专题05 直角三角形（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题05 直角三角形 题型1 直角三角形的判定与性质 题型5 勾股定理的证明 题型2 勾股定理（常考点） 题型6 直角三角形全等的判定（常考点） 题型3 勾股定理的应用（重点） 题型7 角平分线的性质 题型4勾股定理的逆定理的应用 题型8 角平分线的判定（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直角三角形的判定与性质（共4小题） 1．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（   ） A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米 3．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 4．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：平分（已知）， ______． 是的外角， ∴______（______）， ∴（等式的性质） ______（等量代换） ______． 于点， ． （______）． ______． 题型二 勾股定理（共3小题） 5．（24-25八年级下·青海玉树·期末）在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 7．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 题型三 勾股定理的应用（共8小题） 8．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 10．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 11．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 13．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 14．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 题型四 勾股定理的逆定理（共4小题） 16．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 17．（25-26九年级上·全国·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接．将求分成求和的和即可．请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 18．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 19．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 题型五 勾股定理的证明（共3小题） 20．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：． 21．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． (2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． (3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 22．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 题型六 直角三角形全等的判定（共4小题） 23．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 25．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 26．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，求度数． 题型七 角平分线的性质（共4小题） 27．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，为的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，那么点E和点A之间的距离为 ． 29．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 ．（用含m、n的式子表示） 30．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 题型八 角平分线的判定（共4小题） 31．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 32．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 33．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，，． (1)求证：点B在的平分线上； (2)求证：平分． 34．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，交的延长线于点，交的延长线于点，，求证：． $专题05 直角三角形 题型1 直角三角形的判定与性质 题型5 勾股定理的证明 题型2 勾股定理（常考点） 题型6 直角三角形全等的判定（常考点） 题型3 勾股定理的应用（重点） 题型7 角平分线的性质 题型4勾股定理的逆定理的应用 题型8 角平分线的判定（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直角三角形的判定与性质（共4小题） 1．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ，，故选项B正确； ∵是中斜边上的中线， ∴， ∴， ，故A选项正确； ∵，， ∴，故选项C正确； ∵不一定相等，， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（   ） A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，利用直角三角形斜边上的中线性质来求解B和D之间的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴． 故选：D． 3．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直角三角形的性质，列代数式； （1）根据速度乘以时间等于路程求出 ，即可得到； （2）在（1）的条件下，，，，当是等腰三角形时，，据此列方程计算即可； （3）先推理出当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，画出图形，得到此时、、三个三角形全等，则，，，求出，最后根据点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， 当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒， ∴ ， ∴， 故答案为：，； （2）解：在（1）的条件下，，，， ∴当是等腰三角形时，， ∴， 解得； （3）解：连接将分成和， ∵中含整个图形中最长边，且与有关的三角形不可能有边等于， ∴当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，如图所示： 此时、、三个三角形全等， ∴，，， ∵， ∴，解得， ∴点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即． 4．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：平分（已知）， ______． 是的外角， ∴______（______）， ∴（等式的性质） ______（等量代换） ______． 于点， ． （______）． ______． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余． 由角平分线的定义，得出，利用三角形外角的性质可求出，结合垂直关系得，再根据直角三角形两锐角互余可求出的度数． 【详解】解：平分（已知）， ， 是的外角， ∴ （三角形的一个外角等于与它不相邻的内角之和）， ∴（等式的性质） （等量代换） ， 于点， ， （垂直的定义）， ． 题型二 勾股定理（共3小题） 5．（24-25八年级下·青海玉树·期末）在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 6．（24-25九年级下·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 7．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 题型三 勾股定理的应用（共8小题） 8．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 9．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 10．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【详解】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 11．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设梯子顶端到地面的高度为米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； （）设底端将水平滑动米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为米， 由勾股定理得，， 解得， 答：梯子顶端到地面的高度为米； （2）解：设底端将水平滑动米， 由题意得，， 解得， 答：底端将水平滑动米． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 13．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【答案】的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 14．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】会受到影响，影响时间为4分钟 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积等知识，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段）的长度是解题的关键．在中，由，可得出，过点作于点，利用面积法可求出的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线上点到点的距离为，连接，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长，再利用时间路程速度，即可求出学校受影响的时长． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴学校会受到影响． 设直线上点到点的距离为，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴受影响时间为（分钟）， 答：学校会受到影响，受4分钟影响． 题型四 勾股定理的逆定理（共4小题） 16．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 17．（25-26九年级上·全国·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接．将求分成求和的和即可．请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，．再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到． （2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到． 【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则 ，， ∴为等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ， ∴ 是直角三角形，， ． （2）由正方形的性质得：，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，， ∴， ， ， ∵，，， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理逆定理等知识，掌握利用旋转作出正确作出辅助线是解题的关键． 18．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理得到，进而可得是直角三角形，根据四边形的面积的面积的面积计算即可． 【详解】解：连接， ，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， 是直角三角形， 四边形的面积的面积的面积 该四边形土地的面积为． 19．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，然后由，列式计算即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得：， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 答：这块四边形空地的面积为． 题型五 勾股定理的证明（共3小题） 20．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了勾股定理的应用及勾股定理逆定理证明．通过勾股定理求出、、的长度，再根据勾股定理的逆定理来证明结论． 【详解】证明：在网格图中，在一个直角边分别为2和2的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 同理，在一个直角边分别为3和3的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 在一个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且， ∴． 21．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． (2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． (3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理可得长为4、宽为1的长方形的对角线长为，长为3、宽为2的长方形的对角线长为，选择合适的矩形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可； （3）观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可证这个三角形是直角三角形； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接长为4、宽为1的长方形的对角线为线段，长为3、宽为2的长方形的对角线长为线段； （2）如图，依次连接长为4、宽为3的矩形的对角线，长为2、宽为1的矩形的对角线长和长为4、宽为2的矩形的对角线； （3）∵， ∴这个三角形是直角三角形． 22．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【分析】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2）证明： 平分， ， 又 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【点睛】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 题型六 直角三角形全等的判定（共4小题） 23．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 24．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，，，证明，再结合，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴与都为直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 26．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解线段垂直平分线的性质． （1）依据判定和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，再根据EF是线段AC的垂直平分线得，由此即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据和全等得，然后根据得，由此即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， ； （2）解：在中，，， ， 由可知：，， ， ， ， ． 题型七 角平分线的性质（共4小题） 27．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，为的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用相等的线段是解答本题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，从而求得的长． 【详解】解：，为的平分线，， ， 又， ． 故选：． 28．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，那么点E和点A之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点作，根据题意得到，由角平分线的性质可得，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作， 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴点E和点A之间的距离为． 故答案为：． 29．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 ．（用含m、n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，则，进而可求出． 【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图； 平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，则， ∴． 故答案为：． 30．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 【答案】（1）见详解（2）（3）见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质，解题的关键是掌握相应的判定定理； （1）利用证明，再利用全等的性质即可证明； （2）易证，，，即可证明；则，，再结合平行线的性质以及，进行列式计算，即可作答． （3）先证明，得，证明 ，得，结合，，得，，即． 【详解】解：由题意知：， 都为直角三角形， ， ， ， 平分； 证明：平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （3）过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵在四边形中，是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 题型八 角平分线的判定（共4小题） 31．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， A．若，则， ∴， ∴，故A正确； B．若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故B正确； C．∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；故C正确； D．在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故D错误； 故选：D． 32．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 【答案】(1)是等腰三角形 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的判定得到，根据三角形的内角和定理推出，进而得到，因此，即可解答． （2）由（1）即可证明． 【详解】（1）解：是等腰三角形． ∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 33．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，，． (1)求证：点B在的平分线上； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，等角对等边，全等三角形的判定和性质． （1）根据等角对等边得到，再根据，，可知点B在的平分线上； （2）先证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， 又，， ∴ ∴点B在的平分线上； （2）证明：在和中， ∵，， ∴ ∴ ∴平分 34．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，交的延长线于点，交的延长线于点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的性质与判定，根据已知可得平分．进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵，，， ∴平分， ∴， 又∵,， ∴， ∴． $