阶段检测验收卷 圆（综合训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 圆 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 2．如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，先求出，再根据切线的性质得，再根据三解形内角和定理得，得，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 故选：A． 3．如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等． 利用同弧所对的圆周角相等和等边对等角即可解答此题． 【详解】解：，且， ， ， ， ， 故选：C． 4．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用． 连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【详解】解：连接， 设的半径是寸， ∵弦，垂足为点， 寸， 寸， 寸， ， ， ， ∴直径的长度为寸． 故选：D． 5．如图是某几何体的三视图，则该几何体的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．牢记公式是解题的关键，难度不大． 从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为，高为，故母线长为，据此可以求得其侧面积，再求出底面积，最后求出圆锥的面积，即可作答． 【详解】解：依题意，这个几何体是圆锥， 由三视图可知圆锥的底面半径为，高为， ∴母线长为 ∴侧面积为 则底面积为 ∴这个圆锥的面积是 故选：B． 6．铅球场地是田赛场地设施之一．如图是某学校操场的铅球场地，其沙盘区域可以看作是扇形的一部分(即如图的阴影部分)． 通过测量， 约为； ， 约为1米， 圆心角约为， 则图中沙盘的面积约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 再根据，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ， 故选：A． 7．如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 8．如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据图形得出明确阴影部分的面积矩形的面积，是解题的关键．连接，作于，根据题意求得是等腰直角三角形，即可求得，从而求得，然后根据阴影部分的面积等于矩形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，作于，如图： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C． 9．如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断． 【详解】解：（1）连接、， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 又是半径， 与相切，（1）结论正确； （2）由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，（2）结论正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，（3）结论正确； （4）四边形是菱形，， ，， ， ，（4）结论错误； 即正确个数有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 10．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【详解】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示：    当时，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵所对的圆心角是， ∴所对的圆周角是， 故答案为：． 12．2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的母线．设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米，根据，可得，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米． ∵， ∴， 解得：， ∴米． 故答案为： 13．如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题主要考查求其他不规则图形的面积，角平分线的性质，扇形面积；根据题意得到，，求出，证出四边形是正方形，得到，，再结合扇形面积公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图： ∵的平分线交弧于点C，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过A作于M，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， 过A作于M， 在正十二边形中，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， ∴， ∴π的近似值为3， 故答案为：3． 15．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接、，进而求解． 【详解】解析：如图，连接，以为边作，连接， ∵的面积为， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为 故答案为：4． 16．如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】解：过点M作于H，作于F ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是得出B、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上和掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 根据，可知B、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，， 、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上， ， ． 18．（4分）如图，在中，． (1)用尺规作图法作斜边边上的垂直平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以为圆心，为半径作，求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，切线的判定，解题关键是正确作出图形． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线； （2）利用切线的判定方法求解． 【详解】（1）解：如图，分别以A、B为圆心，大于的一半的长为半径作圆弧，得到两个交点，过这两点线直线，垂直平分线即为所求； （2）证明：连接， ，， ， 直线垂直平分线段， ， ， ， 又， ， ， 为的半径， 与相切． 19．（6分）如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）以及切线的判定．解题关键在于掌握尺规作图的基本方法完成（1）小题；对于（2）小题，要熟练运用圆的性质（同弧所对圆心角与圆周角的关系、半径相等得出角相等 ），通过计算角度来证明直线与半径垂直，从而判定切线． （1）题要求用尺规作图作出 ．需要利用尺规作图的基本方法，比如作一个角等于已知角的方法来完成．具体操作是先以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，然后以点为圆心，同样长为半径画弧，再通过一定的操作确定 ． （2）要证明是的切线，根据切线的判定定理，需证明 ．连接后，通过圆的性质求出相关角度，进而证明 ．已知，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得 ，又根据 ，在中通过角度计算得出 ． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接： ∵（同圆半径相等）， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ，即 ． ∵是的半径， ∴是的切线． 20．（6分）如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的半径长． 【答案】(1)与相切，详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，即可得，再根据平行线的性质得，即可得答案； 对于（2），先设的半径为，再根据勾股定理求出，然后说明 ，接下来根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下：如图，连接， ， . 平分， ， ， ， . ， ， ， 与相切； （2）解：设的半径为． ， ． 由（1）知，， 又， ， ， ， ， 的半径长为． 21．（8分）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质得，由角平分线定义得，等量代换得，根据平行线得判定定理得到，由平行线得性质得出答案； 对于（2），设，则，即可得的值，再根据勾股定理求出的值，证明，可得答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， 设，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等，连接圆心和圆上一点的线段是证明切线的常用方法． 22．（10分）如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②32 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D； （2）①证明即可；②证明，推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2）①证明：连接． ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线是的切线； ②在中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为32． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（10分）如图,为的直径,和相交于点平分，点C在上，且交于点P． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握切线判定的“垂直半径外端”条件、相似三角形的“两角对应相等”判定方法，以及利用线段乘积关系、面积比转化已知条件． （1）连接半径，利用等腰三角形得，结合角平分线证；再由推，根据切线判定定理得证； （2）由直径得，通过角平分线和圆周角性质证，结合公共角，判定，由相似比得，交叉相乘得证； （3）结合（2）的与已知，得；再证得，从而推出；利用角平分线性质，结合与的面积比，转化为，代入求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 24．（12分）综合探究 如图1，在矩形中,，E是边上一点，以为直径作． (1)连接，当E为的中点时，求证：； (2)如图2，若与 相切于点M，求 的半径； (3)如图3，若与 相交于点 H，I，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3)的长为 【分析】本题考查矩形性质、切线性质、圆周角定理、直角三角形正切定义及勾股定理，解题的关键是依托几何定理构建等量关系，通过线段和差、勾股定理列方程求解． （1）用矩形性质得边与直角，结合E为中点证，得，再由等腰三角形性质证角相等； （2）连接，作，证矩形得，用O为中点得与半径关系，在中列勾股定理求半径； （3）由直径得，可证；设，用的正切值相等得，从而可表示出与的表达式；利用得出线段相关的比例式可求x，然后确定x值的取值，最后求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵是中点， ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． （2）解：设半径为，则，连接，作于． ∵切于， ∴（切线性质）． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵是中点，， ∴是中点， 设，则． 由，得，即． 在中，， 展开化简：， 解得． 答：的半径为． （3）解：设，连接． ∵，在中，； 在中，． 由（等角的正切值相等），得： 结合矩形边长，得：（线段和差关系），（线段和差关系）． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵在中，， ∴． 在和中：，， ∴． ∴， 即． ∴ 展开并整理为一元二次方程： 两边同除以3简化： 用求根公式（其中，，）： 判别式：， 求根：． ∵，且（在上）， ∴． 当时，，（超出范围，舍去）； 当时，（符合范围，保留）． 故． ∴的长为． 25．（12分）综合探究 如题图，抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点，且圆心D在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与相切吗?请说明理由； (3)过点C作直线，交x轴于点E，当直线与抛物线只有一个交点时，直线是否与相切?若相切，请证明：若不相切，请直接写出直线与的另外一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)直线与相切，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式，圆与二次函数综合，勾股定理逆定理； （1）由抛物线与x轴交于点和点，得到即可求解； （2）由求出，，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，即可得到为的直径，，再由勾股定理逆定理得到是直角三角形，，即可证明直线与相切； （3）设直线解析式为，当时，由直线与抛物线只有一个交点，得到，解得，即可得到直线解析式为，再由勾股定理逆定理得到不是直角三角形，，则直线与不相切，设直线与的另外一个交点为，由列方程求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点， ∴； （2）解：直线与相切，理由如下： ∵抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵经过A、B、C三点， ∴为的直径， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵为半径， ∴直线与相切； （3）解：∵， ∴设直线解析式为， 当时，直线与抛物线有两个交点，不合题意； 当时， 联立，得到， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∴与轴交点为， ∵，， ∴，，， ∴， ∴不是直角三角形，， ∴直线与不相切， 设直线与的另外一个交点为，则， ∴， ∴， 解得或（与重合，故舍去）， ∴， 综上所述，直线与的另外一个交点的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 圆 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 2．如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 4．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 5．如图是某几何体的三视图，则该几何体的面积是（　　） A． B． C． D． 6．铅球场地是田赛场地设施之一．如图是某学校操场的铅球场地，其沙盘区域可以看作是扇形的一部分(即如图的阴影部分)． 通过测量， 约为； ， 约为1米， 圆心角约为， 则图中沙盘的面积约为（    ）      A． B． C． D． 7．如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角是 ． 12．2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 13．如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 14．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 ． 15．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 16．如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 18．（4分）如图，在中，． (1)用尺规作图法作斜边边上的垂直平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以为圆心，为半径作，求证：与相切． 19．（6分）如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 20．（6分）如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的半径长． 21．（8分）如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 22．（10分）如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 23．（10分）如图,为的直径,和相交于点平分，点C在上，且交于点P． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 24．（12分）综合探究 如图1，在矩形中,，E是边上一点，以为直径作． (1)连接，当E为的中点时，求证：； (2)如图2，若与 相切于点M，求 的半径； (3)如图3，若与 相交于点 H，I，求的长． 25．（12分）综合探究 如题图，抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点，且圆心D在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与相切吗?请说明理由； (3)过点C作直线，交x轴于点E，当直线与抛物线只有一个交点时，直线是否与相切?若相切，请证明：若不相切，请直接写出直线与的另外一个交点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $