专题02 分式（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题02 分式 题型1 分式的相关概念(常考点) 题型8 分式方程无解问题（难点） 题型2 分式的基本性质 题型9 分式方程的行程问题 题型3分式混合运算（易错点） 题型10 分式方程的工程问题 题型4分式化简求值(常考点) 题型11 分式方程的经济问题 题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数（常考点） 题型12 分式方程和差倍分问题 题型6 整数指数幂的运算 题型13 分式方程的其它实际问题 题型7 解分式方程（易错点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的相关概念（共6小题） 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断各式中分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母无字母，不是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式． ∴属于分式的有2个． 故选：C． 2．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 3．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）分式有意义，则的范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，设，（），代入式子后运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 6．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）分式时， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题关键．根据分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零解答即可得． 【详解】解：∵分式， ∴， 解得． 故答案为：． 题型二 分式的基本性质（共7小题） 7．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 结合最简分式的定义求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴ . ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 11．（25-26八年级上·全国·期末）约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．分子、分母的公因式是，通过约分进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的3倍，此时分式的值为 （填数字） 【答案】3 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 将a，b都扩大到原来的3倍，代入分式化简后与原分式相同，因此值不变． 【详解】当a，b都扩大到原来的3倍时， 新分式为 ． 故答案为：3． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型三 分式混合运算（共3小题） 14．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的减法，再利用除法的性质转换为乘法，约分后化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 15．（25-26八年级上·江西·期末）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键． 先将括号里的分式进行因式分解约分，再通分加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 16．（24-25八年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解： ． 题型四 分式化简求值（共3小题） 17．（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 或 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 当时，原式．（0与选一个代入求值即可） 18．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．根据四则运算法则，应先算除法，再算减法，化简后代入求值． 【详解】解：原式． ． ． 由题意得，  且  ，解得 且 ， ∴当时，原式． 19．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）先化简，再求值：，且x为满足的整数 【答案】，当时，原式=．当时，原式= 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵且， ∴且， ∵， 所以，当时，原式=．当时，原式=． 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数（共3小题） 20．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：， 故选：C． 21．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）用科学记数法表示结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解： 故选：B． 22．（25-26八年级上·全国·期末）华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型六 整数指数幂的运算（共2小题） 23．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)3； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，幂的运算，单项式乘以多项式运算，涉及求一个数的立方根，零指数幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，立方根和绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算幂的、积的乘方，进行同底数幂的乘法运算以及单项式乘以多项式运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．（24-25七年级下·四川达州·期末）计算： (1)． (2) 【答案】(1)8 (2)4 【分析】本题考查了整数指数幂的运算法则，平方差公式，掌握相关公式并灵活运用是解题的关键； （1）利用整数指数幂的运算法则，绝对值的意义化简，再进行加减运算； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）， ， ． （2）， ， ， ． 题型七 解分式方程（共3小题） 25．（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 26．（25-26八年级上·湖北·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：， ， 两边都乘以，得： ，     ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根． （2）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解． 27．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键，解分式方程时一定注意检验． 根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解． 题型八 分式方程无解问题（共4小题） 28．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程是解题关键．把分式方程化为整式方程，先令分母求增根，最后把增根代入整式方程求出k． 【详解】解：， 去分母，得， ，解得， 代入整式方程得：， 解得． 故选：B． 29．（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 30．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的情况（分母为或整式方程无解）来确定的值．本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握分式方程无解时分母为或整式方程无解是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同乘，得 . . ∵分式方程无解， ∴分两种情况： 情况一：，即， 把. 代入，得. 解得 情况二：，即. ，此时整式方程变为，即，无解，符合分式方程无解． 故答案为：或． 31．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程有增根的概念，解题的关键在于理解增根的概念． 根据增根的概念，即增根是使分式方程的分母为0的根，然后通过将分式方程化为整式方程，再结合增根即可求解． 【详解】解：对于分式方程，其分母为， ∵关于的方程有增根， ∴，解得， ∴该分式方程的增根为， 对于分式方程， 化简可得， 将代入上式，可得， 解得． 故答案为：1 ． 题型九 分式方程的行程问题（共4小题） 32．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，设规定时间为天，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为，由快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， 由题意得，慢马速度为里/天，快马速度为里/天， ， 故选B． 33．（25-26八年级上·全国·期末）2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里，根据甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，最终甲比乙早1小时到达，列分式方程即可． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里， 根据题意得． 故选：A． 34．（23-24八年级上·山东泰安·期末）春节期间，小明同学每天从家出发到相距4.5千米的图书馆学习，他每天出发的时间相同．第一天步行去图书馆，到达时图书馆已开馆5分钟；第二天骑自行车去图书馆，结果早到10分钟，图书馆还未开馆，已知图书馆每天开馆时间相同，小明骑自行车的速度是步行速度的1.5倍，求小明步行的速度和骑自行车的速度． 【答案】小明步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设小明步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，根据题意建立分式方程求解即可． 【详解】设小明步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：小明步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时． 35．（24-25八年级上·广东东莞·期末）随着科技的不断进步，我国的高铁、动车实现了跨越式发展，已处于世界领先水平．已知高铁A的平均速度是动车B的倍，高铁A行驶所用的时间比动车B少，求高铁A的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出题目中等量关系，根据等量关系列出方程是解题的关键．设动车B的平均速度为，则高铁A的平均速度为，然后根据“高铁A行驶所用的时间比动车B行驶相同的路程所用时间少”列出方程解答即可． 【详解】解：设动车B的平均速度为，则高铁A的平均速度为，则 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：高铁A的平均速度为． 题型十 分式方程的工程问题（共4小题） 36．（24-25八年级下·山西临汾·期末）近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（    ）． A．每天多完成100m，结果提前2天完成 B．每天少完成100m，结果推迟2天完成 C．每天多完成100m，结果推迟2天完成 D．每天少完成100m，结果提前2天完成 【答案】A 【分析】本题主要查了分式方程的应用．根据方程 ， 表示原计划天数， 表示实际天数，方程表明原计划天数比实际天数多2天，即实际提前2天完成，且实际每天完成量比原计划多100m． 【详解】解：∵ 原计划每天完成米，总路程4000m， ∴ 原计划天数为天． ∵ 实际每天完成m， ∴ 实际天数为天． ∵ 方程表示原计划天数减实际天数等于2， ∴ 实际比原计划提前2天完成，且实际每天多完成100m． ∴ 文中省略的内容为“每天多完成100m，结果提前2天完成”． 故选A 37．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据甲做180个零件的时间比乙做240个零件的时间少小时，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件， 则甲做180个零件的时间为小时，乙做240个零件的时间为小时． 由题意，甲的时间比乙的时间少小时，即． 故答案为：． 38．（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键． 设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递，根据题意建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型机器人每小时分拣件快递， 答：A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件． 39．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 【答案】原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 题型十一 分式方程的经济问题（共4小题） 40．（23-24八年级上·山东泰安·期末）某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用；根据题目中的等量关系列出对应的方程是解题关键． 根据题意，第一次购买x杯奶茶花费15元，单价为元/杯；第二次购买时，单价降低1元，即元/杯，购买数量增加2杯，即杯，总花费减少1元，即14元，据此列方程并变形，与选项对比． 【详解】∵ 第二次单价为元/杯，数量为杯，总花费为元， ∴ 方程为， 变形得， 即． 故选：B． 41．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【答案】(1)羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元 (2)最多能培育黑松露36公斤 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键； （1）设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元． （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤． 由题意得，，解得， 又∵，∴， ∴的最大值为36 答：最多能培育黑松露36公斤． 42．（23-24八年级上·云南红河·期末）2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行．吉祥物“琮琮”“莲莲”和“宸宸”深受大众喜爱．某纪念品店计划从厂家购进吉祥物钥匙挂件和徽章套装，已知购进一套徽章的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵30元，且用4000元购进钥匙挂件的数量正好是用5000元购进徽章套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套徽章的价格分别为多少元？ (2)如果该纪念品店需要钥匙挂件的数量是徽章套装数量的2倍少10个，且购进钥匙挂件和徽章套装的总费用不超过3445元，那么该纪念品店最多可购进多少套徽章？ 【答案】(1)购进一个钥匙挂件的价格为20元，一套徽章的价格为50元 (2)该纪念品店最多可购进40套徽章 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设钥匙挂件价格为x元，徽章价格为元，根据数量关系列方程求解； （2）设徽章套装数量为y套，根据数量关系和总费用限制列不等式求解，并取最大整数解． 【详解】（1）解：设购进一个钥匙挂件的价格为x元，则一套徽章的价格为元， 根据题意，得， 两边同乘，得， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 答：购进一个钥匙挂件的价格为20元，一套徽章的价格为50元； （2）解：设该纪念品店购进y套徽章，则购进钥匙挂件的数量为个， 根据题意，得， 化简得， ， ， ， ∵y为整数， ∴． 答：该纪念品店最多可购进40套徽章． 43．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 题型十二 分式方程和差倍分问题（共4小题） 44．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】(1)购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元 (2)这所学校最多可购买17个乙种足球 【分析】】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 45．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个这种零件，根据“甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙每小时加工个这种零件． 46．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于的分式方程； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本，利用等量关系：科普书单价=文学书单价×，即可得出关于的分式方程； （2）设购进科普书本，则购买本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 47．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 【答案】(1)甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品 (2)需要甲种货车8辆，乙种货车7辆 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用． （1）设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品，根据甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设需要甲种货车m辆，则需要乙种货车辆，根据甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，结合（1）的结果，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品， 由题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品； （2）解：设需要甲种货车辆，则需要乙种货车辆， ， 解得：， ， 答：需要甲种货车8辆，乙种货车7辆． 题型十三 分式方程的其它实际问题（共4小题） 48．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 【答案】(1)①；③ (2)解法一：；解法二：；大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨 (3)至少需要安排5辆小货车 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于根据题意建立方程和不等式． （1）根据所列方程分析即可； （2）根据解分式方程步骤求解，进而得出大货车、小货车每辆每次运输柑橘的吨数，即可解题； （3）设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据“运输的总费用不超过10000元”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨； 解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次； 故答案为：①；③． （2）解法一： 方程两边同乘， 得， 解得，检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．            ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．       解法二： 方程两边同乘x，得：， 解得， 检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．        ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘吨． （3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车． 根据题意得：，          解得：；    ∵y，为整数， 又， y为的倍数， y的最小值为5， 答：至少需要安排5辆小货车． 49．（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 50．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 【答案】(1)，； (2)升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式； （1）根据升级一条甲类、乙类生产线需投入资金间的关系，可得出升级1条甲类生产线需投入万元，再利用用万元升级甲类生产线的条数升级条甲类生产线需投入金额，可用含的代数式表示出用万元升级甲类生产线的条数； （2）根据用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：升级条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，且升级条乙类生产线需投入万元， 升级条甲类生产线需投入万元， 用万元升级甲类生产线的条数为条． 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元． 答：升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 51．（24-25八年级上·福建厦门·期末）要从含盐的盐水40千克里蒸发掉多少水分，才能配制成含盐的盐水？假如不通过蒸发而是在盐水中加盐，又需加多少盐？ 【答案】15千克，千克 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设要从含盐的盐水40千克里蒸发掉x千克水分，才能配制成含盐的盐水，根据，列出方程并求解即可；假如不通过蒸发而是在盐水中加盐，又需加y千克盐，才能配制成含盐的盐水，根据，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设要从含盐的盐水40千克里蒸发掉x千克水分，才能配制成含盐的盐水， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即要从含盐的盐水40千克里蒸发掉15千克水分，才能配制成含盐的盐水； 假如不通过蒸发而是在盐水中加盐，又需加y千克盐，才能配制成含盐的盐水， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即假如不通过蒸发而是在盐水中加盐，又需加千克盐，才能配制成含盐的盐水． $专题02 分式 题型1 分式的相关概念(常考点) 题型8 分式方程无解问题（难点） 题型2 分式的基本性质 题型9 分式方程的行程问题 题型3分式混合运算（易错点） 题型10 分式方程的工程问题 题型4分式化简求值(常考点) 题型11 分式方程的经济问题 题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数（常考点） 题型12 分式方程和差倍分问题 题型6 整数指数幂的运算 题型13 分式方程的其它实际问题 题型7 解分式方程（易错点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的相关概念（共6小题） 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）分式有意义，则的范围是（    ） A． B． C． D．且 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）如果，那么 ． 5．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式无意义． 6．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）分式时， ． 题型二 分式的基本性质（共7小题） 7．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 11．（25-26八年级上·全国·期末）约分： ． 12．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的3倍，此时分式的值为 （填数字） 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 题型三 分式混合运算（共3小题） 14．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·江西·期末）化简： 16．（24-25八年级上·四川泸州·期末）计算：． 题型四 分式化简求值（共3小题） 17．（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 18．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）先化简，再求值：，且x为满足的整数 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数（共3小题） 20．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）用科学记数法表示结果为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·全国·期末）华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ． 题型六 整数指数幂的运算（共2小题） 23．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）计算 (1) (2) 24．（24-25七年级下·四川达州·期末）计算： (1)． (2) 题型七 解分式方程（共3小题） 25．（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 26．（25-26八年级上·湖北·期末）解方程： (1)； (2)． 27．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）解方程：． 题型八 分式方程无解问题（共4小题） 28．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 30．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 31．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的方程有增根，则 ． 题型九 分式方程的行程问题（共4小题） 32．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·全国·期末）2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·山东泰安·期末）春节期间，小明同学每天从家出发到相距4.5千米的图书馆学习，他每天出发的时间相同．第一天步行去图书馆，到达时图书馆已开馆5分钟；第二天骑自行车去图书馆，结果早到10分钟，图书馆还未开馆，已知图书馆每天开馆时间相同，小明骑自行车的速度是步行速度的1.5倍，求小明步行的速度和骑自行车的速度． 35．（24-25八年级上·广东东莞·期末）随着科技的不断进步，我国的高铁、动车实现了跨越式发展，已处于世界领先水平．已知高铁A的平均速度是动车B的倍，高铁A行驶所用的时间比动车B少，求高铁A的平均速度． 题型十 分式方程的工程问题（共4小题） 36．（24-25八年级下·山西临汾·期末）近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（    ）． A．每天多完成100m，结果提前2天完成 B．每天少完成100m，结果推迟2天完成 C．每天多完成100m，结果推迟2天完成 D．每天少完成100m，结果提前2天完成 37．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 38．（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 39．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 题型十一 分式方程的经济问题（共4小题） 40．（23-24八年级上·山东泰安·期末）某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 42．（23-24八年级上·云南红河·期末）2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行．吉祥物“琮琮”“莲莲”和“宸宸”深受大众喜爱．某纪念品店计划从厂家购进吉祥物钥匙挂件和徽章套装，已知购进一套徽章的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵30元，且用4000元购进钥匙挂件的数量正好是用5000元购进徽章套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套徽章的价格分别为多少元？ (2)如果该纪念品店需要钥匙挂件的数量是徽章套装数量的2倍少10个，且购进钥匙挂件和徽章套装的总费用不超过3445元，那么该纪念品店最多可购进多少套徽章？ 43．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 题型十二 分式方程和差倍分问题（共4小题） 44．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 45．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 46．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 47．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 题型十三 分式方程的其它实际问题（共4小题） 48．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 49．（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 50．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 51．（24-25八年级上·福建厦门·期末）要从含盐的盐水40千克里蒸发掉多少水分，才能配制成含盐的盐水？假如不通过蒸发而是在盐水中加盐，又需加多少盐？ $