专题03 二次根式（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题03 二次根式 题型1 二次根式有意义的条件(常考点) 题型6 分母有理化(难点) 题型2 利用二次根式的性质化简 题型7 比较二次根式大小 题型3最简二次根式 题型8 二次根式的化简求值(重点) 题型4同类二次根式 题型9 二次根式的应用 题型5 二次根式混合运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·期末）要使式子在实数范围有意义，则的取值范围为 ． 题型二 利用二次根式的性质化简（共3小题） 4．（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： ． 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）化简 ． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 题型三 最简二次根式（共3小题） 7．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 9．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 题型四 同类二次根式（共3小题） 10．（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型五 二次根式混合运算（共3小题） 13．（25-26八年级上·上海静安·期末）计算 (1) (2) 14．（25-26八年级上·全国·期末）计算： 15．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 题型六 分母有理化（共3小题） 16．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则代数式 ． 17．（22-23八年级上·四川广安·期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 18．（25-26八年级上·湖南·期末）已知x，则的值． 题型七 比较二次根式大小（共3小题） 19．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 20．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 21．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 题型八 二次根式的化简求值（共3小题） 22．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 23．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 24．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 题型九 二次根式的应用（共4小题） 25．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 27．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 28．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ $专题03 二次根式 题型1 二次根式有意义的条件(常考点) 题型6 分母有理化(难点) 题型2 利用二次根式的性质化简 题型7 比较二次根式大小 题型3最简二次根式 题型8 二次根式的化简求值(重点) 题型4同类二次根式 题型9 二次根式的应用 题型5 二次根式混合运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解： 有意义， ， ． 因此，的取值范围是， 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 【答案】2025（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y的取值，再选取一个符合条件的值． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数非负， ∴ ， ∴ ， ∴ 取（满足）， 故答案为：2025（答案不唯一） 3．（24-25九年级上·山东济南·期末）要使式子在实数范围有意义，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵在实数范围有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 题型二 利用二次根式的性质化简（共3小题） 4．（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握（为任意实数）． 先计算被开方数的值，再根据二次根式的性质求算术平方根． 【详解】解：． 故答案为：5． 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式的应用，绝对值与二次根式的化简． （1）先求出方程组的解，再根据有一个解为正数列出不等式，求解即可； （2）由得到，，再根据绝对值与二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵方程组有一个解为正数， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型三 最简二次根式（共3小题） 7．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数． 【详解】解：A． = = ，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B．被开方数含分母，不是最简二次根式； C． = ，可完全开方，不是最简二次根式； D． 被开方数为质数，无分母和能开得尽方的因数，是最简二次根式． 故选：D． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 9．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式．根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即可求解． 【详解】解：∵与是同类二次根式， ∴， ∴的最小整数值为3， 故答案为：3． 题型四 同类二次根式（共3小题） 10．（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、不能与合并，不符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 、，能与合并，符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，被开方数相同的两个二次根式叫做同类二次根式，据此先化简对应选项中的二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 题型五 二次根式混合运算（共3小题） 13．（25-26八年级上·上海静安·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，分母有理化，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（25-26八年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法与运算法则（除法可转化为根式的商、合并同类二次根式）是解题的关键．先将二次根式化为最简形式，再根据二次根式的运算法则逐步计算． 【详解】解：原式 ． 15．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算： （1）根据二次根式的性质进行计算即可． （2）根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型六 分母有理化（共3小题） 16．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化， 先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算和的值，最后求和即可． 【详解】解： ； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 17．（22-23八年级上·四川广安·期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 【答案】(1)①；②；③ (2)2022 【分析】本题考查分母有理化； （1）①分子分母同时乘以即可；②分子分母同时乘以即可；③分子分母同时乘以即可； （2）先将括号内的式子分母有理化，找到互相抵消的项，即可算出结果. 【详解】（1）解：①， ②， ③. 故答案为：①；②；③. （2）解： . 18．（25-26八年级上·湖南·期末）已知x，则的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据分母有理化计算，再对代数式降次计算，即可求解． 【详解】解： ， ． 题型七 比较二次根式大小（共3小题） 19．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 20．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 题型八 二次根式的化简求值（共3小题） 22．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 23．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 24．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 题型九 二次根式的应用（共4小题） 25．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 26．（24-25七年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 27．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形的周长等于其长与宽的和的2倍，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． $