第23讲 最优化问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第23讲 最优化问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解最优化问题的基本概念，明确"最优化"的核心是在多种方案中选择最优解（如时间最短、费用最低、效率最高等）； 2.掌握解决最优化问题的常用策略，包括枚举法、归纳法、极端化思考、图表分析等； 3.能够运用最优化思想解决生活中的实际问题，如购物方案选择、资源分配等； 4.培养逻辑推理能力和统筹规划意识，提升解决复杂问题的思维品质。 知识梳理 知识点一、最优化问题的基本概念 1.定义：最优化问题是指在一定约束条件下，通过合理规划和选择，使某个目标达到最优状态的问题。 2.核心要素： (1)目标函数：需要优化的量（如时间、成本、路程、效率等）。 (2)约束条件：限制条件（如资源总量、时间限制、空间限制等）。 (3)可选方案：实现目标的不同途径或方法。 3.基本类型： (1)时间优化问题（如沏茶问题、烙饼问题、排队问题）。 (2)资源优化问题（如物资分配、场地安排、材料利用）。 (3)经济优化问题（如购物折扣、运输成本、利润最大化）。 知识点二、常用解题策略与方法 1.枚举法 (1)适用场景：方案数量有限且较少时。 (2)解题步骤：列出所有可能方案→计算每种方案的结果→比较得出最优解。 (3)注意事项：按顺序枚举，避免重复或遗漏。 2.归纳法 (1)适用场景：具有规律性的重复操作问题。 (2)解题思路：从简单情况入手→发现规律→总结最优策略。 (3)典型应用：烙饼问题（每次烙2张饼，用时最少的方法）。 (4)规律总结：当n张饼时，最优时间=饼数×每面时间（当饼数≥2时）。 3.极端化思考法 (1)适用场景：寻找最大值或最小值问题。 (2)核心思想：考虑极端情况（如最多、最少、最大、最小）。 4.图表分析法 (1)适用场景：多因素影响的复杂问题。 (2)常用工具：列表法、画图法、流程图。 (3)典型应用：购物方案比较（不同商店折扣、满减活动对比）。 5.统筹规划法 (1)适用场景：多任务并行的时间优化问题。 (2)核心策略：合理安排顺序，实现"并行操作"节省时间。 (3)典型模型：沏茶问题（洗水壶→烧水同时洗茶杯、找茶叶→沏茶）。 (4)关键原则：先做准备工作，再进行耗时操作，同时穿插完成其他任务。 知识点三、解题技巧总结 1.明确优化目标：首先确定是追求"最少"（时间、费用）还是"最多"（产量、利润）。 2.全面考虑约束条件：注意题目中的限制因素，如"最多""至少""不能""必须"等关键词。 3.多种方案对比：当无法直接判断最优解时，先列出所有可能方案再比较。 4.寻找极端情况：对于求最大值/最小值问题，可从极端值入手分析。 5.关注实际生活经验：结合生活常识判断方案合理性。 例题讲解 一、时间优化问题 【例题1】早晨起床后，爸爸让小玲自己用奶粉冲一杯牛奶。洗水壶要1分钟，洗杯子和汤匙各要1分钟，烧开水要12分钟，取奶粉要2分钟，冲奶粉要1分钟。小玲应怎样安排，才能使自己尽快喝上牛奶？共需多少分钟？ 【答案】14分钟 【分析】首先洗水壶要1分钟，烧开水要12分钟，在这12分钟里，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉，然后烧开水后冲奶粉；由此求得结果即可。 【详解】首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后烧开水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶。 1＋12＋1＝14（分钟） 答：首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后烧开水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶；共需要14分钟。 【例题2】用一只平底锅煎大饼，该平底锅只能同时放4个大饼；一个大饼要烙两面，烙熟大饼的每一面都需要3分钟，而且在这3分钟内，大饼不能中途离开平底锅。现在要烙熟46个大饼，那么最少需要多少分钟？ 【答案】69分钟 【分析】根据题意，我们知道：4个大饼同时烙两面，一共需要3×2＝6（分），要这样烙熟46个大饼12锅，但最后一锅只有两个；故为了节省时间不妨这样烙：前40个，都是一锅把4个大饼两面烙好，同时取出；后6个，是先放4个，过3分钟，把其中2个翻面，2个取出，接着把最后剩下的2个放入，再过3分钟，把两面都烙的取出，放入刚才取出只烙一面的2个，接着把另外2个翻面，再过3分钟，全部取出即可，可见共需要：40÷4×6＋3＋3＋3＝69（分） 【详解】3×2＝6（分） 40÷4×6＝60（分） 60＋3＋3＋3＝69（分） 答：至少需要69分钟。 【例题3】有5个人各拿1只水桶到水龙头前接水，水龙头给5个人的水桶注满水所需的时间分别是6分钟、4分钟、3分钟、5分钟、2分钟。现在只有一个水龙头可以接水，怎样安排，才能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？ 【答案】按照接水时间由短到长的顺序来接水；50分钟 【分析】先接水的人接水时，后面的人都要等候，所以要使他们总的等候时间最短，就应该按照接水时间由短到长的顺序来接水。 【详解】按照接水时间分别为2分钟、3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水，才能使他们总的等候时间最短。 2×5＋3×4＋4×3＋5×2＋6 ＝10＋12＋12＋10＋6 ＝50（分钟） 答：这个最短的时间是50分钟。 【例题4】个牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需2分钟，乙牛过河需3分钟，丙牛过河需6分钟，丁牛过河需7分钟。每次最多赶两头牛过河，而且牧童每次都要骑在牛背上过河。要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？ 【答案】18分钟 【分析】过河用时较少的两头牛先过河，然后骑着过河用时最少的牛回来，再让过河用时较长的两头牛一起过河，然后骑着另一头过河用时较少的牛回来，最后骑着两头过河用时较少的牛过河即可。 【详解】第1次用时2分钟和3分钟的2头牛先过河，用时3分钟，然后骑着用时2分钟的牛回到河岸，合计用时3＋2＝5（分） 第2次用时6分钟和7分钟的2头再过河，用时7分钟，然后骑着用时3分钟的牛回到河岸，合计用时7＋3＝10（分） 第3次用时2分钟和3分钟的2头牛过河，用时3分钟。 5＋10＋3＝18（分） 答：要把四头牛都赶到对岸去，最少需要18分钟。 二、资源优化问题 【例题1】如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？ 【答案】C点 【分析】条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定。那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个车站放在AE之间的那一点，A到车站的距离加上E到车站的距离就是AE的长度，也就是说车站放在哪儿不会影响这两个点到车站的距离之和；然后再考虑B、C、D到车站的距离。 【详解】车站在AE之间的任何位置，AE到车站的距离之和是不变的，始终是AE的长度； 那么我们就使其他的3个点到车站的距离之和最短，再看为了使B、D两个到车站的距离之和小，应把车站放在BD之间； 同理，只要是在BD之间，B、D到车站的距离之和也是不变的，等于BD； 最后，只需要考虑C点到车站的距离最近就行了。那么当然也就是把车站放在C点了； 答：车站应立于C点 【例题2】一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？ 【答案】150米 【分析】如图，画出示意图，按照“小往大处靠”的原则来解决，第5号楼的人数最多，大方向向第5号楼靠，把1号楼、2号楼的3个人集中到3号楼，一共6人，然后3号楼的6人和5号楼的5人都往4号楼靠。 【详解】如图所示： 车站应建在4号楼，此时职工到通勤车站所走的路程之和最小； 答：车站应建在距1号楼150米处。 【点睛】对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则。 【例题3】用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 【答案】最少75根；见详解 【分析】要确保使用的竹竿最少，就要尽可能地利用原材料，10尺长的竹竿可以分成3尺、3尺、4尺，这样无剩余，也可以分成3尺、3尺、3尺，这样剩余1尺，也可以分成4尺、4尺，剩余2尺，然后合理进行组合，得到甲、乙两种短竹竿各100根。 【详解】分析不难想到有三种截法省料： 截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺； 截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺； 由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1，考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根； 于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料2×25＝50（尺） 50＋25＝75（根） 答：至少要用去原材料75根。 【点睛】本题考查的是最值问题，需要合理地进行统筹优化，进行对比分析，找出最优解。 三、经济优化问题 【例题1】北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如表，如何调运能使总运费最省？ 【答案】北京调运杭州7台，调运西安4台，洛阳调运杭州0台，调运西安5台；最低运费12600元 【分析】由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜；所以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安。 【详解】最佳的调运方案为：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5台； 总运费： ＝5600＋4000＋3000 ＝12600（元） 答：最低运费12600元。 【点睛】本题考查的是地点的统筹优化问题，由于16台机器都运走了，可以设北京运往杭州的数量是未知数，这样可以表示出运往其它几个地方的数量，然后表示出总的运费，再计算运费的最小值。 【例题2】某工厂要运送32吨货物，一辆小货车载质量是4吨，运费320元；一辆大货车载质量是6吨，运费380元，怎样安排车辆最省钱？最少需要运费多少元？ 【答案】安排4辆大货车和2辆小货车最省钱；2160元 【分析】根据题意可知，一辆小货车载质量是4吨，运费320元，每吨平均运费320÷4＝80（元）。一辆大货车载质量是6吨，运费380元，每吨平均运费380÷6＝63（元）……2（元），80＞63，所以尽量用大货车，并尽量满载。用运送货物的总吨数除以一辆大货车可载的吨数，求出需要大货车的数量，再结合余数判断是否需要小货车；据此计算解答即可。 【详解】320÷4＝80（元） 380÷6＝63（元）……2（元） 80＞63 所以尽量用大货车。 32÷6＝5（辆）……2（吨） 可以安排5辆大货车和1辆小货车，需要运费： 5×380＋320 ＝1900＋320 ＝2220（元） 4×6＋2×4 ＝24＋8 ＝32（吨） 可以安排4辆大货车和2辆小货车，需要运费： 4×380＋2×320 ＝1520＋640 ＝2160（元） 2220元＞2160元 答：安排4辆大货车和2辆小货车最省钱；最少需要运费2160元。 【例题3】实验小学足球队计划买50个足球，采购员看了甲、乙、丙三家商店，同一款足球的单价都是25元，各商店的促销方式如下表，采购员去哪家商店购买最划算？ 甲商店：买十送二。 乙商店：一律八折。 丙商店：每满100元返现金20元。 【答案】乙商店 【分析】甲：买十送二，即付10个的钱，得10＋2＝12（个），用50除以12计算出50中有4组10，即付4×10＝40（个）足球的钱得48个足球，余数2表示需要单独付的个数，所以总共需要付40＋2＝42（个）足球的钱，再用42乘25即可计算实际总价； 乙：八折表示80%，用50乘25计算出足球总价为1250元；再根据“求一个数的百分之几是多少， 用乘法计算”用1250乘80%计算出实际总价； 丙：用50乘25计算出足球总价为1250元；用1250除以100计算出1250中有12个100，即可以返现金20×12＝240（元），再用1250减去240计算出实际总价； 最后将甲、乙、丙三家商店的实际总价进行比较即可。 【详解】甲商店： 10＋2＝12（个） 50÷12＝4（组）……2（个） （4×10＋2）×25 ＝（40＋2）×25 ＝42×25 ＝1050（元） 乙商店： 八折 ＝80% 50×25×80% ＝50×25×0.8 ＝1250×0.8 ＝1000（元） 丙商店： 50×25＝1250（元） 1250÷100＝12（个）……50（元） 1250－12×20 ＝1250－240 ＝1010（元） 因为1000＜1010＜1050，所以乙商店最划算。 答：采购员去乙商店购买最划算。 【例题4】某水果商购进40千克苹果，80千克枇杷。苹果进价为5元，按利润率定价；枇杷进价10元，但枇杷不耐保存，有的损耗。假设这些水果全部售出能有的利润率，则枇杷应该如何定价？ 【答案】15元 【分析】先根据“利润＝成本×利润率”，分别求出这些水果全部总的利润和苹果的利润，相减即可求出枇杷的利润。然后根据“售价＝成本＋利润”可以求出枇杷的总售价，用总售价除以出售的数量，即可求出枇杷的定价。 【详解】枇杷的利润： （元） 枇杷的定价： （元） 答：枇杷的定价为每千克15元。 考点练习 一、时间优化问题 1．妈妈让小蕾给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要10分钟，洗茶壶需要3分钟，洗茶杯需要3分钟，拿茶叶需要1分钟。那么客人要喝到茶，最少需要( )分钟。 【答案】11 【分析】泡茶的过程可以是∶洗水壶、烧水、洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，在烧水的同时可以洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶，所以最快需要的时间＝洗水壶用的时间＋烧水用的时间＋沏茶用的时间，得出这三件事情花的时间总和是7分钟，小于10分钟，即最后喝到茶的时间＝洗水壶的时间＋烧开水的时间。据此代入数据作答即可． 【详解】3＋3＋1＝7（分钟） 7分钟＜10分钟 10＋1＝11（分钟） 则最少需要11分钟。 2．学校医务室里有三名同学等候医生治病。甲打针需要5分钟，乙换纱布需要8分钟，丙点眼药水需要2分钟，他们在医务室等候的时间和最少是( )分钟。 【答案】24 【分析】要使他们在医务室等候的时间和最少，则需要时间短的同学先医治，即先帮丙点眼药水，再给甲打针，最后给乙换纱布。那么丙等候的时间为：2分钟；甲等候的时间为：2＋5＝7（分钟）；乙等候的时间为：2＋5＋8＝15（分钟）。最后相加求和即可求出一共需要的时间。 【详解】顺序：先帮丙点眼药水，再给甲打针，最后给乙换纱布 丙等候的时间：2分钟 甲等候的时间：2＋5＝7（分钟） 乙等候的时间：2＋5＋8＝15（分钟） 总时间：2＋7＋15＝24（分钟） 因此他们在医务室等候的时间和最少是24分钟。 3．韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包比较干了，只要烤一分钟足够了，也就是说烤一片面包需要3分钟。现在要烤3片面包，一次只能放两片面包，问至少要用多长时间？ 【答案】5分钟 【分析】读题可知，要使烤面包的时间最少，就要使烤锅里尽可能同时烤2片面包：第一次放入两片，2分钟后一个翻面、一个出锅，同时放入第三片；放入的第三片需要2分钟烤好一面，中途可以取出已经翻过面的面包，放入出锅未翻面的面包；待第三片烤好一面时，前两片已经完全烤好，最后只要把第三片翻面再烤1分钟结束，据此算出总时间即可。 【详解】将3片面包编号1、2、3 前2分钟：放入1、2号， 第2分钟后，取出1号，2号翻面，放入3号。 第3分钟后，2号完成，1号翻面放入。 第4分钟后，1号完成，3号翻面。 第5分钟后，3号完成，全部完成。 2＋1＋1＋1 ＝3＋1＋1 ＝4＋1 ＝5（分钟） 答：至少要用5分钟时间。 4．一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。问：煎2009张饼需几分钟？ 【答案】2009分钟 【分析】煎2张饼最少需要2分钟，第一分钟煎2张饼的正面，第二分钟煎2张饼的反面；煎3张饼最少需要3分钟，第一分钟煎2张饼的正面，第二分钟煎第一张饼的反面和第三张饼的正面，第三分钟；煎第二张饼的反面和第三张饼的反面；考虑把2009张饼分成若干个2和3进行求解。 【详解】煎2张饼最少需要2分钟，煎3张饼最少需要3分钟； 需要1003个2分钟和1个3分钟； 答：煎2009张饼需2009分钟。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，当并的数量大于1时，经过合理安排，n张饼至少需要n分钟。 5．四个人各拿一个水桶到同一个水龙头下接水，这个水龙头注满四个人的水桶所需的时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、6分钟。怎样安排这四个人的接水顺序，才能使他们在最少的总时间（包括排队等候的时间）内都接满水？这个最少时间是多少？ 【答案】按照接水时间为3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水；40分钟 【分析】接水时间越少的人先接水，才能使排队和等待时间最短，据此解答。 【详解】接水顺序先后顺序为：3分钟、4分钟、5分钟、6分钟。 3×4＋4×3＋5×2＋6 ＝12＋12＋10＋6 ＝40（分钟） 答：按照接水时间为3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水，最少时间是40分钟。 6．两个油漆工要给三块同样的木板的正、反面刷漆（不能同时刷一块木板），每面需2分钟，怎样安排，刷油漆的时间最少？最少的时间是几分钟？ 【答案】把三块木板分别标上1、2、3号，两个油漆工分别先刷1、2号的正面，然后分别刷1号的反面和3号的正面，最后再分别刷2号的反面和3号的反面，这样才能使刷油漆用的时间最少，至少需要6分钟。 【分析】把三块木板分别标上1、2、3号，两个油漆工分别先刷1、2号的正面，然后分别刷1号的反面和3号的正面，最后再分别刷2号的反面和3号的反面，这样才能使刷油漆用的时间最少。因为每块木板的正、反两面都需要刷漆，所以刷漆的时间是每块木板需要的时间乘木板的块数。 【详解】至少需要：2×3＝6（分钟） 答：把三块木板分别标上1、2、3号，两个油漆工分别先刷1、2号的正面，然后分别刷1号的反面和3号的正面，最后再分别刷2号的反面和3号的反面，这样才能使刷油漆用的时间最少，至少需要6分钟。 7．某加油站每次只能给一辆车加油。给一辆大卡车加满需要7分钟，一辆农用车加满需要5分钟，一辆小汽车加满需要4分钟。现在有一辆大卡车、一辆农用车、一辆小汽车同时来到加油站加油。问：加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最少？ 【答案】应该先给小汽车加油，再给农用车加油，最后给大卡车加油，一共需要29分钟。 【分析】要使总共需要的时间最短，也就是等候时间和加油时间的总和最少，应该让加油用时少的先加油。 【详解】小汽车用去时间：4分钟； 农用车用去时间：4＋5＝9（分钟） 大卡车用去时间：4＋5＋7＝16（分钟） 一共用去时间：4＋9＋16＝29（分钟） 答：应该先给小汽车加油，再给农用车加油，最后给大卡车加油，一共需要29分钟。 8．有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥。此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌。过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空。只有一个手电筒。4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟。17分钟后桥就要倒塌了。请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 【答案】见详解 【分析】由于这4个人要尽快过桥，但是每次最多过2人，那么来回跑，送手电筒这个任务必须是小强和中强的，并且要让大强跟太强一起过桥，这样节约时间。 【详解】小强和中强先过桥，用2分钟； 再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟； 过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟； 他们一起用时间： 2＋1＋10＋2＋2＝17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河。 【点睛】时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过，这样保证总的时间是最短的。 9．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……。如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？ 【答案】最少时间125分钟；见详解 【分析】如果是1个水龙头，那么就按照所需时间多少进行排序即可，而两个水龙头，其实是一样的，也是按照各自所需时间的多少排序。 【详解】第一个水龙头先安排1号，同时第二个水龙头先安排2号； 那么1号先接完水，这样把3号安排给第一个水龙头，同理，哪个水龙头先空出来，就把时间较少的人排上去； 第一个水龙头依次是1、3、5、7、9打水； 第二个水龙头依次是2、4、6、8、10打水； 总时间： ＝3×5＋7×4＋11×3＋15×2＋19 ＝15＋28＋33＋30＋19 ＝125（分钟） 答：最少时间是125分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，始终遵循所需时间少的排在前面，所需时间多的排在后面。 二、资源优化问题 1．龙博士请同学们喝饮料，冷饮店刚好做活动，4个空饮料瓶可以兑换1瓶饮料，龙博士买了19瓶饮料，如果每人只喝一瓶，最多有（    ）位同学能喝到饮料。 A．25 B．24 C．22 D．21 【答案】A 【分析】计算19个空饮料瓶可以兑换多少瓶饮料，剩下几个空饮料瓶，兑换的饮料喝完后的空饮料瓶，以此类推，去解答。 【详解】19÷4＝4（瓶）……3（个） 4＋3＝7（个） 7÷4＝1（瓶）……3（个） 4＋1＝4（个） 4÷4＝1（瓶） 19＋4＋1＋1＝25（瓶） 则最多有25位同学能喝到饮料。 故答案为：A 2．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ 【答案】C点 【分析】如果不考虑楼里坐车的人数，应该把车站设在中间的位置，而现在每栋楼的人数相同，所以不影响，还是要把车站放在中间位置。 【详解】要使得居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在中间位置，也就是C点； 答：车站应该设在C点。 【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，如果每个居民楼的人数不一样，那么就要具体考虑人数的影响了。 3．有一个80人的旅游团，其中男性50人，女性30人，他们入住的酒店有11人间、7人间和5人间的三种房间，男女分别住在不同的房间，且要求每个房间均住满，他们最少要住多少个房间？ 【答案】10间 【分析】要求房间的数量最少，则11人间的数量选择的多一点。 男生：总人数是50人，选择4间11人的，剩余的6人无法注满房间， 则选择3间11人的，剩余17人，可以选择7人间的1间和2间5人间的。 女生：总人数30人，选择2间11人的，剩余的8人无法注满房间， 则选择1间11人的，剩余19人，可以选择7人间的1间和1间5人间的。 【详解】男：50÷11＝4（间）……6（人） 50－3×11 ＝50－33 ＝17（人） 17＝1×7＋2×5 男生：3间11人的，1间7人间和2间5人间。 女生：30÷11＝2（间）……8（人） 30－11＝19（人） 19＝2×7＋5×1 女生：1间11人的，2间7人间和1间5人间。 3＋1＋2＋1＋2＋1＝10（间） 答：他们最少要住10个房间。 4．某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如下图。试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数越小越好。） 【答案】C点 【分析】依据“小往大靠”，“支往干靠”，可以先确定一条主线，然后考虑每块麦地应该如何靠拢。。 【详解】我们不妨以F－E－C－D为干； E、F往C靠，C变为6000千克； B往G靠，G为4000千克； D往C靠，C变为11000千克； 虽然A的重量大，但是A、G的总重量少于C的重量，还是要往C靠； 答：麦场设在C处最好。 【点睛】本题考查的是地点的统筹优化问题，“小往大靠”的原则进行逐步分析。 5．一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品。每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？ 【答案】人 【分析】如果车上不跟人，各车间所需人数和即为总人数；可以求出每列车上跟1人、2人、3人等，所需要的总人数的变化规律，然后找出每列车上跟多少人时所需的总人数最少。 【详解】如果车上不跟人，各车间所需人数和为：（人） 如果每列车上跟1人，共多3人；每个车间可少1人，共少7人，多3少7，可减少4人； 每列车上跟10人，总人数可减少40人； 从11至15，列车上每增加1人，总人数可减少3人； 从16至18，列车上每增加1人，总人数可减少2人； 从19至20，列车上每增加1人，总人数可减少1人； 21增3减3无意义； 总人数为 （人）最少； 答：安排82名装卸工，所用总人数最合理，其中60人跟车。 【点睛】本题考查的调运中的统筹优化问题，可以用逐步调整的思想求解。 6．有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？ 【答案】第997个岗位处 【分析】1993名少先队员，要确定集合地点的话，比较麻烦，可以先考虑2名少先队员、3名少先队员这些较少的情况，寻找规律，然后再考虑1993名少先队员的情况。 【详解】 当只有2个人时，设2人宣传岗位分别为A1和A2（如上图），显然集合地点选在A1点或A2点或者A1A2之间的任何一个地点都可以。因为由A1、A2出发的人走过的路程总和都等于A1A2。 当有3个人时，则集合地点应该选在A2点（如上图）。因为若集合地点选在A1A2之间的B点，那时3个人所走的路程总和是A1B＋A2B＋A3B＝（A1B＋A3B）＋A2B＝A1A3＋A2B； 若集合地点选在A2A3之间的C点，那时3个人所走的路程总和是：A1C＋A2C＋A3C＝（A1C＋A3C）＋A2C＝A1A3＋A2C；而集合地点选在A2点时，3个人所走路程总和仅是A1A3。当然A1A3比A1A3＋A2B及A1A3＋A2C都小。 当有4个人时，由于集合地点无论选在A1A4之间的任何位置，对A1、A4岗位上的人来说，这2人走的路程和都是A1A4（如上图）。因此，集合地点的选取只影响A2、A3岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2个人站在A2和A3岗位的情形”。根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2或A3或者A2A3之间任何地点。 当有5个人时，类似地可把问题转化为“3个人站在A2、A3、A4岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在A3点。 依此递推下去，我们就得到一个规律： 当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段AnAn＋1之间的任何地点（包括An和An＋1点）； 当有奇数（2n＋1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An＋1点。 本题有1993＝2×996＋1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 答：集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 【点睛】本题考查的是位置统筹优化的问题，可以通过归纳法求解，归纳法实质上就是发现并总结规律，然后应用规律求解问题。 三、经济优化问题 1．果果的姐姐大学毕业找工作，目前有两家公司有意向录用她。A公司是每个月2000元，年终奖6000元，B公司是前半年每月1600，以后每半年月工资增加300，年终奖6000元。果果的姐姐与( )公司签两年合同较划算。 【答案】B 【分析】分别求出两家公司两年能获得的总的薪资，然后对比即可知道果果的姐姐与哪家公司签两年合同较划算。A公司薪资一共是：（2000×12＋6000）×2；B公司薪资一共是：（1600＋1600＋300＋1600＋300×2＋1600＋300×3）＋6000×2； 【详解】A公司：（2000×12＋6000）×2 ＝（24000＋6000）×2 ＝30000×2 ＝60000（元） B公司：（1600＋1600＋300＋1600＋300×2＋1600＋300×3）×6＋6000×2 ＝（1600＋1900＋2200＋2500）×6＋12000 ＝8200×6＋12000 ＝49200＋12000 ＝61200（元） 60000＜61200 因此果果的姐姐与B公司签两年合同较划算。 2．在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费元，那么集中到哪个仓库运费最少？ 【答案】D点 【分析】按照“小往大处靠”的原则，E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E那个方向集中，集中到B，B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨；此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以，例如把E点集中到D点，D点是70吨，所以C点也要集中到D点。 【详解】确定D点为集中地点，运费为： （10×30＋30×20＋20×10＋60×10） ×0.9 ＝1700×0.9 ＝1530（元） 答：以D点为集中地点，费用最少，运费最少为1530元。 【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，一般遵循“小往大处靠”，“往中间靠”的原则。 3．A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如图所示：如何调运才能使运费最少？ 【答案】元 【分析】观察发现，A、B运往乙地的运费差距最大，所以A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨；然后是A、B运往丙地的运费差距大于运往甲地的运费差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙；此时A粮店的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨。 【详解】A运往乙40吨，运往丙30吨，B运往丙20吨，运往甲 30吨； 运费： （元） 答：运费最少为560元。 【点睛】由于A运往甲、乙、丙三地的运费都要低于B，所以A的粮食肯定是运完的，那么B只需要50吨，然后再进行求解。 4．北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可以支持外地4台。现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？ 【答案】北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉口0台，调运重庆4台；7600元 【分析】北京调往重庆的运费远远大于调往汉口的运费，所以汉口所需要的6台全部从北京调往，北京余下的4台调往重庆，上海的4台全部调往重庆。 【详解】北京调往汉口6台，调往重庆4台，上海调往重庆4台； 答：北京调往汉口6台，调往重庆4台，上海调往重庆4台费用最少；最少运费7600元。 【点睛】由于北京和上海的全部计算机都调往两地，可以设北京调往汉口的数量为未知数，然后表示出调往其它各地的数量，表示出总运费，然后求出运费的最小值。 5．工程队有92吨沙子要运走，现有一辆大车和一辆小车。大车每次可运10吨，每次要80元；小车每次可运6吨，每次60元。怎样安排最省钱？ 【答案】8辆大车和2辆小车 【分析】总价÷数量＝单价，先分别计算出两种车运1吨沙子的价格，得出多租大车，且运满最省钱；用92除以10计算出的商为大车的辆数，观察发现余下的吨数租小车不能运满，那么大车的实际辆数为商减去1；将减去的这10吨加上余下的吨数一起去租小车，除以6计算出小车的辆数；单价×数量＝总价，分别计算出两种车的总价，再相加就是这个租车安排的总价；据此解答。 【详解】大车每吨沙子：80÷10＝8（元） 小车每吨沙子：60÷6＝10（元） 8＜10，多租大车且租满最省钱。 大车辆数： 92÷10＝9（辆）……2（吨） 9－1＝8（辆） 小车辆数： （10＋2）÷6 ＝12÷6 ＝2（辆） 租车总价： 8×80＋2×60 ＝640＋120 ＝760（元） 答：租8辆大车和2辆小车最省钱。 6．某衬衫专卖店经销的男士衬衫，按价格从低到高分为A、B、C、D、E、F、G、H共8个档次，A档次的衬衫每天可卖出120件，每件可获利润50元．每高一个档次，卖出一件可增加利润10元，但是每高一个档次，这种档次的衬衫每天比低一档的衬衫少卖出8件． （1）在这8个档次的衬衫当中，卖哪个档次的所获得的利润最大？ （2）卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）第6个档次    ⑵8000元 【详解】我们可以运用求最大值的一个结论解答． 卖第一档的可获得最高利润为：50×120=（40+10×1）×（128-8×1）； 卖第二档可得利润为：（40+10×2）×（128-8×2）； 卖第三档可得利润为：（40+10×3）×（128-8×3）； ………． 可得出：卖出第N档可得利润：（40+10N）×（128－8N）=10×（4＋N）×8×（16－N）=80×（4＋N）×（16－N）．因为4+N+16－N=20，所以当4+N=16－N，即N=6时，利润最大． 最大利润为：（40+10×6）×（128-8×6）=8000（元）． 答：（1）卖第6个档次的衬衫所获得的利润最大． ⑵卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润是8000元． 7．六（1）班的36名同学要参加学校元旦节课后服务展演，每人要制一套表演服，有甲、乙、丙三个商场的服装款式和价格都比较符合要求，每套表演服定价都是200元。三个商场的优惠情况如下：请你算一算：六（1）班应到哪家商场购买合算？ 甲商场 对一次性购物满2000元的优惠。 乙商场 购满10套再免费送2套。 丙商场 按原价的出售。 【答案】选择乙商场 【分析】甲商场对一次性购物满2000元的优惠，是将总价看作单位1，实际支付总价的（1－），根据求一个数的几分之几，用乘法计算。 乙商场购满10套再免费送2套，那么购买30套就可以免费送6套，所以实际支付购买30套的费用即可。 丙商场按照原价的出售，用总价乘即可。 比较三个商场的总价，选择总价最小的。 【详解】甲商场： ＝36×200× ＝6300（元） 乙商场：36÷（10＋2）×2 ＝36÷12×2 ＝3×2 ＝6（套） 36－6＝30（套） （元） 丙商场：（元） 6000＜6300＜6480，选择乙商场购买合算。 答：选择乙商场购买合算。 8．生活中的数学。 物流公司要将57吨货物一次性全部从A城运往B城。 （1）如果全用大货车运，需要多少辆大货车？ （2）如果全用小货车运，需要耗油多少升？ （3）怎样安排车辆最省油？制订一个最省油的方案，说说你的思路。（建议用表格） 【答案】（1）9辆 （2）150升 （3）安排7辆大货车，2辆小货车最省油。 【分析】（1）根据题意可知，用货物的总吨数除以大货车的载重量，若有余数，用商加上1，即可求出需要多少辆大货车。 （2）根据题意可知，用货物的总吨数除以小货车的载重量，即可求出需要多少辆小货车，再用小货车的数量乘小货车运一趟耗油的升数，即可求出需要耗油多少升。 （3）大货车的载重量是7吨，运一趟耗油14升，则每吨的耗油量为14÷7＝2升；小货车的载重量是4吨，小货车运一趟耗油10升，则每吨的耗油量为10÷4＝2升……2升；所以在尽量满载的情况下，多使用大货车运送耗油最少；据此根据总吨数及载重量计算列出最优方案。 【详解】（1）57÷7＝8（辆）……1（吨） 8＋1＝9（辆） 答：需要9辆大货车。 （2）57÷4＝14（辆）……1（吨） 14＋1＝15（辆） 15×10＝150（升） 答：需要耗油150升。 （3） 大货车/辆 9 8 7 6 5 …… 小货车/辆 0 1 2 4 6 …… 总载重量/吨 63 60 57 58 59 …… 耗油/升   126 122 118 124 130 …… 118＜122＜124＜126＜130 因此采用第三种最优方案运完这些货物。 答：安排7辆大货车，2辆小货车最省油。 9．欣欣书店举行元旦促销活动，推出三种结算方式：现金支付、手机支付、会员卡支付。 现金支付：每满50元减10元。（满50元减10元，满100元减20元，以此类推） 手机支付：随机减免。 会员卡支付：打八五折。 王老师到书店购买了10本故事书。她结算时选择了手机支付，结果随机减免了10.8元。在这次消费过程中，王老师选用的结算方式是最划算的吗？请计算并说明理由。 【答案】不是；理由见详解 【分析】先算出王老师买10本书的原价为：10×8＝80元；再计算三种结算方式下王老师实际需支付的金额；最后对这三个金额进行比较，从而确定最划算的结算方式。 现金支付：因为100＞80＞50，可以享受满50减10元，用原价－10元＝实际支付金额； 手机支付：用原价－随机减免金额＝实际实付金额； 会员卡支付：八五折是指按原价的85%支付，用原价×85%＝实际支付金额。 【详解】原价：10×8＝80（元） 现金支付：80－10＝70（元） 手机支付：80－10.8＝69.2（元） 会员卡支付： 80×85% ＝80×0.85 ＝68（元） 因为68＜69.2＜70，所以用会员卡结算最划算。 答：王老师选用的结算方式不是最划算的。因为使用会员卡结算只需68元，所以王老师选用会员卡结算最划算。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 最优化问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解最优化问题的基本概念，明确"最优化"的核心是在多种方案中选择最优解（如时间最短、费用最低、效率最高等）； 2.掌握解决最优化问题的常用策略，包括枚举法、归纳法、极端化思考、图表分析等； 3.能够运用最优化思想解决生活中的实际问题，如购物方案选择、资源分配等； 4.培养逻辑推理能力和统筹规划意识，提升解决复杂问题的思维品质。 知识梳理 知识点一、最优化问题的基本概念 1.定义：最优化问题是指在一定约束条件下，通过合理规划和选择，使某个目标达到最优状态的问题。 2.核心要素： (1)目标函数：需要优化的量（如时间、成本、路程、效率等）。 (2)约束条件：限制条件（如资源总量、时间限制、空间限制等）。 (3)可选方案：实现目标的不同途径或方法。 3.基本类型： (1)时间优化问题（如沏茶问题、烙饼问题、排队问题）。 (2)资源优化问题（如物资分配、场地安排、材料利用）。 (3)经济优化问题（如购物折扣、运输成本、利润最大化）。 知识点二、常用解题策略与方法 1.枚举法 (1)适用场景：方案数量有限且较少时。 (2)解题步骤：列出所有可能方案→计算每种方案的结果→比较得出最优解。 (3)注意事项：按顺序枚举，避免重复或遗漏。 2.归纳法 (1)适用场景：具有规律性的重复操作问题。 (2)解题思路：从简单情况入手→发现规律→总结最优策略。 (3)典型应用：烙饼问题（每次烙2张饼，用时最少的方法）。 (4)规律总结：当n张饼时，最优时间=饼数×每面时间（当饼数≥2时）。 3.极端化思考法 (1)适用场景：寻找最大值或最小值问题。 (2)核心思想：考虑极端情况（如最多、最少、最大、最小）。 4.图表分析法 (1)适用场景：多因素影响的复杂问题。 (2)常用工具：列表法、画图法、流程图。 (3)典型应用：购物方案比较（不同商店折扣、满减活动对比）。 5.统筹规划法 (1)适用场景：多任务并行的时间优化问题。 (2)核心策略：合理安排顺序，实现"并行操作"节省时间。 (3)典型模型：沏茶问题（洗水壶→烧水同时洗茶杯、找茶叶→沏茶）。 (4)关键原则：先做准备工作，再进行耗时操作，同时穿插完成其他任务。 知识点三、解题技巧总结 1.明确优化目标：首先确定是追求"最少"（时间、费用）还是"最多"（产量、利润）。 2.全面考虑约束条件：注意题目中的限制因素，如"最多""至少""不能""必须"等关键词。 3.多种方案对比：当无法直接判断最优解时，先列出所有可能方案再比较。 4.寻找极端情况：对于求最大值/最小值问题，可从极端值入手分析。 5.关注实际生活经验：结合生活常识判断方案合理性。 例题讲解 一、时间优化问题 【例题1】早晨起床后，爸爸让小玲自己用奶粉冲一杯牛奶。洗水壶要1分钟，洗杯子和汤匙各要1分钟，烧开水要12分钟，取奶粉要2分钟，冲奶粉要1分钟。小玲应怎样安排，才能使自己尽快喝上牛奶？共需多少分钟？ 【例题2】用一只平底锅煎大饼，该平底锅只能同时放4个大饼；一个大饼要烙两面，烙熟大饼的每一面都需要3分钟，而且在这3分钟内，大饼不能中途离开平底锅。现在要烙熟46个大饼，那么最少需要多少分钟？ 【例题3】有5个人各拿1只水桶到水龙头前接水，水龙头给5个人的水桶注满水所需的时间分别是6分钟、4分钟、3分钟、5分钟、2分钟。现在只有一个水龙头可以接水，怎样安排，才能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？ 【例题4】个牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需2分钟，乙牛过河需3分钟，丙牛过河需6分钟，丁牛过河需7分钟。每次最多赶两头牛过河，而且牧童每次都要骑在牛背上过河。要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？ 二、资源优化问题 【例题1】如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？ 【例题2】一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？ 【例题3】用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 三、经济优化问题 【例题1】北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如表，如何调运能使总运费最省？ 【例题2】某工厂要运送32吨货物，一辆小货车载质量是4吨，运费320元；一辆大货车载质量是6吨，运费380元，怎样安排车辆最省钱？最少需要运费多少元？ 【例题3】实验小学足球队计划买50个足球，采购员看了甲、乙、丙三家商店，同一款足球的单价都是25元，各商店的促销方式如下表，采购员去哪家商店购买最划算？ 甲商店：买十送二。 乙商店：一律八折。 丙商店：每满100元返现金20元。 【例题4】某水果商购进40千克苹果，80千克枇杷。苹果进价为5元，按利润率定价；枇杷进价10元，但枇杷不耐保存，有的损耗。假设这些水果全部售出能有的利润率，则枇杷应该如何定价？ 考点练习 一、时间优化问题 1．妈妈让小蕾给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要10分钟，洗茶壶需要3分钟，洗茶杯需要3分钟，拿茶叶需要1分钟。那么客人要喝到茶，最少需要( )分钟。 2．学校医务室里有三名同学等候医生治病。甲打针需要5分钟，乙换纱布需要8分钟，丙点眼药水需要2分钟，他们在医务室等候的时间和最少是( )分钟。 3．韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包比较干了，只要烤一分钟足够了，也就是说烤一片面包需要3分钟。现在要烤3片面包，一次只能放两片面包，问至少要用多长时间？ 4．一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。问：煎2009张饼需几分钟？ 5．四个人各拿一个水桶到同一个水龙头下接水，这个水龙头注满四个人的水桶所需的时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、6分钟。怎样安排这四个人的接水顺序，才能使他们在最少的总时间（包括排队等候的时间）内都接满水？这个最少时间是多少？ 6．两个油漆工要给三块同样的木板的正、反面刷漆（不能同时刷一块木板），每面需2分钟，怎样安排，刷油漆的时间最少？最少的时间是几分钟？ 7．某加油站每次只能给一辆车加油。给一辆大卡车加满需要7分钟，一辆农用车加满需要5分钟，一辆小汽车加满需要4分钟。现在有一辆大卡车、一辆农用车、一辆小汽车同时来到加油站加油。问：加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最少？ 8．有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥。此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌。过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空。只有一个手电筒。4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟。17分钟后桥就要倒塌了。请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 9．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……。如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？ 二、资源优化问题 1．龙博士请同学们喝饮料，冷饮店刚好做活动，4个空饮料瓶可以兑换1瓶饮料，龙博士买了19瓶饮料，如果每人只喝一瓶，最多有（    ）位同学能喝到饮料。 A．25 B．24 C．22 D．21 2．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ 3．有一个80人的旅游团，其中男性50人，女性30人，他们入住的酒店有11人间、7人间和5人间的三种房间，男女分别住在不同的房间，且要求每个房间均住满，他们最少要住多少个房间？ 4．某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如下图。试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数越小越好。） 5．一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品。每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？ 6．有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？ 三、经济优化问题 1．果果的姐姐大学毕业找工作，目前有两家公司有意向录用她。A公司是每个月2000元，年终奖6000元，B公司是前半年每月1600，以后每半年月工资增加300，年终奖6000元。果果的姐姐与( )公司签两年合同较划算。 2．在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费元，那么集中到哪个仓库运费最少？ 3．A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如图所示：如何调运才能使运费最少？ 4．北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可以支持外地4台。现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？ 5．工程队有92吨沙子要运走，现有一辆大车和一辆小车。大车每次可运10吨，每次要80元；小车每次可运6吨，每次60元。怎样安排最省钱？ 6．某衬衫专卖店经销的男士衬衫，按价格从低到高分为A、B、C、D、E、F、G、H共8个档次，A档次的衬衫每天可卖出120件，每件可获利润50元．每高一个档次，卖出一件可增加利润10元，但是每高一个档次，这种档次的衬衫每天比低一档的衬衫少卖出8件． （1）在这8个档次的衬衫当中，卖哪个档次的所获得的利润最大？ （2）卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润是多少？ 7．六（1）班的36名同学要参加学校元旦节课后服务展演，每人要制一套表演服，有甲、乙、丙三个商场的服装款式和价格都比较符合要求，每套表演服定价都是200元。三个商场的优惠情况如下：请你算一算：六（1）班应到哪家商场购买合算？ 甲商场 对一次性购物满2000元的优惠。 乙商场 购满10套再免费送2套。 丙商场 按原价的出售。 8．生活中的数学。 物流公司要将57吨货物一次性全部从A城运往B城。 （1）如果全用大货车运，需要多少辆大货车？ （2）如果全用小货车运，需要耗油多少升？ （3）怎样安排车辆最省油？制订一个最省油的方案，说说你的思路。（建议用表格） 9．欣欣书店举行元旦促销活动，推出三种结算方式：现金支付、手机支付、会员卡支付。 现金支付：每满50元减10元。（满50元减10元，满100元减20元，以此类推） 手机支付：随机减免。 会员卡支付：打八五折。 王老师到书店购买了10本故事书。她结算时选择了手机支付，结果随机减免了10.8元。在这次消费过程中，王老师选用的结算方式是最划算的吗？请计算并说明理由。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $