第三单元 平行与相交（知识清单）数学北京版四年级下册

该小学数学第三单元“平行与相交”知识清单系统梳理了平行线、垂直的特征及性质，画法，点到直线的距离等核心内容，构建了从定义理解到操作实践再到生活应用的递进式学习支架。 清单按知识模块分类呈现，标注“平行线定义中同一平面”“垂直是相交的特殊情况”等重难点，通过铁轨、墙角等生活实例发展几何直观，设计画垂线步骤分解及修路最短路径等应用题型培养空间观念与应用意识，助力学生自主复习和教师精准教学。

第三单元 平行与相交 知识清单 知识一、平行的特征及性质 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2.平行的特征： (1) 两条平行线之间的距离处处相等； (2) 经过直线外一点，只能画一条直线与已知直线平行； (3) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 3.生活中的平行线：铁轨、黑板相对的两边、课本的对边等。 知识二、画平行线 1.工具：直尺、三角板。 2.步骤： (1)固定三角板，沿一条直角边先画一条直线； (2)用直尺紧靠三角板的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角板； (3)再沿第一步中的直角边画出另一条直线。 3.注意事项： (1)画平行线时，直尺和三角板要贴紧，不能松动； (2)平移过程中，三角板不能旋转； (3)所画的两条直线必须保证在同一平面内且不相交。 4.特殊画法：过直线外一点画已知直线的平行线（步骤同上，只需将三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边过已知点）。 知识三、垂直的特征 1.垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 2.垂直的特征： (1)两条直线相交成90°角（直角）； (2)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)两条直线互相垂直，所形成的四个角都是直角。 3.生活中的垂直现象：墙角的交线、课本的邻边、十字路等。 4.垂直与相交的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角）。 知识四、画垂线 1.工具：直尺、三角板或量角器。 2.过直线上一点画已知直线的垂线步骤： (1)把三角板的一条直角边与已知直线重合； (2)沿着直线移动三角板，使三角板的直角顶点与直线上的已知点重合； (3)从直角顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线，就是已知直线的垂线（标出垂直符号）。 3.过直线外一点画已知直线的垂线步骤： (1)把三角板的一条直角边与已知直线重合； (2)沿着直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过直线外的已知点； (3)沿着另一条直角边画出一条直线，就是已知直线的垂线（标出垂直符号）。 4.注意事项： (1)画垂线时，三角板的直角边必须与已知直线紧密贴合； (2)最后要在垂足处标出垂直符号（⊥）； (3)所画垂线要经过指定的点。 知识五、点到直线的距离 1.定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。 2.性质：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短（简记为：垂线段最短）。 3.距离的测量方法： (1)过该点画出已知直线的垂线，得到垂线段； (2)用直尺量出垂线段的长度，即为该点到直线的距离。 4.应用： (1)修路时，从村庄到公路修一条最短的路，就是修垂线段； (2)测量跳远成绩时，从落地点向起跳线画垂线段，量其长度。 5.注意：点到直线的距离是一个长度，不是线段本身，所以要强调"垂线段的长度"。 题型一、平行的特征及性质 【例1】（23-24四年级下·北京房山·期末）下面不是平行关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【练1】（21-22四年级下·北京·单元测试）在如图所示中画出两条互相平行的直线。 题型二、画平行线 【例2】（23-24四年级上·山东临沂·期末）过点A画直线的平行线。 【练2】（25-26四年级上·海南海口·单元测试）过A点画直线b的平行线。 题型三、垂直的特征 【例3】（25-26四年级上·河南南阳·期中）下面的图形中，两条直线互相平行的是( )；互相垂直的是( )。（填序号） 【练3】（23-24四年级下·北京通州·期末）长方形的两条对边互相( )，一条长边与一条短边互相( )。 题型四、画垂线 【例4】（25-26四年级上·湖南长沙·期中）过点A画已知直线的垂线。 【练4】（25-26四年级上·海南海口·单元测试）过O点画出直线a的垂线。     题型五、点到直线的距离 【例5】（25-26四年级上·山东济宁·期中）要从杏花村修一条通往公路的水泥路，怎样修路最短？请在下面的图中画出来。 【练5】（25-26四年级上·山东菏泽·期中）暑假里，很长一段时间持续高温无雨，玉米打蔫了，李叔叔马上安排给河两岸的A、B两块地浇水，请你分别画出A、B两块地离河最近的路线。 1．（21-22四年级下·北京房山·期末）下面两条直线互相平行的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（23-24四年级下·北京通州·期末）聪聪在同一平面内画了两条不重合的直线，这两条直线都和同一条直线垂直，这两条直线的位置关系是（    ）。 A．相交 B．重合 C．互相垂直 D．互相平行 3．（24-25四年级上·福建福州·期末）同一平面内两条直线的位置关系可以用图（    ）表示。 A． B． C． D． 4．（21-22四年级下·北京丰台·期末）如下图，小明在两条平行线之间画了三条线段，关于这三条线段，下面说法中错误的是（    ）。 A．长度相等 B．互相垂直 C．互相平行 D．不相交 5．（21-22四年级下·北京丰台·期末）四年级一班同学在纸上画了两条直线。所画的两条直线按位置关系分类，可分为( )和( )两类。 6．（23-24四年级上·山东济宁·期中）教室中黑板的上下两条边互相( )，窗户相邻的两条边互相( )。 7．（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图所示，直线( )与( )互相垂直，直线( )与( )互相平行。 8．（23-24四年级下·北京顺义·期末）在一个图形中，既能找到一组互相平行的线段，又能找到一组互相垂直的线段。这个图形可能是( )。 9．（20-21四年级下·北京·期末）过如图A点，画出已知直线的垂线，再画一条与已知直线相距3厘米的平行线。 10．（24-25四年级上·贵州六盘水·期末）过A点画两条已知直线的垂线。 11．（20-21四年级下·北京怀柔·期末）下面是亮亮跳远的示意图，应该怎样测量他跳远的成绩呢？请你画图表示。 12．（23-24四年级下·北京通州·期末）如图，过C点作一条与AB平行的直线，再过B点作一条与AC垂直的直线。 13．（20-21四年级下·北京·期末）小鹿沿哪条路到河边喝水最近？ 14．（24-25四年级上·浙江·期中）用三角尺画图。在下面平行线之间画一个最大的正方形。 15．（24-25四年级上·河北保定·期末）下图是一个长方形的两条边，请把这个长方形画完整。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 平行与相交 知识清单 知识一、平行的特征及性质 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2.平行的特征： (1) 两条平行线之间的距离处处相等； (2) 经过直线外一点，只能画一条直线与已知直线平行； (3) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 3.生活中的平行线：铁轨、黑板相对的两边、课本的对边等。 知识二、画平行线 1.工具：直尺、三角板。 2.步骤： (1)固定三角板，沿一条直角边先画一条直线； (2)用直尺紧靠三角板的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角板； (3)再沿第一步中的直角边画出另一条直线。 3.注意事项： (1)画平行线时，直尺和三角板要贴紧，不能松动； (2)平移过程中，三角板不能旋转； (3)所画的两条直线必须保证在同一平面内且不相交。 4.特殊画法：过直线外一点画已知直线的平行线（步骤同上，只需将三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边过已知点）。 知识三、垂直的特征 1.垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 2.垂直的特征： (1)两条直线相交成90°角（直角）； (2)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)两条直线互相垂直，所形成的四个角都是直角。 3.生活中的垂直现象：墙角的交线、课本的邻边、十字路等。 4.垂直与相交的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角）。 知识四、画垂线 1.工具：直尺、三角板或量角器。 2.过直线上一点画已知直线的垂线步骤： (1)把三角板的一条直角边与已知直线重合； (2)沿着直线移动三角板，使三角板的直角顶点与直线上的已知点重合； (3)从直角顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线，就是已知直线的垂线（标出垂直符号）。 3.过直线外一点画已知直线的垂线步骤： (1)把三角板的一条直角边与已知直线重合； (2)沿着直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过直线外的已知点； (3)沿着另一条直角边画出一条直线，就是已知直线的垂线（标出垂直符号）。 4.注意事项： (1)画垂线时，三角板的直角边必须与已知直线紧密贴合； (2)最后要在垂足处标出垂直符号（⊥）； (3)所画垂线要经过指定的点。 知识五、点到直线的距离 1.定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。 2.性质：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短（简记为：垂线段最短）。 3.距离的测量方法： (1)过该点画出已知直线的垂线，得到垂线段； (2)用直尺量出垂线段的长度，即为该点到直线的距离。 4.应用： (1)修路时，从村庄到公路修一条最短的路，就是修垂线段； (2)测量跳远成绩时，从落地点向起跳线画垂线段，量其长度。 5.注意：点到直线的距离是一个长度，不是线段本身，所以要强调"垂线段的长度"。 题型一、平行的特征及性质 【例1】（23-24四年级下·北京房山·期末）下面不是平行关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行的定义，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 【详解】根据分析：不是平行关系的是。 故答案为：B 【练1】（21-22四年级下·北京·单元测试）在如图所示中画出两条互相平行的直线。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此作图。 【详解】如图： （答案不唯一） 【点睛】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。 题型二、画平行线 【例2】（23-24四年级上·山东临沂·期末）过点A画直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】画图如下： 【练2】（25-26四年级上·海南海口·单元测试）过A点画直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】把三角尺的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺到点A的位置，最后画出直线的平行线，据此解答。 【详解】如图所示： 题型三、垂直的特征 【例3】（25-26四年级上·河南南阳·期中）下面的图形中，两条直线互相平行的是( )；互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ③⑤ ①⑦⑧ 【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 【详解】由分析可知： 两条直线互相平行的是③⑤；互相垂直的是①⑦⑧。 【练3】（23-24四年级下·北京通州·期末）长方形的两条对边互相( )，一条长边与一条短边互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】当两条直线相交所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；由此解答即可。 【详解】如图： 长方形的两条对边互相平行，一条长边与一条短边互相垂直。 题型四、画垂线 【例4】（25-26四年级上·湖南长沙·期中）过点A画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】根据题意，过直线外一点作直线的垂线的方法：把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和已知点重合，过已知点沿三角板的另一条直角边，向已知直线画直线，据此画图即可。 【详解】根据分析画图如下： 【练4】（25-26四年级上·海南海口·单元测试）过O点画出直线a的垂线。     【答案】见详解 【分析】根据题意，过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线a重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线a的垂线。以此画图即可。 【详解】根据分析画图如下： 题型五、点到直线的距离 【例5】（25-26四年级上·山东济宁·期中）要从杏花村修一条通往公路的水泥路，怎样修路最短？请在下面的图中画出来。 【答案】过杏花村作公路的垂线段修路最短；见详解 【分析】根据题意，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；因此过杏花村作公路的垂线段即可。过一点作已知直线的垂线，把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】根据分析可知： 答：过杏花村作公路的垂线段修路最短。 【练5】（25-26四年级上·山东菏泽·期中）暑假里，很长一段时间持续高温无雨，玉米打蔫了，李叔叔马上安排给河两岸的A、B两块地浇水，请你分别画出A、B两块地离河最近的路线。 【答案】见详解 【分析】根据题意，由于“点到直线的最短距离是点到该直线的垂线段”，所以只要河两岸的两块地的位置与河岸之间的路线与河岸垂直，就能保证距离最短。以此答题即可。 【详解】如图： 1．（21-22四年级下·北京房山·期末）下面两条直线互相平行的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。 【详解】A．两条直线相交； B．两条直线相交； C．两条直线互相平行； D．两条直线相交。 故答案为： C 【点睛】本题考查平行的特性，同－平面内两条直线的位置关系有两种，平行和相交，垂直是特殊的相交。 2．（23-24四年级下·北京通州·期末）聪聪在同一平面内画了两条不重合的直线，这两条直线都和同一条直线垂直，这两条直线的位置关系是（    ）。 A．相交 B．重合 C．互相垂直 D．互相平行 【答案】D 【分析】根据垂直的性质：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。 【详解】 如图：图中直线b和直线c都是垂直与直线a的，可以看出直线b和直线c互相平行。 故答案为：D 3．（24-25四年级上·福建福州·期末）同一平面内两条直线的位置关系可以用图（    ）表示。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同一平面内两条直线有平行和相交两种位置关系。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。垂直是一种特殊的相交，包含在相交里面。据此解答即可。 【详解】由分析知，同一平面内两条直线的位置关系可以用表示。 故答案为：A 4．（21-22四年级下·北京丰台·期末）如下图，小明在两条平行线之间画了三条线段，关于这三条线段，下面说法中错误的是（    ）。 A．长度相等 B．互相垂直 C．互相平行 D．不相交 【答案】B 【分析】两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等，平行线间的垂线段互相平行。据此判断。 【详解】根据分析可知，图中两条平行线之间的三条垂线段互相平行且相等，不相交。 故答案为：B 【点睛】解决本题的关键是正确理解和掌握平行线的特征和灵活运用。 5．（21-22四年级下·北京丰台·期末）四年级一班同学在纸上画了两条直线。所画的两条直线按位置关系分类，可分为( )和( )两类。 【答案】 相交/平行 平行/相交 【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系，有相交和平行，据此解答。 【详解】在同一平面内，两条直线只有两种位置关系；即相交和平行。 如图：平行 相交 【点睛】解决本题的关键是正确理解两直线的位置关系。 6．（23-24四年级上·山东济宁·期中）教室中黑板的上下两条边互相( )，窗户相邻的两条边互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】同一平面内两直线永不相交则两直线平行，两直线相交成90°则两直线互相垂直；据此解答即可。 【详解】根据分析： 教室中黑板的上下两条边互相平行，窗户相邻的两条边互相垂直。 7．（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图所示，直线( )与( )互相垂直，直线( )与( )互相平行。 【答案】 a c a b 【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 【详解】如图所示，直线a与c互相垂直，直线a与b互相平行。（答案不唯一） 8．（23-24四年级下·北京顺义·期末）在一个图形中，既能找到一组互相平行的线段，又能找到一组互相垂直的线段。这个图形可能是( )。 【答案】正方形/长方形/直角梯形 【分析】平行的性质：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；垂直的性质：当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，据此选择即可。 【详解】在一个图形中，既能找到一组互相平行的线段，又能找到一组互相垂直的线段。这个图形可能是正方形、长方形或直角梯形。 9．（20-21四年级下·北京·期末）过如图A点，画出已知直线的垂线，再画一条与已知直线相距3厘米的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可。 （2）在步骤（1）中画好的垂线上，从垂足开始截取一段3厘米线段，过线段的另一个端点，画已知直线的平行线即可。 【详解】作图如下： 【点睛】本题主要考查了垂线的做法，做完必须画垂直符号。 10．（24-25四年级上·贵州六盘水·期末）过A点画两条已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线。 【详解】 11．（20-21四年级下·北京怀柔·期末）下面是亮亮跳远的示意图，应该怎样测量他跳远的成绩呢？请你画图表示。 【答案】见详解 【分析】过落点作起跳线的垂线，这条垂线的长度就是他跳远的成绩。过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。据此画图即可。 【详解】 【点睛】本题考查过直线上或直线外一点作垂线的方法，旨在考查学生的作图能力。 12．（23-24四年级下·北京通州·期末）如图，过C点作一条与AB平行的直线，再过B点作一条与AC垂直的直线。 【答案】见详解 【分析】把三角尺的一条直角边和已知直线AB重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线，即可画出经过C点与AB平行的直线。 用直角三角尺的一条直角边和AC重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向已知直线画直线，即可画出经过B点与AC垂直的直线。 【详解】 13．（20-21四年级下·北京·期末）小鹿沿哪条路到河边喝水最近？ 【答案】见详解 【分析】把河岸看成一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂线段最短的性质即可解决问题。 【详解】根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从A点到河边最近的线路，如图所示： 【点睛】熟练掌握点到直线的距离，垂直线段最短的特点是解答此题的关键。 14．（24-25四年级上·浙江·期中）用三角尺画图。在下面平行线之间画一个最大的正方形。 【答案】见详解 【分析】量出这一组平行线间的距离（作一条直线的垂线，与另一条直线垂直相交，这条垂线与这组平行线两垂足间的距离就是这组平行线间的距离，可以用三角尺上的刻度量出），再分别以两垂足为端点，在这组平行线的同一边截取等于这组平行线间的长度，连结这两点所组成的四边形就是这组平行线之间画一个最大的正方形。 【详解】如图所示： 15．（24-25四年级上·河北保定·期末）下图是一个长方形的两条边，请把这个长方形画完整。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的特征可知：长方形有四条边，四个角都是直角，它的对边平行且相等；过已知宽的另一个端点，画它的垂线，然后截取和已知长同样长的线段，连接这两条长的两个端点，即可画出图形。画垂线时，使得三角板的一条直角边与已知直线重合，将三角板沿着直线移动，使得三角板顶点与指定的点重合，过指定点，沿三角板的另一条直角边画垂线，标上垂直标记。 【详解】长方形如下图： 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $