第1章 §4.3 一元二次不等式的应用(习题课)（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第一章 预备知识 §4.3　一元二次不等式的应用(习题课) 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 目录 contents 课堂互动 Part 01 课时作业（十三） Part 02 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） A 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业（十三） 点击进入word 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.了解简单的分式不等式的解法． 2.理解并掌握不等式恒成立问题． 3.会用一元二次不等式解决一些简单的实际问题． 1.通过不等式中的恒成立问题，提升数学运算的核心素养． 2.借助一元二次不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养． 题型一　解简单的分式不等式 [例 1]　(1)不等式 eq \f(2－x,x＋4)＞0的解集是________． (2)已知关于x的不等式 eq \f(ax－1,x＋1)＞0的解集是(－∞，－1)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，则a＝________． (3)解不等式 eq \f(x＋1,x－2)≤2. 解析：(1)因为 eq \f(2－x,x＋4)＞0， 所以(x－2)(x＋4)＜0，故－4＜x＜2. (2) eq \f(ax－1,x＋1)＞0等价于(ax－1)(x＋1)＞0， 由题意得a＞0，且－1和 eq \f(1,2)是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两个根， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))＝0，所以a＝2. (3)移项得 eq \f(x＋1,x－2)－2≤0， 左边通分并化简得 eq \f(－x＋5,x－2)≤0， 即 eq \f(x－5,x－2)≥0，可转化为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x－2)(x－5)≥0，,x－2≠0，)) 所以x＜2或x≥5， 所以原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}． 答案：(1){x|－4＜x＜2}　(2)2 (3){x|x＜2或x≥5} eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解．　　 　已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式 eq \f(ax－b,x－2)＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 题型二　不等式中的恒成立问题 [例 2]　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0.若m≠0， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，)) ⇒－4＜m＜0. ∴－4＜m≤0，即m的取值范围是(－4，0]. (2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，就要使m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)m－6＜0 在x∈[1，3]上恒成立． 令g(x)＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)m－6，x∈[1，3]. 当m＞0时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，∴0＜m＜ eq \f(6,7)；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6.∴m＜0. 综上所述，m＜ eq \f(6,7)，即m的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))). 法二：当x∈[1，3]时，f(x)＜－m＋5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)＞0， 又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜ eq \f(6,x2－x＋1). ∵函数y＝ eq \f(6,x2－x＋1)＝ eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))在[1，3]上的最小值为 eq \f(6,7)， ∴只需m＜ eq \f(6,7)即可． ∴m的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 一元二次不等式恒成立的类型及解法 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (1)f(x)＞0在R上恒成立⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0；)) (2)f(x)＜0在R上恒成立⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0；)) (3)a＞0时，f(x)＜0在区间[α，β]上恒成立⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(α)＜0，,f(β)＜0；)) (4)a＜0时，f(x)＞0在区间[α，β]上恒成立⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(α)＞0，,f(β)＞0；)) (5)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)(k＞f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k＞f(x)max)；k≤f(x)(k＜f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k＜f(x)min). 　若不等式x2－2x＋m＜0对∀x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围． 解析：如下图，令f(x)＝x2－2x＋m，f(x)＜0对∀x∈[1，2]恒成立， 需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＋m＜0，,m＜0，))解得m＜0. ∴m的取值范围为(－∞，0). 题型三　 一元二次不等式的实际应用 [例 3]　某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 eq \r(6t)(0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？ 解：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨， 则y＝400＋60t－120 eq \r(6t)(0≤t≤24). 令x＝ eq \r(6t)，则t＝ eq \f(x2,6)， 所以y＝400＋10x2－120x ＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)， 所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40， 即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)由已知400＋10x2－120x＜80， 得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8， 即4＜ eq \r(6t)＜8， eq \f(8,3)＜t＜ eq \f(32,3)，而 eq \f(32,3)－ eq \f(8,3)＝8， 所以每天约有8小时供水紧张． (2)由已知400＋10x2－120x＜80， 得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8， 即4＜6t＜8，83＜t＜323，而323－83＝8， 所以每天约有8小时供水紧张． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解不等式应用题的步骤 　北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入 eq \f(1,6)(x2－600)万 元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用． 试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？ 解：(1)设每件定价为t元，依题意得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(t－25,1)×0.2))t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋ eq \f(1,6)(x2－600)＋ eq \f(x,5)有解， 等价于当x>25时，a≥ eq \f(150,x)＋ eq \f(x,6)＋ eq \f(1,5)有解． 由于 eq \f(150,x)＋ eq \f(x,6)≥2 eq \r(\f(150,x)·\f(x,6))＝10，当且仅当 eq \f(150,x)＝ eq \f(x,6)， 即x＝30时等号成立，所以a≥10.2. 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． [课堂小结] 1．不等式恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0； 当a≠0时， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.)) (2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0； 当a≠0时， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.)) 类似地，还有f(x)≤a，恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a. 2．解不等式应用题，一般可按如下四步进行 (1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； (3)解不等式(或求函数最值)； (4)回扣实际问题． $$