第三单元 因数和倍数（知识清单）数学北京版五年级下册

该小学数学“因数和倍数”单元知识清单全面涵盖因数倍数意义、找法、特征等七大知识范畴，以“定义-方法-应用”为脉络搭建从概念理解到综合运用的递进式学习支架。 清单通过分级呈现构建完整知识体系，标注“100以内质数表需熟记”等重难点，用短除法等方法培养运算能力与推理意识。设计八大题型分类及例题练习，如“哥德巴赫猜想”应用实例，支持学生自主学习，辅助教师精准教学。

第三单元 因数和倍数 知识清单 知识一、因数和倍数的意义 1.定义：在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 2.注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 3.研究范围：只在非0自然数范围内讨论（即1,2,3,...）。 知识二、找一个数的因数和倍数 1.找因数的方法 (1)列乘法算式：成对找，从1开始，直到两个因数相同为止。 (2)特点：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 2.找倍数的方法 (1)列乘法算式：用这个数依次乘1,2,3,... (2)特点：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 知识三、2、3、5的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数。 (1)偶数：是2的倍数的数（0也是偶数）； (2)奇数：不是2的倍数的数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3. 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 例：123：1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 4.同时是2和5的倍数：个位上必须是0。 知识四、质数与合数 1.质数（素数）：一个数只有1和它本身两个因数。 例：2（因数1,2）、3（因数1,3）、5、7等。 2.合数：一个数除了1和它本身，还有其他因数。 例：4（因数1,2,4）、6（因数1,2,3,6）、8、9等。 3.1：既不是质数，也不是合数（只有1个因数）。 4.100以内的质数表（需熟记）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。 知识五、分解质因数 1.定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。 2.质因数：既是质数又是某个数的因数。 3.方法： (1)树状图法：将合数分解成质数相乘的形式。例：分解12：12=2×2×3（2和3都是质数）。 (2)短除法：用质数依次去除合数，直到商是质数为止，再把除数和商相乘。 知识六、公因数与最大公因数 1.公因数 (1)定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 (2)例：8的因数有1,2,4,8；12的因数有1,2,3,4,6,12。则8和12的公因数有1,2,4。 2.最大公因数 (1)定义：几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 (2)例：8和12的公因数有1,2,4，其中最大的是4，所以8和12的最大公因数是4。 3.求最大公因数的方法 (1)列举法：先列出各数的因数，找出公有因数，再确定最大的一个。 (2)短除法：用公有的质因数依次去除这几个数，直到商互质（只有公因数1）为止，再把所有除数相乘。 知识七、公倍数与最小公倍数 1.公倍数 (1)定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 (2)例：4的倍数有4,8,12,16,20,24,...；6的倍数有6,12,18,24,30,...。则4和6的公倍数有12,24,...。 2.最小公倍数 (1)定义：几个数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 (2)例：4和6的公倍数有12,24,...，其中最小的是12，所以4和6的最小公倍数是12。 3.求最小公倍数的方法 (1)列举法：先列出各数的倍数，找出公有倍数，再确定最小的一个。 (2)短除法：用公有的质因数依次去除这几个数，直到商互质为止，再把所有除数和最后的商相乘。 题型一、因数和倍数的认识 【例1】（24-25五年级下·广西百色·期末）在算式72÷8＝9中，72是8的( )，9是72的( )。（填“倍数”或“因数”） 【练1】（24-25五年级上·河北邯郸·期末）48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 题型二、找一个数的因数 【例2】（24-25五年级下·云南昭通·期中）18的因数有( )。 【练2】（24-25五年级下·吉林松原·期中）30的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )。 题型三、找一个数的倍数 【例3】（23-24五年级下·内蒙古通辽·期末）50以内数中7的倍数一共有( )个。 【练3】（23-24五年级下·北京丰台·期末）8的最小倍数是( )。 题型四、2、5、3的倍数 【例4】（24-25五年级下·广东东莞·期末）17□是一个三位数，在□里填上( )，就是5的倍数，在□里填上( )就是3的倍数。 【练4】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）刘叔叔在学习平台“学习强国”上的分数达到了2965分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 题型五、奇数与偶数的认识 【例5】（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个两位数既有因数3又是5的倍数，而且是偶数，这个两位数最小是（    ）。 A．12 B．15 C．30 D．90 【练5】（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在5的倍数中，最小的偶数是( )，最小的三位数奇数是( )。 题型六、质数与合数的认识 【例6】（24-25五年级下·湖南长沙·期末）在2、1、4、51、97这五个数中，( )是质数，( )是合数。 【练6】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）“任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和”被称为“哥德巴赫猜想”，是“数学皇冠上的明珠”。下面算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．40＝19＋21 C．19＝2＋17 D．14＝11＋3 题型七、公因数与最大公因数 【例7】（24-25五年级下·全国·课后作业）找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。 ( )          ( )          ( )          ( ) ( )         ( )           ( )           ( ) 【练7】（24-25五年级下·贵州铜仁·期中）求下列各组数的最大公因数。 15和16                   28和36                  7和63 题型八、公倍数与最小公倍数 【例8】（24-25五年级下·河北邢台·期中）求下面每组数的最小公倍数。 17和51       57和95            35和63 【练8】（24-25五年级下·山东青岛·期中）用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和20      18和42      26和91 1．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 2．（24-25五年级下·广东东莞·期末）在1、2、17、51、63、71、85这些数中，质数共有（    ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25五年级下·天津和平·期末）哥德巴赫猜想的内容为“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”下面符合这个猜想的算式是（    ）。 A．45＝2＋43 B．42＝11＋31 C．38＝25＋13 D．16＝7＋9 4．（24-25五年级下·广东珠海·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．8和6的最小公倍数是48。 B．一个数的因数一定比它的倍数小。 C．一个奇数与一个偶数的和一定是奇数。 D．两个质数的和一定是合数。 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）在1，4，11，39，51，23，72这些数中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 6．（24-25五年级下·贵州黔南·期末）一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。 7．（24-25五年级下·贵州黔西·期末）望谟县某小学在2025年国际儿童节举行雕花剪纸比赛，学生上交了100幅作品，获奖的作品数是偶数，没有获奖的作品数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 8．（24-25五年级下·浙江杭州·期中）54是一个四位数，它既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最小是( )，最大是( )。 9．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）小轩家无线网的密码是一个六位数ABCDEF，A既是偶数又是质数，B既是6的倍数又是6的因数，C既是奇数又是合数，D是最小的合数，E是8的最小因数，F是最小的自然数。小轩家无线网的密码是( )。 10．（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。 (1)最大的奇数 。 (2)最小的偶数 。 (3)5的倍数 。 (4)既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数 。 11．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）9和16的最大公因数是( )，15和20的最小公倍数是( )。 12．（23-24五年级下·全国·课后作业）在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。 ( )    ( )    ( )     ( )    ( )        ( ) 13．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）a和b是两个非0自然数，它们的关系如图，则a是( )，b是( )，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 14．（24-25五年级下·重庆沙坪坝·期末）有两根塑料管，分别长24分米、16分米。把它们都截成同样长的小段，不许有剩余，每小段塑料管最长是( )分米。 15．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8    17和34    6和21    24和32 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数和倍数 知识清单 知识一、因数和倍数的意义 1.定义：在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 2.注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 3.研究范围：只在非0自然数范围内讨论（即1,2,3,...）。 知识二、找一个数的因数和倍数 1.找因数的方法 (1)列乘法算式：成对找，从1开始，直到两个因数相同为止。 (2)特点：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 2.找倍数的方法 (1)列乘法算式：用这个数依次乘1,2,3,... (2)特点：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 知识三、2、3、5的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数。 (1)偶数：是2的倍数的数（0也是偶数）； (2)奇数：不是2的倍数的数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3. 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 例：123：1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 4.同时是2和5的倍数：个位上必须是0。 知识四、质数与合数 1.质数（素数）：一个数只有1和它本身两个因数。 例：2（因数1,2）、3（因数1,3）、5、7等。 2.合数：一个数除了1和它本身，还有其他因数。 例：4（因数1,2,4）、6（因数1,2,3,6）、8、9等。 3.1：既不是质数，也不是合数（只有1个因数）。 4.100以内的质数表（需熟记）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。 知识五、分解质因数 1.定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。 2.质因数：既是质数又是某个数的因数。 3.方法： (1)树状图法：将合数分解成质数相乘的形式。例：分解12：12=2×2×3（2和3都是质数）。 (2)短除法：用质数依次去除合数，直到商是质数为止，再把除数和商相乘。 知识六、公因数与最大公因数 1.公因数 (1)定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 (2)例：8的因数有1,2,4,8；12的因数有1,2,3,4,6,12。则8和12的公因数有1,2,4。 2.最大公因数 (1)定义：几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 (2)例：8和12的公因数有1,2,4，其中最大的是4，所以8和12的最大公因数是4。 3.求最大公因数的方法 (1)列举法：先列出各数的因数，找出公有因数，再确定最大的一个。 (2)短除法：用公有的质因数依次去除这几个数，直到商互质（只有公因数1）为止，再把所有除数相乘。 知识七、公倍数与最小公倍数 1.公倍数 (1)定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 (2)例：4的倍数有4,8,12,16,20,24,...；6的倍数有6,12,18,24,30,...。则4和6的公倍数有12,24,...。 2.最小公倍数 (1)定义：几个数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 (2)例：4和6的公倍数有12,24,...，其中最小的是12，所以4和6的最小公倍数是12。 3.求最小公倍数的方法 (1)列举法：先列出各数的倍数，找出公有倍数，再确定最小的一个。 (2)短除法：用公有的质因数依次去除这几个数，直到商互质为止，再把所有除数和最后的商相乘。 题型一、因数和倍数的认识 【例1】（24-25五年级下·广西百色·期末）在算式72÷8＝9中，72是8的( )，9是72的( )。（填“倍数”或“因数”） 【答案】 倍数 因数 【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，据此解答。 【详解】因为72÷8＝9，所以8×9＝72，8和9是72的因数，72是8和9的倍数。 综上分析，在算式72÷8＝9中，72是8的倍数，9是72的因数。 【练1】（24-25五年级上·河北邯郸·期末）48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【答案】 6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数； 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 【详解】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 题型二、找一个数的因数 【例2】（24-25五年级下·云南昭通·期中）18的因数有( )。 【答案】1、2、3、6、9、18 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有1、2、3、6、9、18。 【练2】（24-25五年级下·吉林松原·期中）30的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )。 【答案】 8 1 30 【分析】找一个数的因数时，可以通过成对列举乘积等于该数的整数对，再统计个数，并确定最小和最大的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30；共8个。 30的因数有（8）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（30）。 题型三、找一个数的倍数 【例3】（23-24五年级下·内蒙古通辽·期末）50以内数中7的倍数一共有( )个。 【答案】7 【分析】找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】50以内数中7的倍数：7，14，21，28，35，42，49。 50以内数中7的倍数一共有7个。 【练3】（23-24五年级下·北京丰台·期末）8的最小倍数是( )。 【答案】8 【分析】一个数的倍数就是这个数分别乘1、2、3、4……所得的数。根据倍数的定义，一个数的最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】由分析得：8的最小倍数是8。 题型四、2、5、3的倍数 【例4】（24-25五年级下·广东东莞·期末）17□是一个三位数，在□里填上( )，就是5的倍数，在□里填上( )就是3的倍数。 【答案】 0、5 1、4、7 【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除的数；5的倍数的特征：个位上是0或5的数；据此解答。 【详解】17□是一个三位数，要使这个数是5的倍数，则个位必须是0、5，所以□里应该填上0、5； 17□是一个三位数，要使这个数是3的倍数，则1＋7＋□的和要能被3整除； 1＋7＋1＝9，9÷3＝3； 1＋7＋4＝12，12÷3＝4； 1＋7＋7＝15，15÷3＝5； 所以要使这个数是3的倍数，则□里可以填1、4、7。 17□是一个三位数，在□里填上0、5，就是5的倍数，在□里填上1、4、7就是3的倍数。 【练4】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）刘叔叔在学习平台“学习强国”上的分数达到了2965分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】 2 5 【分析】3的倍数是一个数各位数字之和能被3整除。同时是2和5的倍数是一个数末尾必须是0。计算2965各位数字之和：2＋9＋6＋5＝22。比22大且能被3整除的最小数是24。需增加的分是：24－22＝2。2965末尾是5，要满足末尾为0，需找到比2965大且末尾为0的最小数，即2970。需增加的分是：2970－2965＝5。 【详解】2＋9＋6＋5＝22 24是3的倍数； 24－22＝2（分） 2970是2和5的倍数； 2970－2965＝5（分） 至少增加2分就是3的倍数，至少增加5分就同时是2和5的倍数。 题型五、奇数与偶数的认识 【例5】（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个两位数既有因数3又是5的倍数，而且是偶数，这个两位数最小是（    ）。 A．12 B．15 C．30 D．90 【答案】C 【分析】5的倍数特征是个位是0或5；3的倍数特征是各个数位上数字之和是3的倍数；偶数是能被2整除的数，也就是个位是偶数（0、2、4、6、8）。要找到符合这三个条件的最小两位数，我们需要先根据5的倍数和偶数的特征确定个位数字，再结合3的倍数特征确定十位数字。 【详解】确定个位数字：因为这个数是5的倍数且是偶数，所以个位只能是0。 确定十位数字：当个位是0时，要满足是3的倍数，那么十位上的数是一定3的倍数，所以十位上只能3、6、9，十位上是3时，这个两位数最小。 所以这个两位数最小是30。 故答案为：C 【练5】（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在5的倍数中，最小的偶数是( )，最小的三位数奇数是( )。 【答案】 10 105 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此解答。 【详解】由5的倍数特征可知：5的倍数有：5、10、15、20、……、95、100、105、110、115、……，其中最小的偶数是10，最小的三位数奇数是105。 题型六、质数与合数的认识 【例6】（24-25五年级下·湖南长沙·期末）在2、1、4、51、97这五个数中，( )是质数，( )是合数。 【答案】 2、97 4、51 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数； 1既不是质数也不是合数。 【详解】在2、1、4、51、97这五个数中，（2、97）是质数，（4、51）是合数。 【练6】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）“任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和”被称为“哥德巴赫猜想”，是“数学皇冠上的明珠”。下面算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．40＝19＋21 C．19＝2＋17 D．14＝11＋3 【答案】D 【分析】根据哥德巴赫猜想，需验证各选项是否满足以下条件：①和为大于2的偶数；②两个加数均为质数。 【详解】A．：20是偶数，但1不是质数，此选项错误； B．：40是偶数，但21（因数）是合数，此选项错误； C．：19是奇数，不符合猜想前提，此选项错误； D．：14是偶数，11和3均为质数，此选项正确。 故答案为：D 题型七、公因数与最大公因数 【例7】（24-25五年级下·全国·课后作业）找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。 ( )          ( )          ( )          ( ) ( )         ( )           ( )           ( ) 【答案】 1 4 9 3 3 4 11 6 【分析】先把分子、分母分解质因数，分子和分母公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；两个数互质，它们的最大公因数是1；两个数是倍数关系，较小的数是它们的最大公因数，据此解答。 【详解】（1）8和9互质，8和9的最大公因数是1 （2）4和12是倍数关系，4和12的最大公因数是4 （3） 18和27的最大公因数是： （4）3和6是倍数关系，3和6的最大公因数是3 （5） 6和15的最大公因数是：3 （6） 20和24的最大公因数是： （7） 22和77的最大公因数是：11 （8） 12和54的最大公因数是： 【练7】（24-25五年级下·贵州铜仁·期中）求下列各组数的最大公因数。 15和16                   28和36                  7和63 【答案】1；4；7 【分析】对于不同的数，可根据数的特点选择合适方法。一般可以通过列举法、分解质因数法等找出两个数公有的因数中最大的那个，就是它们的最大公因数。如果两个数是互质数（公因数只有1的两个非零自然数），那么它们的最大公因数就是1；如果两个数存在倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 【详解】（1）15的因数有1、3、5、15。 16的因数有1、2、4、8、16。 15和16的最大公因数是1； （2）28的因数有1、2、4、7、14、28。 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 28和36的最大公因数是4； （3）63÷7＝9 7和63的最大公因数是7。 题型八、公倍数与最小公倍数 【例8】（24-25五年级下·河北邢台·期中）求下面每组数的最小公倍数。 17和51       57和95            35和63 【答案】51；285；315 【分析】分析题目，分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把给出的每组数分解质因数；再根据两个数的最小公倍数是它们公有的因数和它们各自独有的因数的连乘积解答即可。 【详解】51＝3×17 17和51的最小公倍数是51； 57＝19×3，95＝19×5， 19×3×5＝285；        57和95的最小公倍数是285； 35＝5×7，63＝7×3×3， 5×7×3×3＝315；             35和63的最小公倍数是315。 17和51的最小公倍数是51； 57和95的最小公倍数是285；       35和63的最小公倍数是315。 【练8】（24-25五年级下·山东青岛·期中）用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和20      18和42      26和91 【答案】4，80；6，126；13，182 【分析】短除法是求最大公因数和最小公倍数的常用方法。对于两个数，先用它们公有的质因数连续去除，一直除到所得的商互质为止。此时，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数；所有除数与最后的商的乘积就是这两个数的最小公倍数。 【详解】16和20 最大公因数：2×2＝4 最小公倍数：2×2×4×5＝80 18和42 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×3×7＝126 26和91 最大公因数：13 最小公倍数：13×2×7＝182 16和20：最大公因数是4，最小公倍数是80；18和42：最大公因数是6，最小公倍数是126；26和91：最大公因数是13，最小公倍数是182 1．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 【答案】B 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出54的所有因数；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出54以内9的倍数，最后找出符合条件的数即可。 【详解】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 所以，一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是9，18，27，54。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·广东东莞·期末）在1、2、17、51、63、71、85这些数中，质数共有（    ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，1既不是质数也不是合数，据此解答。 【详解】1既不是质数也不是合数，2、17、71是质数，51、63、85是合数，所以质数共有3个。 故答案为：A 3．（24-25五年级下·天津和平·期末）哥德巴赫猜想的内容为“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”下面符合这个猜想的算式是（    ）。 A．45＝2＋43 B．42＝11＋31 C．38＝25＋13 D．16＝7＋9 【答案】B 【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；整数中，是2的倍数的数叫作偶数；结合质数、偶数的定义，分析算式中的和与加数，由此解答即可。 【详解】A．45＝2＋43，其中45不是偶数，所以这个算式45＝2＋43不符合哥德巴赫猜想。 B．42＝11＋31，42是偶数，11和31都是质数，所以算式42＝11＋31符合哥德巴赫猜想。 C．38＝25＋13，38是偶数，25的因数除了1和25外，还有因数5，所以25不是质数，所以算式38＝25＋13不符合哥德巴赫猜想。 D．16＝7＋9，其中9除了因数1和9外，还有因数3，所以9不是质数，算式16＝7＋9不符合哥德巴赫猜想。 所以符合哥德巴赫猜想的算式是42＝11＋31。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·广东珠海·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．8和6的最小公倍数是48。 B．一个数的因数一定比它的倍数小。 C．一个奇数与一个偶数的和一定是奇数。 D．两个质数的和一定是合数。 【答案】C 【分析】A．分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 B．一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 C．整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 D．一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．8＝2×2×2，6＝2×3，所以8和6的最小公倍数是2×2×2×3＝24，原选项说法错误； B．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以一个数的因数可能比它的倍数小，也可能相等，原选项说法错误； C．如：3＋2＝5，5是奇数；1＋8＝9，9是奇数；所以一个奇数与一个偶数的和一定是奇数，原选项说法正确； D．如：2＋3＝5，5是质数；所以两个质数的和不一定是合数，原选项说法错误。 故答案为：C 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）在1，4，11，39，51，23，72这些数中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 【答案】 4，72 1，11，39，51，23 11，23 4，39，51，72 【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；据此解答。 【详解】由分析可知，这些数中，偶数有4，72，奇数有1，11，39，51，23，质数有11，23，合数有4，39，51，72。 6．（24-25五年级下·贵州黔南·期末）一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是( )，它的因数有( )。 【答案】 35 1，5，7，35 【分析】一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身，所以既是35的因数，又是35的倍数的数是35。 在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此找出35的因数。 【详解】35＝1×35＝5×7 一个数既是35的因数，又是35的倍数，这个数是35，它的因数有1、5、7、35。 7．（24-25五年级下·贵州黔西·期末）望谟县某小学在2025年国际儿童节举行雕花剪纸比赛，学生上交了100幅作品，获奖的作品数是偶数，没有获奖的作品数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】偶数＋偶数＝偶数，即偶数－偶数＝偶数；奇数＋奇数＝偶数，偶数－奇数＝奇数；奇数＋偶数＝奇数，奇数－奇数＝偶数；100是偶数，获奖作品是偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【详解】根据分析可知，望谟县某小学在2025年国际儿童节举行雕花剪纸比赛，学生上交了100幅作品，获奖的作品数是偶数，没有获奖的作品数是偶数。 8．（24-25五年级下·浙江杭州·期中）54是一个四位数，它既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 5040 5940 【分析】同时是2和5的倍数，个位必为0，四位数为“5□40”；是3的倍数，各位和能被3整除，即5＋□＋4＋0＝9＋□能被3整除；百位最小取0，9＋0＝9能被3整除，得最小数5040；百位最大取9，9＋9＝18能被3整除，得最大数5940。 【详解】个位必为0，此时四位数为“5□40”； 5＋□＋4＋0＝9＋□ 百位取0，9＋0＝9，能被3整除，最小数是5040； 百位取9，9＋9＝18，能被3整除，最大数是5940。 这个四位数最小是5040，最大是5940。 9．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）小轩家无线网的密码是一个六位数ABCDEF，A既是偶数又是质数，B既是6的倍数又是6的因数，C既是奇数又是合数，D是最小的合数，E是8的最小因数，F是最小的自然数。小轩家无线网的密码是( )。 【答案】269410 【分析】本题考查质数、合数、因数、倍数、自然数等概念的综合应用。根据每个字母的条件逐一确定数字：A是偶质数，只能是2；B既是6的倍数又是6的因数，且为一位数，只能是6；C是奇合数，且为一位数，只能是9；D是最小合数，是4；E是8的最小因数，是1；F是最小自然数，是0。组合后得到密码。 【详解】A既是偶数又是质数，唯一的偶质数是2，因此。 B既是6的倍数又是6的因数，6的因数有1、2、3、6，6的倍数有6、12等，但B为一位数，因此。 C既是奇数又是合数，一位数中奇合数有9，因此。 D是最小的合数，合数大于1且有其他因数，最小合数是4，因此。 E是8的最小因数，8的因数有1、2、4、8，最小因数是1，因此。 F是最小的自然数，自然数从0开始，因此。 综上，密码为269410。 10．（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。 (1)最大的奇数 。 (2)最小的偶数 。 (3)5的倍数 。 (4)既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数 。 【答案】(1)923 (2)230 (3)320 (4)390 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。较大的3个数是9、3、2，最大的数放到百位，较小的3放到个位即可； （2）较小的3个数是0、3、2，因为0不能在最高位，将2放到百位，0放到个位即可； （3）个位上是0或5的数是5的倍数，据此选出包含0的三个数，将0放到个位即可； （4）既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】（1）最大的奇数923。 （2）最小的偶数230。 （3）5的倍数320。（答案不唯一） （4）既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数390。 11．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）9和16的最大公因数是( )，15和20的最小公倍数是( )。 【答案】 1 60 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。 【详解】9和16是互质数，最大公因数是1。 15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最小公倍数是3×2×2×5＝60 9和16的最大公因数是1，15和20的最小公倍数是60。 12．（23-24五年级下·全国·课后作业）在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。 ( )    ( )    ( )     ( )    ( )        ( ) 【答案】 1 4 18 3 7 11 【分析】如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1； 除了分子和分母是互质数的情况外，其他的可以用短除法求各个分数中分子和分母的最大公因数； 用短除法求最大公因数，先用这几个数的最小质因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】（1）因为7和9是互质数， 所以7和9的最大公因数是1 （2） 8和36的最大公因数：2×2＝4 （3） 18和72的最大公因数：2×3×3＝18 （4） 9和15的最大公因数：3 （5） 21和49的最大公因数：7 （6） 11和66的最大公因数：11 13．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）a和b是两个非0自然数，它们的关系如图，则a是( )，b是( )，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 24 16 8 48 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。从a的因数中可知a的最大因数是24，b的最大因数是16，据此可知a是24，b是16； a和b的公因数中最大的那个即是它们的最大公因数； 先把24和16分解质因数，然后把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【详解】a的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； b的因数有：1，2，4，8，16； a是24，b是16； a和b的公因数是：1，2，4，8； a和b的最大公因数是：8； 24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48 填空如下： a和b是两个非0自然数，它们的关系如图，则a是（24），b是（16），a和b的最大公因数是（8），最小公倍数是（48）。 14．（24-25五年级下·重庆沙坪坝·期末）有两根塑料管，分别长24分米、16分米。把它们都截成同样长的小段，不许有剩余，每小段塑料管最长是( )分米。 【答案】8 【分析】将截管问题转化为求24和16的最大公因数问题，​​每段长度必须能同时整除24和16，即求两数的公因数，题目要求“最长”即求最大公因数。 【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24 16的因数：1，2，4，8，16 最大公因数：8 每小段塑料管最长是8分米。 15．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8    17和34    6和21    24和32 【答案】1；56；17；34；3；42；8；96 【分析】两个数的公有质因数连乘的积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数连乘的积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 【详解】7和8 7和8为互质数，最大公因数是1；最小公倍数是7×8＝56； 17和34 17和34是倍数关系。最大公因数是17；最小公倍数是34； 6和21 6＝2×3 21＝3×7 6和21的最大公因数是3；最小公倍数是2×3×7＝42； 24和32 24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 24和32的最大公因数是2×2×2＝8；最小公倍数是2×2×2×2×2×3＝96。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $