专题06实数及其简单运算寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型讲练+强化巩固专练)2025-2026学年人教版七年级数学下册

寒假预习06实数及其简单运算预习闯关必备讲义 预习目标 1.理解实数的概念，明确实数与有理数、无理数的从属关系，能准确区分有 理数和无理数。 2.掌握实数的分类方法，包括按定义分类和按性质分类，建立实数体系的整 体认知。 3.熟悉实数的基本性质，如相反数、倒数、绝对值的定义及求法，类比有理 数性质迁移应用。 4.初步掌握实数的简单运算（加、减、乘、除、乘方及开方），明确运算规 则与有理数运算的联系与区别。 5.了解实数与数轴的一一对应关系，能用数轴上的点表示实数，借助数轴理 解实数的大小比较。 预习内容概览 预习必备 1.实数的概念与分类 2.实数的基本性质 知识点梳理 3.实数的运算 4.实数的大小比较 5.实数的简单运算 6.易错点警示 常考题型 1.无理数的概念与识别 2.无理数的大小估算方法 精讲精炼 3.无理数整数部分的计算技巧 4.实数概念的深度理解 5.实数的分类规则与示例 6.实数的核心性质梳理 7.实数与数轴的对应关系 8.实数大小比较的常用方法 9.实数混合运算的步骤与易错点10.新定义下的实数运算 强化巩固 题型通关 (17题) 知识点梳理 【知识点01.实数的定义与分类】 1.实数：有理数和无理数统称为实数。 2.分类 试卷第1页，共3页 有理数：可以表示为两个整数之比(p/q,其中q≠0)的数。 整数（正整数、0、负整数） 分数（正分数、负分数） 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于有理数。 无理数：无限不循环小数。 常见类型： 开方开不尽的数，如V2,V3,V5,7等。 特殊常数，如（圆周率）。 有规律但不循环的小数，如0.1010010001..（相邻两个1之间0的个数逐 次加1)。 【知识点02.实数的基本性质】 1.有序性：任何两个实数都可以比较大小。 2.稠密性：任意两个不相等的实数之间，都存在无数个实数。 3.与数轴的一一对应关系： 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 意义：这是数形结合思想的重要体现，将抽象的数与直观的几何图形联系起来 【知识点03.实数的运算】 运算法则：实数的加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，以及混合运算 的顺序，与有理数的运算法则完全相同。 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 运算顺序： 【知识点04.实数的大小比较】 1.数轴比较法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 试卷第2页，共3页 2.代数比较法： *正数>0>负数。 *两个正数比较大小，绝对值大的数大。 *两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 *作差法：若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b< 0,则a<b。 【知识点05.易错点警示】 一、概念理解类 1.无理数≠带根号的数：如√4=2是有理数。关键看是否是无限不循环小数。 2.实数与数轴一一对应：所有实数（有理数和无理数）都能在数轴上找到唯一 的点。 3.a-b」的几何意义：表示数轴上a、b两点间的距离。 二、运算操作类 1.Va是算术平方根：结果必为非负数。a的平方根是±a。 2.运算顺序不能乱：先乘方、开方，再乘除，最后加减。 3.去绝对值先判断：X,若X≥0，则X=X;若X<0,则X=-X。 4.“0”的特殊性： *0的平方根是0。 0没有倒数。 0不能做分母或除数。 5.估算无理数用“夹逼法”：如比较V5和2.2，可算2.22=4.84，因 5>4.84,故5>2.2。 常考题型精讲精练 【题型1.无理数的概念与识别】 5 【典例】在-1.732，√2，元’3.1i4?2+5,0.10010001,6这些数中，无理数的个数 是() 试卷第3页，共3页 A.2 B.3 C.4 D.5 【跟踪专练1】下列各数：①3.14159、②0333、③5-5、④、⑤2 5、⑥ 7、⑦0.3030003000003’是无理数的是一（填序号） 【跟踪专练2】下列说法中错误的是() 13 A.-8是整数 B.11是有理数 C.3是分数 D.27的立方根是无 理数 【题型2.无理数的大小估算方法】 【典例】写出一个介于3和4之间的一个无理数：一·（只需写出一个) 【跟踪专练1】如图，在数轴上表示实数万 的点可能是() A BC D 01234 A.点A B.点B C.点C D.点D 【跟踪专练2】若m,”是两个连续整数，且m<-V22<n,则m+n= 【题型3.无理数整数部分的计算技巧】 5+1 【典例】2介于两个连续的整数a与b之间，则2a+b的值是() A.4 B.5 C.6 D.7 【跟踪专练1】已知0<a<厅 则“的整数部分是一· 【跟踪专练2】如果x、y分别是4V5 的整数部分和小数部分，则-y=（) A.5 B. -5 C.1+V D.2-5 【题型4.实数概念的深度理解】 试卷第4页，共3页 【典创)v6-1 的相反数是」 【跟踪专练1】下列说法正确的是() A.正实数和负实数统称实数 B.正数、和负数统称有理数 C.带根号的数和负数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 【跟踪专练2】下列说法：①实数分为整数和分数：②无限不循环小数叫作无理数；③一 个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是±1；⑤带根号的数都是无理数. 其中正确的是（填序号）. 【题型5.实数的分类规则与示例】 【典例】下列四个数中，为有理数的是() A.π B.V② C.3 D.5 5 23 【跟踪专练1】已知下列实数：①0，②3，③V4,④2，⑤3.2i,⑥6，其中整数 有：，分数有：，无理数有：一·（只需填写序号） 【跟踪专练2】下列说法中错误的个数是() ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数： ②带根号的都是无理数： ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类： ④无理数是无限小数： ⑤0.101001000100001是无理数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型6.实数的核心性质梳理】 【典例)1-V3= 【跟踪专练1】V2013 的相反数是() A.√2013 B.-V2013 √2013 D.V2013+1 试卷第5页，共3页 【跟踪专练2】实数”，6互为相反数，C,“互为倒数，x的绝对值为5，式子 x2+(a+b+cd)x+a+b+cd 的值是一 【题型7.实数与数轴的对应关系】 【典例】与数轴上的点一一对应的数是() A.分数 B.有理数 C.无理数 D.实数 【跟踪专练1】如图，实数a,b,c在数轴上对应点的位置，化简V匠-Q+b+b-c 的结果为一。 a b 0 c 【跟踪专练2】下列说法正确的是() A.⑧1的算术平方根是9 B.无理数和有理数统称为实数 C.立方根等于它本身的数是0和1 D.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对 应 【题型8.实数大小比较的常用方法】 【典例】比较大小：V5而_7（填“>，“<”或“=”） 【跟踪专练1】已知a=V万，b=2.c=V5 则“，b,C的大小关系为() A.b>axc B.a>b>c C.a>c>b D.b>c>a 5-1 【跟踪专练2】比较大小：20.6.（填空用“>”“<”或“=”） 【题型9.实数混合运算的步骤与易错点】 【典例】下列各式计算正确的是() A.2I=±H1B.V3+5=5 C.-27=-3 D.V-25=-5 试卷第6页，共3页 【跟踪专练1)0-5+8+5-2 【跟踪专练2】实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是() A.c(b+a)<o B.(b+a)(c-a)<o C.(a-c)(c+b)>0 D.(a-b)(b-e)>0 【题型10.新定义的实数运算】 【典例】若定义一种新的运算“*”，规定a*b=ab-b,则2*(-3)=一 〔跟踪专练1】设4，b是实数，定义*的一种运第如下：a*h=(口-b),则下列结论错误 的是() A.a*b=0,则a=b B.a*b=b*a C.a*(b+c)=a*b+atc D. a*b=（-a*(-b] 2 6 7 【跟踪专练2】如果规定ab c d a1-bxe'那么 强化巩固通关 1.下列说法正确的是() A.无理数与无理数的和一定为无理数 B.一个数的算术平方根一定不比这个数大 C.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D.实数可分为有理数和无理数 2.下列各式正确的是() A.2-6=2-v6 B.V2+8=0 试卷第7页，共3页 c.25=5 D.V6<2.5 1.在实数31415926，号反-0反，0383,2121212（每两个1之间依次多 一个2)中，无理数有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 V5+1 4.比较大小：2一0.5（填入>、=或<）· 5.m若为整数，且m<9<m+1,m=一，n是的小数部分，则n-m的值 为一 6.若a是无理数，b是有理数，则下列结论正确的是() A.a+b一定是无理数 B.b一定是无理数 C.a一定是有理数 D.V6一定是无理数 2515 7.有一列数按如下顺序排列：2,4,4,16，…，则第10个数是一. -a-b(a≥b) a*b= 8.现定义运算“*”，对于任意有理数a与b,满足， -a+b(a<b)例如： 1 4 5*3=二×5-3= 3 3,-2*1=-(-2)+1=2+1=3,若有理数x满足x*5=-3,则x的值为一 9.如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示97 的点 重合，乙的右端与数轴上表示V97 的点重合，则纸条重叠部分的长度为一 乙13 B 97 97 甲15 试卷第8页，共3页 10.若用表示任意正实数的整数部分，例如：2.=2,2]=2，【②=1，则式子 W1-W]+[N-N++2022]-[V202]+[2024]-2025]的值为()（式子中的 “+”,“。”依次相间) A.67 B.-22 C.68 D.-21 11.如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要一 个图2这样的杯子.（单位：cm)(温馨提示： V图柱=r2.h 2a 图1 图2 12.如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示. 是无理数 输入x 计算x+6 取算数平方根 输出y 是有理数 当输入的x值为10时，则输出的y值为 若输出的y值是5且10≤s30 则输入的x的值为一 13.(1)计算：5-2+V-2+27 (2)解方程： 9(x+12-64=0 14.已知m-2的立方根是3，m+1的算术平方根是2，d是29 的整数部分. ()求m,n,d的值： (2)求m-4n+d的平方根. 15.数轴上有A,B两点分别表示实数a和b,且满足la+3到+b-V5=0 试卷第9页，共3页 (1)a= b= ； (2)点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位 长度？ 16.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了m个单位长度到达点B,点A、点B分别表示 实数a和b,且有口+同与6-05互为相反数。 B A -2-10123 求a++a-的值： (2)锦怡同学说：“蚂蚁从点A沿数轴向右爬行的单位长度m大于2个单位长度”，请你判 断她的说法是否正确，并说明理由 17.先观察下列等式，再回答问题. 11+12: ,11,1 11 (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想V+4+5子= (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： ③)对任何实数a,用叫表示不超过口的最大整数，如4=4，[]-1，计算 1.1 试卷第10页，共3页 寒假预习06实数及其简单运算预习闯关必备讲义 1.理解实数的概念，明确实数与有理数、无理数的从属关系，能准确区分有理数和无理数。 2.掌握实数的分类方法，包括按定义分类和按性质分类，建立实数体系的整体认知。 3.熟悉实数的基本性质，如相反数、倒数、绝对值的定义及求法，类比有理数性质迁移应用。 4.初步掌握实数的简单运算（加、减、乘、除、乘方及开方），明确运算规则与有理数运算的联系与区别。 5.了解实数与数轴的一一对应关系，能用数轴上的点表示实数，借助数轴理解实数的大小比较。 预习必备 知识点梳理 1.实数的概念与分类 2.实数的基本性质 3.实数的运算 4.实数的大小比较 5.实数的简单运算 6.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.无理数的概念与识别 2.无理数的大小估算方法 3.无理数整数部分的计算技巧 4.实数概念的深度理解 5.实数的分类规则与示例 6.实数的核心性质梳理 7.实数与数轴的对应关系 8.实数大小比较的常用方法 9.实数混合运算的步骤与易错点 10.新定义下的实数运算 强化巩固 题型通关 (17题) 【知识点01.实数的定义与分类】 1.实数 ：有理数和无理数统称为实数。 2.分类： 有理数 ：可以表示为两个整数之比（p/q，其中 q≠0）的数。 整数（正整数、0、负整数） 分数（正分数、负分数） 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于有理数。 无理数 ：无限不循环小数。 常见类型： 开方开不尽的数，如 , , , 等。 特殊常数，如 π (圆周率)。 有规律但不循环的小数，如 0.1010010001... (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)。 【知识点02.实数的基本性质】 1.有序性：任何两个实数都可以比较大小。 2.稠密性：任意两个不相等的实数之间，都存在无数个实数。 3.与数轴的一一对应关系： 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 意义：这是数形结合思想的重要体现，将抽象的数与直观的几何图形联系起来 【知识点03.实数的运算】 运算法则：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，以及混合运算的顺序，与有理数的运算法则完全相同。 加法交换律：a + b = b + a 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 乘法交换律：ab = ba 乘法结合律：(ab) c = a (bc) 分配律：a (b + c) = ab + ac 运算顺序： 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2.有括号的，先算括号里面的。 3.同级运算，从左到右依次进行。 【知识点04.实数的大小比较】 1.数轴比较法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 2.代数比较法： *正数 > 0 > 负数。 *两个正数比较大小，绝对值大的数大。 *两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 *作差法：若 a - b > 0，则 a > b；若 a - b = 0，则 a = b；若 a - b < 0，则 a < b。 【知识点05.易错点警示】 一、 概念理解类 1.无理数≠带根号的数：如√4=2 是有理数。关键看是否是无限不循环小数。 2.实数与数轴一一对应：所有实数（有理数和无理数）都能在数轴上找到唯一的点。 3.|a-b | 的几何意义：表示数轴上 a、b 两点间的距离。 二、 运算操作类 1.是算术平方根：结果必为非负数。a 的平方根是 ±。 2.运算顺序不能乱：先乘方、开方，再乘除，最后加减。 3.去绝对值先判断：|X|，若 X≥0，则 | X|=X；若 X<0，则 | X|=-X。 4.“0” 的特殊性： *0 的平方根是 0。 *0 没有倒数。 *0 不能做分母或除数。 5.估算无理数用 “夹逼法”：如比较和 2.2，可算 2.2²=4.84，因 5>4.84，故>2.2。 【题型1.无理数的概念与识别】 【典例】在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的判断，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否无理数即可． 【详解】解：在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数是，，，0.10010001…共4个， 故选：C． 【跟踪专练1】下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 【跟踪专练2】下列说法中错误的是（  ） A．是整数 B．是有理数 C．是分数 D．的立方根是无理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练地掌握实数的各种分类标准是解题的关键． 根据实数分类，无理数的概念，进行辨别即可． 【详解】A、∵，且是整数， ∴A正确； B、∵是两个整数的比，属于有理数， ∴B正确； C、∵中含有无理数，无法表示为两个整数的比，故不是分数， ∴C错误； D、∵=，而的立方根是，是无理数（因为3不是完全立方数）， ∴D正确． 综上，错误选项为C． 故选：C． 【题型2.无理数的大小估算方法】 【典例】写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解． 【详解】解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 【跟踪专练2】若，是两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 【题型3.无理数整数部分的计算技巧】 【典例】介于两个连续的整数与之间，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算及代数式求值，熟练掌握算术平方根的概念是解答本题的关键． 先估算出的值的范围，然后即可进行解答． 【详解】解：∵， ， ∴， 介于两个连续的整数与之间， ∴，， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，则的整数部分是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键．通过比较平方数确定和的整数部分，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴a的整数部分是3． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型4.实数概念的深度理解】 【典例】的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 【题型5.实数的分类规则与示例】 【典例】下列四个数中，为有理数的是（    ） A．π B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数以及无理数的定义，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数就是无限不循环小数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意； B、不能表示为分数，是无理数，不符合题意； C、3是整数，是有理数，符合题意； D、不能表示为分数，是无理数，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有： ，分数有： ，无理数有： ．（只需填写序号） 【答案】 ①③ ⑤⑥ ②④ 【分析】该题考查了实数的分类，整数包括正整数、负整数和零；分数是有理数中不是整数的部分，包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数；据此求解即可． 【详解】解：①0是整数；②是无理数，因为是无理数，除以3后仍为无理数；③是整数；④是无理数，因为是无理数，除以2后仍为无理数；⑤是无限循环小数，属于分数；⑥是分数． 故整数有①③，分数有⑤⑥，无理数有②④． 故答案为：①③；⑤⑥；②④． 【跟踪专练2】下列说法中错误的个数是（   ） ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数； ②带根号的都是无理数； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类； ④无理数是无限小数； ⑤0.101001000100001是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查的无理数和实数的定义和分类，根据无理数，实数的定义和分类逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①若有理数为，则除以无理数运算结果为（有理数），原说法错误，故①符合题意； ②带根号的数不一定都是无理数，原说法错误，故②符合题意； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类，正确，故③不符合题意； ④无理数是无限小数，正确，故④不符合题意； ⑤0.101001000100001是有理数，原说法错误，故⑤符合题意； 故选：C． 【题型6.实数的核心性质梳理】 【典例】 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，．根据绝对值意义进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，实数的运算，根据绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：B． 【跟踪专练2】实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴ 或； 故答案为：． 【题型7.实数与数轴的对应关系】 【典例】与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据实数与数轴上的点一对一对应，进行判断即可． 【详解】解：与数轴上的点一一对应的数是实数 故选D． 【跟踪专练1】如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，立方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质． 根据实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质逐个判断． 【详解】解：，9的算术平方根是3，不是9，A错误； 有理数和无理数统称为实数，B正确； 立方根等于本身的数有，0，1，C错误； 数轴上的点与实数一一对应，D错误； 故选：B． 【题型8.实数大小比较的常用方法】 【典例】比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算． 比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查算术平方根的性质（被开方数越大，算术平方根越大）．解题关键是将有理数转化为算术平方根形式，统一比较标准；易错点是忽略“将有理数化为相同形式”的步骤，直接凭直觉比较． 把转化为算术平方根形式（），结合、，比较被开方数：因为，根据算术平方根的性质，得，即． 【详解】解：∵，，，且， ∴，即． 【跟踪专练2】比较大小： ．（填空用“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的近似值计算与实数的大小比较，解题的关键是求出的近似值，再与0.6比较． 先计算的近似值，进而求出的近似值，最后与0.6比较大小． 【详解】解∶ 由于 ，且 ，， ， ，即差值大于 ， 故 ． 故答案为： 【题型9.实数混合运算的步骤与易错点】 【典例】下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根和实数的运算和性质，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可可判断A、C；根据被开方数要大于等于0可判断D；根据实数的运算法则可判断B． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、和不能合并计算，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、没有意义，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、算术平方根、立方根、绝对值的运算，熟练掌握各运算的定义和性质是解题的关键． 分别计算乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练2】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，判断式子正负，实数的运算，由数轴得到，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由数轴得：，， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、由数轴得：，， ∴，， ∴，故选项不符合题意； C、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项不符合题意； D、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 【题型10.新定义的实数运算】 【典例】若定义一种新的运算“”，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算的定义，掌握新运算的定义并结合有理数的运算是解题关键． 根据新运算的定义，将代入公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为 ． 【跟踪专练1】设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（    ） A．，则 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此可判断A；根据新定义可得，据此可判断B；当时，，，据此可判断C；根据新定义可得，据此可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴当，， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴当时，， ， ∴此时等式不成立，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如果规定，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及分数的混合运算．根据新定义的算法计算即可． 【详解】解：由题意知， ． 故答案为：． 1．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求绝对值，求算术平方根，求立方根，实数的大小比较． 估算出的取值范围，可判断A、D，根据算术平方根的定义，立方根的定义，可判断B、C． 【详解】解：∵， ∴， ∴，A错误； ，B错误； ，C错误； ∵， ∴，D正确； 故选：D． 3．在实数（每两个1之间依次多一个2）中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是依据“无限不循环小数是无理数”的定义逐一判断． 先明确无理数是无限不循环小数，再逐一分析数：（有理数）、（有理数）、（无理数）、（无理数）、（有理数）、（有理数）、（每两个1之间多一个2，无理数），由此确定无理数的个数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数， 3.1415926是有限小数，有理数； 有理数； 是分数，有理数； 是无理数； 中是无理数，故无理数； 是整数，有理数； ，有理数； 是循环小数，有理数； （每两个1之间依次多一个2）是无限不循环小数，无理数． ∴ 无理数有3个． 故选：A． 4．比较大小： （填入>、或）． 【答案】> 【分析】本题考查实数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．计算两数的差，判断差正负，若差大于零，则被减数大；若差等于零，两数相等；若差小于零，则减数大． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： >． 5．若为整数，且， ，是的小数部分，则的值为 ． 【答案】 4 0 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及绝对值的运算，熟练掌握无理数的估算方法（夹逼法）是解题的关键． 先估算的范围以确定整数，再根据小数部分的定义求出，最后代入式子计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的小数部分， ∴， ∴， 故答案为：，． 6．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 7．有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，数字的变化类，掌握算术平方根的定义以及数列的变化规律是正确解答的关键． 通过观察数列的符号、分子和分母的变化规律，推导出第10项的表达式，符号由 决定． 【详解】解： 数列可以写为： ，，，，…， 由此可得： 数列的符号为 ，第10项为偶数，故符号为正． 分子中的数字规律：，故第10项，分子为． 分母中的数字规律：，故第10项，分母为． 因此第10个数为． 故答案为：． 8．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如：，，若有理数x满足，则x的值为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给定义的运算规则． 根据定义运算“*”的规则，分和两种情况讨论，分别列出方程求解，并验证解是否满足对应条件． 【详解】解：当时，依规则有， 解得， 经检验，符合条件； 当时，依规则有，解得，但，不符合条件，故舍去， 因此的值为， 故答案为：． 9．如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离，先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为， 故答案为：． 10．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 11．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 12．如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为 ． 若输出的y值是且，则输入的x的值为 ． 【答案】 19或 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． （1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：或25，根据，即可得出结论． 【详解】解：输入的x值为10时，，取算术平方根为是有理数， 则返回是有理数，返回取算术平方根为，无理数则输出， 则y的值为， 故答案为：； 按数值转换器，进行逆运算， 输出的y是，且， 上一步应该是5或25， 当或25时，或或19或， ， 或， 故答案为：19或． 13．（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 或 【分析】此题考查了实数的混合运算和利用平方根的定义解方程． （1）先化简绝对值、算术平方根、立方根，再进行加减法计算即可； （2）原方程变形为，再利用平方根的意义进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 整理得， ∴ 解得或 14．已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值，进而求解即可； （2）由（1）可知，再代入求值，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 15．数轴上有A，B两点分别表示实数a和b，且满足． (1)______；______； (2)点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位长度？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离等知识，解题的关键是： （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）设经过t秒，根据列出关于t的方程，然后解方程即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设经过t秒，则点P表示的数为， 根据题意，得， 解得或， ∴经过或秒，点P与点B相距2个单位长度 16．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点、点分别表示实数和，且有与互为相反数． (1)求的值； (2)锦怡同学说：“蚂蚁从点沿数轴向右爬行的单位长度大于2个单位长度”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)她的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，绝对值与算术平方根的非负性； （1）根据绝对值与算术平方根的非负性得出，代入代数式，化简绝对值即可求解； （2）根据题意得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数 ∴，， ∴， ∴； （2）她的说法不正确，理由如下， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点、点分别表示实数和，， 表示的数分别为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴她的说法不正确． 17．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $