专题06 数列（知识必备+10大重难题型+过关验收，期末复习讲义）高二数学上学期沪教版

该高中数学数列专题复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，以“知识点-题型-应用”三层架构呈现知识脉络，涵盖等差等比数列性质、通项公式求法、求和方法等模块，用对比表格突出易错点与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础通关练聚焦“知三求二”等基础题型，重难突破练结合函数、不等式综合题，如“构造等比数列求通项”培养数学思维。每个题型配例题与变式，提供“错位相减运算规范”等方法指导，帮助学生提升解题能力，也为教师分层教学提供精准支持。

专题06 数列 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等差/等比数列基本量运算 能熟练运用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式，解决“知三求二”问题，掌握整体代入、设参技巧等简化运算的方法。 易错点，考查频次最高，多以选择、填空形式出现，解答题第一问也常以此为切入点。 等差/等比数列性质应用 熟练掌握等差数列与等比数列的定义、核心性质，明确两类数列的单调性判定方法。 重点考查等差数列的角标和性质、片段和性质；等比数列的角标和性质、片段和性质。 数列通项公式求解 掌握常见的通项公式求解方法，包括由递推关系求通项（累加法、累乘法）、由前n项和Sₙ求通项（注意分n=1与n≥2讨论，验证首项一致性）、构造法。 高频考点，重点考查“由Sₙ求aₙ”“累加法/累乘法求通项”“构造法求通项”，需注意验证n=1时的首项是否符合通项公式。 数列求和 熟练掌握数列求和的基本方法，重点突破裂项相消法、错位相减法、分组求和法、合并项求和法，能根据数列的通项特征选择合适的求和方法。 核心考查裂项相消法、错位相减法、分组求和法，其中错位相减法的运算规范性是考查重点（易出错点）。 数列的单调性与最值 掌握判断数列单调性的常用方法，知道单调数列与非单调数列最值的不同特征，能区分最大值与最小值对应的项的位置规律。 多以填空题或解答题小问形式考查，部分题目需转化为函数最值问题求解。 数列与其他知识综合 理解数列是特殊的函数，能将数列问题转化为函数问题求解；掌握数列不等式的证明方法，能求解与数列项或前n项和相关的不等式恒成立、存在性问题； 低频但难度较高，常与函数、不等式结合，考查转化与化归思想，是拉开分数差距的关键题型。 实际应用问题 能将实际问题转化为数列模型，运用等差或等比数列知识求解，提升数学建模能力。 偶尔考查，多为等比数列或等差数列模型，核心是准确提取题干中的数列关系，建立通项或前n项和模型。 知识点01 与等差数列相关的结论 设为等差数列的前项和. (1); (2) (3); (4)构成等差数列. (5)是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (6) (7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,. (8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,,,. (9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则. 知识点02 与等比数列相关的结论 已知等比数列,公比为,前项和为. (1)(). (2)若,则();反之,不一定成立. (3),,,成等比数列(). (4)公比时,,,,成等比数列(). (5)若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则. (6),是等比数列,则,,,也是等比数列(,). (7)通项公式.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点. (8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数. (9)三个数成等比数列,通常设为,,;四个数成等比数列,通常设为,,,. 知识点03 数列的基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点04 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 知识点05 数列的通项公式的求法 1.累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 2.累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 3.构造等比数列法 原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。 4.构造等差数列法 数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出. 5.取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出. 6.利用公式求通项 有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出. 7.重新构造新方程组求通项法 有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和. 知识点06 数列求和的方法 1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和. 3.错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法. 常见的裂项方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若为等差数列，公差为，则. 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和. 6.并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法. 题型一 等差数列及其通项公式 【例1】（24-25高二上·上海松江·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【例2】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知数列中，，，则 . 【例3】（25-26高二上·上海普陀·月考）在等差数列中，若，求公差的值是 ． 【例4】（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 【例5】现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；第二行依次为；依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满.若分别表示第一次和第二次填法中第行第列的数. (1)求的表达式（用表示）； (2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为，求的值. 【变式1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）与的等差中项为 . 【变式2】（23-24高二上·上海虹口·期末）等差数列中，，则 . 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列中，，则公差 . 【变式4】（24-25高二上·上海松江·月考）已知构成等差数列，则实数的值为 . 【变式5】（23-24高二上·上海·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)在中，内角所对应的边为，若成等差数列，且，求的值. 【变式6】（23-24高二上·上海·期末）某地区2002年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷），地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从2003年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有（2002年底）面积增加数 2003 2000 2004 4000 2005 6001 2006 7999 2007 10001 请根据上表所给的信息进行估计. (1)如果不采取任何措施，到2025年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少. (2)如果从2008年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于 题型二 等差数列的前n项和 【例1】（24-25高二上·上海·月考）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【例2】（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 【例3】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【例4】（24-25高二上·上海·月考）等差数列的前项和为，，，则当 时，最大. 【例5】（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足，则的最大值为 ． 【变式1】（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（   ）个. A．499 B．500 C．501 D．502 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【变式3】（23-24高二上·上海静安·月考）已知数列的前项和，当且仅当时，取得最小值，那么的取值范围是 . 【变式4】（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【变式5】（22-23高二上·上海·期中）等差数列的前项和．求数列的前项的和． 【变式6】（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 题型三 等比数列及其通项公式 【例1】（25-26高二上·上海·期中）对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（    ） 命题甲：存在某个等差数列同时含有三项． 命题乙：存在某个等比数列同时含有三项． A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲乙都真 D．甲乙都假 【例2】（22-23高二上·上海·期中）2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ． 【例3】（24-25高二上·上海·月考）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【例4】（23-24高二上·上海·期末）已知无穷等比数列满足：，则的通项公式是 ． 【变式1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26高二上·上海宝山·月考）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为 ． 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·月考）在等比数列中，，则 ． 【变式4】（22-23高二上·上海虹口·月考）在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第 项． 【变式5】（25-26高二上·上海青浦·月考）已知数列各项均为正数，它的前项和为，且，，则数列的通项公式为 题型四 等比数列的前n项和 【例1】（22-23高二上·上海黄浦·月考）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，则 C． D．记，则数列有最大值 【例2】（22-23高二上·上海黄浦·月考）在等比数列中，若其前n项和，则 ． 【例3】（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【变式1】（23-24高二上·上海杨浦·月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s. (1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； (2)若数列满足，且求：的值； (3)请直接写出： . 【变式3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 题型五 数列的概念与性质 【例1】（24-25高二上·上海金山·月考）设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（    ） A．若，则为递增数列 B．若，则为递增数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【例2】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知数列满足，则 . 【例3】（23-24高二上·上海·期末）数列满足：，则 . 【例4】（23-24高二上·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 【变式1】（25-26高二上·上海·月考）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 【变式3】（24-25高二上·上海·课前预习）观察数列：，，，，，，，，…，，…，随着n无限增大，第n项的值有怎样的趋势？ 【变式4】（22-23高二上·上海·期中）已知等差数列中，且，为方程的两个实根． (1)求此数列的通项公式； (2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由． 题型六 利用递推公式表示数列 【例1】（24-25高二上·上海·月考）在数列中，如果存在正整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2024项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 【例2】（25-26高二上·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 【变式1】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知数列满足，则的最小值为 ． 【变式2】（24-25高二上·上海黄浦·月考）无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则 . 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 题型七 数学归纳法 【例1】（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【例2】（23-24高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 【例3】（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【变式1】 用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 题型八 数学归纳法的应用 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【例2】（24-25高二上·上海·月考）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【变式1】（23-24高二上·上海虹口·月考）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式2】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 题型九 求数列通项公式的常用方法 【例1】 已知，则 ． 【例2】（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足，则 【例3】（24-25高二上·上海·月考）已知数列中，，，，若对任意的正整数n及，不等式总成立，则实数t的取值范围为 . 【例4】（23-24高二上·上海杨浦·月考）已知数列，则该数列的通项公式可能为 . 【例5】（23-24高二上·上海·期末）给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 【变式1】 数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已知棱长为1的正四面体，，，…，在线段上，且. 现过点作平行于直线和的平面，记该平面截正四面体的截面的周长为，则 ． 【变式3】已知数列有递推关系 (1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值； (2)求的通项公式. 【变式4】（22-23高二上·上海黄浦·月考）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求的值； (2)若，以，求数列最大项及相应的值； (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：. 【变式5】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 【变式6】（24-25高二上·上海·月考）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式其中并且最高位，k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如，例如十进制数所以25在三进制下可写为． (1)设正整数m在三进制下的各位数字之和为S（m）； ①将满足S（m）=3的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数； ②在十进制1至2025中任选一个正整数m，求S（m）为3的倍数的概率． (2)已知正整数，设正项数列的前n项和为且，求证：（其中表示不大于x的最大整数）． 题型十 数列求和的常用方法 【例1】设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________ 【例2】（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【例3】（24-25高二上·上海·月考）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【变式2】（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 【变式3】（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【变式4】（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·上海松江·月考）等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且    命题B： ②：命题A：等比数列且        命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 3．（24-25高二上·上海·月考）在数列中，已知，则“”是“是严格增数列”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4．（25-26高二上·上海·期中）已知等差数列的前项和为，则 ． 5．（25-26高二上·上海普陀·月考）已知为无穷等比数列，，数列 满足，则 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25高二上·上海·月考）已知等差数列的前项和为，若则 ． 7．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 8.（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 9．（25-26高二上·上海·月考）已知有穷数列共项，数列中任意一项，且对于其中任意连续的三项、、，均存在以、、为边长的等腰三角形，且这些等腰三角形互不全等，则m的最大值为 . 10．（24-25高二上·上海·单元测试）已知，. (1)求，，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 11．（23-24高二上·上海嘉定·期末）设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，，均成立． (1)求的所有可能值； (2)若数列使得无穷数列，，，…，，…是公差为1的等差数列，求数列的通项公式； (3)求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 13．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 14．（23-24高二上·上海·月考）已知数列满足，，是其前n项和. (1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明； (2)记，求. 15．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 16．（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等差/等比数列基本量运算 能熟练运用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式，解决“知三求二”问题，掌握整体代入、设参技巧等简化运算的方法。 易错点，考查频次最高，多以选择、填空形式出现，解答题第一问也常以此为切入点。 等差/等比数列性质应用 熟练掌握等差数列与等比数列的定义、核心性质，明确两类数列的单调性判定方法。 重点考查等差数列的角标和性质、片段和性质；等比数列的角标和性质、片段和性质。 数列通项公式求解 掌握常见的通项公式求解方法，包括由递推关系求通项（累加法、累乘法）、由前n项和Sₙ求通项（注意分n=1与n≥2讨论，验证首项一致性）、构造法。 高频考点，重点考查“由Sₙ求aₙ”“累加法/累乘法求通项”“构造法求通项”，需注意验证n=1时的首项是否符合通项公式。 数列求和 熟练掌握数列求和的基本方法，重点突破裂项相消法、错位相减法、分组求和法、合并项求和法，能根据数列的通项特征选择合适的求和方法。 核心考查裂项相消法、错位相减法、分组求和法，其中错位相减法的运算规范性是考查重点（易出错点）。 数列的单调性与最值 掌握判断数列单调性的常用方法，知道单调数列与非单调数列最值的不同特征，能区分最大值与最小值对应的项的位置规律。 多以填空题或解答题小问形式考查，部分题目需转化为函数最值问题求解。 数列与其他知识综合 理解数列是特殊的函数，能将数列问题转化为函数问题求解；掌握数列不等式的证明方法，能求解与数列项或前n项和相关的不等式恒成立、存在性问题； 低频但难度较高，常与函数、不等式结合，考查转化与化归思想，是拉开分数差距的关键题型。 实际应用问题 能将实际问题转化为数列模型，运用等差或等比数列知识求解，提升数学建模能力。 偶尔考查，多为等比数列或等差数列模型，核心是准确提取题干中的数列关系，建立通项或前n项和模型。 知识点01 与等差数列相关的结论 设为等差数列的前项和. (1); (2) (3); (4)构成等差数列. (5)是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (6) (7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,. (8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,,,. (9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则. 知识点02 与等比数列相关的结论 已知等比数列,公比为,前项和为. (1)(). (2)若,则();反之,不一定成立. (3),,,成等比数列(). (4)公比时,,,,成等比数列(). (5)若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则. (6),是等比数列,则,,,也是等比数列(,). (7)通项公式.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点. (8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数. (9)三个数成等比数列,通常设为,,;四个数成等比数列,通常设为,,,. 知识点03 数列的基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点04 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 知识点05 数列的通项公式的求法 1.累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 2.累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 3.构造等比数列法 原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。 4.构造等差数列法 数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出. 5.取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出. 6.利用公式求通项 有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出. 7.重新构造新方程组求通项法 有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和. 知识点06 数列求和的方法 1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和. 3.错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法. 常见的裂项方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若为等差数列，公差为，则. 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和. 6.并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法. 题型一 等差数列及其通项公式 【例1】（24-25高二上·上海松江·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】求等差中项、等差中项的应用 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 【例2】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知数列中，，，则 . 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、判断等差数列 【分析】先判断得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解． 【详解】因为，所以数列是等差数列，公差， 又，所以． 故答案为：． 【例3】（25-26高二上·上海普陀·月考）在等差数列中，若，求公差的值是 ． 【答案】1 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质及通项公式，结合已知条件列式计算求解． 【详解】是等差数列，设首项是，公差为，， ，解得． 故答案为：1． 【例4】（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】15 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由可证明数列是等差数列，利用通项公式可得15. 【详解】将同时除以2，得出， 即数列是以为首项，公差的等差数列， 则. 故答案为：15 【例5】现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；第二行依次为；依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满.若分别表示第一次和第二次填法中第行第列的数. (1)求的表达式（用表示）； (2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为，求的值. 【答案】(1) (2)7 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）第行的第一个数为，第行的第个数为，得到答案. （2）计算，根据得到，验证得到答案. 【详解】（1）第一种填法中：第行的第一个数为， 第行的第个数为， 即 （2）第二种填法中：第列的第一个数为， 第列的第个数为， 故 当时，在同一小格里两次填的数相同，整理得. 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故. 【变式1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）与的等差中项为 . 【答案】 【知识点】求等差中项 【分析】设与的等差中项为，根据等差中项的定义得到方程，解得即可. 【详解】设与的等差中项为， 则，解得， 所以与的等差中项为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·上海虹口·期末）等差数列中，，则 . 【答案】37 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质直接得出结果. 【详解】因为数列为等差数列，， 所以. 故答案为：37 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列中，，则公差 . 【答案】2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据通项公式，表示出求出即可. 【详解】. 故答案为：2. 【变式4】（24-25高二上·上海松江·月考）已知构成等差数列，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】因为构成等差数列， 所以，解得. 故答案为：. 【变式5】（23-24高二上·上海·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)在中，内角所对应的边为，若成等差数列，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）化简的解析式，从而求得的最小正周期. （2）先求得，然后根据等差中项、数量积、余弦定理等知识求得. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期. （2）由于成等差数列，所以①，且是锐角， ， ， 所以. ②， ， 所以. 【变式6】（23-24高二上·上海·期末）某地区2002年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷），地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从2003年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有（2002年底）面积增加数 2003 2000 2004 4000 2005 6001 2006 7999 2007 10001 请根据上表所给的信息进行估计. (1)如果不采取任何措施，到2025年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少. (2)如果从2008年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于 【答案】(1)； (2)2026年底. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列的简单应用 【分析】（1）从增加数看，增加数字稳定在 2000 附近, 所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列，根据题意即可求出到2025年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少. （2）设在2008年的基础上, 再经过n年, 该地区的沙漠面积将小于, 列出不等式即可求出结果. 【详解】（1）从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约为， 则到2025年底，增加的沙漠面积：， 总沙漠面积：. （2）以2008年底为第一年，此时总沙漠面积近似等于 ， 设年年底后这个地区的沙漠面积将首次小于， ，解得，故最小取19， 2008年对应的为1，19需要再加18年，， 即到2026年底，这个地区的沙漠面积将首次小于. 题型二 等差数列的前n项和 【例1】（24-25高二上·上海·月考）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【答案】D 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，求出第n次报完后共报数的个数，解不等式求出的最小值，并求出对应的最大数即可得解. 【详解】依题意，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 由，即，解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 因此A报出的第2035个数字为5995， 所以A报出的第2000个数字为：， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用等差数列前n项和公式求出A第n次报完数后A报的最大数是求解问题的关键. 【例2】（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【知识点】由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 【例3】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差中项的应用 【分析】根据等差数列片段和性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得； 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. 【例4】（24-25高二上·上海·月考）等差数列的前项和为，，，则当 时，最大. 【答案】1012 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 所以， 则数列是前1012项为正数，从第1013项开始为负数的递减数列， 故当最大时，， 故答案为：1012 【例5】（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足，则的最大值为 ． 【答案】50 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】根据题意分析可知：存在，使得或，以为例，设等差数列的公差为，结合绝对值不等式的性质分析可知：，且，进而可得，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解. 【详解】若对任意，恒成立，则， 可得， ， 显然两者不相等，不合题意； 同理可得对任意，恒成立也不合题意； 所以等差数列一部分为正，一部分为负， 即存在，使得或， 若，可得， 且 ， 当且仅当时，等号成立， 即，解得； 且 ， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 综上所述：，即满足条件的必为偶数， 结合等号成立条件可知：且， 设等差数列的公差为，则，，， 即，，， 可得， 则 ， 可得，解得， 且，即有的最大值为，的最大值为； 同理可得：当，的最大值也为. 故答案为：50. 【点睛】关键点睛：1.根据的符号性分析可得存在，使得或； 2.根据绝对值不等式分析可得，且. 【变式1】（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（   ）个. A．499 B．500 C．501 D．502 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：，其中， ，代入上式得：， 要方程无实数解，则， 显然第502个方程有解. 设方程与方程的判别式分别为， 则 ， 等号成立的条件是，所以至多一个成立， 同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且， 综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个， 故选：D. 【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】设，在根据得出的关系，进而求得. 【详解】设， 则． 故，则,且． 故， 则． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·上海静安·月考）已知数列的前项和，当且仅当时，取得最小值，那么的取值范围是 . 【答案】 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】根据二次函数性质可得，从而列不等式即可得的取值范围. 【详解】由于数列的前项和，是关于的开口向上的二次函数，并且当且仅当时，取得最小值， 则，可得，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【答案】8 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】计算出，解不等式，则有，再利用二次函数的单调性即可得到答案． 【详解】解：第一年年产量为，以后各年年产量为（，为正整数），当时也符合上式， ∴（为正整数）． 令，得． 设，对称轴为， 则当时，严格增，又因为为正整数，，， 则最大生产期限应拟定为8年， 故答案为：8． 【变式5】（22-23高二上·上海·期中）等差数列的前项和．求数列的前项的和． 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式、求等差数列前n项和 【分析】先根据前n项和求出数列通项公式，即可讨论求出数列的前项的和. 【详解】∵等差数列的前项和． 当时，， 当时，，满足， 因为当时，，则， 当时，，则， 所以. 【变式6】（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 题型三 等比数列及其通项公式 【例1】（25-26高二上·上海·期中）对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（    ） 命题甲：存在某个等差数列同时含有三项． 命题乙：存在某个等比数列同时含有三项． A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲乙都真 D．甲乙都假 【答案】D 【知识点】判断命题的真假、判断等差数列、等比数列的定义 【分析】利用等差数列和等比数列的定义进行判断. 【详解】对于命题甲：假设存在等差数列， 设这三项对应的项数分别为，公差为， 则 两式相除得：， 又为无理数， 右边，所以假设不成立，故命题甲为假命题； 对于命题乙：假设存在等比数列， 设这三项对应的项数分别为，公比为， 则，， 不妨设，则， 可得，， 两边分别取以为底的对数，得，， 若，则，矛盾； 若，则， 两式相除得：， 即， 因为为互不相等的正整数，所以为有理数，而为无理数， 有理数不可能等于无理数，产生矛盾。 所以假设不成立， 故命题乙是假命题； 故选：D 【例2】（22-23高二上·上海·期中）2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ． 【答案】6 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由2，x，y，z，18成等比数列，求出公比q的平方，再求出y的值. 【详解】由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q， 则18＝2q4，解得q2＝3， ∴y＝2q2＝2×3＝6． 故答案为：6． 【例3】（24-25高二上·上海·月考）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、确定等比中项 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【详解】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 【例4】（23-24高二上·上海·期末）已知无穷等比数列满足：，则的通项公式是 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、无穷等比数列各项的和 【分析】根据题意得到，再利用无穷等比数列和的公式得到与，解方程组即可得解. 【详解】因为无穷等比数列，，则，①， 所以是首项为，公比为的等比数列， 又，则②， 由①②可得，③， 由②③可得，，, 故的通项公式为. 故答案为：. 【变式1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】由定义判定等比数列、等比数列的定义 【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断. 【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， ，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为， ，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列， 故选：C 【变式2】（25-26高二上·上海宝山·月考）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为 ． 【答案】或 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用数列的前项和的定义将转化为，代入得到，利用等比数列的定义将转化为，代入得到，计算求解即可. 【详解】是等比数列，，， ，， ，，， ，或. 故答案为：或. 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·月考）在等比数列中，，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的下标和性质整理可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 【变式4】（22-23高二上·上海虹口·月考）在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第 项． 【答案】12 【知识点】等比数列的单调性、写出等比数列的通项公式 【分析】求出等比数列的通项公式，根据数列的单调性确定只需比较与1的远近即可，利用作差法比较即可. 【详解】根据等比数列的性质可得：，显然单调递减， 当得：， 当得：， 所以只需比较与1的远近即可， 因为，，， 所以比离1近， 故答案为：12 【变式5】（25-26高二上·上海青浦·月考）已知数列各项均为正数，它的前项和为，且，，则数列的通项公式为 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列 【分析】由题设可得，进而结合与的关系化简得到，令，可得，令，为锐角，进而得到，，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，求出，进而得到，再求解即可. 【详解】由，数列各项均为正数， 则， 所以，则， 即， 令，则， 令，为锐角， 则， 所以，则， 又， 所以，即，所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，所以， 所以， 当时，， 又也适合，所以， 故答案为：. 题型四 等比数列的前n项和 【例1】（22-23高二上·上海黄浦·月考）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，则 C． D．记，则数列有最大值 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用、求等比数列前n项和、判断等差数列 【分析】根据等比数列的性质逐项判断即可． 【详解】解：各项均为正项的等比数列，则， 对于选项A：（常数），故正确； 对于选项B：， 所以，故正确； 对于选项C：若数列为等比数列， 所以，故错误； 对于选项D：， 由于，有最小值，且， 所以有最大值， 故有最大值，故正确； 故选：C． 【例2】（22-23高二上·上海黄浦·月考）在等比数列中，若其前n项和，则 ． 【答案】 【知识点】前n项和与通项关系、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列与的关系求解. 【详解】由题可得， 当时，， 因为为等比数列，所以满足， 所以解得， 所以， 所以， 故答案为: . 【例3】（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 【变式1】（23-24高二上·上海杨浦·月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等比数列的简单应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由题意得等比数列的前项和列不等式，然后再由，结合函数零点的判断得出答案. 【详解】设天后能打穿，则，化简为， 令，则，又由函数的单调性可知在内有唯一零点， 所以至少需要天. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s. (1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； (2)若数列满足，且求：的值； (3)请直接写出： . 【答案】(1)； (2) (3). 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】（1）由题意可知数列所有奇数项仍成等比数列，数列所有偶数项也成等比数列，根据等比数列的前项和公式表示出数列前个奇数项的和与数列前个偶数项的和，并分别求出当时它们的值，即为数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； （2）根据所给递推公式求得数列的公比，代入，可求得的值； （3）分类讨论的取值情况，可得到 . 【详解】（1）等比数列首项为a，公比为r，若＜1 数列前个奇数项的和为 若＜1，则由，得，所以当时，. 所以数列所有奇数项的和为. 等比数列首项为b，公比为s.， 所以数列前个偶数项的和为 若，则由，得，所以当时，. 所以数列所有偶数项的和为. （2）若数列满足，则. 由，得，解得. （3）由题可知，. 所以. 【变式3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、数列新定义 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 题型五 数列的概念与性质 【例1】（24-25高二上·上海金山·月考）设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（    ） A．若，则为递增数列 B．若，则为递增数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】结合条件，举反例判断A，结合条件举反例判断B，结合条件为递增数列，举反例判断C，由条件先证明，再证明，由此判断D. 【详解】对于A． ， 故取，，可满足条件， 但，，，，，此时不是递增数列，A错误； 对于B，， 取，，此时，满足条件， 但，，与为递增数列矛盾，B错误； 对于C，取，，则，此时， 所以为递增数列，但，C错误； 对于D，由题意可得 ，故对任意的正整数恒成立， 故，，所以， 若，令可得， 所以当取大于的正整数时，矛盾， 当时，满足条件， 所以， 所以，故，D正确； 故选：D． 【例2】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知数列满足，则 . 【答案】4100626 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由题意，利用直接求解即可. 【详解】因为， 所以， ∴. 故答案为：. 【例3】（23-24高二上·上海·期末）数列满足：，则 . 【答案】/0.5 【知识点】数列周期性的应用 【分析】先求出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】法一：依次代入的值，看看它们符合什么规律： .至此可以发现周期为3. （余数为2），. 故答案为：. 法二：该数列的周期为3，推理过程如下展示： 将换成，得，再将代入，得 ， 再将换成，得，继续将代入，得， ，以下同解法一. 故答案为：. 【例4】（23-24高二上·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项、数列的概念及辨析 【分析】根据题意列式，然后确定的取值情况即可. 【详解】由已知得，此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响， 所以， 又， 所以， 所以共有项的值等于100. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·上海·月考）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据数列的单调性求参数 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】依题意得，从而判断数列是单调递增数列，进而可判断数列各项的符号，由此可得结果. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，则， 由可以判断数列是单调递增数列， 所以， ， 所以，且，且； 即数列，当时，；当时，；当时，. 所以， 即当的前项和最小时，的取值集合为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海·课前预习）观察数列：，，，，，，，，…，，…，随着n无限增大，第n项的值有怎样的趋势？ 【答案】当无限增大时，第项的值无限趋近于零． 【知识点】有穷数列和无穷数列、判断数列的增减性 【分析】根据题意，结合指数函数的性质，得到数列的单调性，即可求解. 【详解】由题意，数列的第n项， 根据指数函数的性质得，可得为递减数列， 当无限增大时，第项的值无限趋近于零． 【变式4】（22-23高二上·上海·期中）已知等差数列中，且，为方程的两个实根． (1)求此数列的通项公式； (2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)268是此数列的第136项. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、判断或写出数列中的项 【分析】（1）根据题意得到，，再利用等差数列的通项公式列方程，解得，，然后写通项即可； （2）令，解得即可. 【详解】（1）由已知条件得，， 又∵为等差数列，设首项为，公差为， ∴，，解得，． ∴． ∴数列的通项公式为． （2）令，解得． ∴268是此数列的第136项． 题型六 利用递推公式表示数列 【例1】（24-25高二上·上海·月考）在数列中，如果存在正整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2024项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 【答案】C 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】根据题意对周期从小到大分类讨论，求得符合题意的周期即可得解. 【详解】因为，所以， 因为数列是周期数列，且， 当时，可得，则，即，不满足题意， 当时，则，即，解得或（舍去）， 则，不满足题意， 当时，则，即，则或， 当时，，即，解得（舍去）， 当时，，此时，即， 又，即，故， 此时，， ，满足题意， 所以数列的周期最小值为3， 此时；；…， 故此时数列的前2024项和是． 故选：C． 【例2】（25-26高二上·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】用换，然后两式作差得到奇数项为等差数列，然后求出奇数项的通项，可得答案. 【详解】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 【变式1】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】4051 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、基本不等式求和的最小值 【分析】结合基本不等式和对勾函数的单调性确定的最小值后可得结论. 【详解】由题意，，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数的性质可知，当时，是关于的单调递增函数， 所以，，依此类推， 所以的最小值为. 故答案为：4051. 【变式2】（24-25高二上·上海黄浦·月考）无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则 . 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据定义可得推断为周期数列，且周期为4，即可求解. 【详解】已知的前四项成等比数列，，，故， 由于为“和谐递进数列”，故，则 故为周期数列，且周期为4， 故， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、递推数列的实际应用 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 题型七 数学归纳法 【例1】（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【知识点】数学归纳法 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 【例2】（23-24高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 【答案】 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 【例3】（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)，，， (2)答案见解析 【知识点】数列的概念及辨析、数学归纳法 【分析】（1）应用数列的前n项和结合二倍角公式及两角和差公式求解； （2）应用数学归纳法结合二倍角公式及两角和差公式证明即可. 【详解】（1）， ，． （2）当时，左边，右边，等式成立． 假设（k为正整数，），， 则当时， ， 此时等式成立． 综合（1）（2）知，对任何n为正整数，． 【变式1】 用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法求解即可. 【详解】表达式的左边是从开始加到结束， 所以验证成立时等式左边计算所得项是. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 【答案】 【知识点】数学归纳法 【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案. 【详解】由题意，当时，所得等式左端为； 当时，所得等式左端为； 所以当时，左端应在时的左端上加上. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【知识点】由定义判定等比数列、数学归纳法、数列新定义 【分析】（1）由题设定义得出，，再计算的值； （2）当，时，猜想，利用数学归纳法证明即可； （3）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 题型八 数学归纳法的应用 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、数学归纳法证明恒等式 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【例2】（24-25高二上·上海·月考）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【知识点】数学归纳法证明数列问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 【变式1】（23-24高二上·上海虹口·月考）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2)猜想，证明见解析 【知识点】推理证明解决探究问题、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 【变式2】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】写出等比数列的通项公式、数学归纳法证明数列问题、数列新定义 【分析】（1）“等比子列”可能为；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式； （2）要使公比最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式； （3）要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，化为证明数列中每一项都是数列中的项，并应用数学归纳法求证. 题型九 求数列通项公式的常用方法 【例1】 已知，则 ． 【答案】 【知识点】判断或写出数列中的项 【解析】由题意得出，再由得出答案. 【详解】 故答案为： 【例2】（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足，则 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【例3】（24-25高二上·上海·月考）已知数列中，，，，若对任意的正整数n及，不等式总成立，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】把递推公式转化为，累加法求得，由数列为递增数列，得，转化为即，当时恒成立，求解即可. 【详解】数列中，，，，整理得 ，， 数列是常数列，则，整理得， 所以，所以该数列单调递增，所以， 即，当时恒成立，只需满足，解得. 【例4】（23-24高二上·上海杨浦·月考）已知数列，则该数列的通项公式可能为 . 【答案】，答案不唯一 【知识点】观察法求数列通项 【分析】通过观察数列的规律求得正确答案. 【详解】通过观察可知，该数列的绝对值是，即奇数列， 所以. 故答案为：，答案不唯一 【例5】（23-24高二上·上海·期末）给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 【答案】 【知识点】数列新定义、求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】设为数列的所有项的和，先根据题意得到递推式，然后再用累加法求解即可. 【详解】设为数列的所有项的和， 因为，为偶数，为奇数， 所以对于偶数项， ， 所以 所以， 上述式子相加可得， 即 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：题目既然求数列的所有项的和，即求角标为偶数时所有项的和，所以接替的关键就是找到角标为偶数时所有项的和的递推关系，进一步理解题意即可做到. 【变式1】 数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 【答案】， 【知识点】观察法求数列通项 【分析】观察项与项数的关系，项的变化比较快故可以考虑与指数函数的关系. 【详解】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=. 故答案为: 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已知棱长为1的正四面体，，，…，在线段上，且. 现过点作平行于直线和的平面，记该平面截正四面体的截面的周长为，则 ． 【答案】4048 【知识点】求等差数列前n项和、定义法求数列通项、线面平行的性质 【分析】设为靠近的第个等分点，过作平行于的平面分别交，，于，，，可证明四边形为平行四边形，求得，从而可得答案. 【详解】设为靠近的第个等分点， 过作平行于的平面分别交，，于，，，如图， 因为平面，且平面平面，所以， 同理，，， 则，故四边形为平行四边形． 又为靠近的第个等分点，且， 故． 故四边形的周长． 所以为常数列，即， 则 故答案为： 【变式3】已知数列有递推关系 (1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值； (2)求的通项公式. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、求递推关系式 【分析】（1）根据题意整理可得，即，运算求解即可； （2）取，可得，利用构造法结合等比数列求通项公式. 【详解】（1）因为，且， 所以， 则，解得或； （2）由（1）可得：当时，则，且， 可得， 则，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，则， 故. 【变式4】（22-23高二上·上海黄浦·月考）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求的值； (2)若，以，求数列最大项及相应的值； (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：. 【答案】(1) (2)数列最大项为，相应的序数为57或58 (3)证明见解析 【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、判断或写出数列中的项、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）由已知代入即可求解； （2）由题，研究数列的单调性，确定其最大项即可； （3）利用裂项相消法求数列的前和，由此结论结论. 【详解】（1）因为，所以，所以； （2）若，则，所以， 所以， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 又，所以数列最大项为，相应的序数为57或58. （3）因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以，即， 即，所以. 【变式5】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）根据公差化简计算得出,再代入求值即可； （2）代入求出，再分类得出数列的单调性即可得出； （3）分和两种情况分别应用累加法及分组求和法求出通项公式. 【详解】（1），是公差为2的等差数列， 所以，所以，又因为， 所以，即， ，即． （2）因为，所以， 所以，当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 所以数列的最小值为，所以，使得对一切正整数，均有； （3）因为，所以， 所以化简得， 当时，， 求和得， 所以； 当时，， 则. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键是得到，进而分情况利用累加法及分组求和法进行求解. 【变式6】（24-25高二上·上海·月考）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式其中并且最高位，k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如，例如十进制数所以25在三进制下可写为． (1)设正整数m在三进制下的各位数字之和为S（m）； ①将满足S（m）=3的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数； ②在十进制1至2025中任选一个正整数m，求S（m）为3的倍数的概率． (2)已知正整数，设正项数列的前n项和为且，求证：（其中表示不大于x的最大整数）． 【答案】(1)①5，7，11，13；② (2)证明见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、不同进制数的互化、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）①由题意，正整数在三进制下分“两位数”与“三位数”两类情况依序从小求解四个数即可；②由题意分析可得，当m为3的倍数时，，，中恰有一个是3的倍数，再计算，由古典概型概率公式可得； （2）先化简等式得，再由关系求递推关系，进而由等比数列得通项，借助二进制下的形式表达（，，，，），由的取值分类求解后再求解可得. 【详解】（1）①由题意，若各位数字之和，且在三进制下，则各位上的数字不超过. 则正整数在三进制下不可能为一位数. 若正整数在三进制下为两位数（，，）形式时， 满足题意的只有2个：，； 若正整数在三进制下为三位数（，）形式时， 满足题意的从小开始数起的两个数为： ，， 综上，从小到大排成一列，该列数的前四个数为. ②设（，）. 若m为3的倍数，则为3的倍数，又，则， 所以，，， 则，， ， 所以当m为3的倍数时，中恰有一个是3的倍数. ，，由，得， 所以都不是3的倍数． 而这2022个数中，有个是3的倍数， 在1至2025中任选一个正整数m，共有个正整数， 所以由古典概型概率公式得，为3的倍数的概率为． （2）因为， 则当时，， 所以， 所以，由数列为正项数列，则，. 又已知，，则， 所以，所以， 因为，也满足上式，所以， 则， 两式作差得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，可得. 由，设（，，，，）， 当时， ， 当时，； 当时，， 所以，即； 当时， ， 当时，； 当时，， 所以，即， 同理可得，，. 当时，， 所以. 所以 ． 【点睛】关键点点睛：题目的难点第三问，突破关键在于两点：一是应用二进制的表示形式，将统一写成（，，，，），进而依次求解；二是由已知条件，，分类讨论当时与当时的情况，其中当时由可得. 题型十 数列求和的常用方法 【例1】设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________ 【答案】 【知识点】数列不等式恒成立问题、数列求和的其他方法、对数的运算 【分析】先求得，由，可得，由此即可求解 【详解】因为， 所以 ， 由，可得，解得， 所以满足的最小值为， 故答案为： 【例2】（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【知识点】求函数值、等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【例3】（24-25高二上·上海·月考）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的基本量的运算列方程求公差、公比即可得解； （2）利用错位相减法求和即可； （3）化简，根据为奇数、偶数分类讨论后分离参数，求最值即可得解. 【详解】（1）为等差数列，为等比数列. 设公差为，公比为， 由，，， 可得，即， 又，解得， 可得，； （2）由（1）知， 设， ， 以上两式相减，得， 所以， 即数列的前项和为； （3）由题设可得，要使对任意的正整数，恒有， 即，即恒成立. 当为奇数时，恒成立， 而，故且； 当为偶数时，恒成立， 而，故且， 综上，存在实数，使得对任意的正整数，恒有. 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用化简，易得结论； （2）通过（1）求出，进而求出，再利用裂项相消的方法求数列的前项和. 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列； （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. 【变式2】（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)数列的前项和为； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列 证明结论； （2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和； （3）结合关系当时，，证明当，由此证明，所以要证明只需证明 ，令，，利用导数研究函数的单调性，由此证明当时，，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为； （3）当时，，又， 所以， 要证明 只需证明， 只需证明， 只需证明，由（2）可得， 只需证明， 只需证明， 只需证明 只需证明 设，，则 则函数在上单调递减，所以当时，， 又，所以，故， 所以 所以． 【变式3】（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由等差数列求和公式即可求解； （2）通过和分别求和； （3）由，，和即可求解. 【详解】（1）设等差数列公差为， 由题意， 所以， 所以； （2）当时， ， 当时， ， 综上； （3）由题意：公比， 所以， 则， 记， 所以 . 【变式4】（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 【答案】(1)13； (2)4950； (3). 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、数列新定义 【分析】（1）根据给定条件，利用逆序数的定义直接计算即可. （2）由给定的通项公式确定其单调性，再利用逆序数的定义，结合等差数列前项和公式求解. （3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数，借助等差数列前项和公式求和即得. 【详解】（1）. （2）由，数列严格单调递减，即， 所以数列的逆序数. （3）数列的通项公式， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 当为奇数时，逆序数 ； 当为偶数时，逆序数 ， 所以. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·上海松江·月考）等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质知为确定常数，进而可判断各项是否为确定常数. 【详解】由题意，得，则为确定常数， 依据等差数列下标和的性质，易知为确定常数， 故选：C 2．（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且    命题B： ②：命题A：等比数列且        命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 【答案】B 【知识点】充分条件、必要条件、判断等差数列、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据充分、必要条件的判断方法，结合等差数列、等比数列的性质判定即可. 【详解】已知均为正整数. ①：若，设等差数列的公差为. 则，所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若，则. 若数列为等差数列，设公差为.即. 当时，，即. 当时，恒成立，所以不一定成立，不一定成立. 若数列不是等差数列，如数列各项为：1，2，3，3，2，1.，此时数列不是等差数列且 . 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. ②：若数列是等比数列，设公比为，由 得：. 所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若. 若数列为等比数列，设公比为，则. 因为，所以. 当时，，所以 ； 当时，恒成立，不一定成立 ； 若数列不是等比数列，如：数列各项均为零，则恒成立，不能推出数列等比且r+t=2s 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·月考）在数列中，已知，则“”是“是严格增数列”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】根据数列的单调性求参数、探求命题为真的充要条件 【分析】根据，分别求解，是严格增数列时的的取值范围，根据两种情况下的取值关系即可判断充分必要条件. 【详解】已知， 若，则，解得； 若是严格增数列，则，恒成立，所以恒成立， 整理得恒成立， 又数列为递减数列，所以，故； 综上可得：“”是“是严格增数列”的充要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·上海·期中）已知等差数列的前项和为，则 ． 【答案】5 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据前n项和直接求数列的项可得. 【详解】由等差数列的前项和为， 当时，； 当时，，得； 当时，，得. 故答案为：5. 5．（25-26高二上·上海普陀·月考）已知为无穷等比数列，，数列 满足，则 ． 【答案】 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和 【分析】利用无穷等比数列的性质及求和公式，结合已知条件构造方程，求出，进而求出，再利用无穷等比数列的求和公式计算求解． 【详解】设的公比为， 为无穷等比数列，则当时，， ， ，化简整理得，解得或（，舍去）， ， ，是首项 ， 公比的无穷等比数列， ． 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25高二上·上海·月考）已知等差数列的前项和为，若则 ． 【答案】48 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的求和公式即可求解. 【详解】． 故答案为：48 7．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】先通过等比数列的通项公式求出首项和公比，再用前项和公式计算即可. 【详解】因为，，代入通项公式， 得： 除以，消去得：， 因此，公比， 将代入： 即：，解得：， 把，，， 代入（）得： . 故答案为：. 8.（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】先通过递推式得当为偶数时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式，根据通项公式观察到数列为递减数列，故求出后，以为基础，通过一定的估算可得到答案. 【详解】当，且为偶数时，， 得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 当，且为奇数时，， 所以 明显数列从第二项起，故数列为递减数列， 当为偶数时， ， 对于，由于， 当时，， 当时，， 又当时，， 故使得成立的最小的正整数的值为， 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·月考）已知有穷数列共项，数列中任意一项，且对于其中任意连续的三项、、，均存在以、、为边长的等腰三角形，且这些等腰三角形互不全等，则m的最大值为 . 【答案】16 【知识点】数列新定义 【分析】先分类讨论数列连续三项中的个数，然后列举出所有可满足题意的连续三项的可能值（共18组），并结合后续项分析其中6组若在数列中，则只能在前三项或最后三项，由此得，然后构造一个满足题意的16项数列即可. 【详解】①若数列中存在连续三项为时， 若前后项为，则存在两个等边三角形全等； 若前后项不为，则不能构成三角形； 故数列的项数，这与题意矛盾，故不存在此类情况； ②若数列中任意连续三项不为，且存在连续三项中恰含有两项为时， 由于不可能大于其他数（）， 即不满足三边关系，无法构成三角形，故也不存在此类情况； ③若数列中任意连续三项中至多一项为时， 则能构成等腰三角形三边长的连续三项可能为： ，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，，共18组. 下面对等腰三角形三边长对应连续三项()的后续可能项进行分析. 若数列中连续三项依次为()， 设添加后续项后仍为等腰三角形，则或， 当时，则后续三边长构成的三角形与前三角形全等，不满足题意； 当时，由后续三边长关系可得，必须有， 故当时，连续三项()的后续添加任意项都不满足题意. 同样地，若数列中连续三项依次为()， 当时，也不能添加任意前项； 若数列中连续三项依次为()， 当时，既不能添加任意前项，也无法添加任意后项. 在18组数中，满足条件的组为： ，，，，，，共6组数. 故若数列中的连续三项取自这六组数中的任一组， 该三项顺序只能为或，且在数列中只能位于前三项或后三项； （附：举例说明： 若数列中含有连续三项为，下面按这三项的顺序分类讨论. 若数列中含有连续三项依次为时， 设这三项后还存在项，设其后一项为，要构成等腰三角形，则， 而与则对应全等的两个等腰三角形，不满足题意， 故这三项后不存在任意一项.同理，这三项前也不存在任意一项， 故此时，这也与题意矛盾；； 同理可知， 若数列中含有连续三项依次为时，其后面也不可能有项； 若数列中含有连续三项依次为时，其前面也不可能有项； 综上所述，若数列中含有连续三项为， 则这三项的顺序只能为或，且分别在数列中只能位于前三项与后三项.） 故在，，，，， 这6组数中， 至多有组数在数列中， 而18组数中还剩余12组数若都在数列中， 故数列中至多可包含个等腰三角形对应的连续三边长数， 即数列至多有项，即. 构造含项的数列如下: . 所以的最大值为16. 故答案为：16. 10．（24-25高二上·上海·单元测试）已知，. (1)求，，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析 【知识点】数学归纳法证明数列问题、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）根据递推式，即可求得答案； （2）结合数列前面几项的值，猜想的表达式，再用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）， ， ， ． （2）猜想：． 下面运用数学归纳法进行证明： ①当时，，猜想成立． ②假设当（为正整数）时猜想成立，即， 则时，， ∴当时，猜想成立， ∴对一切正整数，均成立． 11．（23-24高二上·上海嘉定·期末）设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，，均成立． (1)求的所有可能值； (2)若数列使得无穷数列，，，…，，…是公差为1的等差数列，求数列的通项公式； (3)求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024． 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【知识点】数列综合、利用等差数列通项公式求数列中的项、由递推关系式求通项公式、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）用列举法写出 ，的值，计算出可得； （2）由题意可得出奇数项数列的通项公式，然后由相邻两项差的绝对值求得偶数项； （3）利用（2）中数列构造一个循环数列，即可证明. 【详解】（1），对所有，，， ，则或， ，当时，或，当时，或， 所以或或， 即的可能值为，，； （2），，，…，，…是公差为1的等差数列，， 则，， 即，，所以， 所以； （3）由（2）可知存在一个数列奇数项为从1开始的连续自然数，易知， 然后从第项开始，构造奇数项为公差为的等差数列， 这样由（2）知，当，，时，， 当，时，时，，解得， 则当奇数取至1时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，在此周期数列中存在无穷多项为2024.即证. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推公式的应用和数列通项公式的求解，解题关键是通过（2）构造一个循环数列，以此解决出现无穷多项为2024的数出现的问题. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)7 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列基本量结合等比中项列式求解即可； （2）分组求和应用等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）在等差数列中，，设公差为，由，，构成等比数列， 可得，即有，得． 因为当时，，不满足题意，舍去， 所以，． （2）由（1）得，则，递增， 由， 可得时，正整数n的最小值为7． 13．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 【答案】(1)数列是为“凹数列”，数列不是为“凹数列”，理由见解析 (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、数列新定义、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】（1）首先根据等差数列和等比数列的求和公式求和，再结合“凹数列”的定义，即可判断； （2）首先求数列的通项公式，再根据，代入通项公式，求的范围. 【详解】（1）由于为等差数列， 所以为等比数列， ， 任意的，都有， 故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2）因为等差数列的公差为，， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意，恒成立， 即， 所以，即， 因为， 解得． 所以的取值范围为． 14．（23-24高二上·上海·月考）已知数列满足，，是其前n项和. (1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明； (2)记，求. 【答案】(1)，，猜想，证明见解析 (2) 【知识点】数学归纳法证明数列问题、裂项相消法求和 【分析】（1）根据递推关系计算出，猜想通项公式并利用数学归纳法进行证明. （2）利用裂项求和法求得 【详解】（1），，猜想 当时，，满足猜想， 假设当时，猜想成立，即， 则当时， ，所以当时猜想也成立， 综上，猜想成立，即. （2），， ， . 15．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 16．（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数列不等式恒成立问题、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设的公比为，的公差为，根据已知条件求出可得答案； （2）根据和的通项公式可得数列中项的特点，由等差数列求和公式可得答案； （3）求出数列的通项公式，分组求和可得，可转化为对任意的都成立，求出的最小值可得答案. 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 因为且，所以，， 解得，， 所以，； （2），， 因为数列是正偶数构成的等差数列，数列除首项外，其余项都是的倍数， 所以数列的前50项和； （3）因为，， 所以 ， 由得， 即对任意的都成立， 因为，，等号取不到， 当时，，当时，， 所以正数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $