精品解析：河南省新乡市/红旗区2025-2026学年九年级上学期12月联合学情测评数学试卷

2025－2026学年第一学期十二月联合学情测评试卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开电视，正在播放“新闻联播” C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 在平面内画一个任意三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：选项A：座位号可能是奇数或偶数，是随机事件，不符合题意； 选项B：电视可能播放其他节目，是随机事件，不符合题意； 选项C：抛硬币正面朝上或反面朝上都是随机事件，不符合题意； 选项D：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据方程的系数结合根的判别式的值与0进行比较，进而可得出方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个开关，随机闭合两个有，，三种情况，其中能使得灯泡发光的接法只有闭合这一种情况，根据简单地概率公式计算即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：三个开关，随机闭合两个有，，三种情况，其中能使得灯泡发光的接法只有闭合这一种情况， 根据题意，得能让灯泡发光的概率是， 故选：B． 4. 如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．连接，，可得是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出． 【详解】解：连接，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， 由题意可知，则垂直平分， ∴， ∴ 故选：A． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可． 【详解】解：当时， 一次函数经过一、二、三象限， 函数的图象在一、二象限， 故选项①的图象符合要求． 当时， 一次函数经过二、三、四象限， 函数的图象经过三、四象限， 故选项④的图象符合要求． 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的性质是解题的关键． 6. 如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据旋转的性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，然后根据邻补角的定义计算出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上， ，， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，在等边三角形中，，是上一点，且，绕点旋转后得到，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得：，再根据等边三角形的性质可得，，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再根据易得：，从而利用三角形的面积公式求出的面积，最后根据旋转的性质可得：，即可解答． 【详解】过点作，垂足为， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， 的面积， 由旋转得：， 的面积的面积， 故选：C． 8. 抛物线与的图象如图所示，抛物线的顶点在抛物线上，且与轴的交点分别为，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与轴的交点问题，根据抛物线与轴的交点求出对称轴解析式，然后整理不等式得到，再根据函数图象写出抛物线在下方部分的的取值范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵抛物线与轴的交点分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 由不等式得，， ∵抛物线的顶点在抛物线上， ∴不等式的解集是， 故选：． 9. 如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质和旋转的性质求得A′B=2，OB=1，从而求得旋转角度；再由阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积计算求值即可； 【详解】解：Rt△ABC是等腰直角三角形，OC⊥AB，则AB=2OC=2，OA=OB=OC=1，AC=BC=， ∵旋转性质可得：AB=A′B，BC=BC′，∠ABA′=∠CBC′， Rt△A′OB中，A′B=2，OB=1，则∠ABA′=60°， ∴扇形ABA′面积=，△A′BC面积=△ABC面积=， 扇形CBC′面积=， ∵阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积， ∴阴影面积=， 故选： D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，扇形面积计算等知识；掌握相关性质和扇形面积计算公式是解题关键． 10. 如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　） A. B. 10 C. 7.2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接OF，OD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FO+FD≥OD；只有当点F、O、D共线时，FO+FD=PQ有最小值，最小值为OD的长，即当点F在直角三角形ABO的斜边AB的高OD上时，PQ=OD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时OD＝＝＝7.2. 【详解】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB． ∵A（12，0）、B（0，9）， ∴AO＝12，BO＝9， ∴AB＝15， ∴∠AOB＝90°， ∴PQ是圆F的直径， ∴FO+FD＝PQ， ∴FO+FD≥OD， 当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ＝OD， ∴OD＝＝＝7.2． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的三边关系，得到FO+FD≥OD是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果线段是与的比例中项，且，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的概念，可得，可得，故的值可求，注意线段的长为正数． 【详解】解：线段是与的比例中项， ， 解得：， 线段是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方，求两条线段的比例中项时，负数应舍去． 12. 在一个不透明的盒子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是红球的概率是，则白球的个数是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】首先设白球的个数为x，然后根据概率列出方程，从而得出x的值． 【详解】解：设白球的个数为x， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴白球的个数为8． 【点睛】本题主要考查的是概率的计算法则，属于基础题型．理解概率的计算公式是解决这个问题的关键． 13. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数(k>0)在第一象限的图像交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，ΔODE的面积是，则k的值是________ 【答案】 【解析】 【详解】分析：过E作EF⊥x轴，垂足为F，则EF=1，易求∠DEF=30°，从而DF=，根据ΔODE的面积是求出OD=，从而OF=3，所以k=3. 详解：如图，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F， ∵点E的纵坐标为1， ∴EF=1， ∵ΔODE的面积是， ∴OD=， ∵四边形OABC是矩形，且∠AOD=30°, ∴∠DEF=30°, ∴DF= ∴OF=3，所以点E的坐标为（3，1）， 把点E的坐标代入反比例函数的解析式，可得k=3. 故答案为3. 点睛：本题是正方形和反比例函数的综合试题，解题过程中涉及解直角三角形，确定反比例函数的解析式等，确定点E的坐标是解题关键. 15. 如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为_____． 【答案】4﹣． 【解析】 【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2-m），再利用AD=2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论． 【详解】解：如图，设E（m，n）， 过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N， ∴∠CME＝∠END＝90°， ∴∠MCE+∠MEC＝90°， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE，∠CED＝90°， ∴∠NED+∠MEC＝90°， ∴∠MCE＝∠NED， ∴△CME≌△END（AAS）， ∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m， ∴D（m+n，n+2﹣m）， ∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上， 连接AD，则AD＝2， ∴＝2， ∴＝， 即， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹）， ∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵C（2，0）， ∴OC＝2， ∴BC＝2， 过点O作OH⊥BC于H， ∴OH＝＝， 设点E到BC的距离为h， ∴S△BCE＝BC•h＝×h＝h， ∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣2， ∴S△BCE最小＝（）＝4﹣， 故答案为：4﹣． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点D的坐标是解本题的关键，判断出点E的轨迹是解本题的难点． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 解：， ， 所以， 所以． 17. 某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共个，这些球除颜色外无其他差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球试验．根据多次试验结果绘制出如下统计图： （1）请你根据统计图数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为_______（精确到）；试估算盒子里有_______个白球． （2）根据第（1）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率的计算（列表法 / 树状图法），掌握用频率估计概率的思想及古典概型的计算方法是解题关键． （1）利用 “大量重复试验中，频率稳定值近似为概率” 的思想，结合概率与球数的关系确定白球数量； （2）通过列表法列出所有摸球的等可能结果，再根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【小问1详解】 解：根据统计图，随着摸球次数增加，白球频率稳定在 附近， 因此摸出白球的概率约为； 白球数量总球数白球概率， 故盒子里有个白球； 【小问2详解】 解：先将三个白球记为、、，黑球记为，随机摸出两球列表如下： 第1球 第2球 共有种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”有种：， 所以（摸到两个颜色相同小球）． 18. 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米． （1）作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系； （2）在（1）的条件下进行下列探究； ①求抛物线的解析式； ②当水面下降多少米时，水面宽为8米？ 【答案】（1） 如图， （2）①；②当水面下降米时，水面宽为8米 【解析】 【分析】（1）依据题意，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，即可得解； （2）①根据题意设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，进而可以得解； ②依据题意，根据水面宽为8米，求出此时纵坐标再与作差即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设抛物线的解析式为，由题意点，在抛物线上， 则：， ， 故此抛物线的解析式为：； ②由题意，水面宽米，则， 令，则， ， 答：当水面下降米时，水面宽为8米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式． 19. 如图，在中，E是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）过点E作，垂足为点H，延长交于点G，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据同弧所对的圆周角相等证明即可证明结论； （2）先证明，得到，进而推出，证明，即可推出． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P为x轴上一点，，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为 （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）设直线与x轴交于D，则，根据，求出，则或． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于D， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 21. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点． （1）线段与的数量关系是________，位置关系是________； （2）把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明． 【答案】（1）， （2） 是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，分别为，的中点． ∴，， ∵点，分别为，的中点． ∴，， ∴， 设的延长线交于O，交于H，如图， ∵，， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可证明，推出，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，设的延长线交于O，交于H，如图，根据三角形的内角和定理可得，进而可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理、证明三角形全等是解题的关键． 22. 如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． （1）若与相似，求t的值； （2）连接、，若，求t的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：①当时，；②当时，，再根据，，，，代入计算即可； （2）过P作于点M，，交于点N，则有，，，根据，得出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴根据勾股定理得：， ①当时，， ∵，，，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，t＝； ∴或时，与相似； 【小问2详解】 解：过P作于点M，，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 23. 数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②略 (3)或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴证四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期十二月联合学情测评试卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开电视，正在播放“新闻联播” C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 在平面内画一个任意三角形，其内角和为 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 3. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（ ） A. B. C. D. 3 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 6. 如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边三角形中，，是上一点，且，绕点旋转后得到，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 8. 抛物线与的图象如图所示，抛物线的顶点在抛物线上，且与轴的交点分别为，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　） A. B. 10 C. 7.2 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果线段是与的比例中项，且，那么__________． 12. 在一个不透明的盒子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是红球的概率是，则白球的个数是_____． 13. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 14. 如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数(k>0)在第一象限的图像交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，ΔODE的面积是，则k的值是________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共个，这些球除颜色外无其他差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球试验．根据多次试验结果绘制出如下统计图： （1）请你根据统计图数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为_______（精确到）；试估算盒子里有_______个白球． （2）根据第（1）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率． 18. 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米． （1）作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系； （2）在（1）的条件下进行下列探究； ①求抛物线的解析式； ②当水面下降多少米时，水面宽为8米？ 19. 如图，在中，E是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）过点E作，垂足为点H，延长交于点G，若，求的长． 20. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P为x轴上一点，，求点P的坐标． 21. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点． （1）线段与的数量关系是________，位置关系是________； （2）把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明． 22. 如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． （1）若与相似，求t的值； （2）连接、，若，求t的值． 23. 数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $