①②③，根据图像和韦达定理即可判断④⑤． 【详解】解：顶点坐标为， ， ，， 抛物线的开口向上， ， ，， ，故①正确； 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，，故②正确； ，， ，故③错误； 方程有两个根和， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ，故④正确； 方程有四个根， 方程有2个根，方程有2个根， 这四个根的和为，故⑤正确， 综上可知，正确的有①②④⑤， 故选：D． 3（2022·四川遂宁·一模）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的对称轴是可得解答①；再分别判断a，b，c的值，即可解答②；然后根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，判断③；再根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，解答④；接下来根据二次函数的图象与有一个交点，解答⑤；对于⑥，先根据当时，，可得，最后结合，可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是 ∴， 即． 所以①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴是， ∴； ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴， 所以②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 所以③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 所以时，，即， 所以④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴⑥不正确． 所以正确的有4个． 故选：C． 题型四 一次函数与二次函数综合判断（共3小题） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a的符号判断一次函数与二次函数的图像所经过的象限，然后作出选择即可； 本题考查了一次函数和二次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数的系数与图像的关系是解题的关键． 【详解】解：当，二次函数的图像的开口方向是向上；一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当，二次函数的图像的开口方向是向下；一次函数的图像经过第二、三、四象限； 只有选项B符合条件， 故选：B． 2．（20-21九年级上·山东菏泽·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 3．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 题型五 反比例函数与二次函数的综合判断（共3小题） 1．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，于轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过二、三、四象限， 故选：B． 3．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键． 可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解． 【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； 故选：D． 题型六 根据对称性求函数值（共3小题） 1．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答C，最后根据对称性说明D即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下， 当时，y随着x的增大而减小， 当时，与时的函数值相等，即． 故选：D． 2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，其中，，对称轴为，则下列结论：①；②（为任意实数）；③方程的两根为，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称轴、函数值、方程的根以及函数图象与系数的关系．解题的关键是熟知二次函数的对称轴公式、函数图象的性质以及方程的根与函数图象的关系． 对于①根据对称轴公式为，以及对称轴为，即可得出结论； 对于②根据对称轴为，函数图象开口向下，所以当时，二次函数取得最大值，对任意实数，有，可得，将该不等式进行变形，即可得出结论； 对于③方程的根就是二次函数与直线交点的横坐标，因为二次函数过点，结合对称轴为，可得该二次函数过另一点，由此得出结论； 对于④根据二次函数的图象经过点，所以，又因为对称轴为，且图象经过点，，可得，结合图象，即可得出结论． 【详解】对于二次函数，其对称轴公式为，已知对称轴为，则，变形可得，故①错误； 因为对称轴为，函数图象开口向下，所以当时，二次函数取得最大值，最大值为，对于任意实数，，则，两边同时减去，得到，故②正确； 方程的根就是二次函数与直线交点的横坐标，因为二次函数过点，且对称轴为，所以另一个交点的横坐标为，即方程的两根为，，所以③正确； 已知二次函数的图象经过点，所以，又因为对称轴为，且图象经过点，，根据二次函数图象的对称性，与轴的另一个交点的横坐标满足，，由，可得，那么，因为，所以，结合图象，当时，，所以④正确． 综上所述，②③④正确，正确的结论有个． 故选：． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为；其部分图象如图所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．当时，x的取值范围是 C． D．若是抛物线上两点，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．利用抛物线与x轴的交点个数可对A进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对B进行判断；由对称轴方程得到可对C进行判断；根据图象并结合选项B对D进行判断． 【详解】解：A、∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，故结论正确； B、∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故结论正确； C、∵， ∴， 故结论正确； D、根据图象并结合选项B可知：当时，；时，； ∴， 故结论不正确． 故选：D． 题型七 二次函数平移（共3小题） 1．（25-26九年级上·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移． 抛物线向右平移2个单位，根据平移规律“上加下减，左加右减”，将原函数中的x替换为得到新解析式，展开即可． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位， ∴新解析式为． 故选：D． 3．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期末）将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 题型八 二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，根据顶点坐标计算公式可得原二次函数的顶点坐标为，根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值可得二次函数图象的顶点到轴的距离为，根据二次函数的性质求出有最小值时，c的值，进而确定原二次函数解析式，再求出原二次函数与x轴的两个交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当时二次函数图象的顶点到轴的距离最小， ∴此时二次函数解析式为， 当时，解得， ∴当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，故D正确； 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，分两种情况讨论：当时，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点； 当时，函数为二次函数，其图像与y轴恒有一个交点， 若要与坐标轴至少有两个交点，则必须与x轴有交点，故，解得， 因此，此种情况下m的取值为且， 综上所述，结合的情况，满足题意的m的取值范围为， 故选：A． 题型九 二次函数与不等式的关系（共3小题） 1．（14-15九年级上·江苏盐城·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 2．（21-22九年级上·山东济南·期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 题型十 待定系数法求解析式（共3小题） 1．（25-26九年级上·天津·月考）已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，得出，再把，，代入，进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，得出顶点坐标，即可作答． （3）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点及轴正半轴一点，且． ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把，，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点坐标为， （3）解：由（1）得， 依题意，设直线解析式为， 把，代入， 得， ∴， ∴直线解析式为． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为 【分析】本题考查了抛物线解析式的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握抛物线的表达式形式和二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的交点式，结合与坐标轴的交点坐标，代入求解得到抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，结合抛物线的开口方向与对称轴，分析给定区间内函数的增减性，进而求出函数的最小值． 【详解】（1）解：与轴交于、两点，与y轴交于点， 解得： 故该抛物线的解析式是． （2）解：， 抛物线的对称轴为，开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，时取得最小值． 3．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）已知抛物线与直线相交于第一象限内不同的两点，． (1)求，的值 (2)求此抛物线的解析式． 【答案】(1), (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用点在直线上求, 再利用点在直线上求； （2）利用点、两点的坐标求抛物线的解析式． 【详解】（1）解：直线过点， ，解得：， 直线的解析式为． 点在直线上， ； （2）解：由（1）得点， ∵点和点在抛物线上, ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为． 题型十一 图形问题（共3小题） 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花．    (1)求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． (2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）．    【答案】(1)；和； (2)当时，种植菊花的面积最大，最大面积为；图见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据题意可得场地的宽度为：，从而列出，化简即可得到函数关系式，令当，即可得到交点坐标；从而得到自变量x的取值范围． （2）将一般式转化成顶点式，利用二次函数的性质可得当时，种植菊花的面积最大，最大面积为，再利用三点画图法即可得到函数图象． 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：． （2）解：由（1）知， ， ∴当时，种植菊花的面积最大，最大面积为， 函数图象如下图：    2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． 【答案】(1)x的值为9； (2)当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）依据题意，结合（1）可得，苗圃园的面积，又，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； （2）解：由题意，结合（1）可得，苗圃园的面积 墙长为 ． ． 又， 当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为． 3．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）如图，矩形为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设边的长度为x米（），矩形的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当矩形的面积是60平方米时，的长是多少？ 【答案】(1) (2)当矩形的面积是60平方米时，的长为6米 【分析】此题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用． （1）设边的长度为x米，则矩形的另一边的长为米，利用矩形的面积公式列出矩形面积y与x的关系式； （2）根据题意得，解一元二次方程取合适的值即可． 【详解】（1）解：设边的长度为x米，则矩形的另一边的长为米， ， 故y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，当时，，即， 解得：， 当时，， 当时，， 由于，所以． 故当矩形的面积是60平方米时，的长为6米． 题型十二 拱桥问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）结合（1），当时，求出x的值即可得解． （3）依据题意，由桥长70米，每两根悬吊钢缆间的距离是 (米)，再结合（1），当时求出y的值即可； 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②点E在水平面上方，见解析． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 3．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时． 【答案】5小时 【分析】本题考查了二次函数的应用；以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意设，则得，从而可求出二次函数解析式及点D的坐标，即可求出顶点到的距离，即可求解． 【详解】解：如图，以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意设，则； 把B、D两点坐标代入函数解析式中，得，解得：， ∴，， ∴顶点到的距离为1， ∴从处淹到拱桥顶需要的时间为（小时）， 答：从处淹到拱桥顶还需要5小时． 题型13 销售问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·云南文山·期末）根据下列素材，按要求完成任务． 如何设计利润最大方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析…… 销售单价x（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量y（件） … 72 64 56 48 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】任务一：；任务二：40元；任务三：销售单价定为50元时，最大利润为800元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件，则与之间的关系是一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； 任务二：设每件商品的售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； 任务三：由题意得，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：任务一： 根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件， 每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系， 设函数关系式为， 代入和，得， 解得， ； 任务二： 设每件商品的售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：每件商品的售价应定为40元； 任务三： 由题意得，， ， 当时，有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）项目学习 背景 近年来，抚顺市坚持“产业兴农、质量兴农、绿色兴农”打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元／天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的整数倍） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报四周所加边框的宽； 任务2 要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为多少元？ 【答案】任务一：民宿宣传海报边框的宽为；任务二：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式及一元二次方程是解题的关键． 任务一：设民宿宣传海报边框的宽为，根据长方形面积公式列一元二次方程，解方程即可； 任务二：设每天民宿纯收入为元，列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解． 【详解】解：任务一：设民宿宣传海报边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报边框的宽为． 任务二：设每天民宿纯收入为元，由题意可得： ． ， 抛物线开口向下，有最大值， 当时，最大，此时每间客房的定价应为（元）． 答：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元． 3．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 (1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； (2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 【答案】(1) (2)产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单. （1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设，解出k、b即可求出； （2）由利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）解：由图可知每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系为一次函数，设函数解析式为，代入、        解得， （2）设每件产品定价为元，每天纯利润为元， ， 当时，即：，解得：， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，利润取得最大，则； 则产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元． 题型14 投球问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【答案】(1)球的高度是米 (2)得分100分 (3)的绝对值变小，可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接令求解即可； （2）令，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分； （3）的绝对值变小，可以不变，假设落地距离为米，保持，再计算说理，即可作图． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 3．（24-25九年级上·河南焦作·期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，善于思考的聪聪发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．于是利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 1 4 6 7 8 竖直高度 2.7 3.6 3.2 2.7 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，聪聪发现其图象是二次函数的一部分． (1)在聪聪投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.6米时，即可得满分10分，聪聪在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)2，3.6 (2) (3)能得到满分，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入 ，即可求出的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由当时，；当时，，可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当 时，， 得实心球在空中的最大高度是米， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米， 故答案为：， ； （2）解：设抛物线的解析式为， 把代入， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （3）解：聪聪在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或 (不符合题意，舍去)， ， ∴聪聪在此次考试中能得到满分． 题型15 喷水问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 【答案】(1)图象见解析，， (2) 【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及； （2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： ，抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得， 解得， 函数解析式为： ∴顶点为 故； （2）解：当时，代入抛物线表达式 解得 最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为． (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？ 【答案】(1)m (2)m 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并灵活应用二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，求得值即为水管的高度； （2）假设上升的高度为，将坐标代入解析式中，求出未知数即可． 【详解】（1）解：抛物线为， 令，则，， 喷水管的高度为m； （2）解：设喷水管的高度要升高m， 则抛物线的表达式为． 把代入得：． 解得：． 喷水管的高度要升高m． 题型16 线段周长问题（共2小题） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为， ∵点是直线上一动点， ∴设， ∵过点作线段（点在直线下方）， 则：， ∵点在抛物线上 ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， 则或， ∴点的坐标为或． 2．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)当时，线段的长度有最大值 【分析】本题考查二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，再次根据待定系数法，可得直线的解析式； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴拋物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴当时，线段的长度有最大值． 题型17 面积问题（共2小题） 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一动点（点P在AC上方），作轴交AB于点．当点P在什么位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； (3)当时，函数的最大值为2，求t的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为；最大面积为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先利用一次函数求出A、B的坐标，然后把A、B坐标代入抛物线解析式中求解即可； （2）先求出点C坐标为，设点P的坐标为，点D的坐标为．证明，则，据此求解即可； （3）先求出时，y的值最大，最大值为4，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）对于，当时，； 当时，， 所以， 将，代入抛物线的解析式，得 解得 所以抛物线的解析式为 （2）抛物线的对称轴为直线 由轴可得点C的坐标为 设点P的坐标为，则由轴可得点D的坐标为 因为轴，轴， 所以， 所以可得 ． 因为，所以当时，有最大值 当时，，此时 故点P的坐标为时，四边形APCD的面积最大，最大面积为 （3） 因为，所以当时，y取得最大值，最大值为 又当时，函数的最大值为2， 所以根据二次函数的增减性，分两种情况讨论： ①当，即时，， 解得，舍去； ②当时，， 解得，舍去 综上所述，t的值为或 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． ②点P在抛物线上，且，求点P点坐标． 【答案】(1) (2)①的最大值为；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）①求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值； ②由抛物线解析式求解的坐标，可求的面积，根据，可求点坐标． 【详解】（1）解：∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， 当时，的最大值为． ②∵抛物线为， ∴当，则， 解得：，， ∴，即， ∵点，点， ∴， ， 设， ， ， ， ， 或． 题型18 特殊三角形问题（共2小题） 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大面积 (3)存在，，，， 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． （3）解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 2．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)能，或 (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，当时，当时，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 题型19 特殊四边形问题（共2小题） 1．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是4 (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出点坐标后可求得直线的表达式，设点，则，利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，由方程，求出的值即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点、， ， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 时，，即， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得， 则直线的表达式为， 设点，则， 则， ， 其中， 有最大值，当时，取最大值； （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 抛物线的表达式为， 抛物线对称轴为， 设点，而， 四边形是菱形， ， 即， 解得， 即点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 2．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)，或 【分析】（1）把代入抛物线解析式可求得C点的坐标，把代入抛物线解析式，解方程可求得A、B两点的坐标； （2）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，分析可知当三点共线时，的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，再代入到，即可求得点的坐标； （3）设，，分3种情况讨论：①若是对角线；②若是对角线；③若是对角线，利用平行四边形的性质列出方程组，求出的值，即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：当时，则； ∴， 当时，则， 解得，， ∵点B在点A的右侧， ∴，； ∴综上所述，，，； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：由（1）得，，， 设，， ∵以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， ∴分3种情况讨论： ①若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ②若是对角线， 则， 解得或， ∴或； ③若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ∴综上所述，点N的坐标为，或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及求抛物线与坐标轴的交点、最短路径问题、求一次函数的解析式、平行四边形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题的关键． 题型20 相似三角形问题（共2小题） 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为点D，连接，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）当与相似时，则或，故分类讨论即可. 【详解】（1）解：∵抛物线 与轴交于点，， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵点，， ∴， 在抛物线中，当时，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 当与相似时，则或， ①若，则 ∴ ∵ ∴点 的纵坐标为2， ∴点为上方抛物线上的动点， ∴， 解得：（ 不合题意，舍去），， ∴此时点的坐标为； ②若，则， ∴ 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图： ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，轴 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为过点，， ∴ ∴直线的解析式为：； 令， 解得：（不合题意，舍去），， 把代入得：， ∴此时点的坐标为， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 2．（21-22九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是对称轴上的一个动点，是否存在点到点的距离与到点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是对称轴左侧的抛物线上的一个动点，点在射线上．是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接并延长与对称轴相较于点，即此时点使得与的差最大．求出C的坐标，求出直线的解析式，再求出F坐标即可； （3）先判断是等腰直角三角形．分两种情况讨论即可：①；②； 本题考查二次函数的解析式的求解，两线段距离之差的最大值，二次函数与相似三角形，熟练掌握二次函数图象性质和三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： 如图所示连接并延长与对称轴较于点，即此时点使得与的差最大． 对于二次函数，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵点在的图象上， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，， ∴点的坐标为； （3）存在，理由如下： 由（2），抛物线对称轴为直线：，设交x轴于N， ∴，即是等腰直角三角形， ∵轴， ∴易知也是等腰直角三角形， ∴． ①若，如图所示，过点作垂足为， 则，， 设横坐标为x，则， 则，即， ∴， ∴代入得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴此时点坐标为， ②若，如图所示， 设， 代入关系式得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． $