1.2.1必要条件与充分条件课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦必要条件、充分条件、充要条件的意义及判断，通过高斯、韦达等数学史人物引入命题、逻辑联结词等旧知，搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是融入数学史增强趣味性，结合集合、几何实例设计典例与练习，用表格对比定义法与集合法总结。通过数学史激发数学眼光，逻辑推理培养数学思维，集合语言提升数学语言表达，助力学生直观理解概念，便于教师高效教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 预备知识 第2节 常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解必要条件、充分条件、充要条件的意义。 2、理解必要条件与性质定理的关系。 3、理解充分条件与判定定理的关系。 4、理解充要条件与数学定理及其逆定理的关系。 1、理解必要条件、充分条件、充要条件的意义。 2、能正确对必要条件、充分条件、充要条件进行判断。 1、理解必要条件、充分条件、充要条件的意义。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 世界上有很多种语言：汉语、英语、法语、德语等等，这些语言尽管发音不同、书写不同，但最基本的作用都是进行沟通，表达人类的所思所想。 同样的，数学学科中也有很多种语言。前面，我们学习了集合，会用集合语言表述集合的概念，关系和运算，集合语言是数学的基本语言。 本节课我们通过梳理初中学过的性质定理和判定定理，学习数学中关于命题的一种基本语言——逻辑语言，即"常用逻辑用语". 3 新 知 引 入 韦 达 1、命题 (1)概念 _______________________________________________叫作命题。 (2)基本结构 一般地，一个命题由_________和________两部分组成。 数学中，通常把命题表示为"______________"的形式， 其中______是条件，________是结论。 2、当命题"若p，则q"是真命题时，就说___________，记作_______. 初中数学中的定理都是真命题 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句 条件 结论 若p，则q p q 由p推出q pq 4 新 知 引 入 布 丰 3、逻辑联结词：__________________________ 4、简单命题:___________________________ 复合命题:___________________________ 5、复合命题真值表 “或”、“且”、“非”. 不含逻辑联结词的命题. 含有逻辑联结词的命题. p 非 p 真 假 p q p 或 q 真 真 真 假 假 真 假 假 p q p 且 q 真 真 真 假 假 真 假 假 假 真 真 真 真 真 假 假 假 假 5 新 知 引 入 伯努利 6、命题的四种形式 逆否命题: 若 q, 则 p. 原命题: 若 p, 则 q; 逆命题: 若 q, 则 p; 否命题: 若 p, 则 q; 互逆 互逆 互 否 互 否 否命题 若p 则q 逆否命题 若q 则p 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 互 为 逆 否 否 逆 为 互 注: 互为逆否命题的两个命题同真假.　 6 新 知 引 入 无冕的数学之王——希尔伯特 定理：如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直. 菱形的性质定理说明如果能确定四边形为菱形, 那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直， 而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个 四边形一定不是菱形. 7 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件. 必要条件 如果 ，是的必要条件。 注意：1、 2、 pq，相当于PQ ，即 或 P Q P Q 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述： (1) 平面四边形的外角和是360°； (2) 在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个点的横坐标相同. 解:“平面四边形的外角和是360”可表述为： “若平面多边形为四边形，则它的外角和为360”， 所以“外角和为360”是“平面多边形为四边形”的必要条件. 解：“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件。 9 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练1、将下面的定理用必要条件的语言表述： ①如果集合，那么。 ②若实数，那么|。 解：“”是“”的必要条件 解：“”是“”的必要条件 10 新 知 引 入 无冕的数学之王——希尔伯特 定理：若 a>0, b>0,则 ab>0. 如果满足了条件a>0,b>0”,一定有结论ab>0.但要注意，使得ab>0的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0. 这个定理说明：只要有了 a>0,b>0"这个条件，就可以判定ab>0”. 11 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 充分条件 一般的，当命题“若，则”是真命题时，称是的充分条件. 如果，是的充分条件。 注意：1、 2、 pq，相当于PQ ，即 或 P Q P Q 12 典 例 引 路 柯 西 例2、 用充分条件的语言表述下面的命题： (1) 若 a=-b，则 |a|=|b| (2) 若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC| (3)当ac＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 解：“a=-b”是“ |a|=|b|”成立的充分条件. 解：“点C是线段AB的中点”是“|AC|=|BC|”成立的充分条件. 解：“”是“一元二次方程有两个不相等的实数根”的充分条件. 13 同 步 练 习 黎 曼 练2、将下面的定理用充分条件的语言表述： ①如果集合，那么。 ②若实数，那么|。 解：“”是“”成立的充分条件. 解：“”是“”成立的充分条件. 14 新 知 引 入 无冕的数学之王——希尔伯特 在勾股定理中，"两直角边的平方和等于斜边的平方"是"三角形为直角三角形"的必要条件；"三角形为直角三角形"是"两直角边的平方和等于斜边的平方"的充分条件 在勾股定理的逆定理中，"三角形的一个角是直角"是"三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和"的必要条件；"三角形的一边的平方等于其他两边的平方和"是"这条边所对的角是直角"的充分条件。 勾股定理：如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边 的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一边的平方等于其他两 边的平方和，那么这条边所对的角是直角。 15 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 一般的，如果，且，那么称的充分且必要条件，简称充要条件. 充要条件 p是q的充分条件可记作：，即与等价. 注意：1、 2、 3、 当p时q的充要条件时，q也是p的充要条件。 P、Q ，相当与P=Q，即 16 典 例 引 路 牛 顿 例3、在下列命题中，试判断是的什么条件. (1)：，： (2)p:x=y,q:x+t=y+t 解：因为“”是真命题， “”也是真命题， 所以是的充要条件； 解:因为由p推导到q和由q推导到p都是等式的基本性质， 所以pq且qp， 所以p是q的充要条件. 17 同 步 练 习 庞加莱 练3、在下列命题中，试判断是的什么条件. 已知的三边为， ：， ：是等边三角形. 解：由：， 即 ，：是等边三角形， 所以，，是的充要条件. 18 学 习 新 知 拉格朗日 定义法 集合法 p是q的充分条件 但不是必要条件 p是q的必要条件 但不是充分条件 p是q的必要条件 p是q的既不充分 也不必要条件 充分条件、必要条件和充要条件的判断方法： 但q⇏p 但p⇏q p⇏q且q⇏p P⫋Q Q⫋P P=Q P、Q无包含关系 19 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知p:-1<2x-3<1,q:x(x-3)<0,则p是q的(　　) A.充分条件,但不是必要条件 B.必要条件,但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:由-1<2x-3<1,得1<x<2,即p:{x|1<x<2}. 由x(x-3)<0,得0<x<3,即q:{x|0<x<3}. ∵{x|1<x<2}⫋{x|0<x<3}, ∴p是q的充分条件,但不是必要条件. A 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练4、设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的(　 　) A.充分条件,但不是必要条件 B.必要条件,但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:由x3>8,得x>2.由|x|>2,得x>2或x<-2. 故由x3>8可以推出|x|>2, 而由|x|>2不能推出x3>8, 所以“x3>8”是“|x|>2”的充分条件,但不是必要条件. A 21 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、设p:(4x-3)2≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分条件,但不是必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  解：由题意可得： p:{x|≤x≤1},q={x|a≤x≤a+1} ∵p是q的充分条件,但不是必要条件 ∴{x|≤x≤1}⫋{x|a≤x≤a+1} 则,解得0≤a≤ 22 同 步 练 习 洛必达 练5、求方程至少有一个负数解的充要条件. 解：方程至少有一个负数解 当时，方程的解为，符合条件 当时，设方程的两解为，显然方程的解不为0，所以方程至少有一个负数解 则或解得或 综上：，即方程至少有一个负数解的充要条件是. 23 全 课 总 结 定义法 集合法 p是q的充分条件 但不是必要条件 p是q的必要条件 但不是充分条件 p是q的必要条件 p是q的既不充分 也不必要条件 但q⇏p 但p⇏q p⇏q且q⇏p P⫋Q Q⫋P P=Q P、Q无包含关系 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $