阶段检测验收卷 三角形（综合训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，面积比为，则与的周长比为（　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比，即可求出． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 故选：A． 2．在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 4．如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 5．如图，是斜边的中线，E，F分别是，的中点，连接若，，则的长为（    ）   A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，再根据三角形中位线定理即可求出． 本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：，F分别是，的中点，， ，是的中位线， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 6．如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过C作于F，于G，则四边形是矩形．解，得（米），设米，解，得出米．再解，根据，求出，即可求解． 【详解】解：过C作于F，于G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度，米， ∴（米），（米）， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 故选：D． 7．如图，有一块三角形木料，，，，工人师傅准备将其加工成如图所示的矩形，且点在上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可设，，由矩形的性质可得，，，进而得出，在由相似三角形的性质可得，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∵四边形矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 8．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，， ， ， ．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作，垂足为，由平行线的性质可得，，在中，，，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B 9．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 10．如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，合理作图是关键． 根据三角形的重心得到，证明，求出，再证明即可求解． 【详解】解：如图1所示，连接并延长交线段于点，与交于点，连接， ∵点为三角形的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2所示，过作于， ∵是的中线， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在中，斜边上的中线长度为5，直角边的长度为6，则直角边的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理，直角三角形斜边上的中线即可得出结论． 【详解】解：∵斜边上的中线长度为5， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 12．如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 13．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故，即， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形；设，根据勾股定理求出，得到，结合题意求出，解得，代入计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴设， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 15．如图，在中，，，点为上一点，点为上一点，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】先由等腰直角三角形的判定与性质得到，再由相似三角形的判定与性质得到，从而确定、，过点作，交于点，如图所示，由平行线性质得到，结合平行线分线段成比例得，有，从而得到答案． 【详解】解： ，， ， 则， ， ， ， ，， ， ， 过点作，交于点，如图所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合，准确求出各个线段之间的关系是解决问题的关键． 16．如图，在中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连结交于点G，交于点F，则 ． 【答案】 【分析】过点E作于点H，过点A作于点T，可证，可得，再证，可得，设，则，，在中，运用勾股定理可得的长，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点H，过点A作于点T， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴，CHAC， ∵，即， ∴， ∴， ∴2， ∴， ∴，， ∴设，则， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形全等和相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（4分）如图，点E、F在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据，可得，由可得，易证． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 19．（6分）如图所示，在中，，在的延长线上，连接，为的中点． (1)用直尺和圆规，在上找一点，使点到和的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，根据（1）中所作的图形，证明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的判定定理，三角形中位线定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）点到和的距离相等，则点F在的角平分线上，据此根据角平分线的尺规作图方法作图； （2）根据题意可得点F在的角平分线上，由三线合一定理可得点F为的中点，则为的中位线，由三角形中位线定理即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求； （2）证明：如图所示，连接， ∵点到和的距离相等， ∴点F在的角平分线上，即平分， ∵， ∴点F为的中点， 又∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴，即． 20．（6分）综合与实践：虎门林则徐像位于广东省东莞市虎门镇，是为纪念民族英雄林则徐而设立，由林则徐铜像与花岗石卧碑像结合而成．林则徐铜像身姿挺拔，眼神坚定，仿佛正俯瞰着虎门海域，展现出其当年在虎门指挥禁烟和抗英斗争时的威严与决心．小明为测量林则徐像的高度，制定了如下测量方案：如图，当小明在点眼睛处仰望石像顶部点，测得仰角为，再往石像的方向前进至点眼睛处，测得仰角为，且小明的眼睛距离地面，请帮他求出林则徐像的高度．（参考数据：，结果精确到） 【答案】m 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． 由题意得：，，，，则，在中，由，得，由即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴林则徐像的高度约为． 21．（8分）如图所示，在中，，过点作，垂足为点，，，，求： (1)边的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查直角三角形中边长的求解，勾股定理的应用即相似三角形的判定与性质，熟知特殊角的正、余弦值和正弦在直角三角形中的定义是解题的关键． （1）根据题意，在，利用角A的正、余弦值可求得，进而得到，在中，根据勾股定理即可求； （2）先证，得到，再在中求出的值即可． 【详解】（1）， ， 在中，， ， ， ， 在中, ． （2）， ， ， 又， ， 在中， ， ． 22．（10分）综合实践 【阅读材料】风筝制作在中国具有悠久的历史，其渊源可以追溯到春秋战国时代．墨子以木材制成鸟禽状器械，放之能飞，称为“木鸢”．汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．后来又在纸鸢上附加竹哨、弓弦，放飞时因风吹而引起哨响弦鸣，声音悦耳，如同筝鸣，故称“风筝”． 【设计应用】某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝，在骨架设计中，两条侧翼的长度，风筝顶角，在，上分别取点D，E，骨架， ．另作一条骨架，于点G，交于点．求B，C两点间的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，平行线的性质和三线合一．根据平行线的性质和三线合一得到，解直角三角形可以得到，进而求得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵ ∴， 解得：， ∴， 即B，C两点间的距离为． 23．（10分）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 【答案】问题导入：； 实际应用：； 拓展延伸：． 【分析】问题导入：通过直角三角形的性质和勾股定理求得，接着利用外角和等边对等角求得，最后利用求得答案； 实际应用：先根据，求得，再根据问题导入可知，求得，即可求得； 拓展延伸：在中，，延长至使，连接．设，利用，表示出，那么，接着利用外角和等腰对等角求得，最后利用求得答案． 【详解】解：问题导入： 在中，，延长至使，连接．设，如图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 实际应用： 平分，， ， ，， ， 由问题导入可知，， ， ∴， ； 拓展延伸：在中，，延长至使，连接．设，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，角平分线的定义，30度所对的直角边等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．（12分）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为60°，则称该三角形为“完美三角形”． (1)______直角三角形是“完美三角形（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在中，，，，则 ______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (3)如图2，在“完美三角形”中，，，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)不存在； (2)不是； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据特殊三角形三边之比，可得结论． （2）如图1中，过点作于．求出，，可得结论． （3）如图2中，过点作于．通过计算证明，推出，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，，则三角形的三边之比，因此不存在直角三角形是完美三角形． 故答案为：不存在． （2）如图1中，过点作于． 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，不是整数， ∴不是完美三角形． 故答案为：不是． （3）证明：如图2中，过点作于． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形、特殊三角形的三角函数、垂直平分线的性质和等边三角形的判定，熟练掌握含的直角三角形的三边之比、、、垂直平分线上任意一点到线段端点的距离相等、有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 25．（12分）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F． ①求证：； ②求的度数． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F． ①求证：； ②若．将绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段上时，如图3所示，求的长度． 【答案】（1）①见解析，②；（2）①见解析，② 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，即可得出结论； ②求出，即可得出结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质证明，得出，即可得出结论； ②过点作于点，根据勾股定理求出的值，进而判断出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ， ，； ②如图1，设交于点． ，， ， 即； （2）①∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ，． ， ， ， ； ②当点落在线段上时， 如图，则，， 过点作于点， 则，， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相关的性质是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，面积比为，则与的周长比为（　 ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 3．如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 4．如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是斜边的中线，E，F分别是，的中点，连接若，，则的长为（    ）   A．3 B． C． D． 6．如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 7．如图，有一块三角形木料，，，，工人师傅准备将其加工成如图所示的矩形，且点在上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，， ， ， ．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在中，斜边上的中线长度为5，直角边的长度为6，则直角边的长度为 ． 12．如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 13．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 14．如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．    15．如图，在中，，，点为上一点，点为上一点，，若，则的长为 ． 16．如图，在中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连结交于点G，交于点F，则 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算： 18．（4分）如图，点E、F在线段上，，，，求证：． 19．（6分）如图所示，在中，，在的延长线上，连接，为的中点． (1)用直尺和圆规，在上找一点，使点到和的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，根据（1）中所作的图形，证明：． 20．（6分）综合与实践：虎门林则徐像位于广东省东莞市虎门镇，是为纪念民族英雄林则徐而设立，由林则徐铜像与花岗石卧碑像结合而成．林则徐铜像身姿挺拔，眼神坚定，仿佛正俯瞰着虎门海域，展现出其当年在虎门指挥禁烟和抗英斗争时的威严与决心．小明为测量林则徐像的高度，制定了如下测量方案：如图，当小明在点眼睛处仰望石像顶部点，测得仰角为，再往石像的方向前进至点眼睛处，测得仰角为，且小明的眼睛距离地面，请帮他求出林则徐像的高度．（参考数据：，结果精确到） 21．（8分）如图所示，在中，，过点作，垂足为点，，，，求： (1)边的长； (2)的值． 22．（10分）综合实践 【阅读材料】风筝制作在中国具有悠久的历史，其渊源可以追溯到春秋战国时代．墨子以木材制成鸟禽状器械，放之能飞，称为“木鸢”．汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．后来又在纸鸢上附加竹哨、弓弦，放飞时因风吹而引起哨响弦鸣，声音悦耳，如同筝鸣，故称“风筝”． 【设计应用】某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝，在骨架设计中，两条侧翼的长度，风筝顶角，在，上分别取点D，E，骨架， ．另作一条骨架，于点G，交于点．求B，C两点间的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 23．（10分）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 24．（12分）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为60°，则称该三角形为“完美三角形”． (1)______直角三角形是“完美三角形（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在中，，，，则 ______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (3)如图2，在“完美三角形”中，，，，求证：是等边三角形． 25．（12分）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F． ①求证：； ②求的度数． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F． ①求证：； ②若．将绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段上时，如图3所示，求的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $